Součásti dokumentu 02KVAN2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Teorie rozptylu}
%================================================================================
\subsection{Propagátor poruchově}
%================================================================================
V této kapitole se budeme soustředit na poruchový rozvoj propagátoru, který nám hned přijde vhod v teorii rozptylu. V případě, že
\begin{equation}
H = \frac{\vec{p}^2}{2m} + V(\vec{x}),
\end{equation}
lze $V$ nahradit $\epsilon V$ a rozvinout v $\epsilon$
\begin{equation}
\prop{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} = \propU{0}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} + \epsilon \propU{1}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} + \epsilon^2 \propU{2}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} + \ldots,
\end{equation}
kde $K_0$ je skutečně propagátor volné částice jak jsme jej označili dříve. Nechť
\begin{equation}
\eta = \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^\frac{3}{2},
\end{equation}
a rozviňme $\exp \left( - \frac{i}{\hbar} \sum_k V(\vec{x}_k) \Delta t \right)$ do Taylorovy řady
\begin{equation}
\exp \left( - \frac{i}{\hbar} \sum_k V(\vec{x}_k) \Delta t \right) = 1 - \frac{i}{\hbar} \sum_k V(\vec{x}_k) \Delta t - \frac{1}{2 \hbar^2} \sum_{j, k} V(\vec{x}_j) V(\vec{x}_k) (\Delta t)^2 + \ldots.
\end{equation}
Přímým dosazením do dráhového integrálu tak dostaneme
\begin{eqnarray}
K_1 & = & - \frac{i}{\hbar} \lim_{N \rightarrow \infty} \eta^{N+1} \sum_{k=1}^N \Delta t \int \exp \left( \frac{i m}{2 \hbar \Delta t} \sum_{j=1}^{N+1} (\vec{x}_j - \vec{x}_{j-1})^2 \right) V(\vec{x}_k, t_k) \dif^3 x_1 \ldots \dif^3 x_N = \notag \\
& = & - \frac{i}{\hbar} \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^N \Delta t \int \dif^3 x_k \underbrace{\left( \eta^{N-k+1} \int e^{\frac{im}{2 \hbar \Delta t} \sum_{j=k+1}^{N+1} (\vec{x}_j - \vec{x}_{j-1})^2} \dif^3 x_{k+1} \ldots \dif^3 x_N \right)}_{\propU{0}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_k}{t_k}} \notag \\
& & V(\vec{x}_k, t_k) \underbrace{\left( \eta^{k} \int e^{\frac{im}{2 \hbar \Delta t} \sum_{j=1}^{k} (\vec{x}_j - \vec{x}_{j-1})^2} \dif^3 x_{1} \ldots \dif^3 x_{k-1} \right)}_{\propU{0}{}{\vec{x}_k}{t_k}{\vec{x}_0}{t_0}}.
\end{eqnarray}
Po provedení $\sum_{k=1}^N \Delta t \int \dif^3 x_k \rightarrow \int_{t_0}^{t_f} \dif t \int \dif^3 x_k$ tak dostaneme (s menším přeznačím $\vec{x}_k \rightarrow \vec{x}_1$)
\begin{equation}
\propU{1}{}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} = - \frac{i}{\hbar} \int \dif^3 x_1 \int_{t_0}^{t_f} \dif t_1 \propU{0}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_1}{t_1} V(\vec{x}_1, t_1) \propU{0}{}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_0}{t_0},
\end{equation}
obdobně bychom dostali
\begin{eqnarray}
\propU{2}{}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} & = & - \frac{1}{2\hbar^2} \int \dif^3 x_1 \int_{t_0}^{t_f} \dif t_1 \int \dif^3 x_2 \int_{t_0}^{t_f} \dif t_2 \propU{0}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_2}{t_2} V(\vec{x}_2, t_2) \notag\\
& & \propU{0}{}{\vec{x}_2}{t_2}{\vec{x}_1}{t_1} V(\vec{x}_1, t_1) \propU{0}{}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_0}{t_0},
\end{eqnarray}
a indukcí bychom ukázali úplně stejně, že
\begin{eqnarray}
\propU{N}{}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} & = & \frac{(-i)^N}{N! \hbar^N} \left( \prod_{k=1}^N \int \dif^3 x_k \int_{t_0}^{t_f} \dif t_k \right) \propU{0}{}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x_N}}{t_N} V(\vec{x}_N, t_N) \notag \\
& & \propU{0}{}{\vec{x}_N}{t_N}{\vec{x_{N-1}}}{t_{N-1}} V(\vec{x}_{N-1}, t_{N-1}) \ldots V(\vec{x}_1, t_1) \notag\\
& & \propU{0}{}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x_0}}{t_0}.
