Součásti dokumentu 02KVAN2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Kvantování klasických polí}
Tato, poslední, kapitola poznámek si klade za cíl stručné shrnutí látky z přednášky, ale je na místě poznamenat, že kvantováním polí se bude příští rok zabývat dvousemestrální předmět a tudíž zde není ani zdaleka možné projít všechny aspekty látky. Berte kapitolu jako přípravu na další rok. Z historických důvodů se tomuto postupu někdy říká \textit{druhá kvantizace}, kvantování polí je ale název věrnější.
%================================================================================
\subsection{Konstrukce $\hat{H}$ pro systémy s proměnným počtem částic}
%================================================================================
Abychom mohli konstruovat Hamiltoniány systémů s proměnným počtem částic, je vhodné uhodnout jejich interakce na základě fyzikálního rozboru situace.
\subsubsection*{Např. nejhrubší odhad absorpce a emise záření}
Předpokládejme atom popsaný Hamiltoniánem $\hat{H}_P$, model, který lze v nejhrubším přiblížení použít pro popis interakce takového atomu s polem částic daným $\kreak{a}, \anihilak{a}$, je
\begin{equation}
\hat{H} = \hat{H}_P + \sum_a \left( \hat{U}_a \kreak{a} + \hat{U}_a^{\dagger} \anihilak{a} \right) + \sum_{a,b} \hat{U}_{ab} \kreak{a} \anihilak{b} + \ldots
\end{equation}
kde první suma je v tomto tvaru, aby byla hermitovsky sdružená, kde členy s $\hat{U}$ obsahují \textit{atomové} proměnné, píšu to v kurzívě, protože i tyhle členy jsou operátory - působící na atomovou část Hilbertova prostoru. Dále požadujeme $\hat{U}_{ab} = \hat{U}_{ba}^{\dagger}$ a speciálně $\hat{U}_{aa} = f(a) I$ opět kvůli samosdruženosti. Operátory $\kreak{a}, \anihilak{a}$ jsou kreační a anihilační operátory pro vhodnou jednočásticovou ÚMP. Tečky pak značí členy, které už zanedbáváme. Správně by mezi operátory měla být tenzořítka a bylo by vhodné rozepsat na kterých Hilbertových prostorech který operátor působí, ale snad je to zřejmé. Dále uvidíme čemu který člen v rozvoji odpovídá, naším cílem je v jednotlivých členech najít popis absorpce a emise částic $\kreak{a}, \anihilak{a}$ za současné excitace/deexcitace atomu...
Výpočty budeme provádět v poruchovém rozvoji za předpokladu, že známe spektrum $\hat{H}_P$
\begin{equation}
\hat{H}_P \ket{\xi} = \xi \ket{\xi}.
\end{equation}
Označme
\begin{equation}
\hat{H}_0 = \hat{H}_P + \sum_a \epsilon_a \kreak{a} \anihilak{a},
\end{equation}
u něj totiž známe vlastní vektory, umíme je napsat
\begin{equation}
\ket{\xi} \left( \prod_{a} \frac{\kreak{a}^{n_a}}{\sqrt{n_a !}} \right) \ket{0} = \ket{\xi; n_1, \ldots, n_a, \ldots},
\end{equation}
to se hodí pro poruchovou teorii.
Obvykle budeme počítat pravděpodobnosti
\begin{equation}
W_{\xi; n_1, \ldots, n_a, \ldots; t_0 \rightarrow \xi'; n_1', \ldots, n_a', \ldots; t_1}
\end{equation}
které do prvního řádu umíme napsat velmi podobně jako v kapitolce o propagátoru lineárního harmonického oscilátoru
\begin{equation}
W_{\ldots} \approx F(t_1 - t_0) \abs{\brapigket{\xi'; n_1', \ldots, n_a', \ldots}{\sum_a \left( \hat{U}_a \kreak{a} + \hat{U}_a^{\dagger} \anihilak{a} \right) + \sum_{a\neq b} \kreak{a} \anihilak{b}}{\xi; n_1, \ldots, n_a, \ldots}}^2
\end{equation}
\subsubsection*{Interpretace členů}
\subsubsection*{$\hat{U}_a \kreak{a}$:}
Rozepíšeme element $\brapigket{\xi'; n_1', \ldots, n_a', \ldots}{\hat{U}_a \kreak{a}}{\xi; n_1, \ldots, n_a, \ldots}$ díky tomu na kterou část operátory netriviálně působí:
\begin{equation}
\brapigket{\xi'; n_1', \ldots, n_a', \ldots}{\hat{U}_a \kreak{a}}{\xi; n_1, \ldots, n_a, \ldots} = \brapigket{\xi'}{\hat{U}_a}{\xi} \brapigket{0}{\left( \prod_{b}^{} \frac{\anihilak{b}^{n_b'}}{\sqrt{n_b' !}} \right) \kreak{a} \left( \prod_{c}^{} \frac{\kreak{c}^{n_c}}{\sqrt{n_c !}} \right)}{0},
\end{equation}
Nyní bychom rádi prokomutovali operátor $\kreak{a}$ doleva, ten komutuje se všemi umocněnými anihilačními operátory v levém součinu až na $\anihilak{a}^{n_a'}$, takže mezivýsledek je
\begin{equation}
\brapigket{\xi'}{\hat{U}_a}{\xi} \brapigket{0}{\frac{\anihilak{a}^{n_a'} \kreak{a}}{\sqrt{n_a' !}} \left( \prod_{b \neq a}^{} \frac{\anihilak{b}^{n_b'}}{\sqrt{n_b' !}} \right) \ldots}{0}, \label{eq:mezivysledek}
\end{equation}
Z toho, že $\komut{\anihilak{a}}{\kreak{a}} = 1$ se indukcí snadno ukáže
\begin{equation}
\frac{\anihilak{a}^{n_a'} \kreak{a}}{\sqrt{n_a' !}} = \kreak{a} \anihilak{a}^{n_a'} + \frac{\sqrt{n_a'} \anihilak{a}^{n_a' - 1}}{\sqrt{(n_a' - 1)!}},
\end{equation}
pokud tohle dosadíme do \eqref{eq:mezivysledek}, díky pořadí operátorů můžeme zapomenout na $\kreak{a} \anihilak{a}^{n_a'}$ a přepsat \eqref{eq:mezivysledek} na
\begin{eqnarray}
&&\brapigket{\xi'}{\hat{U}_a}{\xi} \sqrt{n_a'} \braket{n_1', \ldots, n_a' - 1, \ldots}{n_1, \ldots, n_a, \ldots} = \notag \\
&&= \underbrace{\sqrt{n_a'}}_{\sqrt{n_a + 1}} \brapigket{\xi'}{\hat{U}_a}{\xi} \delta_{n_1' n_1} \ldots \delta_{n_a', n_a + 1} \ldots
\end{eqnarray}
Takže je vidět, že tento člen popisuje proces, při kterém dojde k vyzáření částice ve stavu $a$ a současně změnu stavu atomu $\xi \longrightarrow \xi'$, je totiž nenulový jen pro $n_a' = n_a +1$...
