Součásti dokumentu 02KVAN2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Tenzorové operátory, Wigner-Eckartův teorém}
\begin{define} \label{MomH:DefLm1m2l}
Mějme ÚMP tvořenou $\hat{A}, \hat{L}^2, \hat{L}_3$ a jí příslušné vlastní vektory $\ket{a,l,m}$ splňujících relace \\
\[
\hat{L}_\pm \ket{a,l,m} = \alpha^{(\pm)}(l,m) \ket{a,l,m \pm 1}.
\]
Pak definujeme
\begin{equation} \label{MomH:DefSymb}
\vec{L}_{m_1m_2}^{(l)} = \brapigket{a,l,m_1}{\vec{L}}{a,l,m_2}
\end{equation}
\end{define}
\begin{remark}
Můžeme si povšimnout, že $\vec{L}_{m_1m_2}^{(l)}$ nezávisí na $a$. To můžeme odůvodnit rozpisem $\vec{L}$ pomocí posunovacích operátorů a jeho dosazením do \eqref{MomH:DefSymb}
\[
\vec{L} = \Biggl( \frac{\hat{L}_+ + \hat{L}_-}{2}, \frac{\hat{L}_+ - \hat{L}_-}{2i}, \hat{L}_3 \Biggr).
\]
\end{remark}
\begin{theorem} \label{TOp:VMnetreba}
Mějme 2 posloupnosti vektorů $\left( \ket{a, l_1, m_1} \right)_{m_1 = -l_1}^{l_1}$;
$\left( \ket{b, l_2, m_2} \right)_{m_2 = -l_2}^{l_2}$ takových, že
\begin{align*}
\hat{\vec{L}} \ket{a, l_1, m_1} &= \sum_{n = -l_1}^{l_1} \vec{L}_{nm_1}^{(l_1)} \ket{a, l_1, n}, \\
\hat{\vec{L}} \ket{b, l_2, m_2} &= \sum_{n = -l_2}^{l_2} \vec{L}_{nm_2}^{(l_2)} \ket{b, l_2, n}.
\end{align*}
Potom platí:
\begin{equation}
\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = \delta_{l_1l_2} \delta_{m_1m_2} F(l_1,l_2,a,b),
\label{TOp:braket}
\end{equation}
\noindent kde $F(l_1,l_2,a,b)$ je neznámá funkce proměnných $l_1,l_2,a,b$ (měli bychom si povšimnout především nezávislosti
pravé strany rovnosti \eqref{TOp:braket} na konkrétních hodnotách $m_1, m_2$).
\end{theorem} \begin{proof}
Z předpokladů věty vyplývá, že
\begin{align*}
\hat{L}_\pm \ket{a, l_1, m_1} &= \alpha^{(\pm)}(l_1,m_1) \ket{a, l_1, m_1 \pm 1}, \quad
m_1 \in \left\{ -l_1 \ldots l_1 \right\},\\
\hat{L}_\pm \ket{b, l_2, m_2} &= \alpha^{(\pm)}(l_2,m_2) \ket{b, l_2, m_2 \pm 1}, \quad
m_2 \in \left\{ -l_2 \ldots l_2 \right\}.
\end{align*}
Využijeme vyjádření $\hat{L}_-\hat{L}_+ = \hat{L}^2 - \hat{L}_3^2 - \hat{L}_3$ (odvozené v \eqref{MomH:PosunOpL2}), tento operátor obložíme následujícím způsobem $\brapigket{a, l_1, m_1}{\hat{L}_-\hat{L}_+}{b, l_2, m_2}$ a pokusíme se najít jeho další vyjádření. Nejdříve necháme působit operátor $\hat{L}_-\hat{L}_+$ na ket $\ket{b,l_2,m_2}$. Získáme tak
\begin{subequations}
\begin{align} \label{TOp:DkL+L-a}
\brapigket{a, l_1, m_1}{\hat{L}_-\hat{L}_+}{b, l_2, m_2} &=
\brapigket{a, l_1, m_1}{\hat{L}^2 - \hat{L}_3^2 - \hat{L}_3}{b, l_2, m_2} = \nonumber \\
&= \Bigl(l_2(l_2+1)-m_2(m_2+1)\Bigr) \braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2},
\end{align}
\noindent kde si můžeme povšimnout, že výraz před výsledný braketem je $(\alpha^{(+)}(l_2,m_2))^2$. Nyní necháme operátor
$\hat{L}_-\hat{L}_+$ působit na bra $\bra{a,l_1,m_1}$, čímž získáme
\begin{align} \label{TOp:DkL+L-b}
\brapigket{a, l_1, m_1}{\hat{L}_-\hat{L}_+}{b, l_2, m_2} &=
\Bigl(l_1(l_1+1)-m_1(m_1+1)\Bigr) \braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = \nonumber \\
&= (\alpha^{(+)}(l_1,m_1))^2 \braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2}.
\end{align}
\noindent Další možností je nechat působit $\hat{L}_-$ na bra $\bra{a,l_1,m_1}$ (dojde ke komplexnímu sdružení) a
$\hat{L}_+$ na ket $\ket{b,l_2,m_2}$. Dostaneme tak
\begin{align} \label{TOp:DkL+L-c}
\brapigket{a, l_1, m_1}{\hat{L}_-\hat{L}_+}{b, l_2, m_2} =
\alpha^{(+)}(l_1,m_1) \alpha^{(+)}(l_2,m_2) \braket{a,l_1,m_1+1}{b,l_2,m_2+1}.
