Součásti dokumentu 02KVAN2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Moment Hybnosti}
Složky operátoru momentu hybnosti budeme definovat následujícím způsobem (drobná změna oproti zimnímu semestru)
\footnote{především jednotka nového momentu hybnosti je nesprávná. Smyslem tohoto zavedení je zjednodušení komutačních relací, jež časem oceníme}
\[
\hat{L}_j = \frac{1}{\hbar} \epsilon_{jkl} \hat{X}_k \hat{P}_l.
\]
Připomeňme komutační relace.
\begin{equation}
\komut{\hat{X}_k}{\hat{P}_l} = i \hbar \delta_{kl} , \quad
\komut{\hat{L}_j}{\hat{L}_k} = i \epsilon_{jkl} \hat{L}_l, \quad
\komut{\hat{L}_j}{\hat{L}^2} = 0,
\label{MomH:RelaceMomH}
\end{equation}
\noindent při jejichž odvozování se s výhodou použijí vzorce
\begin{align} \label{MomH:KomutacniTrik}
\komut{A}{BC} &= ABC - BCA \pm BAC = B \komut{A}{C} + \komut{A}{B} C, \nonumber \\
\komut{AB}{C} &= A \komut{B}{C} + \komut{A}{C} B.
\end{align}
%-----------------------------------------------------------------------
\subsection{Algebraická teorie momentu hybnosti}
Obvykle uvažujeme 2 komutující operátory $\hat{L}^2, \hat{L}_3$ a hledáme jejich společné vlastní vektory. Jejich společný vlastní vektor označíme v jazyce braketového formalizmu ketem $\ket{\lambda , \mu}$. Tento vlastní vektor předpokládejme je normalizován k jedničce: $\braket{\lambda , \mu}{\lambda , \mu} = \opone$. Navíc vlastní čísla odpovídající působení operátorů $\hat{L}^2, \hat{L}_3$ budou splňovat
\begin{equation}
\hat{L}^2 \ket{\lambda , \mu} = \lambda \ket{\lambda , \mu}, \quad
\hat{L}_3 \ket{\lambda , \mu} = \mu \ket{\lambda , \mu},
\label{MomH:VlastniHod}
\end{equation}
Předpokládáme existenci vlastního vektoru $\ket{\lambda , \mu}$ pro jistou dvojici $\lambda , \mu$. Úkolem algebraické teorie momentu hybnosti je zjistit maximum o $\lambda , \mu$ a dalších vlastních vektorech výhradně na základě komutačních relací operátoru momentu hybnosti. V dalších výpočtech využijeme s výhodou posunovacích operátorů.
\[
\hat{L}_\pm = \hat{L}_1 \pm i \hat{L}_2 ,
\]
\begin{equation}
\komut{\hat{L}^2}{\hat{L}_\pm} = 0 , \hspace{10 pt}
\komut{\hat{L}_3}{\hat{L}_\pm} = \pm \hat{L}_\pm , \hspace{10 pt}
\komut{\hat{L}_+}{\hat{L}_-} = 2 \hat{L}_3
\label{MomH:PosunOp}
\end{equation}
Je výhodné vyjádřit operátor $\hat{L}^2$ pomocí posunovacích operátorů $\hat{L}_\pm$ a operátoru $\hat{L}_3$
\begin{align}
\hat{L}^2 &= \hat{L}_3^2 + \frac{1}{4} \left( \hat{L}_+ + \hat{L}_- \right)^2 +
\frac{-1}{4} \left( \hat{L}_+ - \hat{L}_- \right)^2 = \hat{L}_3^2 + \frac{1}{2} \left( \hat{L}_+ \hat{L}_- +
\hat{L}_- \hat{L}_+ \right) = \nonumber \\
&= \hat{L}_3^2 + \hat{L}_+ \hat{L}_- - \hat{L}_3 = \hat{L}_3^2 + \hat{L}_- \hat{L}_+ + \hat{L}_3.