\subsubsection*{$\hat{U}_a^{\dagger} \anihilak{a}$:}
Podobným postupem (jen bychom komutovali doprava) bychom ukázali
\begin{eqnarray}
\ldots &=& \brapigket{\xi'}{\hat{U}_a^{\dagger}}{\xi} \sqrt{n_a} \braket{n_1', \ldots, n_a', \ldots}{n_1, \ldots, n_a - 1, \ldots} \notag \\
&=& \overline{\brapigket{\xi}{\hat{U}_a^}{\xi'}} \sqrt{n_a} \delta_{n_1 n_1'} \ldots \delta_{n_a', n_a -1},
\end{eqnarray}
tento člen je nenulový pouze pro $n_a' = n_a - 1$, takže popisuje přesně opačný proces k tomu předchozímu.
Dohromady tak můžeme psát
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm{emise} \: n_a \rightarrow n_a + 1} &\sim & (n_a + 1) \abs{\brapigket{\xi'}{\hat{U}_a}{\xi}}^2, \label{eq:emise}\\
W_{\mathrm{absorpce} \: n_a \rightarrow n_a - 1} &\sim & (n_a) \abs{\brapigket{\xi}{\hat{U}_a}{\xi'}}^2. \label{eq:absorpce}
\end{eqnarray}
Už zbývá jen otázka jak získat $\hat{U}_a$, $\sum_a \epsilon_a \kreak{a} \anihilak{a}$ apod. Odpověď je kvantováním polní teorie.
%================================================================================
\subsection{Jak kvantovat klasická pole}
%================================================================================
Kvantování se standardně provádí podle kuchařky:
\begin{enumerate}
\item Uvažujte klasickou volnou (neinteragující) polní teorii, např.
\begin{equation}
\mathscr{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2.
\end{equation}
\item Nalezněte řešení pohybových rovnic z Lagrangiovského formalismu ve formě superpozice rovinných vln.\\
Pohybové rovnice rovnice, připomínáme, jsou
\begin{equation}
\partial_\mu \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} - \parcder{\mathscr{L}}{\phi} = 0,\label{eq:pohyboveRovnice}
\end{equation}
ty (snad) umíme vyřešit.
\item Definujte obecnou hybnost
\begin{equation}
\Pi = \parcder{\mathscr{L}(\phi, \partial_\mu \phi)}{(\partial_0 \phi)},
\end{equation}
pro kterou klasicky postulujeme Poissonovy závorky v daném čase
\begin{equation}
\komut{\phi(\vec{x}, t)}{\Pi(\vec{y}, t)}_{\mathrm{P.B.}} = \delta^{(3)} (\vec{x} - \vec{y}).
\end{equation}
\item V řešení \eqref{eq:pohyboveRovnice} nalezněte klasické objekty (funkce!) $a_a$, $\overline{a_a}$ takové, že pro ně platí \[\komut{a_a}{\overline{a_{a'}}}_{\mathrm{P.B.}} = K \delta(a - a'),\] obvykle to jsou Fourierovy koeficienty v rozvoji $\phi$, $\Pi$ do rovinných vln.
\item Zaveďte $\mathscr{H} = \Pi \partial_0 \phi - \mathscr{L}$, z toho spočítejte $H = \int \dif ^3 x \mathscr{H}$\\
A ověřte, že $H = \sum_a \left(\int_a \right) \epsilon_a \overline{a_a} a_a$ je energií uvažované superpozice rovinných vln.
\item Kvantujte!\\
Postulujte kanonické komutační relace po nahrazení
\begin{eqnarray}
\phi, \Pi &\longrightarrow & \hat{\phi}, \hat{\Pi}, \\
\komut{}{}_{\mathrm{P.B.}} &\longrightarrow & \komut{}{}, \\
\komut{\hat{\phi}(\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}(\vec{y}, t)}& = &i \hbar \delta^{(3)} (\vec{x} - \vec{y}).
\end{eqnarray}
Dle principu korespondence pak $\kreak{a}$ a $\anihilak{a}$ vyhovují komutačním relacím pro kreační a anihilační operátory. Hamiltonián má také spektrum jako Hamiltonián systému nerozlišitelných neinteragujících částic. Postulujeme proto existenci stavu s nejnižší energií, vakuum $\ket{0}$, pomocí anihilačního operátoru \eqref{eq:anihilakkk}. Fockův prostor pak generujeme působením operátorů $\kreak{a}$ na $\ket{0}$. A stavy které tak dostaneme ($\kreak{i_1} \ldots \kreak{i_n} \ket{0}$) interpretujeme jako stavy obsahující $n$ kvant pole $\phi$. Tyto stavy pak mají energii/hybnost danou jako součet energií/hybností stavů $\kreak{i_k} \ket{0}$, proto stav $\kreak{i_k} \ket{0}$ interpretujeme jako částici pole $\phi$, např. foton..., a stav $\kreak{i_1} \ldots \kreak{i_n} \ket{0}$ jako $n$-částicový stav.
\item Interakční členy v klasickém $\mathscr{L}$ vyjádřete také pomocí $\anihilak{a}$, $\kreak{a}$, započítejte je poruchově.
\end{enumerate}
%================================================================================
\subsubsection{Volné reálné Klein-Gordonovo pole ($c = 1$, $\hbar = 1$)}
%================================================================================
Zabývejme se polem s hustotou Lagrangiánu
\begin{eqnarray}
\mathscr{L} (\phi(\vec{x}, t), \partial_\mu \phi(\vec{x}, t)) &=& \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2, \\
\partial_\mu &=& (\partial_t, \partial_x, \partial_y, \partial_z), \\
\partial^\mu &=& \eta^{\mu \nu} \partial_\nu, \\
\mathscr{L} (\ldots) &=& \frac{1}{2} \eta^{\mu \nu} \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2.
