Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Spinorové reprezentace}
\Def{
Uvažujme $2^n$-rozměrnou asociativní algebru
\begin{align*}
\mfrk{cl}(n) = \mrm{span}\left\{ \mathbb{1},\gamma^{a_1}\dots\gamma^{a_k} \middle| 1 \leq k \leq n,\ a_1 < a_2 < \dots < a_k \right\}
\end{align*}
s násobením vyhovujícím vztahu $\left\{ \gamma^a,\gamma^b \right\} \equiv \gamma^a\gamma^b + \gamma^b\gamma^a = 2\delta^{ab}\mathbb{1}$. Tuto algebru nazýváme \textbf{Cliffordova algebra} s $n$ generátory.
}
\begin{align*}
\Sigma^{ab}=\frac{1}{2}\gamma^a\gamma^b = \frac{1}{4}\left[ \gamma^a,\gamma^b \right],\ a \neq b, && \Sigma^{ab} = -\Sigma^{ba}
\end{align*}
\begin{align*}
\left[ \Sigma^{ab},\Sigma^{cd} \right] &= \frac{1}{4}\left( \gamma^a\gamma^b\gamma^c\gamma^d - \gamma^c\gamma^d\gamma^a\gamma^b \right) = \\
&= \frac{1}{4}\left( 2\delta^{bc}\gamma^a\gamma^d - 2\delta^{ac}\gamma^b\gamma^d + 2\delta^{bd}\gamma^c\gamma^a -2\delta^{ad}\gamma^c\gamma^b \right) = \\
&= \delta^{bc}\Sigma^{ad} - \delta^{ac}\Sigma^{bd} - \delta^{bd}\Sigma^{ac} + \delta^{ad}\Sigma^{bc}
\end{align*}
$\mfrk{so}(n): S^{ab} = E^{ab} - E^{ba}$, kde $E^{ab}$ je matice s jednotkou na pozici $(a,b)$ a nulami všude jinde. $S^{ab}$ má stejné komutační relace:
\begin{align*}
\left[ S^{ab},S^{cd} \right] = \delta^{bc}S^{ad} - \delta^{ac}S^{bd} - \delta^{bd}S^{ac} + \delta^{ad}S^{bc}
\end{align*}
\begin{itemize}
\item $n = 2l$:
\begin{align*}
\sigma_j = \frac{\gamma^{2j-1}+i\gamma^{2j}}{2} && \sigma_j^* = \frac{\gamma^{2j-1}-i\gamma^{2j}}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
\{ \sigma_j,\sigma_k \} = 0 = \{ \sigma_j^*,\sigma_k^* \} && \{\sigma_j,\sigma_k^* \} &= \left\{
\begin{array}{ll}
0\ & \dots\ j \neq k \\
\frac{\left( \gamma^{2j-1} \right)^2}{2} + \frac{\left( \gamma^{2j} \right)^2}{2} = \mathbb{1}\ & \dots\ j=k
\end{array} \right. \\
&&&= \delta_{jk}\mathbb{1}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad$Pro $n=2l$ máme algebru fermionových kreaćních a anihilačních operátorů$\rimpl$ jejich reprezentace se dá přirozeně zkonstruovat na
\begin{align*}
V = \mrm{span}\left\{ \sigma_{a_1}^*\dots\sigma_{a_k}^*\ket{0} \middle| 0 \leq k \leq l,\ 0 < a_1 < \dots < a_k \leq l \right\},
\end{align*}
$\sigma_a\ket{0} = 0,\ \dim V = 2^l \rimpl$reprezentace $\mfrk{so}(2l)$ na $V$, prvky $\mfrk{so}(2l)$ jsou kvadratické výrazy v $\sigma_j,\sigma_k^* \rimpl$z hlediska $\mfrk{so}(2l)$ se reprezentace rozpadá na dvě, se sudým, resp. lichým počtem $\sigma^*$ působících na $\ket{0}$.
\begin{align*}
F_{ij} = \sigma_i^*\sigma_j^* && F_{ij}^+ = \sigma_i\sigma_j && G_{ij} = \sigma_i^*\sigma_j
\end{align*}
\begin{align*}
H(\lambda_1,\dots,\lambda_l) = \sum_{j=1}^l \lambda_j\left( \sigma_j^*\sigma_j - \frac{1}{2} \right)
\end{align*}
%\Pzn{
% \begin{align*}
% 2\sigma_1 = \gamma^1 + i\gamma^2 &\rimpl \gamma^1 = \sigma_1 + \sigma_1^* \\
% 2\sigma_1^* = \gamma^1 - i\gamma^2 &\rimpl \gamma^2 = \frac{1}{i}\left( \sigma_1 - \sigma_1^* \right)
% \end{align*}
% \begin{align*}
% \begin{pmatrix}
% 0 & -i \\
% i & 0
% \end{pmatrix} = -i(E_{12} - E_{21}) &= -\frac{i}{2}\left( \gamma^1\gamma^2 \right) = - \frac{i}{2i}\left( \sigma_1 + \sigma_1^* \right)\left( \sigma_1 - \sigma_1^* \right) = -\frac{1}{2}\sigma_1^*\sigma_1 + \frac{1}{2}\sigma_1\sigma_1^* = \\
% &= -\frac{1}{2}\sigma_1^*\sigma_1 +\frac{1}{2}\left( 1 - \sigma_1^*\sigma_1 \right) = -\left( \sigma_1^*\sigma_1 - \frac{1}{2} \right)
% \end{align*}
% }
\begin{align*}
H(\lambda_1,\dots,\lambda_l)\sigma_{a_1}^*\dots\sigma_{a_k}^*\ket{0} = \sum_{j=1}^l\lambda_j\left(n_j - \frac{1}{2}\right)\sigma_{a_1}^*\dots\sigma_{a_k}^*\ket{0}
\end{align*}
$\Rightarrow\quad$ na $V$ je vektor $\sigma_1^*\dots\sigma_l^*\ket{0}$ vektor s nejvyšší vahou a ta je rovna $\frac{1}{2}(\phi_1,\dots,\phi_l)$. Pro podprostor s opačnou paritou kreačních operátorů máme váhy $\sum_{j=1}^l\left(n_j - \frac{1}{2}\right)\phi_j$, kde $\sum_{j=1}^l n_j = l-1,l-3,\dots$, Mezi nimi je při našem uspořádání nejvyšší $\frac{1}{2}(\phi_1 + \dots + \phi_{l-1} - \phi_l)$, příslušná váhovému vektoru $\sigma_1^*\dots\sigma_{l-1}^*\ket{0}$.
\item $n = 2l+1$: stejně až na $\gamma^{2l+1}$:
\begin{align*}
\left\{ \gamma^{2l+1},\sigma_j \right\} &= 0 = \left\{ \gamma^{2l+1},\sigma_j^* \right\} \\
\gamma^{2l+1}\ket{0} &= \ket{0} \\
\gamma^{2l+1}\left( \sigma_{a_1}^*\dots\sigma_{a_k}^*\ket{0} \right) &= (-1)^k \left( \sigma_{a_1}^*\dots\sigma_{a_k}^*\ket{0} \right)
\end{align*}
Předpisy pro $F_{ij},\ F_{ij}^+,\ G_{ij},\ H(\dots)$ se nezmění.
$V$ nejde rozdělit na $2$ invariantní podporstory, $\mfrk{so}(2l+1)$ je na $V$ ireducibilní s nejvyšší vahou $\frac{1}{2}(\phi_1 + \dots + \phi_l )$.
\end{itemize}