\end{align}
\end{subequations}
\noindent Stejný postup můžeme zopakovat pro $\hat{L}_+\hat{L}_- = \hat{L}^2 - \hat{L}_3^2 + \hat{L}_3$. Dojdeme tak k vyjádřením
\begin{subequations}
\begin{align}
\brapigket{a, l_1, m_1}{\hat{L}_+\hat{L}_-}{b, l_2, m_2} &=
(\alpha^{(-)}(l_2,m_2))^2 \braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} \label{TOp:DkL-L+a} \\
&= (\alpha^{(-)}(l_1,m_1))^2 \braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} \label{TOp:DkL-L+b} \\
&= \alpha^{(-)}(l_1,m_1) \alpha^{(-)}(l_2,m_2) \braket{a,l_1,m_1-1}{b,l_2,m_2-1}. \label{TOp:DkL-L+c}
\end{align}
\end{subequations}
Odečtením \eqref{TOp:DkL+L-b} od \eqref{TOp:DkL+L-a} dostáváme
\begin{equation} \label{TOp:DkOdecteni}
\left( (\alpha^{(+)}(l_2,m_2))^2 - (\alpha^{(+)}(l_1,m_1))^2 \right)
\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = 0,
\end{equation}
\noindent čímž se nám rozpadá řešení na dva podpřípady. S ohledem na nezápornost $\alpha^{(\pm)}(l,m)$ pro všechna $l,m$ je rovnost \eqref{TOp:DkOdecteni} splněna pro
\begin{equation} \label{TOp:DkRovnostAlf}
\alpha^{(+)}(l_2,m_2) = \alpha^{(+)}(l_1,m_1).
\end{equation}
\noindent Pokud jsou oba oba koeficienty různé od nuly, získáváme z rovností \eqref{TOp:DkL+L-b}, \eqref{TOp:DkL+L-c}
\begin{equation} \label{TOp:DkRovnostBraketu}
\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = \braket{a,l_1,m_1+1}{b,l_2,m_2+1}.
\end{equation}
\noindent Pokud jsou oba koeficienty $\alpha^{(+)}(l_2,m_2) = \alpha^{(+)}(l_1,m_1) = 0$, musí nutně na základě definice koeficientů $\alpha^{(\pm)}$ být $l_2=m_2$, $l_1=m_1$. V tomto případě však nemůžeme beztrestně odvodit rovnost \eqref{TOp:DkRovnostBraketu}. Tento případ je třeba dokázat stejným postupem aplikovaným na rovnice \eqref{TOp:DkL-L+a} - \eqref{TOp:DkL-L+c}.
Vraťme se nyní k rovnici \eqref{TOp:DkOdecteni}. Druhou možností pro její vyřešení je
\[
\braket{a,l_1,m_1}{b,l_2,m_2} = 0.
\]
\noindent Za předpokladů $\alpha^{(+)}(l_2,m_2) \neq 0$$, \alpha^{(+)}(l_1,m_1) \neq 0$ plyne z rovností \eqref{TOp:DkL+L-b} a \eqref{TOp:DkL+L-c}
\[
\braket{a,l_1,m_1+1}{b,l_2,m_2+1} = 0.
\]
\noindent podívejme se, co se stane, pokud je BÚNO $\alpha^{(+)}(l_1,m_1) = 0, m_1=l_1$ (případ, kdy oba koeficienty jsou nulové, je již vyřešen). Pak je totiž i rovnost \eqref{TOp:DkL+L-c} triviálně splněna. Na tento případ je třeba znovu použít rovnice \eqref{TOp:DkL-L+a} - \eqref{TOp:DkL-L+c}.
Dokázali jsme zatím, proč je pravá strana rovnosti \eqref{TOp:braket} nezávislá na konkrétních hodnotách $m_1$, $m_2$. Zbývá nám obhájit existenci $\delta_{l_1l_2} \delta_{m_1m_2}$.
Na základě rovností \eqref{TOp:DkRovnostAlf}, \eqref{TOp:DkRovnostBraketu} můžeme psát
\begin{align*}
\Bigl(l_2(l_2+1)-m_2(m_2+1)\Bigr) &= \Bigl(l_1(l_1+1)-m_1(m_1+1)\Bigr) \\
\Bigl(l_2(l_2+1)-(m_2+1)(m_2+2)\Bigr) &= \Bigl(l_1(l_1+1)-(m_1+1)(m_1+2)\Bigr).
\end{align*}
\noindent Odečtením těchto rovnic dostáváme
\[
2(m_1+1)= 2(m_2+1) \Rightarrow m_1 = m_2,
\]
\noindent a zpětným dosazením
\[
l_2(l_2+1) = l_1(l_1+1) \Rightarrow l_1 = l_2.
\]
Tím je však tvrzení věty dokázáno.
\end{proof}
\begin{define} \label{DIrTenzOp}
\textbf{Ireducibilní tenzorový operátor l-tého řádu $\hat{\tenzop}(l)$} je soubor $(2l+1)$ operátorů $(\hat{T}(l,m))_{m=-l}^l$ takových, že
\begin{align} \label{TOp:DefIrTenzOp1}
\komut{\hat{L}_3}{\hat{T}(l,m)} &= m \hat{T}(l,m), \nonumber \\
\komut{\hat{L}_\pm}{\hat{T}(l,m)} &= \alpha^{(\pm)}(l,m) \hat{T}(l,m \pm 1).