\end{eqnarray}
Napíšeme pohybové rovnice
\begin{eqnarray}
\parcder{\mathscr{L}}{(\partial_\mu \phi)} &=& \frac{1}{2} \partial_\kappa \phi \eta^{\nu \kappa} \delta^\mu_\nu + \frac{1}{2} \partial_\nu \phi \eta^{\nu \kappa} \delta^\mu_\kappa \notag\\
&=& \partial^\mu \phi \longrightarrow \\
0 = \partial_\mu \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} - \parcder{\mathscr{L}}{\phi} &=& \partial_\mu (\partial^\mu \phi) + m^2 \phi = \square \phi + m^2 \phi, \label{eq:kgrovnice}
\end{eqnarray}
kde jsme použili d'Alembertova operátoru $\square$. Než rovnice začneme řešit, připravíme si ještě rovnou obecnou hybnost
\begin{equation}
\Pi = \parcder{\mathscr{L}(\phi, \partial_\mu \phi)}{(\partial_0 \phi)} = 2 \frac{1}{2} \partial^0 \phi = \partial^0 \phi.
\end{equation}
Rovnice \eqref{eq:kgrovnice} má nekonečně mnoho řešení parametrizovaných reálným vektorem $\vec{k}$, která jsme viděli už mnohokrát, proto bez okolků
\begin{eqnarray}
\phi_{\vec{k}} (\vec{x}, t) = e^{i\left( \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega(\vec{k}) t \right)},
\end{eqnarray}
které po dosazení dá $\omega$
\begin{equation}
\omega(\vec{k}) = \sqrt{\vec{k}^2 + m^2}.
\end{equation}
Obecné řešení pohybových rovnic s požadavkem na reálnost $\phi$ tedy je
\begin{equation}
\phi(\vec{x}, t) = \int \frac{\dif^3 k}{(2 \pi)^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{\sqrt{2 \omega(\vec{k})}} \left( a(\vec{k}) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} + \overline{a(\vec{k})} e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} \right),
\end{equation}
kde faktor $\frac{1}{(2 \pi)^{\frac{3}{2}} \sqrt{2 \omega(\vec{k})}}$ je pouze normalizace funkce $a(\vec{k})$ tak, aby splňovala správně Poissonovy závorky.
Řešení rovnic dosadíme do připravené obecné hybnosti
\begin{eqnarray}
\Pi(\vec{x}) &=& \parcder{\mathscr{L}}{\overset{.}{\phi}} = \overset{.}{\phi} = \notag\\
&=& -i \int \frac{\dif^3 k}{(2 \pi)^{\frac{3}{2}}} \sqrt{\frac{\omega(\vec{k})}{2}} \left( a(\vec{k}) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} - \overline{a(\vec{k})} e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k})t)} \right).
\end{eqnarray}
Jelikož jsme drzí a v integrálu vidíme Fourierovu transformaci, hádáme, že $a(\vec{k})$ lze napsat jako
\begin{equation}
a(\vec{k}) = \frac{1}{\sqrt{2 \omega(\vec{k})}} \int \frac{\dif^3 x}{(2 \pi)^{\frac{3}{2}}} e^{-i \left( \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega(\vec{k})t \right)} \left[ \omega(\vec{k}) \phi (\vec{x}, t) + i \Pi (\vec{x}, t) \right].
\end{equation}
To se ověří přímým dosazením do pravé strany za vypočítané $\phi$ a $\Pi$, kde čtenář najde spoustu integrálně zapsaných delta funkcí a jejich působení a po jejich pečlivých seškrtáních mu vyjde správný výsledek, $a(\vec{k})$. Celkově pak napíšeme
\begin{eqnarray}
a(\vec{k}) &=& \frac{1}{\sqrt{2 \omega(\vec{k})}} \int \frac{\dif^3 x}{(2 \pi)^{\frac{3}{2}}} e^{-i \left( \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega(\vec{k})t \right)} \left[ \omega(\vec{k}) \phi (\vec{x}, t) + i \Pi (\vec{x}, t) \right], \\
\overline{a(\vec{k})} &=& \frac{1}{\sqrt{2 \omega(\vec{k})}} \int \frac{\dif^3 x}{(2 \pi)^{\frac{3}{2}}} e^{+i \left( \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega(\vec{k})t \right)} \left[ \omega(\vec{k}) \phi (\vec{x}, t) - i \Pi (\vec{x}, t) \right].
\end{eqnarray}
Kvantujme!
\begin{eqnarray}
\komut{\hat{\phi}(\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}(\vec{x}, t)} &=& i \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}), \\
\komut{\hat{\phi}(\vec{x}, t)}{\hat{\phi}(\vec{x}, t)} &=& 0, \\
\komut{\hat{\Pi}(\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}(\vec{x}, t)} &=& 0.
\end{eqnarray}
Dále bychom měli ověřit, že $a(\vec{k}) \rightarrow \anihilak{\vec{k}}$ a $\overline{a(\vec{k})} \rightarrow \kreak{\vec{k}}$ tak jak jsme je zvolili, splňují správné komutační relace. Přímým dosazením a použitím postulovaných komutačních relací pro $\hat{\Pi}$ a $\hat{\phi}$ by se ukázalo, že skutečně
\begin{equation}
\komut{\anihilak{\vec{k}}}{\kreak{\vec{l}}} = \delta^{(3)}(\vec{k} - \vec{l}),
\end{equation}
jak má být a stejně
\begin{eqnarray}
\komut{\anihilak{\vec{k}}}{\anihilak{\vec{l}}} & = & 0, \\
\komut{\kreak{\vec{k}}}{\kreak{\vec{l}}} & = & 0.