\label{MomH:PosunOpL2}
\end{align}
\noindent Nyní se podíváme, jak se vůči operátorům $\hat{L}^2$ a $\hat{L}_3$ chová vektor $\hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}$. Užijeme komutačních relací posunovacích operátorů \eqref{MomH:PosunOp} a rovností \eqref{MomH:VlastniHod},
\begin{align}
\hat{L}^2 \left( \hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu} \right) &= \hat{L}_\pm \left( \hat{L}^2 \ket{\lambda , \mu} \right) = \lambda
\hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu} \nonumber \\
\hat{L}_3 \left( \hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu} \right) &= \left( \hat{L}_\pm \hat{L}_3 + \komut{\hat{L}_3}{\hat{L}_\pm}
\right) \ket{\lambda , \mu} = \left( \hat{L}_\pm \hat{L}_3 \pm \hat{L}_\pm \right) \ket{\lambda , \mu} = \\
&= \left( \mu \pm 1 \right) \hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}. \nonumber
\label{MomH:PosunOpVl}
\end{align}
Využijeme vyjádření $\hat{L}^2$ pomocí posunovacích operátorů \eqref{MomH:PosunOpL2} k určení normy vektoru
$\hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}$
\begin{align*}
\norm{\hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}}^2 &= \brapigket{\lambda , \mu}{\hat{L}_\pm^+ \hat{L}_\pm}{\lambda , \mu} =
\brapigket{\lambda , \mu}{\hat{L}_\mp \hat{L}_\pm}{\lambda , \mu} =
\brapigket{\lambda , \mu}{\hat{L}^2 - \hat{L}_3^2 \mp \hat{L}_3}{\lambda , \mu} = \\
&= \left( \lambda - \mu^2 \mp \mu \right) \underbrace{ \braket{\lambda , \mu}{\lambda , \mu} }_{=1} \geq 0,
\end{align*}
\noindent jež nám dává podmínku
\begin{equation}
\lambda \geq \mu \left( \mu \pm 1 \right).
\label{MomH:Relace1}
\end{equation}
Rovněž jsme zjistili, že $\hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}$ je vlastní vektor pro $\hat{L}^2$ a $\hat{L}_3 \Leftrightarrow \lambda > \mu \left( \mu \pm 1 \right)$. Působením $\hat{L}_+$ na $\ket{\lambda , \mu}$ získáváme postupně vektory $\ket{\lambda , \mu + 1}, \ket{\lambda , \mu + 2}, \ldots$ Nerovnost \eqref{MomH:Relace1} přechází při $k$-násobném aplikování $\hat{L}_+$ na podmínku $\lambda \geq \left( \mu + k \right) \left( \mu + k + 1 \right)$, kde $k \in \priroz_0, \lambda, \mu = const$. Jelikož pravá strana nerovnosti roste s rostoucím $k$ do $+ \infty$, musí existovat $K_0 \in \priroz$ takové, že $\lambda < \left( \mu + K_0 \right) \left( \mu + K_0 + 1 \right)$. To ovšem znamená, že kvadrát normy vektoru $\ket{\lambda , \mu + K_0}$ je záporný, čemuž musíme předejít. Tento problém se vyřeší, pokud $\exists K \in \priroz: \ket{\lambda , \mu + K} \neq \nulvek \wedge \hat{L}_+ \ket{\lambda , \mu + K} = \nulvek$. \\
Předefinujme $\mu \mapsto \tilde{\mu} = \mu + K$. Vlastní vektor $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}$ splňuje
\[
\hat{L}_3 \ket{\lambda , \tilde{\mu}} = \tilde{\mu} \ket{\lambda , \tilde{\mu}}, \quad
\hat{L}_+ \ket{\lambda , \tilde{\mu}} = \nulvek, \quad
\hat{L}^2 \ket{\lambda , \tilde{\mu}} = \tilde{\mu} \left( \tilde{\mu} + 1 \right) \ket{\lambda , \tilde{\mu}}, \\
\]
\noindent z čehož na základě komutačních relací \eqref{MomH:VlastniHod} plyne
\begin{equation}
\lambda = \tilde{\mu} \left( \tilde{\mu} + 1 \right).