\end{align}
\end{define}
\begin{remark}
Podmínky \eqref{TOp:DefIrTenzOp1} lze ekvivalentně zapsat užitím definice \ref{MomH:DefLm1m2l}
\begin{equation} \label{TOp:DefIrTenzOp2}
\komut{\hat{\vec{L}}}{\hat{T}(l,m)} = \sum_{n=-l}^l \vec{L}_{n m}^{(l)} \hat{T}(l,n).
\end{equation}
\end{remark}
\begin{remark}
Často budeme potřebovat počítat \textbf{maticový element operátoru $\hat{T}(k,q)$ v bázích $\ket{a,L,M}, \ket{b,l,m}$}:
$\brapigket{a,L,M}{\hat{T}(k,q)}{b,l,m}$ pro různá $M,m$. V dalším využijeme vlastností $\hat{\vec{L}}$ ke zjednodušení výpočtů výrazů tohoto typu.
\end{remark}
Mějme dvě ÚMP $(\hat{A}, \hat{L}^2, \hat{L}_3)$, $(\hat{B}, \hat{L}^2, \hat{L}_3)$ a vlastní vektory $\ket{a,L,M}$, $\ket{b,l,m}$ vyhovující podmínkám
\begin{align*}
\hat{A} \ket{a,L,M} &= a \ket{a,L,M}, &\hat{B} \ket{b,l,m} &= b \ket{b,l,m}, \\
\hat{L}^2 \ket{a,L,M} &= L(L+1) \ket{a,L,M}, &\hat{L}^2 \ket{b,l,m} &= l(l+1) \ket{b,l,m}, \\
\hat{L}_3 \ket{a,L,M} &= M \ket{a,L,M}, &\hat{L}_3 \ket{b,l,m} &= m \ket{b,l,m}, \\
\komut{\hat{A}}{\hat{\vec{L}}} &= 0, &\komut{\hat{B}}{\hat{\vec{L}}} &= 0.
\end{align*}
Dále mějme $a,L,b,l=const.$ Tím pádem $m \in \left\{ -l, \ldots, l \right\}$, $M \in \left\{ -L, \ldots, L \right\}$. Rovněž mějme definovánu složku ireducibilního tenzorového operátoru $\hat{T}(k,q)$. Upravme vektor
$\hat{\vec{L}} \hat{T} (k,q) \ket{b,l,m}$
\begin{align} \label{TOp:WigEckOdv1}
\hat{\vec{L}} \hat{T} (k,q) \ket{b,l,m} &=
\left( \komut{\hat{\vec{L}}}{\hat{T} (k,q)} + \hat{T} (k,q) \hat{\vec{L}} \right) \ket{b,l,m} = \nonumber \\
&= \sum_{q'=-k}^k \vec{L}_{q'q}^{(k)} \left( \hat{T}(k,q') \ket{b,l,m} \right) +
\sum_{n=-l}^l \vec{L}_{nm}^{(l)} \left( \hat{T}(k,q) \ket{b,l,n} \right).
\end{align}
\noindent Při úpravě bylo užito věty \ref{TOp:VMnetreba} a poznámky u definice \ref{DIrTenzOp}
(rovnost \eqref{TOp:DefIrTenzOp2}). Zavedeme-li označení
\[
\ket{k,q,b,l,m} = \hat{T}(k,q) \ket{b,l,m},
\]
\noindent potom stavy $\ket{k,q,b,l,m}$ se z hlediska komutačních relací s $\hat{\vec{L}}$ chovají stejně jako stavy
$\ket{k,q} \ket{l,m}$ v úloze skládání 2 momentů hybnosti. neboť
\begin{align} \label{TOp:WigEckOdv2}
\hat{\vec{L}} \ket{k,q} \ket{l,m} &= \left( \hat{\vec{L}}_{(1)} \ket{k,q} \right) \ket{l,m} +
\ket{k,q} \left( \hat{\vec{L}}_{(2)} \ket{l,m} \right) = \nonumber \\
&= \sum_{q'=-k}^k \vec{L}_{qq'}^{(k)} \ket{k,q'} \ket{l,m} +
\sum_{n=-l}^l \vec{L}_{nm}^{(l)} \ket{k,q} \ket{l,m},
\end{align}
\noindent kde bylo rovněž použito rovnosti \eqref{TOp:DefIrTenzOp2}. Vidíme, že výrazy \eqref{TOp:WigEckOdv1} a \eqref{TOp:WigEckOdv2} jsou formálně stejné. Označme $\ket{b(k,l),L',M'}$ vlastní vektor operátorů $\hat{L}^2, \hat{L}_3$ splňující
\begin{align*}
\hat{L}^2 \ket{b(k,l),L',M'} &= L'(L'+1) \ket{b(k,l),L',M'}, \\
\hat{L}_3 \ket{b(k,l),L',M'} &= M' \ket{b(k,l),L',M'}.