\end{eqnarray}
Pokusíme se nyní zkonstruovat Hamiltonián (operátor) volného K.-G. pole tak jak jsme naznačili v kuchařce, dosadíme za vypočítané členy a upravíme, zase s delta funkcemi apod.
\begin{eqnarray}
\hat{H} &=& \int \left( \hat{\Pi} \partial_t \hat{\phi} - \hat{\mathscr{L}} \right) \dif^3 x \notag \\
&=& \int \dif^3 x \left[ \frac{1}{2} \hat{\Pi}^2 (\vec{x}, t) \frac{1}{2} \partial_i \hat{\phi} \partial_i \hat{\phi} + \frac{m^2}{2} \hat{\phi}^2 \right] \notag \\
& \vdots & \notag \\
&=& \int \dif^3 k \: \omega (\vec{k}) \frac{\kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}} + \anihilak{\vec{k}} \kreak{\vec{k}} }{2} \notag \\
&=& \int \dif^3 k \: \omega (\vec{k}) (\kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}} + \underline{\frac{1}{2}}),
\end{eqnarray}
kde se podtržený člen získaný z komutátoru zanedbává (zlý jazyk by řekl, že se tak zanedbává nekonečná energie, ale kdo by to dělal) a říká se tomu volba hladiny energie vakua, tento proces dává správné výsledky, proto se používá.
Podobně by se odvodil vztah pro hybnost $\hat{\vec{P}}$ (všechny složky), celkově můžeme shrnout
\begin{eqnarray}
\hat{H} &=& \int \dif^3 k \: \omega (\vec{k}) \kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}}, \\
\hat{\vec{P}} &=& \int \dif^3 k \: \vec{k} \kreak{\vec{k}} \anihilak{\vec{k}}.
\end{eqnarray}
Doposud jsme tiše mlčeli o tom, kde se K.-G. pole vzalo a proč je zajímavé. Přijde se na něj tak, že člověk požaduje invarianci systému vůči Lorentzovým transformacím. Historicky se řešení jeho pohybových rovnic tudíž chápalo jako kvantová relativistická volná částice, teorie však byla nekonzistentní a tak se nyní používá jednak jako hezký příklad pole, které lze kvantovat a dostat tak bosonový Fockův prostor. A druhak se mu říká skalární pole a jediným skalárním polem v QFT je, ano, uhodli jste, Higgsovo bosonové pole.
%================================================================================
\subsection{Kvantování ELMA pole}
%================================================================================
Poslední pole, které zde budeme kvantovat, je elektromagnetické a ukážeme si, kde že se berou fotony, a spočítáme v nejhrubším přiblížení interakci takového pole s atomem.
Budeme se opět držet kuchařky, ovšem ELMA pole má tu nevýhodu na výpočet, že je kalibračně invariantní, tahle invariance se ale nesmí objevit jako nezávislé pole s hybnostmi ve výsledku, tam se smí objevit pouze fyzikální stupně volnosti. Tahle obtíž se dá řešit různě, my zafixujeme kalibraci a potom budeme kvantovat. Tento postup je však nevhodný pro práci v teorii elementárních částic, kvantové chromodynamice apod.
Připomeneme, že hustota Lagrangiánu ELMA pole je
\begin{equation}
\mathscr{L} = - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu},
\end{equation}
kde
\begin{equation}
F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu,
\end{equation}
kde $A$ musí splňovat
\begin{equation}
\partial_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu \left( \partial_\mu A^\mu \right) = 0.
\end{equation}
Bez rozebírání detailů, volíme Coulombovu kalibraci (Coulomb/radiation gauge):
\begin{equation}
\vec{\bigtriangledown} \cdot \vec{A} = 0,
\end{equation}
ta však není Lorentzovsky invariantní a od teď už pracujeme v jedné vybrané soustavě souřadné, tenhle detail se dá odstranit, ale nám nebude působit potíže.
Z pohybových rovnic s touto kalibrací dostaneme
\begin{equation}
\partial_i \partial^i A^0 = 0 \Rightarrow A^0 = \varphi = 0,
\end{equation}
jako jediné řešení, které splňuje $A^\mu \underset{\abs{\vec{x}}\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0$.
Dohromady tak rovnici pro $\vec{A}$ lze zapsat
\begin{equation}
\square \vec{A} = 0,
\end{equation}
ta má řešení v podobě rovinných vln
\begin{equation}
\vec{A}_{\vec{k}} (\vec{x}, t) = \vec{\epsilon} e^{i(\vec{k}\vec{x} - \omega(\vec{k})t)},
\end{equation}
kde
\begin{eqnarray}
\omega^2(\vec{k}) - \vec{k}^2 &=& 0,\notag \\
\omega(\vec{k}) = \abs{\vec{k}},
\end{eqnarray}
a polarizace $\vec{\epsilon}$ je téměř určena kalibrační podmínkou (jsou dva LN kolmé vektory na vektor $\vec{k}$)
\begin{equation}
\vec{\bigtriangledown} \cdot \vec{A} = 0 \Leftrightarrow \vec{k} \cdot \vec{\epsilon} = 0.
\end{equation}
Obecné (reálné) řešení v podobě kombinace rovinných vln se dvěma možnými polarizacemi tak vypadá
\begin{eqnarray}
&\vec{A}_{\vec{k}} (\vec{x}, t) = \sum_{\lambda = 1}^{2} \int & \frac{\dif^3 k}{(2 \pi)^\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{2 \omega(\vec{k})}} \vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda) \cdot \notag \\
&& \cdot \left( a(\vec{k}, \lambda) e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} + \overline{a(\vec{k}, \lambda)} e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} \right), \label{eq:potencial}
\end{eqnarray}
kde stále
\begin{eqnarray}
\vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda) \cdot \vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda') = \delta_{\lambda \lambda'} \\
\vec{k} \cdot \vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda) = 0.
\end{eqnarray}
Hamiltonián spočítáme přesně podle kuchařky (opět $\hbar = 1, c = 1$) jako
\begin{eqnarray}
H &=& \int \dif^3 x \mathscr{H} = \frac{1}{2} \int \dif^3 x \left( \overset{.}{\vec{A}}^2 - \vec{A} \bigtriangleup \vec{A} \right) \notag \\
&=& \frac{1}{2} \int \dif^3 x \left( \vec{E}^2 + \vec{B}^2 \right)\notag \\
&=& \sum_{\lambda = 1}^{2} \int \dif^3 k \frac{1}{2} \abs{\vec{k}} \left( \overline{a(\vec{k}, \lambda)} a(\vec{k}, \lambda) + a(\vec{k}, \lambda) \overline{a(\vec{k}, \lambda)} \right),
\end{eqnarray}
kde $\vec{E}$ a $\vec{B}$ jsou intenzita a indukce elektromagnetického pole.