\end{eqnarray}
Faktor $\frac{1}{N!}$ lze odstranit použitím retardovaných propagátorů díky tomu, že např. pro $K_2$ umím jedničku rozepsat jako $\theta(t_1 - t_2) + \theta(t_2 - t_1)$ uvnitř integrálu, což pro retardované propagátory dává zadarmo časové uspořádání $t_0 \leq t_1 \leq \ldots \leq t_N \leq t_f$.
\begin{eqnarray}
\propU{N}{(+)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} & = & \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^N \left( \prod_{k=1}^N \int \dif^3 x_k \int_{t_0}^{t_f} \dif t_k \right) \propU{0}{(+)}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x_N}}{t_N} V(\vec{x}_N, t_N) \notag \\
& & \propU{0}{(+)}{\vec{x}_N}{t_N}{\vec{x_{N-1}}}{t_{N-1}} V(\vec{x}_{N-1}, t_{N-1}) \ldots V(\vec{x}_1, t_1) \notag\\
& & \propU{0}{(+)}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x_0}}{t_0}. \label{eq:Krozvoj}
\end{eqnarray}
%================================================================================
\subsubsection{Feynmanovy diagramy}
%================================================================================
Existuje velmi jednoduchý a slavný způsob jak si $N$-tý člen rozvoje zapamatovat, poprvé se zde setkáváme s Feynmanovými diagramy, těmi nejjednoduššími. Náš Feynmanův diagram bude pouze lomená čára a body na ní. Každá úsečka spojující místo $\vec{a}$ v čase $t_a$ s $\vec{b}$ v čase $t_b$ odpovídá v integrálu \eqref{eq:Krozvoj} propagátoru volné částice mezi těmito místy a časy (Obr. \ref{fig:usecka}).
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=8cm]{feynman1}
\caption{úsečka na lomené čáře}
\label{fig:usecka}
\end{figure}
Každý bod zlomu odpovídá potenciálu v místě $\vec{a}$ a čase $t_a$ (Obr. \ref{fig:bod}).
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=8cm]{feynman2}
\caption{bod na lomené čáře}
\label{fig:bod}
\end{figure}
Integruje se vždy přes souřadnice zlomů na čáře. $N$-tý člen tak odpovídá lomené čáře s $N$ zlomy, počátku a konci lomené čáry se připíší $\vec{x}_0, t_0$ a $\vec{x}_f, t_f$ a $k$-tému zlomu $\vec{x}_k, t_k$. Např. Feynmanův diagram druhého členu by byl jako na Obr. \ref{fig:K2}.
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=8cm]{feynman3}
\caption{$K_2$}
\label{fig:K2}
\end{figure}
V QFT (Quantum Field Theory) se pak Feynmanovy diagramy hodí mnohem víc, protože \textit{čáry} mohou být různé (vlnovka, ...) a reprezentovat tak různé druhy částic a body mohou spojovat i víc než jednu částici a popisovat tak různé interakce více druhů částic. Pro $N$-tý řád výpočtu potom diagramy slouží jako jednoduchá pomůcka pro nalezení všech příspěvků do propagátoru (každé interakci bude odpovídat jiný diagram a najít všechny diagramy je relativně snadné).
%================================================================================
\subsection{Použití dráhového integrálu pro popis rozptylu}
%================================================================================
Předpokládáme, že počáteční podmínkou pro popis rozptylu je stav s přesně určenou hybností ($\vec{p}_{0}$) a energií, rovinná vlna \cite{hlav:QM}
\begin{equation}
\psi_{in} (\vec{x}, t_0) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{i \frac{\vec{p}_{0} \vec{x}}{\hbar} - \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_{0}^2}{2m} t_0},
\end{equation}
očekáváme, že částice je v počátečním stavu dostatečně daleko od oblasti interakce, takže vliv potenciálu na ni lze zanedbat. Rovinná vlna je však zcela delokalizovaná, proto abychom se nedostali do sporu, předpokládáme \textit{adiabatickou hypotézu}\footnote{Tento i další předpoklady plynou z idealizace stavů, kdybychom použili vlnový balík, problémy by zmizely, ale konkrétní předpovědi by byly mnohem těžší na výpočet.}
\begin{equation}
V(\vec{x}, t) \underset{t \rightarrow \pm \infty} {\longrightarrow} 0.