\end{align*}
Jistě si zaslouží drobnou poznámku člen $b(k,l)$, který ve vektoru $\ket{b(k,l),L',M'}$ vystupuje. V předchozí kapitole jsme používali označení $\ket{l_1,l_2,l,m}$ pro vlastní vektor příslušející čtveřici operátorů
$\hat{\vec{L}}_{(1)}^2, \hat{\vec{L}}_{(2)}^2, \hat{\vec{L}}^2, \hat{L}_3$. Dvojici čísel $l_1,l_2$ přeznačíme na $k,l$
a dále budeme charakterizovat pouze jednou hodnotou $b(k,l)$, která bude zdůrazňovat, že i operátor $\hat{\tenzop}(k)$ hraje ve vektoru $\ket{b(k,l),L',M'}$ roli.
\footnote{Vektor $\ket{b(k,l),L',M'}$, nemá se společnými vlastními vektory trojice operátorů $\hat{A},\hat{L}^2,\hat{L}_3$: $\ket{a,l,m}$ nic společného, ačkoliv se jejich značení může jevit podobné.}
Z rozkladu vektoru $\ket{l_1,l_2,l,m}$ do báze vektorů
$\left\{ \ket{l_1, m_1} \ket{l_2, m_2} \right\}_{m_1\in\left\{-l_1, \ldots, l_1\right\};
m_2\in\left\{-l_2, \ldots, l_2\right\}}$ zavedené v \eqref{MomH:DefCG} užitím CG koeficientů, plyne pro naše vektory rozklad
\[
\ket{b(k,l),L',M'} = \sum_{m=-l}^l \sum_{q=-k}^k (k,l,q,m|L',M')\hat{T}(k,q)\ket{b,l,m},
\]
\noindent k němuž existuje inverzní transformace
\[
\hat{T}(k,q)\ket{b,l,m} = \sum_{L'=|k-l|}^{k+l} \sum_{M'=-L'}^{L'} (k,l,q,m|L',M') \ket{b(k,l),L',M'}.
\]
Vraťme se zpět k maticovému elementu a dosaďme do něj z předchozí rovnosti
\[
\brapigket{a,L,M}{\hat{T}(k,q)}{b,l,m} = (\ket{a,L,M})^+ \left( \sum_{L'=|k-l|}^{k+l} \sum_{M'=-L'}^{L'} (k,l,q,m|L',M')
\ket{b(k,l),L',M'} \right),
\]
\noindent přičemž na základě ortogonality vlastních vektorů je zřejmé, že jediný nenulový člen v celém výraze je člen pro $L=L',M=M'$. Tedy
\begin{equation} \label{TOp:WignerEckart}
\brapigket{a,L,M}{\hat{T}(k,q)}{b,l,m} = (k,l,q,m|L,M) \braket{a,L,M}{b(k,l),L,M},
\end{equation}
kde na základě věty \ref{TOp:VMnetreba} víme, že braket na pravé straně nezávisí na hodnotě $M \in \{-L, \ldots, L\}$, neboť můžeme psát
\[
\braket{a,L,M}{b(k,l),L,M} = F(a,k,l,L).
\]
Rovnost \eqref{TOp:WignerEckart} je matematickým vyjádřením \textbf{Wigner-Eckartova teorému}, který nám umožňuje snadné určování maticových elementů. Známe-li totiž $\brapigket{a,L,M}{\hat{T}(k,q)}{b,l,m}$ pro jednu hodnotu $M,q,m$, známe ho díky Wigner-Eckartovu teorému \eqref{TOp:WignerEckart} i pro libovolné jiné hodnoty, tj. místo $(2L+1)(2l+1)(2k+1)$ výpočtů stačí provést jediný!
Obvyklý způsob zápisu Wigner-Eckartova teorému využívá Wignerovy $3j$-symboly, jejichž vztah mezi CG koeficienty popisuje rovnost \eqref{MomH:Wigner3j}. Platí
\begin{align}
\brapigket{a,L,M}{\hat{T}(k,q)}{b,l,m} &= (-1)^{L-M}
\left( \begin{array}{ccc}
L & K & l \\
-M & q & m
\end{array} \right)
(a,L\left\|\hat{\tenzop}(k)\right\|b,l) = \nonumber \\
&= (-1)^{L+k-l} \frac{(k,l,q,m|L,M)}{(2L+1)^{1/2}}(a,L\left\|\hat{\tenzop}(k)\right\|b,l), \label{TOp:WignerEckart1}
\end{align}
\noindent kde $(a,L\left\|\hat{\tenzop}(k)\right\|b,l)$ se nazývá \textbf{redukovaný maticový element} a je určen levou stranou pro jednu hodnotu $M,q,m$ takovou, že
$\D \left( \begin{array}{ccc}
L & K & l \\
-M & q & m
\end{array} \right) \neq 0$.
Redukovaný maticový element nemá přímý fyzikální význam.
Podívejme se na nejjednodušší příklady tenzorových operátorů.
\begin{enumerate}[$(I)$]
\item \textbf{Skalární operátor}, tj. ireducibilní tenzorový operátor nultého řádu. Podle \eqref{TOp:DefIrTenzOp1} musí skalární
operátor $\hat{\tenzop}(0) \equiv \hat{T}(0,0)$ splňovat
\begin{align*}
\komut{\hat{L}_3}{\hat{T}(0,0)} = 0, \quad \komut{\hat{L}_{\pm}}{\hat{T}(0,0)} = 0,
\end{align*}
\noindent kde první podmínka vlastně znamená, že skalární operátor je invariantní vůči rotaci. Skalární operátor má jeden nenulový maticový element, neboť dle \eqref{TOp:WignerEckart} je
\[
\brapigket{a,L,M}{\hat{T}(0,0)}{b,l,m} = (0,l,0,m|L,M) \braket{a,L,M}{b(0,l),L,M}
\]
\noindent a CG koeficient na pravé straně je nenulový jedině v případě $l=L, m=M$.