Zase bychom chtěli přejít $a(\vec{k}, \lambda) \longrightarrow \anihilak{\vec{k}, \lambda}$, $\overline{a(\vec{k}, \lambda)} \longrightarrow \kreak{\vec{k}, \lambda}$ tak, že
\begin{equation}
\komut{\anihilak{\vec{k}, \lambda}}{\kreak{\vec{k}', \lambda}} = \delta_{\lambda, \lambda'} \delta^{(3)}\left( \vec{k} - \vec{k}' \right), \label{eq:komutatorELMA}
\end{equation}
s touhle volbou bychom pak z předchozích vztahů napsali
\begin{equation}
\hat{H} = \sum_{\lambda = 1}^{2} \int \dif^3 k \omega (\vec{k}) \left( \kreak{\vec{k}, \lambda} \anihilak{\vec{k}, \lambda} + \underline{\frac{1}{2}}\right),
\end{equation}
kde opět zanedbáme podtrženou část energie jako volbu nulové energie vakua. Podobně by se ukázalo
\begin{equation}
\hat{\vec{P}} = \int \dif^3 k \: \sum_{\lambda = 1}^{2} \vec{k} \kreak{\vec{k}, \lambda} \anihilak{\vec{k}, \lambda}.
\end{equation}
Narozdíl od kvantování skalárního pole zde ovšem neplatí jednoduché Poissonovy závorky a tudíž
\begin{equation}
\komut{\hat{A}_i (\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}_j (\vec{y}, t)} \neq \delta_{i j} \delta^{(3)}\left( \vec{x} - \vec{y}' \right),
\end{equation}
kvůli volbě kalibrace.
Podíváme se jaké Poissonovy závorky (komutátory) by obecná hybnost měla splňovat.
\begin{equation}
\Pi_j = \parcder{\mathscr{L}}{\overset{.}{A_j}} = \overset{.}{A_j},
\end{equation}
sem bychom hned dosadili z \eqref{eq:potencial} a pak už bychom dopočítali komutátor $\komut{\hat{A}_i (\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}_j (\vec{y}, t)}$ za předpokladu (požadavku) \eqref{eq:komutatorELMA} na
\begin{eqnarray}
\komut{\hat{A}_i (\vec{x}, t)}{\hat{\Pi}_j (\vec{y}, t)} &=& \ldots = i \int \frac{\dif^3 k}{(2 \pi)^3} \left( \delta_{i j} - \frac{k_i k_j}{\abs{\vec{k}}^2}\right) e^{i \vec{k} (\vec{x} - \vec{y})} \notag \\
&=& i \delta_{i j}^{\mathrm{tr}} (\vec{x} - \vec{y}),
\end{eqnarray}
kde $\delta_{i j}^{\mathrm{tr}}$ je \textit{transversální} delta funkce, což je jen Fourierův obraz projektoru do roviny kolmé na $\vec{k}$. Je možné ji zapsat jako
\begin{equation}
\delta_{i j}^{\mathrm{tr}} (\vec{x} - \vec{y}) = \delta_{i j} \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}) + \partial_i \partial_j \frac{1}{4 \pi \abs{\vec{x} - \vec{y}}}.
\end{equation}
Takže pro ELMA pole platí trošku jiné fundamentální komutační relace.
Náš postup zde je zcela opačný než obvykle, běžně se dopočítají Poissonovy závorky obecné hybnosti s polem a z nich se ukáže, že volba $a, \overline{a}$ splňuje správné Poissonovy závorky, pak se kvantuje. My jsme komutátor obecné hybnosti a pole našli z předpokládaného komutátoru kreačních a anihilačních operátorů, snad to postupu neubralo na kráse.
%================================================================================
\subsubsection{Interakce ELMA pole s látkou}
%================================================================================
Nyní už máme všechno připraveno na výpočet interakce fotonů s látkou (elektrony v obalech atomů). Povšimněme si, že je to poprvé během studia na FJFI, kdy se započítává vliv látky (atomů) na pole samotné, v předchozích výpočtech se vždy pole odráželo, procházelo, polarizovalo atd. ale fundamentálně (např. počet částic) se interakcí samotnou neměnilo. Hilbertův prostor našeho systému bude dán tenzorovým součinem
\begin{equation}
\mathscr{H}_{\mathrm{atom}} \otimes \mathscr{F}_{\mathrm{B}} \left( \mathscr{H} \right)^{\otimes 2},
\end{equation}
kde $\mathscr{H}$ je Hilbertův prostor jednoho volného fotonu, $\otimes 2$ je zde kvůli dvěma možným polarizacím.
Celkový Hamiltonián pak napíšeme do formalismu předchozích kapitol jako součet tří členů
\begin{eqnarray}
\hat{H} = && \hat{H}_{\mathrm{atom}} = - \frac{\hbar^2}{2m} \triangle + \frac{Q}{r}\notag \\
&& + \hat{H}_{\mathrm{int}} = - \frac{e}{m} \hat{A}_i (\vec{x}) \hat{P}_i + \frac{e^2}{2m} \hat{A}_i (\vec{x}) \hat{A}_i (\vec{x}) \notag \\
&& + \hat{H}_{\mathrm{EM}} = \sum_{\lambda = 1}^{2} \int \dif^3 k \omega (\vec{k}) \kreak{\vec{k}, \lambda} \anihilak{\vec{k}, \lambda},
\end{eqnarray}
kde za $\hat{A}_i (\vec{x})$ je ještě potřeba dosadit z \eqref{eq:potencial}. Tento Hamiltonián jsme dostali přímo rozepsáním známého
\begin{equation}
\hat{H} = \frac{\left( \hat{\vec{P}} - e \hat{\vec{A}} \right)^2}{2m} + e \hat{\varphi} + \frac{1}{2} \int \dif^3 x \left( \hat{\vec{E}}^2 + \hat{\vec{B}}^2 \right).
\end{equation}
Atomová část Hamiltoniánu je velmi kompaktně zapsaná, ale skutečně představuje i komplikovanější jádro než jenom jeden nebo dva protony. Předpokládáme, že příspěvek od $\hat{H}_{\mathrm{atom}}$ a $\hat{H}_{\mathrm{EM}}$ umíme spočítat, nakonec, věnovali jsme tomu několik kapitol. A provedeme poslední krok kuchařky a započítáme $\hat{H}_{\mathrm{int}}$ poruchově.