\end{equation}
Nyní použijeme rozvoj \eqref{eq:Krozvoj}, abychom našli časový vývoj našeho vstupního stavu
\begin{eqnarray}
\psi^{(+)}(\vec{x}_f, t_f) & = & \int \propU{}{(+)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} \psi_{in}(\vec{x}_0, t_0) \dif^3 x_0 \notag \\
& = & \int \propU{0}{(+)}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} \psi_{in}(\vec{x}_0, t_0) \dif^3 x_0 \notag\\
& & - \frac{i}{\hbar} \int \dif^3 x_0 \int \dif^3 x_1 \int_{t_0}^{t_f} \dif t_1 \propU{0}{}{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_1}{t_1} \notag\\
& & V(\vec{x}_1, t_1) \propU{0}{}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_0}{t_0} \psi_{in}(\vec{x}_0, t_0) + \ldots,
\end{eqnarray}
tento rozvoj se nazývá \textit{Bornova řada}/\textit{Bornova aproximace}.
Obvykle nás zajímá pravděpodobnost nalezení částice s danou hodnotou hybnosti $\vec{p}_f$ v čase $t_f \rightarrow +\infty$
\begin{equation}
\psi_{out} (\vec{x}, t_f) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{i \frac{\vec{p}_f \vec{x}}{\hbar} - \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_f^2}{2m} t_f}.
\end{equation}
Všimneme si, že oba stavy lze zapsat pomocí časového vývoje volné částice ($U_0$) jako
\begin{equation}
\psi_{in/out}(\vec{x}, t_{0/f}) = \underbrace{e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_{0/f}^2}{2m} t_{0/f}}}_{U_0(t_{0/f}, 0)} \underbrace{\frac{1}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{\frac{i}{\hbar} \vec{p}_{0/f} \vec{x}}}_{\psi_{in/out}(\vec{x}, 0) \equiv \psi_{in/out} (\vec{x})},\label{eq:faktorizaceRozptyl}
\end{equation}
a vidíme, že k výpočtu kýžené pravděpodobnosti budeme potřebovat objekt, který označíme
\begin{equation}
S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0} = \lim_{t\rightarrow\infty} \braket{\psi_{out}(t)}{\psi_{in}(t)}.
\end{equation}
Za pomoci \eqref{eq:faktorizaceRozptyl} tento maticový element přepíšeme na
\begin{equation}
S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0} = \lim_{t_{0/f}\rightarrow \mp \infty} \brapigket{\psi_{out}}{U_0(0, t_f) U(t_f, t_0) U_0(t_0, 0)}{\psi_{in}}.
\end{equation}
Toto jsou maticové elementy operátoru, který se nazývá \textit{S-matice} nebo \textit{matice/operátor rozptylu}:
\begin{equation}
\hat{S} = \lim_{t \rightarrow \infty} \hat{U}_0 (0,t) \hat{U} (t, -t) \hat{U}_0 (-t, 0),
\end{equation}
který se běžně píše pomocí \textit{Møllerových operátorů}
\begin{align}
\hat{\Omega}^{(+)} &= \lim_{t \rightarrow - \infty} \hat{U} (0, t) \hat{U}_0 (t, 0),\\
\hat{\Omega}^{(-)} &= \lim_{t \rightarrow \infty} \hat{U} (0, t) \hat{U}_0 (t, 0),
\end{align}
jako
\begin{equation}
\hat{S} = \left( \hat{\Omega}^{(-)} \right)^\dagger \left( \hat{\Omega}^{(+)} \right).