\item \textbf{Vektorový operátor}. Kartézské souřadnice vektorového operátoru $\hat{\vec{V}}=$ $(\hat{V}_1,\hat{V}_2,\hat{V}_3)$
vyhovují komutačním relacím
\begin{equation} \label{TOp:KomutVektOp}
\komut{\hat{V}_j}{\hat{L}_k} = i \epsilon_{jkl} \hat{V}_l
\end{equation}
a vzájemně si jednoznačně odpovídají s ireducibilním tenzorovým operátorem prvního řádu
$\hat{\mathbb{T}}(1)=(\hat{T}(1,1),\hat{T}(1,0),\hat{T}(1,-1))$ transformací
\begin{align} \label{TOp:PridruzTenzOp}
\hat{T}(1,1)= - \frac{\hat{V}_1+i\hat{V}_2}{\sqrt{2}}, \quad
\hat{T}(1,0)=\hat{V}_3, \quad
\hat{T}(1,-1)=\frac{\hat{V}_1-i\hat{V}_2}{\sqrt{2}}.
\end{align}
Příkladem vektorového operátoru jsou nám již známé operátory $\hat{\vec{X}}, \hat{\vec{P}}, \hat{\vec{L}}$. Například $\hat{\vec{L}}$ vzájemně odpovídá ireducibilnímu tenzorovému operátoru
\[
\hat{\mathbb{T}}(1) = \Bigl( \hat{T}(1,1),\hat{T}(1,0),\hat{T}(1,-1) \Bigr) =
\left( \frac{-1}{\sqrt{2}}\hat{L}_+ , \hat{L}_3, \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{L}_- \right),
\]
\noindent neboť jsou splněny podmínky \eqref{TOp:DefIrTenzOp1}
\begin{align*}
\komut{\hat{L}_3}{\hat{T}(1,m)} = m \hat{T}(1,m), \quad
\komut{\hat{L}_{\pm}}{\hat{T}(1,m)} = \alpha^{(\pm)}(1,m) \hat{T}(1,m \pm 1),
\end{align*}
\noindent pro všechna $m \in \{ -1, 0, 1 \}$.
\end{enumerate}
\begin{dusl}
Mějme vektorový operátor $\hat{\vec{L}}$ a zkusme určit jeho maticové elementy pro částici v $s$-stavu.
\[
\brapigket{\alpha,0,0}{\hat{\vec{L}}}{\beta,0,0},
\]
kde po dosazení z \eqref{TOp:WignerEckart} vzniknou CG koeficienty tvaru $(1,0,q,0|0,0)$, $q \in \{ -1, 0, 1\}$. Ty jsou všechny identicky rovny nule. To má za důsledek (jak brzy uvidíme), že $s$-stav je neovlivnitelný poruchovou teorií do 1. řádu.
\end{dusl}
\begin{example}
Mějme definován vektorový operátor $\hat{\vec{V}}$ a ireducibilní tenzorový operátor prvního řádu $\hat{\mathbb{T}}(1)$ definován dle \eqref{TOp:PridruzTenzOp}. Pokusíme se najít střední hodnotu první a druhé složky operátoru $\hat{\vec{V}}$ ve stavu popsaném vektorem $\ket{\beta,l,m}$ (hledáme tedy hodnoty součinů $\brapigket{\beta,l,m}{\hat{V}_{1,2}}{\beta,l,m}$). Platí
\begin{align} \label{TOp:VektorNaTenzor}
\hat{V}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\hat{T}(1,-1)-\hat{T}(1,1)\Bigr), \quad
\hat{V}_2 = \frac{i}{\sqrt{2}}\Bigl(\hat{T}(1,-1)+\hat{T}(1,1)\Bigr).
\end{align}
\noindent Potřebujeme zjistit, jak vypadají hodnoty maticových elementů
\[
\brapigket{\beta,l,m}{\hat{T}(1,\pm1)}{\beta,l,m},
\]
\noindent neboť střední hodnoty $\hat{V}_1, \hat{V}_2$ jsou jejich lineární kombinací. Podle Wigner-Eckartova teorému \eqref{TOp:WignerEckart} platí
\[
\brapigket{\beta,l,m}{\hat{T}(1,\pm1)}{\beta,l,m} = (1,l,\pm1,m|l,m) \braket{\beta,l,m}{\beta(1,l),l,m}.
\]
\noindent Jelikož CG koeficienty na pravé straně jsou rovny nule, jsou nulové rovněž hledané střední hodnoty operátorů $\hat{V}_1, \hat{V}_2$.
\end{example}
\begin{theorem} \label{TOp:VZjednodusseniPrikladu}
Mějme dánu ÚMP $(\hat{A}$, $\hat{L}^2$, $\hat{L}_3)$ a k ní příslušející bázi vlastních vektorů
$(\ket{a,l,m})$. Dále mějme dán vektorový operátor $\hat{\vec{V}}$. Potom pro $l \neq 0$ platí
\begin{equation} \label{TOp:WEvzorec}
\brapigket{a,l,m'}{\hat{\vec{V}}}{a,l,m} =
\brapigket{a,l,m'} {\frac {\hat{\vec{L}} \cdot ( \hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}} )} {\hat{L}^2}} {a,l,m}.