\label{MomH:AlgTHL+}
\end{equation}
Postup zopakujeme pro operátor $\hat{L}_-$ a vektor $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}$. Působením $\hat{L}_-$ na $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}$ získáváme posloupnost vektorů $\ket{\lambda , \tilde{\mu} - 1}, \ket{\lambda , \tilde{\mu} - 2}, \ldots$ Po $k$-násobném aplikování $\hat{L}_-$ na $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}$ získáváme vektor $\ket{\lambda , \tilde{\mu} - k}$. Nerovnost \eqref{MomH:Relace1} pro vektor $\ket{\lambda , \tilde{\mu} - k}$ je tvaru $\lambda \geq \left( \tilde{\mu} - k \right) \left( \tilde{\mu} - k - 1 \right)$, kde $k \in \priroz_0, \lambda, \tilde{\mu} = const$. Znovu si můžeme povšimnout, že pravá strana této nerovnosti jde v limitě s $k$ do $+ \infty$. Musí proto existovat $\tilde{K}_0 \in \priroz: \lambda < ( \tilde{\mu} - \tilde{K}_0 ) ( \tilde{\mu} - \tilde{K}_0 - 1 )$.
Pro $\tilde{K}_0$ je však kvadrát normy vektoru $\ket{\lambda , \tilde{\mu} - \tilde{K}_0}$ opět záporný.
Aby tento případ nenastal, budeme požadovat, aby $\exists \tilde{K} \in \priroz:$
$(\ket{\lambda , \tilde{\mu} - \tilde{K}} \neq \nulvek) \wedge$ \\
$(\hat{L}_- \ket{\lambda , \tilde{\mu} - \tilde{K}} = \nulvek) $. Poslední rovnost je možno s užitím \eqref{MomH:Relace1} a \eqref{MomH:AlgTHL+} použít k vyjádření $\tilde{K}$
\[
\lambda = \tilde{\mu} \left( \tilde{\mu} + 1 \right) = \left( \tilde{\mu} - \tilde{K} \right)
\left( \tilde{\mu} - \tilde{K} - 1\right),
\]
\noindent což je kvadratická rovnice pro $\tilde{K}$ mající dvě řešení
\begin{equation}
\tilde{K} =
\begin{cases}
2 \tilde{\mu} \\
-1 \quad \text{(nevyhovuje)}.
\end{cases}
\label{MomH:AlgTHL-}
\end{equation}
Získali jsme tak posloupnost vlastních vektorů $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}, \ket{\lambda , \tilde{\mu} - 1},
\ldots, \ket{\lambda , - \tilde{\mu}}; 2 \tilde{\mu} \in \priroz_0.$ Mimoto jsme rovněž ukázali, jak vypadá (bodové) spektrum operátoru $\hat{L}^2$. Zaměníme-li značení $(\lambda, \mu) \mapsto (l(l+1), m)$, můžeme shrnout naše výsledky.
\[
\sigma_P ( \hat{L}^2 ) \subset \left\{ l \left( l + 1 \right) | 2l \in \priroz_0 \right\}.
\quad \text{Pro pevně zvolené $l$ navíc}
\] \begin{align*}
\braket{l,m}{l,m} &= \opone, \\
\hat{L}^2 \ket{l,m} &= l (l+1) \ket{l,m}, \\
\hat{L}_3 \ket{l,m} &= m \ket{l,m}, \quad m \in \left\{ -l, l+1, \ldots, l \right\}.
\end{align*}
U posunovacích operátorů jsme se zatím nezabývali normalizací vznikajících vektorů. Předpokládejme existenci normalizovaného vektoru $\ket{l,m}$ ($\braket{l,m}{l,m} = 1$). Potom norma
\[
\norm{\hat{L}_\pm \ket{l , m}}^2 = \brapigket{l , m}{\hat{L}_\mp \hat{L}_\pm}{l , m} =
\Bigl( l (l + 1) - m (m \pm 1) \Bigr) \braket{l,m}{l,m},
\]
\noindent z čehož plyne
\[
\hat{L}_\pm \ket{l , m} = \sqrt{l (l + 1) - m (m \pm 1)} \ket{l , m \pm 1}.
\]
\noindent Pro koeficient před vektorem $\ket{l , m \pm 1}$ budeme dále užívat značení
\begin{equation} \label{MomH:alpha}
\alpha^{(\pm)}(l,m) = \sqrt{l (l + 1) - m (m \pm 1)}
\end{equation}
Můžeme si povšimnout, že koeficinet $\alpha^{(\pm)}(l,m)$ není určen jednoznačně. Je možno mu připsat jakoukoliv fázi $e^{i \varphi}; \varphi \in \real$, která jeho normu nijak nezmění. Budeme však používat standardizované značení (Condon-Shortley), které s uvedenými hodnotami $\alpha^{(\pm)} (l,m)$ koresponduje.
