Součásti dokumentu 01NUM1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01NUM1}
\section{Vlatní čísla a vektory matic}
\subsection{Lokalizace vlastních čísel}
\begin{theorem}[Gershgorin]
\label{Gershgorin}
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \). Potom
\[ \sigma ( \matice A) \subset \mathcal S_{\mathcal R} = \bigcup_{i = 1}^n \mathcal R_i \]
kde definujeme
\[ \mathcal R_i = \left\{ z \in \mathbbm C \; \Big | \; \lvert z - \matice A_{ii} \rvert \leq \sum_{j = 1, j \neq i}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \right\} \]
\begin{proof}
\todo{Důkaz 6.1}
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Aposteriorní odhad chyby}
\begin{theorem}
\label{AposterioriEigenvalue}
Nechť \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) je hermitovská. Nechť \( \hat \lambda \) a \( \hat{\vec x} \neq \vec 0 \) jsou napočítané aproximace vlastního čísla \( \lambda \) a vlastního vektoru \( \vec x \). Pro reziduum
\[ \vec r = \matice A \hat{\vec x} - \hat \lambda \hat{\vec x} \]
potom platí
\[ \min\limits_{\lambda_i \in \sigma ( \matice A )} \left\lvert \hat \lambda - \lambda_i \right\rvert \leq \frac{\lVert \vec r \rVert_2}{\left\lVert \hat{\vec x} \right\rVert_2} \]
\begin{proof}
\todo{Důkaz 6.2}
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Mocninná metoda}
\begin{theorem}
\label{MocninnaMetodaVektor}
Vektor \( \vec x^{(k)} \) z mocninné metody lze vyjádřit jako
\[ \vec x^{(k)} = \frac{1}{\prod_{i = 1}^k \rho_k} \matice A^k \vec x^{( 0 )} \]
\begin{proof}
Z definice posloupností v mocninné metodě plyne:
\[ \vec x^{( k )} = \frac{1}{\rho_k} \matice A \vec x^{( k - 1 )} = \dots = \frac{1}{\prod_{i = 1}^k \rho_k} \matice A^k \vec x^{( 0 )} \]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
\label{MocninnaMetodaNejvetsiEigenvalue}
\todo{Zkontrolovat, hlavně Příslušný vlastní vektor}
Nechť matice \( \matice A \) má jedno vlastní číslo \( \lambda \) s \todo{nebo algebraickou?} geometrickou násobností \( r \), které má největší absolutní hodnotu. Nechť \( \vec y^{( 1 )}, \dots, \vec y^{( r )} \) jsou příslušné vlastní vektory. Nechť \( s \in \hat r \) a \( \vec x^{( 0 )} \) takový, že \( \braket{\vec x^{( 0 )} | \vec y^{( s )}} \neq \vec 0 \). Potom
\[ \lim_{k \rightarrow \infty} \rho_k = \lvert \lambda \rvert \]
\[ \lim_{k \rightarrow \infty} \vec x^{( k )} = \vec y^{( s )} \]
\begin{proof}
\todo{Důkaz 6.4}
\end{proof}
\end{theorem}
\setcounter{define}{7}
\begin{theorem}
\label{MocninnaMetodaNejvetsi2Eigenvalues}
\todo{Věta 6.8 - srozumitelně a jednoznačně}
\begin{proof}
\todo{Důkaz 6.8}
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Výpočet kompletního spektra matice}
\setcounter{define}{12}
\begin{theorem}
\label{KorenyPnomuSpektrum}
Nechť \( p_n ( x ) = \sum_{k = 0}^n a_k x^k \) je polynom stupně \( n \). Potom jeho kořeny jsou vlastními čísly matice \( \matice F \in \mathbbm R^{n, n} \), definované jako:
\[ \matice F =
\begin{pmatrix}
-\frac{a_{n - 1}}{a_n} & -\frac{a_{n - 2}}{a_n} & \cdots & -\frac{a_1}{a_n} & -\frac{a_0}{a_n} \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\]
\begin{proof}\renewcommand{\qedsymbol}{}
Bez důkazu.
\end{proof}
\end{theorem}