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
\noindent Poznamenejme, že operátoru $1/\hat{L}^2$ působí na vektor $\ket{a,l,m}$ způsobem
\[
\frac{1}{\hat{L}^2} \ket{a,l,m} = \frac{1}{l(l+1)} \ket{a,l,m}.
\]
Podívejme se, zda-li spolu nekomutují operátory $\hat{\vec{L}}$ a $\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}}$
\[
\komut{\hat{L}_j}{\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}}} =
\hat{L}_i \komut{\hat{L}_j}{\hat{V}_i} + \komut{\hat{L}_j}{\hat{L}_i} \hat{V}_i.
\]
\noindent Výraz upravíme dále užitím komutačních relací vektorových operátorů \eqref{TOp:KomutVektOp}
\[
\hat{L}_i \komut{\hat{L}_j}{\hat{V}_i} + \komut{\hat{L}_j}{\hat{L}_i} \hat{V}_i =
\hat{L}_i i \epsilon_{jik} \hat{V}_k + i \epsilon_{jik} \hat{L}_k \hat{V}_i =
i \epsilon_{jik}(\hat{L}_i \hat{V}_k + \hat{L}_k \hat{V}_i) = 0.
\]
Víme navíc, že $\frac {\hat{\vec{L}} \cdot ( \hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}} )} {\hat{L}^2}$ je vektorový operátor. Na základě Wigner-Eckartova teorému \eqref{TOp:WignerEckart} stačí rovnost \eqref{TOp:WEvzorec} dokázat pro konkrétní složku $\hat{\vec{V}}$ a pro konkrétní hodnoty $m'$, $m$, pro něž CG koeficient $(1,l,q,m|l,m') \neq 0$. Zvolíme $q=0$, $m=m'=l$. Díky volbě $q=0$ víme, že na místě $\hat{\vec{V}}$ na levé straně rovnosti \eqref{TOp:WEvzorec} můžeme očekávat $\hat{V}_3$. Začneme s úpravou pravé strany. Nejprve využijeme dokázané komutační relace
\[
\brapigket{a,l,l} {\frac {\hat{L}_3 \cdot ( \hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}} )} {\hat{L}^2}} {a,l,l} =
\frac{l}{l(l+1)} \brapigket{a,l,l}{(\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}})}{a,l,l},
\]
kde dále skalární součin operátorů $(\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{V}})$ roznásobíme a komponenty impulsmomentu vyjádříme pomocí posunovacích operátorů $\hat{L}_\pm$
\[
\frac{1}{l+1} \brapigket{a,l,l}{\left(\hat{L}_3\hat{V}_3 + \frac{1}{2}(\hat{L}_+ + \hat{L}_-) \hat{V}_1 +
\frac{1}{2i} ( \hat{L}_+ - \hat{L}_-) \hat{V}_2\right)}{a,l,l}.
\]
\noindent Operátor $\hat{L}_-$ necháme působit na bra $\bra{a,l,l}$ (což dá nulu). Využijeme komutace operátorů $\komut{\hat{L}_3}{\hat{V}_3}$, operátor $\hat{L}_3$ necháme působit a celý výraz roztrhneme na dvě části
\[
\frac{l}{l+1}\brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} + \frac{1}{l+1}\brapigket{a,l,l}{\hat{L}_+
(\frac{1}{2}\hat{V}_1 + \frac{1}{2i}\hat{V}_2)}{a,l,l}
\]
a výraz $\frac{1}{2}\hat{V}_1 + \frac{1}{2i}\hat{V}_2$ převedeme na složky tenzorového operátoru užitím \eqref{TOp:VektorNaTenzor}
\[
\frac{1}{2}\hat{V}_1 + \frac{1}{2i}\hat{V}_2 = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \left[ (\hat{V}(1,-1)-\hat{V}(1,1)) +
(\hat{V}(1,-1)+ \hat{V}(1,1)) \right] = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{V}(1,-1).
\]
\noindent Zpětným dosazením potom dostáváme
\[
\frac{l}{l+1}\brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} + \frac{1}{(l+1)\sqrt{2}}
\brapigket{a,l,l}{\hat{L}_+ \hat{V}(1,-1)}{a,l,l} = \]
\[= \frac{l}{l+1}\brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} + \frac{1}{(l+1)\sqrt{2}}
\brapigket{a,l,l}{\komut{\hat{L}_+}{\hat{V}(1,-1)} + \hat{V}(1,-1) \hat{L}_+}{a,l,l}.
\]
\noindent Působení $\hat{L}_+$ na pravou stranu braketu dává nulu, zatímco komutátor $\komut{\hat{L}_+}{\hat{V}(1,-1)}$ je dle \eqref{TOp:DefIrTenzOp1} roven
\[
\komut{\hat{L}_+}{\hat{V}(1,-1)} = \alpha^{(+)}(1,-1) \hat{V}(1,0)=\sqrt{2} \hat{V}_3.
\]
\noindent Dosazením pak dostáváme
\[
\left( \frac{l}{l+1} + \frac{1}{l+1} \right) \brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l} = \brapigket{a,l,l}{\hat{V}_3}{a,l,l},
\]
\noindent což bylo dokázati. Pomocí Wigner-Eckartova teorému můžeme odůvodnit platnost rovnosti pro všechny složky
\end{proof}
\begin{example}
Uvažujme systém složený ze dvou podsystémů. Máme určit střední hodnotu výsledku měření třetí komponenty impulsmomentu prvního podsystému provedených ve společném vlastním stavu kvadrátu impulsmomentů obou podsystémů, třetí komponenty impulsmomentu celého systému a kvadrátu impulsmomentu celého systému.