%------------------------------------------------------------
\subsection{Skládání dvou nezávislých momentů hybnosti}
Mějme systém se dvěma na sobě nezávislými momenty hybnosti $\hat{\vec{L}}_{(1)}, \hat{\vec{L}}_{(2)}$. Příkladem může být orbitální moment + spin, nebo dvě částice bez spinu. Operátory momentů hybnosti nechť splňují komutačním relace
\[
\komut{ \hat{L}_{ (1)j } }{ \hat{L}_{ (1)k } } = i \epsilon _{jkl} \hat{L}_{(1)l} , \quad
\komut{\hat{L}_{(2)j}}{\hat{L}_{(2)k}} = i \epsilon _{jkl} \hat{L}_{(2)l} , \quad
\komut{\hat{L}_{(1)j}}{\hat{L}_{(2)k}} = 0.
\]
Předpokládáme, že v námi uvažovaném podprostoru Hilbertova prostoru tvoří $\hat{\vec{L}}_{(1)}^2$, $\hat{\vec{L}}_{(2)}^2$, $\hat{L}_{(1)3}$, $\hat{L}_{(2)3}$ ÚMP. Společné vlastní vektory této čtveřice operátorů $\ket{\psi}$ budeme charakterizovat dvojicí ketů
\[
\ket{\psi} = \ket{l_1, m_1} \ket{l_2, m_2} = \ket{l_1, m_1} \otimes \ket{l_2, m_2},
\]
\noindent splňujících
\begin{align*}
\hat{\vec{L}}_{(1)}^2 \ket{\psi}&= l_1 (l_1 + 1) \ket{\psi},&
\hat{\vec{L}}_{(2)}^2 \ket{\psi}&= l_2 (l_2 + 1) \ket{\psi},& \\
\hat{L}_{(1)3} \ket{\psi}&= m_1 \ket{\psi},&
\hat{L}_{(2)3} \ket{\psi}&= m_2 \ket{\psi}.&
\end{align*}
Na tomtéž podprostoru lze vybrat i jinou fyzikálně významnou množinu komutujících pozorovatelných. Podíváme se na operátor
$\hat{\vec{L}}^2$
\begin{align*}
\hat{\vec{L}}^2 &= ( \hat{\vec{L}}_{(1)} + \hat{\vec{L}}_{(2)} )^2 = \hat{\vec{L}}_{(1)}^2 + \hat{\vec{L}}_{(2)}^2 +
\hat{\vec{L}}_{(1)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(2)} + \hat{\vec{L}}_{(2)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)} = \\
&= \hat{\vec{L}}_{(1)}^2 + \hat{\vec{L}}_{(2)}^2 + 2\hat{\vec{L}}_{(1)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(2)},
\end{align*}
\noindent v němž dále užitím posunovacích operátorů upravíme výraz $\hat{\vec{L}}_{(1)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(2)}$
\begin{align*}
&\hat{\vec{L}}_{(1)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(2)} =
\hat{L}_{(1)3} \hat{L}_{(2)3} +
\frac{1}{4}(\hat{L}_{(1)+} + \hat{L}_{(1)-})(\hat{L}_{(2)+} + \hat{L}_{(2)-}) - \\
&\qquad- \frac{1}{4}(\hat{L}_{(1)+} - \hat{L}_{(1)-})(\hat{L}_{(2)+} - \hat{L}_{(2)-}) =
\hat{L}_{(1)3} \hat{L}_{(2)3} + \frac{1}{2} (\hat{L}_{(1)+} \hat{L}_{(2)-} + \hat{L}_{(1)-} \hat{L}_{(2)+}).