Budeme chtít používat nestacionární poruchovou teorii, budeme tedy pracovat v Diracově reprezentaci (tj. volná dynamika je v Heisenbergově reprezentaci). To nám umožní spočítat $W_{\mathrm{emise}}$ a $W_{\mathrm{absorpce}}$ v daném systému (obecné vztahy viz. \eqref{eq:emise}, \eqref{eq:absorpce}) a kdybychom chtěli, i další členy rozvoje.
Obdobně se postupuje i ve fundamentálních teoriích elementárních částic, ale v této aplikaci je třeba zvážit i další problémy, např.
\begin{enumerate}
\item Fockův prostor stavů je konstruován pomocí složek $\hat{H}$ volných neinteragujících částic. Do jaké míry je oprávněné jeho použití pro interagující částice?
\item Problémy s kalibračními stupni volnosti se ještě zvětší při použití neabelovských kalibračních teorií (elektroslabé, silné interakce).
\item Divergující členy v poruchových rozvojích $\longrightarrow$ renormalizace atd.
\end{enumerate}
Pro korektnost nyní přejdeme do \textit{krabice} a zase se vrátíme k $\hbar = c = 1$, abychom mohli používat výsledky z kapitoly o kvantování ELMA pole. Objem krabice označíme
\begin{equation}
V = \prod_{i=1}^3 (0, a_i),
\end{equation}
kvantování by nyní proběhlo úplně stejně jako jsme to provedli, jen bychom jako řešení pohybových rovnic z hustoty Lagrangiánu dostali diskrétní hodnoty vlnového čísla
\begin{equation}
k_i^{(n_i)} = \underbrace{\frac{2 \pi}{a_i}}_{\Delta k_i} n_i, \: n_i \in \mathbb{Z}, \label{eq:k}
\end{equation}
pro okrajové podmínky takové, že pole je na okrajích krabice nulové. Ve vyjádření vektorového potenciálu \eqref{eq:potencial} by se integrál změnil na sumu a po kvantování bychom dostali
\begin{equation}
\hat{\vec{A}} (\vec{x}, t) = \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\lambda = 1}^{2} \sum_{\vec{k}} \frac{\vec{\epsilon}(\vec{k}, \lambda)}{\sqrt{2 \omega(\vec{k})}} \left[ \Anihilak{\vec{k}, \lambda} e^{i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} + \Kreak{\vec{k}, \lambda} e^{-i (\vec{k} \vec{x} - \omega(\vec{k}) t)} \right], \label{eq:kpotencial}
\end{equation}
kde suma je přes $\vec{k}$ tvaru \eqref{eq:k}. Velká $\hat{A}$ pro kreační a anihilační operátory píšeme proto, že pracujeme v krabici, jinak se zavedou stejně jako dřív. Operátor $\hat{\vec{A}} (\vec{x}, t)$ předpokládáme za zapsaný Heisenbergově obrazu. Kdybychom jej chtěli ve Schrödingerově, zvolíme si $t=t_0$ libovolně, žádnou předpověď tím nezměníme. Hamiltonián bychom opět dostali
\begin{equation}
H = \frac{1}{2} \int_V \dif^3 x \left( \vec{E}^2 + \vec{B}^2 \right) = \sum_{\lambda = 1}^{2} \sum_{\vec{k}} \omega (\vec{k}) \overline{A(\vec{k}, \lambda)} A(\vec{k}, \lambda),
\end{equation}
což by po kvantování dalo
\begin{equation}
\hat{H} = \sum_{\lambda = 1}^{2} \sum_{\vec{k}} \omega(\vec{k}) \Kreak{\vec{k}, \lambda} \Anihilak{\vec{k}, \lambda},
\end{equation}
s komutačními relacemi
\begin{eqnarray}
\komut{\Anihilak{\vec{k}, \lambda}}{ \Kreak{\vec{k}', \lambda'}} &=& \delta_{\vec{k} \vec{k}'} \delta_{\lambda \lambda'}, \\
\komut{\Anihilak{\vec{k}, \lambda}}{ \Anihilak{\vec{k}', \lambda'}} &=& \komut{\Kreak{\vec{k}, \lambda}}{ \Kreak{\vec{k}', \lambda'}} = 0.
\end{eqnarray}
Dalo by se ověřit z komutačních relací a tvaru $\hat{H}$, že $\hat{\vec{A}} (\vec{x}, t)$ vyhovuje pohybové rovnici v Heisenbergově obrazu, tj.
\begin{equation}
i \hbar \parcder{\hat{A}}{t} (\vec{x}, t) = \komut{\hat{\vec{A}} (\vec{x}, t)}{\hat{H}},
\end{equation}
a také kalibrační podmínce
\begin{equation}
\bigtriangledown \cdot \vec{A} (\vec{x}, t) = 0,
\end{equation}
což nás opravňuje mluvit o \eqref{eq:kpotencial} jako o operátoru v Heisenbergově obrazu.
Rádi bychom poslali $V \longrightarrow \infty$, abychom ověřili, jestli dostáváme správný výsledek z předchozí kapitoly, při tomto přechodu určitě $\Delta k_i \longrightarrow 0$ a sumy přejdou v limity integrálních součtů jako
\begin{eqnarray}
\sum_{\vec{k}} f (\vec{k}) &=& \sum_{\vec{j} \in \mathbb{Z}^3} f \left( k_1^{(j_1)}, k_2^{(j_2)}, k_3^{(j_3)} \right) \underbrace{\frac{\Delta k_1 \Delta k_2 \Delta k_3}{(2 \pi)^3} V}_{1} \notag \\
&\Downarrow & \notag \\
\frac{1}{V} \sum_{\vec{k}} f(\vec{k}) &\longrightarrow & \frac{1}{(2 \pi)^3} \int \dif^3 k f(\vec{k}).
\end{eqnarray}
Protože v této limitě už nebude záležet na směru, označíme $\Delta k = \frac{(2 \pi)^3}{V}$ a dostaneme vztah mezi kreačními a anihilačními operátory pro krabici a pro neomezený prostor
\begin{equation}
\anihilak{\vec{k} \lambda} = \lim_{V \rightarrow \infty} \frac{\Anihilak{\vec{k} \lambda}}{\sqrt{\Delta k}} = \lim_{V \rightarrow \infty} \frac{\Anihilak{\vec{k} \lambda} \sqrt{V}}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}}, \: \hbar = 1.
