Součásti dokumentu Matematika1Priklady
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1Priklady}
\section{Aplikace integrálů}
\subsection*{\fbox{Rozcvička}}
V této krátké části jsou příklady, které pro svou vyšší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány.
\begin{itemize}
\item Spočtěte povrch toru (duše) $\displaystyle x^2 + (y-b)^2 = a^2; b \ge a$
\res{$4\pi^2ab$}
\end{itemize}
\subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}}
\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Výpočet plochy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \sin(x)\cos\left( \frac{x}{2} \right)$ na intervalu $[-\pi,\pi]$.
Jaká je plocha pod touto funkcí na intervalu $[0,\pi]$ ?
\res{$\frac43$}
\item
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
\begin{priklad}
f(x) = 2 + x^3; x \in [0, 1].
\end{priklad}
\res{$\frac94$}
\item
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
\begin{priklad}
f(x) = (2x^2+1)^2; x \in [0, 1].
\end{priklad}
\res{$\frac{47}{15}$}
\item
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
\begin{priklad}
f(x) = \sin x; x \in \Big[ \frac{1}{3}\pi, \frac{1}{2}\pi \Big].
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{2}$}
\item
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
\begin{priklad}
f(x) = x \sqrt{2x^2+1}; x \in [0, 2].
\end{priklad}
\res{$\frac{13}{3}$}
\item
Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce
\begin{priklad}
f(x) = x^{-3}(1+x^{-2})^{-3}; x \in [1, 2].
\end{priklad}
\res{$\frac{39}{400}$}
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = \sqrt x
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
y = x^2.
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{3}$}
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad} y = x^2 \end{priklad}
a
\begin{priklad} y = 4x-3. \end{priklad}
\res{$\frac{4}{3}$}
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = x
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
x^3-10y^2=0.
\end{priklad}
\res{10}
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = x,
\end{priklad}
\begin{priklad}
y = 2x
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
y =4.
\end{priklad}
\res{4}
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = \cos x
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
y = 4x^2 - \pi^2.
\end{priklad}
\res{$2 + \frac{2}{3}\pi^3$}
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = \cos^2(\pi x)
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
y = \sin^2(\pi x)
\end{priklad}
pro $x\in[0,\frac14]$.
\res{$\frac{1}{2\pi}$}
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = 2^x,
\end{priklad}
\begin{priklad}
y = 2
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
x = 0.
\end{priklad}
\res{$2-\frac{1}{\ln 2}$}
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = (x+1)^2
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
x = \sin(\pi y)
\end{priklad}
pro $y\in[0,1]$.
\res{$\frac{1}{3}+\frac{2}{\pi}$}
\item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy
\begin{priklad}
y = x
\end{priklad}
a
\begin{priklad}
y = x + \sin^2 x
\end{priklad}
pro $x\in[0,\pi]$.
\res{$\frac{\pi}{2}$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Výpočet těžiště}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy
$y = \sqrt{x^2(1-x^2)}$ a $y=0$.
\res{$\bar{x}=\frac{3}{16}\pi, \bar{y}=\frac{1}{5}$}
\item
Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy
$y = \frac{4}{x^2}$ a $y=0$ pro $x\in[1,3]$.
\res{$\bar{x}=\frac32\ln3, \bar{y}=\frac{26}{27}$}
\item
Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy
$y = 1+x^4$ a $y=0$ pro $x\in[0,1]$.
\res{$\bar{x}=\frac59, \bar{y}=\frac{17}{27}$}
\item
Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy
$y = \sqrt{1-x^2}$ a $y=0$ pro $x\in[-1,0]$.
\res{$\bar{x}=-\frac{4}{3\pi}, \bar{y}=\frac{4}{3\pi}$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Výpočet délky grafu funkce}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Jaká je délka grafu funkce $f(x)=\sqrt{x(1-x)}$ ?
\res{$\pi/2$}
\item Pomocí funkce $\displaystyle f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ a integrálního počtu spočítejte
obvod kruhu o poloměru $R$.
\item Spočtěte délku křivky $\displaystyle f(x) = x \sqrt x$, $x \in [ 0, 4 ]$.
\res{${\frac {80}{27}}\,\sqrt {10}-{\frac {8}{27}}$}
\item
Spočtěte délku grafu
$y = \ln x$, kde $x \in [\sqrt 3, \sqrt 8]$.
\res{$1 + \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$}
\item
Spočtěte délku grafu
$y = a \cosh \Big(\frac{x}{a} \Big)$, kde $x \in [0, b]$.
\res{$a \sinh \frac{b}{a}$}
\item
Spočtěte délku grafu
$x = \frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2} \ln y$, kde $y \in [1,e]$.
\res{$\frac{e^2+1}{4}$}
\item
Spočtěte délku grafu
$y = a \ln \frac{a^2}{a^2-x^2}$, kde $x\in[0,b]$ a $b < a$.
\res{$a \ln \frac{a+b}{a-b} -b$}
\item
Spočtěte délku grafu
$y = \ln \cos x$, kde $x\in[0,a]$ a $a < \frac{\pi}{2}$.
\res{$\ln | \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})|$}
\item
Spočtěte délku grafu
$y = 2a \ln \frac{\sqrt a + \sqrt x}{\sqrt a - \sqrt x} - 4\sqrt{ax}$,
kde $x\in[0, b]$ a $b>0$.