\end{align*}
Hledané vyjádření operátoru $\hat{\vec{L}}^2$ je tedy
\begin{equation}
\hat{\vec{L}}^2 = \hat{\vec{L}}_{(1)}^2 + \hat{\vec{L}}_{(2)}^2 + 2 \hat{L}_{(1)3} \hat{L}_{(2)3} +
\hat{L}_{(1)+} \hat{L}_{(2)-} + \hat{L}_{(1)-} \hat{L}_{(2)+},
\label{MomH:DveCL2}
\end{equation}
\noindent Ze získaného rozpisu $\hat{\vec{L}}^2$ by mělo být zkušenému komutáři po chvilce zřejmé, že operátory $\hat{\vec{L}}_{(1)}^2$, $\hat{\vec{L}}_{(2)}^2$, $\hat{\vec{L}}^2$,
$\hat{L}_3 (= \hat{L}_{(1)3} + \hat{L}_{(2)3})$ tvoří druhý systém vzájemně komutujících operátorů. Označme
$\ket{l_1, l_2; l, m}$ jejich společný vlastní vektor splňující relace
\begin{align} \label{MomH:Komut21}
\hat{\vec{L}}_{(1)}^2 \ket{l_1, l_2; l, m}& = l_1 (l_1 + 1) \ket{l_1, l_2; l, m},&
\hat{\vec{L}}_{(2)}^2 \ket{l_1, l_2; l, m}& = l_2 (l_2 + 1) \ket{l_1, l_2; l, m},& \nonumber \\
\hat{\vec{L}}^2 \ket{l_1, l_2; l, m}& = l (l + 1) \ket{l_1, l_2; l, m},&
\hat{L}_3 \ket{l_1, l_2; l, m}& = m \ket{l_1, l_2; l, m}.&
\end{align}
Pro dané $l_1, l_2 \in \priroz_0$ tvoří $\left\{ \ket{l_1, m_1} \ket{l_2, m_2} \right\}$ bázi $(2l_1 + 1)(2l_2 + 1)$-dimenzionálního podprostoru $\hilbert_{l_1l_2} \subset \subset \hilbert$. Ukážeme, jakých hodnot mohou pro dané $l_1, l_2$ nabývat $l, m$ ($\left\{ \ket{l_1, l_2; l, m} \right\}$ tvoří též bázi $\hilbert_{l_1l_2}$) a jak lze najít transformaci převádějící jednu bázi na druhou. Začneme s vektorem $\ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2}$. Využijeme rozpisu $\hat{\vec{L}}^2$ pomocí \eqref{MomH:DveCL2}
\begin{align} \label{MomH:Komut22}
\hat{\vec{L}}^2 \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} &=
\Bigl( \hat{\vec{L}}_{(1)}^2 + \hat{\vec{L}}_{(2)}^2 + 2 \hat{L}_{(1)3} \hat{L}_{(2)3} +
\overbrace{\hat{L}_{(1)+} \hat{L}_{(2)-} + \hat{L}_{(1)-} \hat{L}_{(2)+}}^{\text{působením dává nulu kvůli } L_+} \Bigr)
\ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} = \nonumber \\
&= \Bigl(l_1 (l_1 + 1) + l_2 (l_2 + 1) + 2 l_1 l_2 \Bigr) \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} = \nonumber \\
&= (l_1 + l_2)(l_1 + l_2 + 1)\ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2}, \nonumber \\
\hat{L}_3 \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} &= (l_1 + l_2) \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2}.
\end{align}
Položme
\begin{equation}
\ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2} = \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2}.
\label{MomH:VztahKetu1}
\end{equation}
Na tuto rovnost budeme aplikovat operátor $\hat{L}_- = \hat{L}_{(1)-} + \hat{L}_{(2)-}$. Ve výpočtu použijeme koeficient $\alpha^{(-)} (l,m)$ definovaný v \eqref{MomH:alpha}.
\begin{align*}
&\hat{L}_- \ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2} = \alpha^{(-)} (l_1 + l_2, l_1 + l_2)
\ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2 - 1}, \\
&\hat{L}_- \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} = \alpha^{(-)} (l_1,l_1) \ket{l_1, l_1 - 1} \ket{l_2, l_2} +
\alpha^{(-)} (l_2,l_2) \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2 - 1},
\end{align*}
odkud dosazením za $\alpha^{(-)}(l,m)$ a porovnáním pravých stran získáváme
\begin{equation} \label{MomH:VztahKetu2}
\ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2 - 1} = \sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1 - 1} \ket{l_2, l_2} +
\sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2 - 1}.