\end{example}
Střední hodnota 3. složky impulsmomentu 1. částice je dána maticovým elementem
\[
\brapigket{l_1,l_2;l,m}{\hat{L}_{(1)3}}{l_1,l_2;l,m},
\]
\noindent který užitím věty \ref{TOp:VZjednodusseniPrikladu} přechází na
\[
\brapigket{l_1,l_2;l,m}{\frac{\hat{L}_3 \cdot (\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)})}{\hat{L}^2}}{l_1,l_2;l,m}=
\frac{m}{l(l+1)} \brapigket{l_1,l_2;l,m}{\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)}}{l_1,l_2;l,m},
\]
\noindent kde vyjádřením součinu operátorů $\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)}$ ve tvaru
\[
\hat{\vec{L}} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)} = \frac{1}{2} \left( \hat{L}_{(1)}^2 + \hat{L}^2 -
(\hat{\vec{L}} - \hat{\vec{L}}_{(1)})^2 \right)
\]
\noindent dostáváme hledaný výsledek
\[
\brapigket{l_1,l_2;l,m}{\hat{L}_{(1)3}}{l_1,l_2;l,m} = \frac{m}{2l(l+1)}\left( l_1(l_1+1)+l(l+1)-l_2(l_2+1) \right).
\]
\begin{example}
Užijte Wigner-Eckartova teorému k výpočtu Starkova jevu v poruchové teorii do 1. řádu pro základní a první excitovaný stav elektronu v atomu vodíku.
Starkovým jevem nazýváme rozštěpení spektrálních čar atomu vlivem homogenního vnějšího elektrostatického pole. Elektron atomu vodíku v homogenním elektrostatickém poli $\vec{E}=(0,0,E)$ můžeme popsat hamiltoniánem
\[
\hat{H}= \frac{\hat{\vec{P}}^2}{2m_e} - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 |\hat{\vec{X}}|} + e E \hat{X}_3.
\]
Poslední člen budeme považovat za malou opravu $\hat{H}_0$ popisující atom vodíku bez vnějšího elektrického pole. Vlastní funkce $\hat{H}_0$, které označíme $\ket{n,l,m}$, splňují
\begin{align*}
\hat{H}_0 \ket{n,l,m} &= \frac{-R}{n^2} \ket{n,l,m}, \\
\hat{L}^2 \ket{n,l,m} &= l(l+1) \ket{n,l,m}, \qquad l \in \{0, 1, \dots, n-1 \}, \\
\hat{L}_3 \ket{n,l,m} &= m \ket{n,l,m}, \qquad m \in \{-l, \dots, l \},
\end{align*}
kde $R$ značí Rydbergovu energii, která pro atom vodíku nabývá hodnoty $R \approx 13,6 eV$. $n$ nazýváme hlavní kvantové číslo ($n=1,2,\dots$). Při $n=1$ mluvíme o základním stavu, $n=2$ o 1. excitovaném... Je zřejmé, že mimo základní stav jsou všechny hladiny energie degenerované. Poslední člen hamiltoniánu chápeme jako poruchový člen. Z výše uvedeného plyne nutnost použít poruchové teorie pro degenerované spektrum (viz \cite{hlav:QM}). Dle této teorie je naším úkolem najít matici $\mathbb{B}$ s elementy tvaru
\begin{equation} \label{TOp:StarkElement}
\mathbb{B}_{ij} = \mathbb{B}_{(L,M),(l,m)} = \brapigket{n,L,M}{eE\hat{X}_3}{n,l,m},
\end{equation}
jejíž vlastní hodnoty představují 1. opravy energie.
\footnote{V dalším budeme uvažovat maticový element bez $eE$}
Víme, že k vektorovému operátoru $\hat{\vec{X}}$ existuje ireducibilní tenzorový operátor 1. řádu $\hat{\mathbb{T}}(1)$ tak, že $\hat{X}_3 = \hat{T}(1,0)$ (viz \eqref{TOp:PridruzTenzOp}). Tím máme vše připraveno k nasazení Wigner-Eckartova teorému, jež použijeme zapsaný ve tvaru \eqref{TOp:WignerEckart1}.
Věnujme se nejprve základnímu stavu. Zde máme jediný možný maticový elemet
\[
\brapigket{1,0,0}{\hat{T}(1,0)}{1,0,0} = (1,0,0,0|0,0) (-1) (1,0 \left\|\hat{\tenzop}(1)\right\| 1,0).
\]
Díky nulovosti CG koeficientu na pravé straně můžeme prohlásit, že ke Starkově jevu na základním stavu při poruchové teorie do prvního řádu nedochází.
\footnote{Poruchová teorie do druhého řádu by vedla k rozštěpení energetického hladiny i pro základní stav.}
Přistupme k 1. excitovanému stavu. Zde musíme obdržet matici $4\times4$, neboť ve vlastním vektoru
$\ket{2,l,m}$ musí uspořádaná dvojice
$(l,m) \in \{(0,0),(1,-1),(1,0),(1,1) \}$. Dále o hledané matici předem víme, že bude samosdružená, neboť
\[
\brapigket{n,L,M}{\hat{X}_3}{n,l,m} = \brapigket{n,l,m}{\hat{X}_3}{n,L,M}^\ast.