\res{$2a \ln \frac{a}{a-b} -b$}
\item
Spočtěte délku grafu
$x = a \ln \frac{a+\sqrt{a^2 - y^2}}{y} - \sqrt{a^2 - y^2}$,
kde $y\in[b,a]$ a $0<b < a$.
\res{$a \ln \frac{a}{b}$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Výpočet objemu rotačního tělesa}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item Spočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené $y=2x-x^2$ a $y=0$ kolem osy $x$.
\res{$\pi$16/15}
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = x^2$ a $y = 9$ okolo osy $x$.
\res{$\frac{1944}{5} \pi$}
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = x^3$, $xy=10$ a $y=1$ okolo osy $x$.
\res{$\left( \frac{80}{7}10^{\frac34} - \frac{134}{7} \right) \pi$}
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = \sqrt{4-x^2}$ a $y = 0$ okolo osy $x$.
\res{$\frac{32}{3} \pi $}
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = x$ a $y =2x - x^3$ okolo osy $x$.
\res{$\frac{12}{35} \pi$}
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = \frac{1}{1+x^2}$, $y = 0$ a $x\in[-1,1]$ okolo osy $x$.
\res{$\frac{\pi}{4}(\pi+2)$}
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = \cos x$, $y=2 \cos x$, $x\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
okolo osy $x$.
\res{$\frac{3}{2}\pi^2$}
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = e^x -1$, $y =2$ a $x =0$ okolo osy $x$.
\res{$\pi(3 \ln^2 3 - 6 \ln 3 + 4)$}
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$x = y^3$, $x = 8$, $y = 0$ okolo osy $y$.
\res{$\frac{128}{7} \pi$}
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = \sqrt x$ a $y = x^3$ okolo osy $y$.
\res{$\frac{2}{5}\pi$}
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$x = y^2$ a $x = 2-y^2$ okolo osy $y$.
\res{$\frac{10}{3} \pi$}
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = x$ a $y = 2x-x^3$ okolo osy $y$.
\res{$\frac{4}{15} \pi$}
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y^3-y = x$ a $x =0$ okolo osy $y$.
\res{$\frac{16}{105}\pi$}
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = \cos x$, $y = 2 \cos x$, $x\in[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
okolo osy $x$.
\res{$\frac32\pi^2$}
\item
Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy
$y = \cos x$, $y = 2 \cos x$, $x\in[0, \frac{\pi}{2}]$
okolo osy $y$.
\res{$\pi^2-2\pi$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Výpočet povrchu rotačního tělesa}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
Pomocí funkce $\displaystyle f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ a integrálního počtu spočítejte objem a povrch koule o poloměru $R$.
\res{$V = \pi R^3 4/3$, $P = 4\pi R^2$.}
\item
Pomocí integrálního počtu a vhodně zvolené funkce spočítejte
objem a povrch pláště kužele o výšce $a$ a poloměru podstavy $r$.
\res{$V = (\pi r^2 v )/ 3$, $P = \pi r \sqrt{v^2+r^2}$}
\item
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
$y = \sin x$ a $x \in [0, \pi]$ okolo osy x.
\res{$2\pi(\sqrt 2 + \ln(1+\sqrt2))$}
\item
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
$y = \frac{1}{x}$, $x\in[\frac{1}{2}, 2]$ okolo osy x.
\res{$\sqrt{5}\pi + 2\pi\ln{(2 + \frac{2}{1+\sqrt 5})}$}
%\item
%Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
%$y = \frac{1}{x}$, $x\in[a, b]$ okolo osy x, $a>0$, $b>a$.
%\res{$3\pi/16 (9- 8 \ln 2)$}
% divne reseni, tezky priklad
\item
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
$y = e^x$ a $x \in [-\ln 2, \ln 2]$ okolo osy x.
\res{$\pi(\frac{7}{4}\sqrt 5 + \ln \frac{4+2\sqrt 5}{1+\sqrt 5})$}
\item
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
$y^2 +4x = 2 \ln y$, $y\in[1, 2]$ okolo osy y.
\res{$\frac{\pi}{16}(4 \ln^2 2 + 16 \ln 2 - 27$}
% nepatri nasledujici reseni jinam?
% \res{$2\pi \ln \frac{b^2+\sqrt{1+b^2}}{a^2+\sqrt{1+a^2}} + 2 \pi (\sqrt{1+1/a^2} - \sqrt{1+1/b^2})$}
\item
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
$y = a \cos \frac{\pi x}{2b}$, $x\in[-b, b]$ okolo osy x.
\res{$2a \sqrt{\pi^2a^2+4b^2} + 8b^2/\pi \ln \frac{\pi a + \sqrt{\pi^2a^2+4b^2}}{2b}$}
\item
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
$y^2 = 2px$, $x\in[0, b]$ okolo osy x.
\res{$2\pi/3((2b+p)\sqrt{2bp + p^2}-p^2)$}
\item
Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu
$y^2 = 2px$, $x\in[0, b]$ okolo osy y.
\res{$\frac{\pi}{4} \big((p + 4b) \sqrt{2b(p + 2b)} - p^2 \ln{\frac{\sqrt{2b} + \sqrt{p + 2b}}{\sqrt{p}}} \big)$}
\end{enumerate}