\end{equation}
Snadno můžeme vytvořit vektor ortogonální k vektoru \eqref{MomH:VztahKetu2}. Jeho rozklad do báze prostoru
$\left\{ \ket{l_1, m_1} \ket{l_2, m_2} \right\}$ bude tvaru
\[
-\sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1 - 1} \ket{l_2, l_2} +
\sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2 - 1},
\]
čemuž by měl odpovídat vektor z báze $\left\{ \ket{l_1, l_2; l, m} \right\}$, pro který musí platit $m=m_1+m_2$ a
$m \in \{ -l, \ldots, l \}$. To však může splnit jediný vektor
\begin{equation} \label{MomH:VztahKetu3}
\ket{l_1, l_2, l_1+l_2-1, l_1+l_2-1} = - \sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1 - 1} \ket{l_2, l_2} +
\sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2 - 1}.
\end{equation}
Opětovnou aplikací operátoru $\hat{L}_-$ na obě strany rovností
\eqref{MomH:VztahKetu2} a \eqref{MomH:VztahKetu3} dostáváme na levé straně vektory
$\ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2 - 2}$, $\ket{l_1, l_2; l_1 + l_2 - 1, l_1 + l_2 - 2}$
a na pravých stranách lineární kombinace vektorů
\[
(\ket{l_1,l_1-2}\ket{l_2,l_2}), (\ket{l_1,l_1-1}\ket{l_2,l_2-1}), (\ket{l_1,l_1}\ket{l_2,l_2-2}),
\]
k nimž je možno vytvořit vektor třetí způsobem,
že vzniklá trojice vektorů je vzájemně ortogonální. Tyto vektory budou v bázi
$\left\{ \ket{l_1, l_2; l, m} \right\}$ reprezentovat vektory
\[
(\ket{l_1, l_2; l_1+l_2, l_1+l_2-2}), (\ket{l_1, l_2; l_1+l_2-1, l_1+l_2-2}),
(\ket{l_1, l_2; l_1+l_2-2, l_1+l_2-2}).
\]
Operátor $\hat{L}_-$ bychom mohli dále aplikovat na vzniklé vektory, avšak bude nás spíše zajímat otázka, do kdy tak můžeme činit?
Je zřejmé, že stupeň degenerace $N_n$ vlastní hodnoty
\begin{equation} \label{MomH:VlastniHodnoty2}
m = l_1 + l_2 - n, \quad n=0,1,\ldots,l_1+l_2
\end{equation}
operátoru $\hat{L}_3$ v prostoru $\hilbert_{l_1l_2}$ je roven počtu uspořádaných dvojic vlastních hodnot $(m_1, m_2)$ operátorů $\hat{L}_{3(1)}$, $\hat{L}_{3(2)}$, pro něž
\[
m_1 + m_2 = l_1 + l_2 - n.
\]
Snadno nalezneme, že takových dvojic je
\[
N_n = 1 + min(n,2l_1,2l_2).
\]
Tedy všechny vlastní hodnoty \eqref{MomH:VlastniHodnoty2}, pro něž je
\[
n \geq 2 min(l_1,l_2),
\]
mají stupeň degenerace stejný, a to
\[
N=1+2 min(l_1,l_2)=1+l_1+l_2-|l_1-l_2|.
\]
Odtud je již zřejmé, že výše naznačený postup konstrukce vektorů opakovaným působením posunovacího operátoru $\hat{L}_-$ lze opakovat právě $N$-krát. Číslo $l$ tedy nabývá $N$ různých hodnot
\[
l=l_1+l_2,l_1+l_2-1,\ldots,|l_1-l_2|
\]
a při pevném $l$ probíhá číslo $m$ pravě $(2l+1)$ hodnot $m \in \{ -l, \ldots, l \}$.