\end{equation}
V této limitě pak dostáváme dříve odvozené operátory, komutační relace... pro spojitá $\vec{k}$.
V čase $t=t_0$, který zvolíme $t_0 = 0$ jsou operátory ve Schrödingerově obraze stejné jako v Heisenbergově, rozepíšeme je, aby byly jasnější
\begin{eqnarray}
\hat{H} &=& \hat{H}_{\mathrm{atom}} + \hat{H}_{\mathrm{int}} + \hat{H}_{\mathrm{EM}}, \\
\hat{H}_{\mathrm{atom}} &=& \ldots \: \mathrm{se} \: Z \: \mathrm{elektrony}, \\
\hat{H}_{\mathrm{int}} &=& - \sum_{j=1}^Z \frac{e^{(j)}}{M^{(j)}} \hat{\vec{A}} (\vec{x}^{(j)}, 0) \cdot \hat{\vec{P}}^{(j)}, \\
\hat{H}_{\mathrm{EM}} &=& \sum_{\lambda = 1}^{2} \int \dif^3 k \omega (\vec{k}) \kreak{\vec{k}, \lambda} \anihilak{\vec{k}, \lambda},
\end{eqnarray}
kde jsme v interakčním Hamiltoniánu zanedbali členy úměrné $\hat{A} \hat{A}$ a zvolili určité pořadí operátorů, které si ale před kvantováním můžeme zvolit libovolně, protože se jedná o násobení funkcí. Uvidíme jaký výsledek toto pořadí dá a později uznáme, že jsme zvolili správně. $M^{(j)}$ jsou hmotnosti elektronů v atomu a $e^{(j)}$ jejich náboje.
Fockův prostor ještě zapíšeme jako
\begin{equation}
\mathscr{H}_{\mathrm{atom}} \otimes \mathscr{F}_{\mathrm{B}} \left( \mathscr{H}_{\mathrm{EM}} \right),
\end{equation}
kde $\mathscr{H}_{\mathrm{EM}}$ je jednočásticový prostor se dvěma polarizacemi $\lambda = 1, 2$. Na tomto Fockově prostoru budeme uvažovat reprezentace pomocí obsazovacích čísel. Budeme dále uvažovat pouze stavy s určeným, konečným počtem fotonů, předpokládáme, že nás zajímá jen konečný počet nenulových obsazovacích čísel $n_1, \ldots, n_N$, kde $K$-tý stav má vlnový vektor $\vec{k}_K$ a polarizaci $\vec{\epsilon} (\vec{k}_K, \lambda_K)$, dostaneme tak stavy
\begin{equation}
\ket{n_1, \ldots, n_N; \sum_{j} n_j = n},
\end{equation}
kde informace za středníkem je redundantní, protože $n$ je vždy součet všech $n_j$ a chceme jen zdůraznit počet částic. Na těchto vektorech dostáváme standardní působení příslušných kreačních a anihilačních operátorů v \eqref{eq:kpotencial} a působení $\hat{\vec{A}}$ na pro nás zajímavé vektory v nulovém čase tak lze zapsat pomocí maticových elementů (jediné nenulové)
\begin{eqnarray}
\brapigket{n_1, \ldots, n_j + 1, \ldots; n+1}{\hat{\vec{A}} (\vec{x}^{(j)}, 0)}{n_1, \ldots, n_j, \ldots; n} &=& \frac{\sqrt{n_j + 1}}{\sqrt{V}} \frac{\vec{\epsilon} (\vec{k}_j, \lambda_j)}{\sqrt{2 \omega (\vec{k}_j)}} e^{-i \vec{k}_j \cdot \vec{x}^{(j)}} \notag \\
\brapigket{n_1, \ldots, n_j - 1, \ldots; n-1}{\hat{\vec{A}} (\vec{x}^{(j)}, 0)}{n_1, \ldots, n_j, \ldots; n} &=& \frac{\sqrt{n_j}}{\sqrt{V}} \frac{\vec{\epsilon} (\vec{k}_j, \lambda_j)}{\sqrt{2 \omega (\vec{k}_j)}} e^{i \vec{k}_j \cdot \vec{x}^{(j)}}. \notag
\end{eqnarray}
Abychom mohli pokračovat, uvedeme jeden z možných způsobů zápisu delta funkce, jehož důkaz zainteresovaný čtenář nalezne např. v dodatku \cite{for:ukt}
\begin{equation}
\frac{1 - \cos \left( \left( E_1 - E_0 \right) \frac{\Delta t}{\hbar} \right)}{\pi \left( E_1 - E_0 \right)^2 \frac{\Delta t}{\hbar}} \underset{\Delta t \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \delta \left( \frac{E_1 - E_0}{\hbar} \right).
\end{equation}
Z nestacionární poruchové teorie máme pro pravděpodobnost přechodu ze stavu $i$ (initial) do $f$ (final) pravděpodobnost
\begin{equation}
w = \frac{\abs{\braket{\psi_f}{\psi_i}}^2}{\Delta t},
\end{equation}
do čehož když dosadíme z odvozených vztahů, pošleme $\Delta t \rightarrow \infty$ a použijeme vzoreček pro delta funkci, můžeme psát
\begin{equation}
w_{(i, n_j) \rightarrow (f, n_j \pm 1)} = 2 \pi \abs{M_{(f, n_j \pm 1), (i, n_j)}}^2 \delta (E_i - E_f \mp E_j),
\end{equation}
kde $E_j = \omega (\vec{k}_j)$, pokud $\hbar = 1$ a $i, f$ označují počáteční a koncový stav atomu a jako $M_{\ldots}$ jsme si označili
\begin{equation}
M_{(f, n_j \pm 1), (i, n_j)} = \brapigket{n_1, \ldots, n_j \pm 1, \ldots; n \pm 1}{\brapigket{f}{\hat{H}_{\mathrm{int}}}{i}}{n_1, \ldots, n_j, \ldots; n}.
