Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Kořenové diagramy, Cartanova matice}
Tyto diagramy nám pomohou znázornit strukturu algebry a určit tak, které je izomorfní.
\Def{
$\h = \mrm{span}_\R \{H_\alpha\}_{\alpha \in \Delta}$, $\h^\# =\mrm{span}_\R\{\alpha\}_{\alpha \in \Delta}$,\\
$\braket{\cdot , \cdot}: \h^\# \times \h^\# \to \R,\, \braket{\alpha , \beta}=K(H_\alpha , H_\beta)$ je skalární součin.
}
\Pzn{
$\braket{\alpha , \beta}=K(H_\alpha , H_\beta)=\sum_{\tilde{\alpha} \in \Delta} \tilde{\alpha}(H_\alpha)\tilde{\alpha}(H_\beta)=\Tr \left(\ad_{H_\alpha}\circ \ad_{H_\beta} \right)$.
}
\Def{
\emph{Kořenový diagram} je zakreslení $\Delta$ v~Euklidově prostoru $\h^\#$.
}
\Def{
\emph{Zrcadlení podle nadroviny kolmé k~$\alpha$} je $S_\alpha : \h^\# \to \h^\#$, $S_\alpha(\lambda ) =\lambda - 2\frac{\braket{\alpha,\lambda}}{\braket{\alpha ,\alpha}}\alpha$.
}
\Pzn{
Podle 4. bodu lemmatu \ref{lemma_Koreny} je pro $(\forall \alpha ,\beta \in \Delta)(S_\alpha(\beta ) \in \Delta)$. Proto lze uvažovat $S_\alpha: \Delta \to \Delta$.
}
\Def{
\emph{Weylova grupa} $\Ws$ je grupa generovaná všemi $S_\alpha$.
}
\Pzn{
Weylova grupa je konečná protože je obsažena v~grupě permutací $S_{\# \Delta}$.
}
Volbou libovolného $H_0 \in \h$ máme $\forall \alpha \in \Delta$, $\alpha(H_0)\neq 0$. Můžeme tak rozdělit kořeny na kladné a záporné. $H_0$ považujeme dále pevně zvolené.
\Def{
$\Delta^\pm =\{\alpha \in \Delta | \alpha (H_0) \gtrless 0 \}$, definujeme $(\alpha \gtreqqless \beta \Leftrightarrow \alpha (H_0) \gtreqqless \beta (H_0))$.
}
Volba závisí na $H_0$, ale při zakreslení tato klasifikace znamená pouze pootočení nákresu a nemá tak na výsledek podstatný vliv.
\Pzn{
$\forall \alpha \in \Delta^+:\; -\alpha \in \Delta^-$. $(\forall \alpha , \beta \in \Delta^+):\; (\alpha + \beta \in \Delta ) \Rightarrow (\alpha + \beta \in \Delta^+)$.
}
\Def{
$\Delta^p =\{\alpha \in \Delta^+ | (\forall \beta , \gamma \in \Delta^+)(\beta +\gamma \neq \alpha) \}$.
}
%Omezení vlastností kořenového diagramu
\lemma{
Vlastnosti kořenového diagramu.
\begin{enumerate}
\item $\Delta^p$ tvoří bázi $\h^\#$.
\item $\forall \alpha, \beta \in \Delta^p, \alpha \neq \beta$ je $\braket{\alpha , \beta }<0$.
\item $\forall \alpha \in \Delta^+$ je $ \alpha=\sum_{\beta \in \Delta^p}A_\beta \beta$ a $A_\beta \in \Z_+$.
\end{enumerate}
}
To znamená, že $\Delta^p$ tvoří tedy i bázi $\g_0^*$ a zakreslujeme do $\#\Delta^p$-dimenzionálního prostoru. Úhel mezi prostými kořeny je tupý. $\Delta^+$ získáváme celočíselnými kombinacemi prostých kořenů.
Strategie při kreslení kořenového diagramu je tedy začít prostými kořeny a aplikací operací zrcadlení a celočíselných součtů kořenů získávat další kořeny, přičemž kladné získáme pouze nezápornou kombinací kladných. Navíc se může hodit tvrzení \ref{posloupnost korenu} lemmatu \ref{lemma_Koreny}. %Kořenové diagramy není jednoduché zakreslit ve vícerozměrném prostoru.
\Def{
\emph{Cartanova matice} je $a_{ij}=\frac{2\braket{\alpha_i ,\alpha_j}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}}$, $\alpha_i , \alpha_j \in \Delta^p$.
}
\Pzn{ Vlastnosti $a$.
\begin{itemize}
\item $a_{ii}=2$, $a_{ij}\le 0$ pro $i \neq j$.
\item Při uspořádání $\norm{\alpha_i} \le \norm{\alpha_j}$ je $a_{ij}=-1$ a $a_{ji}\in \{-1,-2,-3\}$.\footnote{
$\norm{\cdot}$ je indukována $\braket{\cdot , \cdot}$, tj. $\norm{\beta}=\sqrt{\braket{\beta, \beta}}$.
}
\end{itemize}
}
%Nyní určíme možné úhly, které mohou svírat \emph{prosté} kořeny a navíc zjistíme i vztah mezi jejich velikostmi.
\lemma{
Označíme $\theta=\measuredangle (\alpha_i , \alpha_j )$, potom $a_{ij}a_{ji}=4\cos^2 (\theta) \in \Z$ a tedy $\cos^2 (\theta) \in \left\{0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4} \right\}$.
}
$\cos^2 (\theta) \neq 1$ protože $\Delta^p$ je LN množina. Pro $i \neq j$ je $a_{ij}\le 0$, takže $\cos (\theta) =\frac{\braket{\alpha_i , \alpha_j}}{\norm{\alpha_i}\norm{\alpha_j}}\le 0$ a z~možných hodnot $\cos^2 (\theta )$ je $\theta \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6} \}$, dále
\begin{align*}
1\ge \frac{a_{ji}}{a_{ij}}=\frac{\norm{\alpha_j}^2}{\norm{\alpha_i}^2} &&\Rightarrow && \norm{\alpha_j}=\sqrt{-a_{ji}}\norm{\alpha_i}\,
\end{align*}
(zvolili jsme uspořádání, neplatí obecně). Shrnutím těchto vlastností jsou vztahy mezi vektory $\alpha_i$, které využijeme při zakreslování.
\Pzn{ Možné úhly mezi vektory $\alpha_i$ a vztahy mezi jejich délkou ($\theta=\measuredangle (\alpha_i , \alpha_j )$).
\begin{itemize}
\item $\theta = \frac{\pi}{2}$, nevím vztah mezi $\norm{\alpha_i}$ a $\norm{\alpha_j}$.
\item $\theta = \frac{2\pi}{3}$, $\norm{\alpha_j}=\norm{\alpha_i}$.
\item $\theta = \frac{3\pi}{4}$, $\norm{\alpha_j}=\sqrt{2}\norm{\alpha_i}$.
\item $\theta = \frac{5\pi}{6}$, $\norm{\alpha_j}=\sqrt{3}\norm{\alpha_i}$.
\end{itemize}
}