Celkový počet takto zkonstruovaných vektorů je roven (předpokládejme BÚNO $l_1 > l_2$)
\[
\sum_{n=l_1-l_2}^{l_1+l_2}(2n+1)=(2l_1+1)(2l_2+1),
\]
a tedy vektory $\ket{l_1,l_2;m,l}$ tvoří ortogonální bázi prostoru $\hilbert_{l_1l_2}$. Tato báze souvisí unitární transformací s bází tvořenou vektory $\ket{l_1,m_1}\ket{l_2,m_2}$
\begin{equation} \label{MomH:DefCG}
\ket{l_1, l_2; l, m} = \sum_{m_1=-l_1}^{l_1} \sum_{m_2=-l_2}^{l_2}
\underbrace{(l_1,l_2,m_1,m_2|l,m)}_{\text{CG koeficienty}} \ket{l_1,m_1} \ket{l_2,m_2}
\end{equation}
Koeficienty lineární kombinace se nazývají \textbf{Clebsch-Gordanovy (CG) koeficienty} a budeme pro ně užívat výše zavedené značení. Z \eqref{MomH:VztahKetu1}, \eqref{MomH:VztahKetu2} a \eqref{MomH:VztahKetu3} můžeme hned psát hodnoty 5 CG koeficientů.
\begin{subequations}
\begin{align}
(l_1,l_2, l_1, l_2| l_1+l_2, l_1+l_2) &= 1 \label{MomH:CG1} \\
(l_1,l_2, l_1-1, l_2| l_1+l_2, l_1+l_2-1) &= \sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}} \label{MomH:CG2} \\
(l_1,l_2, l_1, l_2-1| l_1+l_2, l_1+l_2-1) &= \sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} \label{MomH:CG3} \\
(l_1,l_2, l_1-1, l_2| l_1+l_2-1, l_1+l_2-1) &= - \sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} \label{MomH:CG4} \\
(l_1,l_2, l_1, l_2-1| l_1+l_2-1, l_1+l_2-1) &= + \sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}}. \label{MomH:CG5}
\end{align}
\end{subequations}
Je dobré si uvědomit \textbf{obecné vlastnosti CG koeficientů}
\begin{enumerate}
\item
CG koeficienty lze vybrat reálné \\
\item
$ \D
\sum_{l,m} (l_1,l_2,m_1,m_2|l,m) (l_1,l_2,\tilde{m_1},\tilde{m_2}|l,m) =
\delta_{m_1\tilde{m_1}} \delta_{m_2\tilde{m_2}}
$
\item
$ \D
\sum_{m_1,m_2} (l_1,l_2,m_1,m_2|l,m) (l_1,l_2,m_1,m_2|\tilde{l},\tilde{m}) =
$ \[
\qquad \qquad \qquad =
\begin{cases}
\delta_{l\tilde{l}} \delta_{m\tilde{m}} \quad \text{pro} \quad
l,\tilde{l} \in \left\{ |l_1 - l_2| , \ldots , l_1 + l_2 \right\} \\
0 \qquad \qquad \text{jinak}
\end{cases}
\]
\item
$ \D
(l_1,l_2,m_1,m_2|l,m) = 0 \quad \text{pokud} \quad
(m \neq m_1 + m_2) \vee (l \notin \left\{ |l_1 - l_2| , \ldots , l_1 + l_2 \right\})
$
\item
$ \D
\alpha^{(-)} (l,m) (l_1,l_2,m_1,m_2|l,m-1) = \alpha^{(+)} (l_1,m_1+1) (l_1,l_2,m_1+1,m_2|l,m) + \\
\text{ } \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \alpha^{(+)} (l_2,m_2+1) (l_1,l_2,m_1,m_2+1|l,m) \\
\alpha^{(+)} (l,m) (l_1,l_2,m_1,m_2|l,m+1) = \alpha^{(-)} (l_1,m_1-1) (l_1,l_2,m_1-1,m_2|l,m) + \\
\text{ } \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \alpha^{(-)} (l_2,m_2-1) (l_1,l_2,m_1,m_2-1|l,m)
$
\end{enumerate}
Navíc existuje inverzní transformace k unitární transformaci \eqref{MomH:DefCG}, kterou je možno zapsat ve tvaru
\begin{equation} \label{MomH:DefCGInverzni}
\ket{l_1,m_1} \ket{l_2,m_2} = \sum_{l=|l_1-l_2|}^{l_1+l_2} \sum_{m=-l}^{l}
(l_1,l_2,m_1,m_2|l,m) \ket{l_1, l_2; l, m}.
