Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Ireducibilní konečněrozměrné reprezentace}
\Def{ Váhy
\begin{itemize}
\item \emph{Váha reprezentace $\rho$} (na vekt. prostoru $V$) algebry $\h$ je $\lambda \in \h^\#$, pro které $(\exists 0\neq v \in V)(\forall H \in \g_0)(\rho(H) v=H\cdot v=\lambda (H) v)$.
\item \emph{Váhový podprostor} (odpovídající váze $\lambda$) je $V_\lambda = \{v \in V | H \cdot v = \lambda (H) v, \forall H \in \g_0 \}$.
\item Váha je \emph{dominantní} $\Leftrightarrow$ $\lambda (T_\alpha ) \ge 0$, $\forall \alpha \in \Delta^+$.
\end{itemize}
}
\Pzn{
Pro adjugovanou reprezentaci ($\rho=\ad$) jsou váhy kořeny.
}
\Def{
\emph{Mřížka} $\Js= \{\lambda \in \h^\# |\lambda (T_\alpha ) \in \Z, \forall \alpha \in \Delta \}$.
}
\Pzn{
Mřížka je podgrupou $\h^\#$, její báze jsou $\lambda_i \in \h^\#$, pro které $\lambda_i(T_{\alpha_j})=\delta_{ij}$, kde $\Delta^p = \{\alpha_1 , \alpha_2 , \dots , \alpha_{\# \Delta^p} \}$.
}
Pro $\lambda_1,\lambda_2 \in \Js$, $m_1,m_2 \in \Z$ je i $\sum_{i=1}^2 m_i \lambda_i \in \Js$.
\Pzn{
$\Ws$ je generována $S_\alpha (\lambda )=\lambda - \lambda (T_\alpha ) \alpha$, $\alpha \in \Delta$.
}
\Vet{
Buď $\rho$ reprezentace poloprosté $\g$. Pak její váhy leží v~$\Js$, $V=\bigoplus_{\lambda \in \Js}V_\lambda$. Množina vah je invariantní vzhledem k~$\Ws$. Je-li $\lambda$ váha, $\epsilon = \mrm{sgn} \lambda (T_\alpha )$, pak $\{\lambda -\epsilon j \alpha \}_{j=0}^{\lambda (T_\alpha )}$ jsou váhy $\forall \alpha \in \Delta$. Dále platí $m_\lambda \equiv \dim V_\lambda = \dim V_{S(\lambda )} $, $\forall S \in \Ws$.
}
\Def{
$\lambda$ je \emph{nejvyšší váha} reprezentace $\rho$, právě když $\lambda + \alpha$ není vahou reprezentace $\rho$ $\forall \alpha \in \Delta^+$.
}
\Pzn{
V~každé reprezentaci existuje nejvyšší váha. (Získáme ji z~libovolné váhy přičítáním kořenů, než ji získáme.)
}
\Def{
$R_\lambda = \mrm{span} \{\rho (X_1) \cdots \rho (X_n ) v | X_i \in \g , n \in \N \}$, $v$ je váhový vektor příslušející nejvyšší váze $\lambda$. \\
(Abstraktní $v$ není blíže specifikován a konstrukce $R_\lambda$ je obdobná jako konstrukce $\mathscr{H}$ z~postulovaného vakua $\ket{0}$.)
}
\lemma{
$R_\lambda$ je invariatní podprostor $\rho$, $R_\lambda$ je ireducibilní, $\dim V_{\zuz{\lambda}{\rho(R_\lambda)}}=1$ (nejvyšší váha je prostá).
}
\Vet{
Ireducibilní reprezentace $\rho$ poloprosté $\g$ je jednoznačně určena svojí nejvyšší vahou $\lambda$ a je izomorfní $R_\lambda$.
}
\Def{
Označíme $\Delta^p = \{\alpha_j\}_{j=1}^l$, $T_{\alpha_j}=T_j$, $j \in \hat{l}$. %(BÁZE MŘÍŽKY? PROČ DUÁLNÍ BÁZE?).