\end{equation}
To lze vyčíslit pro $+$:
\begin{equation}
M_{(f, n_j + 1), (i, n_j)} = \sqrt{\frac{n_j + 1}{V}} \left( - \frac{\vec{\epsilon} (\vec{k}_j, \lambda_j)}{\sqrt{2 \omega (\vec{k_j})}} \right) \sum_{j=1}^Z \frac{e^{(j)}}{M^{(j)}} \brapigket{f}{e^{-i \vec{k}_j \cdot \vec{x}^{(j)}} \cdot \hat{\vec{P}}^{(j)}}{i},
\end{equation}
a podobně pro $-$
\begin{equation}
M_{(f, n_j - 1), (i, n_j)} = \sqrt{\frac{n_j}{V}} \left( - \frac{\vec{\epsilon} (\vec{k}_j, \lambda_j)}{\sqrt{2 \omega (\vec{k_j})}} \right) \sum_{j=1}^Z \frac{e^{(j)}}{M^{(j)}} \brapigket{i}{e^{+i \vec{k}_j \cdot \vec{x}^{(j)}} \cdot \hat{\vec{P}}^{(j)}}{f}.
\end{equation}
Díky $\delta (E_i - E_f \mp E_j)$ ve vztahu pro pravděpodobnost musí být $E_j = E_i \mp E_f$, aby byla nenulová.
Zabývejme se dále pouze $+$ případem, mínus by se počítal podobně. Pro dlouhé vlnové délky ve srovnání s rozměry atomu lze položit (velmi malé vlnové číslo)
\begin{equation}
e^{-i \vec{k}_j \cdot \vec{x}^{(j)}} \approx 1,
\end{equation}
a maticový element $\hat{\vec{P}}^{(j)}$ se tak dá přepsat pomocí
\begin{equation}
\hat{\vec{P}}^{(j)} = M^{(j)} \frac{1}{i} \komut{\hat{\vec{X}}^{(j)}}{\hat{H}_0},
\end{equation}
kde $\hat{H}_0$ je Hamiltonián volného elektronu, na
\begin{equation}
\brapigket{f}{\frac{\hat{\vec{P}}^{(j)}}{M^{(j)}}}{i} \approx \frac{1}{i} (E_i - E_f) \brapigket{f}{\vec{x}^{(j)}}{i}.
\end{equation}
Zavedeme-li operátor elektrického dipólového momentu
\begin{equation}
\hat{\vec{D}} = \sum_{j=1}^Z e^{(j)} \hat{\vec{X}}^{(j)},
\end{equation}
můžeme v tzv. dipólové aproximaci zapsat mezivýsledek jako
\begin{equation}
M_{(f, n_j + 1), (i, n_j)} = \sqrt{\frac{n_j + 1}{V}} i \sqrt{\frac{E_i - E_f}{2}} \vec{\epsilon} (\vec{k}_j, \lambda_j) \brapigket{f}{\hat{\vec{D}}}{i}.
\end{equation}
Díky tomu, že $M_{\ldots}$ vystupuje v pravděpodobnostech v kvadrátu, pro $n_j +1$ se rozpadne na dva členy a ty se dají jasně interpretovat jako spontánní a stimulovaná emise.
S tímto výsledkem se dá dále pracovat, pro $\infty > V \gg 0$ lze spektrální hustotu záření $N_{\vec{k}_j, \lambda_j}$ psát jako
\begin{equation}
\frac{N_{\vec{k}_j, \lambda_j}}{\Delta k} \dif^3 k \approx \frac{V}{(2 \pi)^3} N_{\vec{k}_j, \lambda_j} k^2 \dif k \dif \Omega.
\end{equation}
Z toho hustota fotonů s polarizací $\lambda$ a hybností $\vec{k}$ takovými, že
\begin{eqnarray}
\abs{\vec{k}} \in (k_0, k_0 + \dif k), \\
\frac{\vec{k}}{\abs{k}} \in \dif \Omega,
\end{eqnarray}
kde $\dif \Omega$ je kolem nějakého jednotkového vektoru $\vec{n}$, je
\begin{equation}
\frac{1}{(2 \pi)^3} N_{\vec{k}, \lambda} k^2 \dif k \dif \Omega .
\end{equation}
Pro spektrální hustotu toku energie $I(\ldots)$ potom platí ($\omega = k$)
\begin{equation}
I(\omega, k) \dif \omega \dif \Omega = \frac{k^3}{(2 \pi)^3} N_{\vec{k}, \lambda} \dif k \dif \Omega,
\end{equation}
a z toho získáváme
\begin{equation}
I(\omega, k) = \frac{k^3}{(2 \pi)^3} N_{\vec{k}, \lambda}.
\end{equation}
Pravděpodobnost přechodu z $\ket{i}$ do $\ket{f}$ za jednotku času s absorpcí fotonu s polarizací $\lambda$ a hybností z oblasti $\Omega_{k}$ kolem $\vec{k}$ takového, že $\abs{\vec{k}} = \abs{E_f - E_i}$, tedy je
\begin{equation}
w_{if} \left( \lambda, \Delta k \right) = \sum_{\Omega_{k}} w_{(i, n_j) \rightarrow (f, n_j - 1)} = 2 \pi \sum_{\Omega_{k}} \abs{M_{(f, n_j - 1), (i, n_j)}}^2 \delta (E_i - E_f + E_j).
\end{equation}
Po provedení limity $V \rightarrow \infty$ lze v dipólové aproximaci vyjádřit (po integraci přes $\dif k$ se díky volbě jednotek $\hbar = 1$ použije delta funkce)
\begin{eqnarray}
\deriv{w_{if}^{\mathrm{absorpce}} (\lambda, \vec{k})}{\Omega} &=& \pi I(E_f - E_i, \vec{k}) \abs{\vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda) \cdot \brapigket{f}{\hat{\vec{D}}}{i}}^2, \\
\deriv{w_{if}^{\mathrm{stim.}} (\lambda, \vec{k})}{\Omega} &=& \pi I(E_f - E_i, \vec{k}) \abs{\vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda) \cdot \brapigket{i}{\hat{\vec{D}}}{f}}^2, \\
\deriv{w_{if}^{\mathrm{spont.}} (\lambda, \vec{k})}{\Omega} &=& \frac{k^3}{8 \pi^2} \abs{\vec{\epsilon} (\vec{k}, \lambda) \cdot \brapigket{f}{\hat{\vec{D}}}{i}}^2,
\end{eqnarray}
pravděpodobnosti absorpce, stimulované emise a spontánní emise. Vidíme, že hlavní rozdíl ve výsledcích je ten, že koeficient spontánní emise nezávisí na intenzitě/počtu částic s danou polarizací a hybností/energií -- na rozdíl od stimulované emise a absorpce, což je očekávaný charakter řešení.