\end{equation}
Pokud nyní dáme tohle všechno dohromady, budeme umět počítat různé řády rozvoje S-matice
\begin{eqnarray}
S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0} &=& \brapigket{\vec{p}_f}{\hat{S}}{\vec{p}_0} \notag \\
&=& \lim_{t_{0/f}\rightarrow \mp \infty} \int \overline{\psi_{out}} (\vec{x}, t_f) \propR{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} \psi_{in} (\vec{x_0}, t_0) \dif^3 x \dif^3 x_0 \notag \\
&=& \lim_{t_{0/f}\rightarrow \mp \infty} \int \overline{\psi_{out}}(\vec{x}, t_f) \propU{0}{(+)}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} \psi_{in} (\vec{x_0}, t_0) \dif^3 x \dif^3 x_0 \notag \\
& & - \frac{i}{\hbar} \lim_{t_{0/f}\rightarrow \mp \infty} \int \overline{\psi_{out}} (\vec{x}, t_f)\propU{0}{(+)}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_1}{t_1} V(\vec{x}_1, t_1) \propU{0}{(+)}{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_0}{t_0} \psi_{in} (\vec{x_0}, t_0) \notag \\
& & \dif^3 x \dif^3 x_0 \dif^3 x_1 \dif t_1 + \ldots
\end{eqnarray}
Ukazuje se, že pro explicitní výpočet jednotlivých elementů je výhodné přejít do hybnostní reprezentace, kde
\begin{align}
\psi_{\vec{p}_{0/f}} (\vec{p}, t)&= \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}_{0/f}) e^{- \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} t_{0/f}},\\
\propU{0}{(+)}{\vec{p}_f}{t_f}{\vec{p}_0}{t_0} &= \theta(t_f-t_0) \delta^{(3)} (\vec{p}_f - \vec{p}_0) e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_f^2}{2m} (t_f - t_0)},\\
\widetilde{V}(\vec{p}, t) &\equiv \int \frac{\dif^3 x}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{-\frac{i}{\hbar} \vec{p} \vec{x}} V(\vec{x}, t).
\end{align}
V této reprezentaci za pomoci Bornova rozvoje maticové elementy vyčíslíme jako
\begin{eqnarray}
S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0} & = & \lim_{t_{0/f}\rightarrow \mp \infty} \int \dif^3 p \dif^3 \widetilde{p} \: \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}_f) \exp \left( \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} t_{f} \right) \notag\\
& &\underbrace{\propR{\vec{p}}{t_f}{\vec{\widetilde{p}}}{t_0}}_{\mathrm{rozvinout}} \delta^{(3)} (\vec{\widetilde{p}} - \vec{p}_0) \exp \left( - \frac{i}{\hbar} \frac{\vec{\widetilde{p}}^2}{2m} t_{0} \right) \label{eq:hybnostniS}\\
K^{(+)}(\ldots) & = & \theta(t_f-t_0) \delta^{(3)} (\vec{p}_f - \vec{p}_0) e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}_f^2}{2m} (t_f - t_0)} \notag \\
& & - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t_f} \dif t_1 \int \dif^3 p_1 \dif^3 p_2 \theta(t_f-t_1) \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}_1) \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t_f - t_1)\right)\notag\\
& & \widetilde{V}(\vec{p}_1 - \vec{p}_2, t_1) \theta(t_1-t_0) \delta^{(3)} (\vec{p}_2 - \vec{\widetilde{p}}) \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \frac{\vec{\widetilde{p}}^2}{2m} (t_1 - t_0)\right) + \ldots \label{eq:rozvojS}
\end{eqnarray}
Pokud necháme působit delta funkce přeintegrováním přes $\dif^3 p, \dif^3 \widetilde{p}$ v \eqref{eq:hybnostniS}, odstraníme Heavisideovy funkce díky mezím a nakonec přeintegrujeme v druhém členu \eqref{eq:rozvojS} přes $\dif^3 p_1, \dif^3 p_2$ a zbavíme se tím dalších delta funkcí, dostaneme (bez zapisování limity):
\begin{eqnarray}
S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0} &=& \theta(t_f-t_0) \delta^{(3)} (\vec{p}_f - \vec{p}_0) \label{eq:rozptyl}\\
& & - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t_f} \dif t_1 \exp \left( \frac{i}{\hbar} t_1 \left( \frac{\vec{p}_f^2}{2m} - \frac{\vec{p}_0^2}{2m} \right)\right) \widetilde{V}(\vec{p}_f - \vec{p}_0, t_1) \notag \\
+ \ldots \notag
\end{eqnarray}
tečky odpovídají členům, u kterých už nejde bez znalosti $V$ přeintegrovat přes všechny hybnosti a některé integrace zůstanou.