\]
Využijme opět Wigner-Eckartova teorému k určení maticových elementů
\begin{equation} \label{TOp:StarkExc2}
\brapigket{2,L,M}{\hat{T}(1,0)}{2,l,m} = (1,l,0,m|L,M) \frac{(-1)^{L+1-l}}{(2L+1)^{1/2}}
(2,L \left\|\hat{\tenzop}(1)\right\| 2,l).
\end{equation}
Snadno nalezneme možné hodnoty $(l,m,L,M)$, aby CG koeficinet byl triviálně nenulový. Zůstane nám pět možných kandidátů na nenulový maticový element
\begin{subequations}
\begin{align}
\brapigket{2,1,0}{&\hat{X}_3}{2,0,0}, \label{TOp:StarkKandidat1} \\
\brapigket{2,0,0}{&\hat{X}_3}{2,1,0}, \label{TOp:StarkKandidat2} \\
\brapigket{2,1,-1}{&\hat{X}_3}{2,1,-1}, \label{TOp:StarkKandidat3} \\
\brapigket{2,1,1}{&\hat{X}_3}{2,1,1}, \label{TOp:StarkKandidat4} \\
\brapigket{2,1,0}{&\hat{X}_3}{2,1,0}, \label{TOp:StarkKandidat5}
\end{align}
\end{subequations}
CG koeficient vystupující na pravé straně posledníh maticového elementu je rovněž nulový (již netriviálně). Zbývají nám 4 kandidáti, které musíme napočítat přímo z tvarů vlastních vektorů. Zde jsou jejich explicitní vyjádření
\[
\ket{2,0,0} = \frac{(1-\rho/2) e^{-\rho/2}}{\sqrt{8 \pi a_0^3}}, \quad
\ket{2,1,0} = \frac{\rho e^{-\rho/2} cos(\vartheta)}{\sqrt{32 \pi a_0^3}}, \quad
\ket{2,1,1} = \frac{\rho e^{-\rho/2} sin(\vartheta) e^{i \varphi}}{\sqrt{64 \pi a_0^3}},
\]
kde $a_0$ představuje Bohrův poloměr, $\rho = r/a_0$. Přešli jsme k novým, sférickým souřadnicím
$(x,y,z) \mapsto (r,\vartheta,\varphi)$ s jakobiánem $|\mathscr{J}|=r^2 sin(\vartheta)$. Transformace ovlivnila i operátor
$\hat{X}_3 = r cos(\vartheta)$.
Určeme nyní maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat4} přímo z definice skalárního součinu. Po pečlivém dosazení a úpravě integrandu dostáváme
\[
\brapigket{2,1,1}{\hat{X}_3}{2,1,1} =
\frac{a_0}{64 \pi} \int\limits_{\real^+} d\rho \int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_0^\pi d\vartheta
\rho ^5 e^{-\rho} sin^3(\vartheta) cos(\vartheta) = 0.
\]
To ovšem znamená, že redukovaný maticový element na pravé straně \eqref{TOp:StarkExc2} musí být pro $l=L=1$ nulový. Tím pádem je nulový i maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat3}. Maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat2} určíme stejným postupem
\[
\brapigket{2,0,0}{\hat{X}_3}{2,1,0} =
\frac{a_0}{16 \pi} \int\limits_{\real^+} d\rho \int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_0^\pi d\vartheta
\rho ^4 (1-\rho/2) e^{-\rho} sin(\vartheta) cos^2(\vartheta) = -3a_0
\]
a jelikož maticový element \eqref{TOp:StarkKandidat1} je jeho komplexním sdružením, musí být
\[
\brapigket{2,1,0}{\hat{X}_3}{2,0,0} = -3a_0.
\]
Vraťme se nyní k původní úloze \eqref{TOp:StarkElement} a sepišme naše výsledky do matice
\footnote{Indexaci řádkových a sloupcových prvků můžeme volit dle libosti. Musíme však zachovat stejnou indexaci v řádku a sloupci. V našem příkladě volíme $\{(0,0) \equiv 1,(1,-1) \equiv 2,(1,0) \equiv 3,(1,1) \equiv 4\}$.}
\[
\mathbb{B} = \left( \begin{array}{cccc}
0 & 0 & -3eEa_0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
-3eEa_0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right).
\]
Spektrum obsahuje vlastní čísla $\sigma_{\mathbb{B}} = \{ 0, \pm 3eEa_0 \}$.
Dle poruchové teorie do 1. řádu tedy dojde k rozštěpení prvního excitovaného stavu na 3 energie: $E_0=-R/4$ s degenerací 2 a $E_{1,2}=-R/4 \pm 3eEa_0$, každá s degenerací 1 (podle algebraické násobnosti vlastních čísel matice $\mathbb{B}$).
\footnote{Dospěli jsme k výsledku, který je ve shodě s výsledkem získaným odlišným postupem v \cite{hlav:QM}.}
\end{example}
\begin{remark}
Výhody Wigner-Eckartova bychom docenili až na vyšších excitovaných stavech, popř. při vyšších řádech poruchové teorie. Již při druhém excitovaném stavu by matice $\mathbb{B}$ měla rozměr $9 \times 9$.
\end{remark}