Prvky báze $\Js$ označíme $\lambda_i$ a nazýváme je \emph{fundamentální váhy} a jim odpovídající ireducibilní reprezentace \emph{fundamentální reprezentace}.
}
\Pzn{
Fundamentální váhy lze určit z~Cartanovy matice vztahem $\vec{\lambda}=\mathbb{M}\vec{\alpha}$, $\vec{\alpha}=(\alpha)_{j=1}^l$, $\vec{\lambda}=(\lambda_j)_{j=1}^l$, $\mathbb{M}=a^{-1}$.
}
Připomeňme $a_{ij}=\alpha_i(T_j)$, takže je $\lambda_i(T_j)=\sum_k \mathbb{M}_{ik}\alpha_k(T_j)=\sum_k \left(a^{-1}\right)_{ik}a_{kj}=\delta_{ij}$.
\Vet{
$\g$ poloprostá. Potom $\forall \vec{m} \in \Z^{\mrm{rank}\g}_+$, $\exists_1$ ireducibilní reprezentace $\g$ s~nejvyšší vahou $\lambda=\sum_{k=1}^{\mrm{rank}\g}m_k \lambda_k$.
}
\subsection*{Konstrukce reprezentací}
Z~již nalezených reprezentací můžeme získávat další pomocí tenzorových součinů. Důležité je, že tímto postupem lze získat i \emph{ireducibilní reprezentace}, protože jsou určeny nejvyššími vahami a ty se při tenzorovém součinu sčítají. Mějme reprezentace $\rho_1$ na $V_1$ a $\rho_2$ na $V_2$ (uvažujeme konečné dimenze). Konstruujeme reprezentaci na $V_1 \otimes V_2$.
\Def{
Reprezentace $\rho=\rho_1\otimes \rho_2$ na $V_1 \otimes V_2$ je definována vztahem
\begin{align}
\rho (X) (v_1 \otimes v_2 )= (\rho_1(X) v_1) \otimes v_2 + v_1 \otimes (\rho_2(X)v_2) , &&
\forall X \in \g , \forall v_1 \in V_1, \forall v_2 \in V_2 \,.
\end{align}
}
Tato definice je smysluplná, protože zachovává komutátory (tj. $\rho ([X,Y])$ působí stejně jako $[\rho (X),\rho(Y)]$).\footnote{
Toto je přesně postup, který používá Clebsch-Gordanův rozklad pro skládání momentů hybnosti v~QM.
}
Podobně konstrukci můžeme udělat symetrizovaných ($\otimes_\eS$) a antisymetrizovaných částech tenzorového součinu ($\wedge$). (Tato konstrukce se neomezuje na poloprosté komplexní $\g$, další postup ano.)
\lemma{
Buďte $\mu$, $\lambda$ váhy reprezentací $\rho_1$ a $\rho_2$, potom $(\lambda + \mu)$ je váhou reprezentace $\rho_1 \otimes \rho_2$.
}
Navíc pro $\lambda=\mu$ víme, že se tato váha nachází v~symetrizované části, protože v~antisymetrizované se odečte. Tento fakt se při konstrukci také hodí, protože víme, že v~$\rho^{\wedge 2}$ je nejvyšší vahou $(\varphi_1 + \varphi_2)$, kde $\phi_1$ je nejvyšší váha $\rho$ a $\phi_2$ druhá nejnižší (pro reducibilní nemusí být jednoznačná). Můžeme získat ireducibilní reprezentaci s~váhou $\sum_i m_i \lambda_i$, pro $m_i \in \Z_+$ a fundamentální váhy $\lambda_i$, pokud máme ireducibilní reprezentace pro bázi mřížky vztahem
\begin{align*}
\rho = \bigotimes_i \rho_i^{\otimes_{\eS} m_i} \,.
\end{align*}
Pomocí Cliffordovy algebry je možné konstruovat z~$\rho$ i reprezentace s~vahami, které v ní nejsou obsaženy (konstrukce viz poznámky).
\end{document}