Tento rozvoj se interpretuje tak, že první člen odpovídá situaci, kdy k žádné interakci nedojde a částice pouze proletí beze změny hybnosti. První člen se tak většinou zapomene a počítá se první netriviální změna - druhý člen rozvoje.
%================================================================================
\subsubsection{Od času k energii}
%================================================================================
Dále je možné, ale v QM ne nutné, provést Fourierovu transformaci v čase. Tento postup je běžný hlavně v QFT a je to tedy příprava na další rok.
Nejprve si potřebujeme připravit vzoreček
\begin{eqnarray}
\int_\mathbb{R} e^{\frac{i}{\hbar} (\omega + i\epsilon)t}\theta(t) \dif t & = & \int_0^\infty e^{\frac{i}{\hbar} (\omega + i\epsilon)t} \dif t = \notag \\
\frac{\hbar}{i (\omega + i\epsilon)} \left[ e^{i(\omega + i\epsilon)t} \right]_0^\infty & = & \frac{-\hbar}{i (\omega + i \epsilon)} = \frac{i}{\omega +i\epsilon}.
\end{eqnarray}
Pokud nyní označíme
\begin{eqnarray}
\widetilde{\widetilde{V}} & = & \int \frac{\dif^3 x \dif t}{(2 \pi \hbar)^4} e^{\frac{i}{\hbar} (Et - \vec{p}\vec{x})} V(\vec{x}, t), \\
\propR{\vec{p}_f}{E_1}{\vec{p}_0}{E_0} &=& \int \dif t_f \dif t_0 e^{\frac{i}{\hbar} E_1 t_f} \propR{\vec{p}_f}{t_f}{\vec{p}_0}{t_0} e^{- \frac{i}{\hbar} E_0 t_0},
\end{eqnarray}
už máme skoro všechno připravené na rozvoj v energii, ještě vyčíslíme explicitně $K_0$ propagátor volné částice. Krátký výpočet s regularizací a použitím odvozeného vzorečku dá
\begin{equation}
\propU{0}{(+)}{\vec{p}_f}{E_1}{\vec{p}_0}{E_0} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}} 2 \pi \hbar \delta^{(3)} (\vec{p}_f - \vec{p}_0) \delta(E_1-E_0) \frac{i \hbar}{E_0 - \frac{\vec{p}_0^2}{2m} + i\epsilon},
\end{equation}
kde limitu z regularizace nemůžeme hned odstranit, protože kdybychom za $E_0$ dosadili, měli bychom problém s divergencí.
$N$-tý člen rozvoje propagátoru nyní dostaneme z upravených Feynmanových diagramů viz. Obr. \ref{fig:energie}.
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=8cm]{feynman4}
\caption{Feynmanovy diagramy v energii}
\label{fig:energie}
\end{figure}
Tentokrát každé \textit{pacce} přiřazujeme dvojici $\vec{p}, E$ a rozvoj propagátoru se získá následovně: za každou úsečku s $\vec{p}, E$ se do integrálu dosadí propagátor
\begin{equation}
\frac{i \hbar}{E - \frac{\vec{p}^2}{2m} + i\epsilon},
\end{equation}
a za každý vrchol se dosadí
\begin{equation}
-\frac{i}{\hbar} \widetilde{\widetilde{V}}(\vec{p}, E),
\end{equation}
kde $\vec{p}$ a $E$ jsou rozdíly hybností a energií sousedních úseček (pacek). Krajním packám diagramu přiřadíme $E_0, \vec{p}_0$ a $E_f, \vec{p}_f$, vnitřním oindexované dvojice. Za $E_0$ a $E_f$ se do integrálu dosadí $\frac{\vec{p}_0^2}{2m}$ a $\frac{\vec{p}_f^2}{2m}$ a přes vnitřní energie a hybnosti se integruje. Po výpočtu integrálu vymizí $\epsilon$, které je k jejich výpočtu potřeba. Typicky k výpočtu budete potřebovat reziduální větu z analýzy.
%================================================================================
\subsubsection{Rozměrová kontrola}
%================================================================================
Je dobré provést kontrolu jednotek v rozvoji \eqref{eq:Krozvoj}, protože jejich správnost není postupem zaručena. Na to je třeba si uvědomit rozměry dvou základních elementů, přímo z jejich definice
\begin{align}
\left[ \psi_p (\vec{x}) \right] &= \left[ \hbar \right]^\frac{-3}{2} = (J s)^\frac{-3}{2}, \\
\left[ \prop{\vec{x}}{t}{\vec{y}}{\tau} \right] &= m^{-3}.