\end{equation}
V literatuře je možno kromě CG koeficientů najít i \textbf{Wignerovy $3j$-symboly}, jejich výhodou je větší symetrie při rozkladech. Mezi CG koeficienty a Wignerovými $3j$-symboly existuje převodní vzorec. V dalším výkladu však budeme pracovat výhradně s CG koeficienty.
\begin{equation} \label{MomH:Wigner3j}
\left( \begin{array}{ccc}
j_1 & j_2 & j_3 \\
m_1 & m_2 & m_3
\end{array} \right)
= \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{(2j_3+1)^{1/2}} (j_1, j_2, m_1, m_2| j_3, -m_3)
\end{equation}
\begin{example}
Pro pevně dané $l_1 = l_2 = \pul$ napočítejte všechny nenulové CG koeficienty.
\end{example}
Hodnoty $m_1, m_2, m, l$ musí splňovat podmínky
\begin{align*}
l \in \left\{ |l_1 - l_2| , \ldots , l_1 + l_2 \right\} = \left\{ 0; 1 \right\}, \quad
m \in \left\{ -l , \ldots , l \right\} = \left\{ -1; 0; 1 \right\} \\
m_1 \in \left\{ -l_1 , \ldots , l_1 \right\} = \left\{ -\pul; \pul \right\}, \quad
m_2 \in \left\{ -\pul; \pul \right\}, \quad
m = m_1 + m_2.
\end{align*}
Tyto podmínky určují, jaké CG koeficienty má smysl počítat. Následující CG koeficienty $(l_1,l_2,m_1,m_2|l,m)$ můžeme určit přímo užitím \eqref{MomH:CG1}-\eqref{MomH:CG3}
\begin{subequations}
\begin{align}
&(\pul,\pul,\pul,\pul|1,1) = 1 \label{MomH:PrikladCG1} \\
&(\pul,\pul,-\pul,\pul|1,0) = \sqrt{\frac{\pul}{\pul+\pul}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \label{MomH:PrikladCG2} \\
&(\pul,\pul,\pul,-\pul|1,0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \label{MomH:PrikladCG3}
\end{align}
\end{subequations}
Stejným způsobem užitím \eqref{MomH:CG4},\eqref{MomH:CG5}
\begin{align*}
&(\pul,\pul,-\pul,\pul|0,0) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
&(\pul,\pul,\pul,-\pul|0,0) = +\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{align*}
Zbývá určit koeficient $(\pul,\pul,-\pul,-\pul|1,-1)$. Z již určených CG koeficientů \eqref{MomH:PrikladCG2}, \eqref{MomH:PrikladCG3} plyne rozklad
\[
\ket{\pul,\pul;1,0} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, -\pul} \ket{\pul, \pul} +
\frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, \pul} \ket{\pul, -\pul},
\]
\noindent na jehož obě strany aplikujeme operátor $\hat{L}_-$
\begin{align*}
&\hat{L}_- \ket{\pul,\pul;1,0} = \alpha^{(-)} (1,0) \ket{\pul,\pul;1,-1} \\
&\hat{L}_- (\frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, -\pul} \ket{\pul, \pul} +
\frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, \pul} \ket{\pul, -\pul}) = \\
&\quad = \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, -\pul} \alpha^{(-)}(\pul,\pul)
\ket{\pul, -\pul} + \frac{1}{\sqrt{2}} \alpha^{(-)}(\pul,\pul)
\ket{\pul, -\pul} \ket{\pul, -\pul} \\
\end{align*}
\noindent odkud dosazením $\alpha^{(-)} (1,0) = \sqrt{2}$; $\alpha^{(-)}(\pul,\pul) = 1$ a porovnáním pravých stran dostáváme
\[
\ket{\pul,\pul;1,-1} = \ket{\pul, -\pul} \ket{\pul, -\pul}.
\]
Z posledního řádku plyne (přímo z definice CG koeficientů \eqref{MomH:DefCG}) hodnota posledního neurčeného CG
\[
(\pul,\pul,-\pul,-\pul|1,-1) = 1
\]
Uvedený postup sloužil pouze pro ilustraci metodiky, jež je třeba nasadit na výpočet CG koeficientů pro vyšší hodnoty $l_1, l_2$ - to si na cvičení bohatě užijete. Tabulku a vlastnosti CG koeficientů lze najít ve Formánkovi \cite{for:ukt}, kam se doporučujeme podívat.
%------------------------------------------------------------------