\end{align}
Díky tomu nerozvinutý maticový element má rozměr
\begin{equation}
\left[ S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0} \right] = \frac{\left[ \vec{x} \right]^3}{\left[ \hbar \right]^{\frac{3}{2}2}} = \frac{m^3}{(JS)^3}.
\end{equation}
Nyní už stačí rozepsat rozměry jednotlivých elementů v \eqref{eq:Krozvoj}, abychom viděli
\begin{equation}
\left[ K_N^{(+)}(\ldots) \dif^3 x_0 \dif^3 x_f \bar{\psi} \psi \right] = \frac{1}{(JS)^N} m^{3N} s^N (m^{-3})^{N+1} J^N m^6 (JS)^{-3} = \frac{m^3}{(JS)^3},
\end{equation}
že každý člen rozvoje maticových elementů S-matice má stejný, správný rozměr.
%================================================================================
\subsubsection{Coulombův rozptyl}
%================================================================================
Odvozený vztah \eqref{eq:rozptyl} lze přímo nasadit na Coulombův rozptyl, který nás dovede k Rutherfordově formuli využívané v tzv. \textit{HEIS} metodách (high energy ion scattering) ve spektroskopii.
Již první pohled na \eqref{eq:rozptyl} ukáže, že je potřeba si připravit Fourierovu transformaci Coulombova potenciálu
\begin{equation}
V = \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r},
\end{equation}
bude třeba spočítat
\begin{equation}
\widetilde{V} (\vec{p}, t) = \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\exp \left( - \frac{i}{\hbar} \vec{p}\vec{x} \right)}{(2 \pi \hbar)^3} \frac{1}{r} \dif^3 x.
\end{equation}
To je divergentní integrál a opět ho musíme regularizovat, to provedeme přenásobením vniřku integrálu $e^{-ar}$, $a>0$ a nakonec položíme $a \rightarrow 0$, integraci provedeme ve sférických souřadnicích ve směru $\vec{p}$
\begin{eqnarray}
\widetilde{V} (\vec{p}, t) &=& \left. \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\exp \left( - \frac{i}{\hbar} \vec{p}\vec{x} -ar \right)}{(2 \pi \hbar)^3} \frac{1}{r} \dif^3 x \right|_{a=0} \notag \\
& = &\left. \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 (2 \pi \hbar)^3} \int e^{- \frac{i}{\hbar} p r \cos \theta - ar} r \sin \theta \dif \theta \dif r \dif \varphi \right|_{a=0} \notag \\
& = &\left. \frac{1}{2} \frac{Z e^2}{\epsilon_0 (2 \pi \hbar)^3} \int_0^\pi \underbrace{[\ldots]}_{0} + \frac{1}{a + \frac{i}{h} p \cos \theta} \int_0^\infty e^{-(\frac{i}{\hbar} p \cos \theta + a)r}\dif r \sin \theta \dif \theta \right|_{a=0} \notag \\
& &\vdots \notag \\
& = & \frac{Z e^2 \hbar^2}{\epsilon_0 (2 \pi \hbar)^3 \vec{p}^2}.
\end{eqnarray}
Tento mezivýsledek dosadíme do \eqref{eq:rozptyl} a v integraci přes čas najdeme Fourierovu transformaci jedničky, která dá jako výsledek delta funkci
\begin{eqnarray}
S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0} & = & - \frac{i}{\hbar} \frac{Z e^2 \hbar^2}{\epsilon_0 (2 \pi \hbar)^3 (\vec{p}_f - \vec{p}_0)^2} \int_{t_0}^{t_f} \dif t_1 \exp \left( \frac{i t_1 }{\hbar} \left( \frac{\vec{p}_f^2}{2m} - \frac{\vec{p}_0^2}{2m} \right)\right) \notag \\
& = & \underbrace{- \frac{i}{\hbar} \frac{Z e^2}{\epsilon_0 (2 \pi)^2 (\vec{p}_f - \vec{p}_0)^2}}_{F(\vec{p}_f, \vec{p}_0)} \delta(E_f - E_0).
\end{eqnarray}
Abychom nyní mohli pokračovat, musíme provést další regularizaci tím, že systém uzavřeme do krychle o hraně $L$. Díky tomu můžeme hustotu pravděpodobnosti, že se částice rozptýlí do $\vec{p}_f$ psát jako
\begin{equation}
w_{\vec{p}_f} = \frac{\abs{S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0}}^2}{\braket{\vec{p}_0}{\vec{p}_0}} = \frac{L^3}{(2 \pi \hbar)^3}.
\end{equation}
Náš konečný cíl je závislost účinného průřezu srážky na úhlu měřeném od směru dopadající částice. Z definice účinného průřezu
\begin{equation}
\dif \sigma = \frac{\dif N}{I},\label{eq:prurez}
\end{equation}
kde $\dif N$ je počet částic rozptýlených na jednom jádře a $I$ je intenzita dopadajícího svazku. Celkový počet částic v $\dif N$ a $I$ nebudeme psát, protože se v \eqref{eq:prurez} hned pokrátí. Pokud naší krychli natočíme do správného směru, je intuitivní psát, že na $L^2$ její plochy dopadne za 1 sekundu $\frac{v_0}{L}$ z objemu dopadajících částic, kde $v_0 = \frac{\abs{\vec{p}_0}}{m}$. Tudíž jednotkovou plochou projde za 1 sekundu
\begin{equation}
\frac{\frac{v_0}{L}}{L^2} = \frac{v_0}{L^3},
\end{equation}
částic. Proto $I = T \frac{v_0}{L^3}$ a můžeme dosadit do \eqref{eq:prurez}
\begin{eqnarray}
\dif \sigma & = & \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{\int_0^\infty \abs{S_{\vec{p}_f, \vec{p}_0}}^2 p_f^2 \dif p_f \dif \Omega \frac{(2 \pi \hbar)^3}{L^3}}{T \frac{v_0}{L^3}} \notag\\
& = & \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{(2 \pi \hbar)^3}{T v_0} \int_0^\infty \abs{F(\vec{p}_f, \vec{p}_o)}^2 \delta^2(E_f - E_0) p_f^2 \dif p_f \dif \Omega,
\end{eqnarray}
kde integrujeme ve sférických souřadnicích ve směru $\vec{p}_f$. Narazili jsme na problém, vyskočil na nás kvadrát delta funkce a to není nijak definovaný objekt a musíme si s ním nějak poradit. Uděláme to velmi nekorektně, ale za to heroicky, jednu z delta funkcí nahradíme jejím integrálním vyjádřením \[\delta(E_f - E_0) = \int_\mathbb{R} \frac{e^\frac{i(E_f - E_0)t}{\hbar}}{2 \pi \hbar} \dif t,\] takže dostaneme
\begin{equation}
\delta^2 (E_f - E_0) = \lim_{T \rightarrow \infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{e^\frac{i(E_f - E_0)t}{\hbar}}{2 \pi \hbar} \dif t \delta(E_f - E_0),
\end{equation}
a nyní přijde nekorektní krok, necháme druhou delta funkci působit, aniž bychom ji \textit{přestali psát}
\begin{eqnarray}
\delta^2 (E_f - E_0) & = & \lim_{T \rightarrow \infty} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{e^0}{2 \pi \hbar} \dif t \delta(E_f - E_0) \notag \\
& = & \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{T}{2 \pi \hbar} \delta(E_f - E_0). \label{eq:podvod}
\end{eqnarray}
Radikálnost našeho počínání (snad) ospravedlní výsledek, který bude souhlasit s experimentem. Pokud využijeme našeho podvodu \eqref{eq:podvod}, $\dif \sigma$ můžeme přepsat
\begin{equation}
\dif \sigma = \frac{(2 \pi \hbar)^2}{v_0} \int \abs{F(\vec{p_f}, \vec{p}_0)}^2 \delta(E_f - E_0) p_f^2 \dif p_f \dif \Omega,
\end{equation}
které dál upravíme dosazením za $F$ na
\begin{equation}
\dif \sigma = \frac{(2 \pi \hbar)^2}{v_0} \frac{1}{\hbar^2} \frac{Z^2 e^4}{\epsilon_0^2 (2 \pi)^4} \int_0^\infty \frac{\delta(E_f - E_0)}{(\vec{p}_f - \vec{p}_0)^4} p_f^2 \dif p_f \dif \Omega.
\end{equation}
Tento integrál už skoro umíme vyčíslit, stačí si jen vzpomenout, že jsme sférické souřadnice zavedli ve směru $\vec{p}_f$, takže
\begin{equation}
\left( \vec{p}_f - \vec{p}_0 \right)^2 = p_f^2 + p_0^2 - 2 p_f p_0 \cos \theta \underset{p_f = p_0}{=} 4 p_f^4 \sin^2 \frac{\theta}{2},
\end{equation}
kde poslední rovnost je příprava na působení delta funkce v integrálu.
Ještě si všimneme, že $E_f = \frac{p_f^2}{2m} \rightarrow p_f^2 \dif p_f = m (2 m E_f)^\frac{1}{2} \dif E_f$ a už můžeme integrál přepsat do tvaru, který umíme spočíst
\begin{equation}
\dif \sigma = \frac{Z^2 e^4}{(2 \pi)^2 \epsilon_0^2 v_0} \int_0^\infty \frac{\delta(E_f - E_0) m (2 m E_f)^\frac{1}{2} \dif E_f \dif \Omega}{\left( p_f^2 + p_0^2 - 2 p_f p_0 \cos \theta \right) ^2},
\end{equation}
kde, pokud to není jasné, jsme použili zkrácenou notaci $\abs{\vec{p}_f} \equiv p_f \: \ldots$. Integrál nyní představuje působení delta funkce, přičemž $E_f = E_0 \Rightarrow p_f = p_0$. Dostáváme tak výsledek (po zkrácení $p_0 = m v_0$)
\begin{equation}
\dif \sigma = \frac{Z^2 e^4 \dif \Omega}{64 \pi^2 \epsilon_0^2 m^2 v_0^4 \sin^4 \frac{\theta}{2}},
\end{equation}
který implikuje
\begin{equation}
\frac{\dif \sigma}{\dif \Omega} = \frac{Z^2 e^4}{64 \pi^2 \epsilon_0^2 m^2 v_0^4 \sin^4 \frac{\theta}{2}}.
\end{equation}
Připomínáme, že $\Omega$ je prostorový úhel, kde $\theta$ je úhel mezi $\vec{p}_f$ a $\vec{p}_0$ z toho jak jsme sférické souřadnice zavedli.
To je slavná \textit{Rutherfordova} formule. Svůj název nese po autorovi experimentu, který ukázal rozložení náboje v látce a prosadil planetární model atomu nad pudingovým. Experimenty probíhaly v letech 1909-1914 a první vysvětlení jejich výsledku podal E. Rutherford v roce 1911. Jednalo se o bombardování zlaté folie $\alpha$ částicemi, podle pudingového modelu by se při srážení částice neměly rozptylovat do prostoru (i zpětně), ale pouze mírně vychylovat z původního směru. Zatímco kdyby náboj byl soustředěn v protonovém \textit{jádře}, docházelo by ke zpětným odrazům a i odrazům do různých směrů. Při pohledu na vzoreček, který později dostal jméno Rutherfordův, vidíme, že se Rutherford nespletl se svojí, ryze kinematickou, předpovědí (nezapomínejte, že jsme napsali pouze derivaci účinného průřezu, ne přímo vztah pro průřez samotný). Nutno poznamenat, že sami objevitelé nejprve chtěli pozorovat rozptylování částic na pudingovém modelu, ale detektory za folií ne a ne dávat správné hodnoty (dokonce je kvůli tomu podezřívali, že nefungují), vše se ale napravilo, když detektor umístili před folii i do dalších míst kolem a našli chybějící částice, které se rozptylovaly i zpětně.
V současnosti Rutherfordova formule hraje nezastupitelnou roli ve zmiňovaných \textit{HEIS} spektroskopických metodách. Měřením účinného průřezu srážek v různých prostorových úhlech lze totiž určit protonové číslo látky, kterou bombardujeme a tím i určit její prvkové složení. Při započítání rozptylování na elektronech, lze určit hloubku do které záření v materiálu pronikne v závislosti na energii dopadajícího záření. Tato veličina se nazývá \textit{stopping power} a pro většinu známých materiálů je změřena s přesností na 2\%. Dohromady je tak možné zjistit řadu informací o zkoumaném materiálu.
