Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Regulární zobrazení}
Připomeneme si Banachovu větu o pevném bodě:
\begin{enumerate}
\item Zobrazení $f:(X,\rho)\to(X,\rho)$ se nazývá {\bf kontrahující},
právě když
\[(\exists k\in(0,1))(\forall x,y\in X)(\rho(f(x),f(y))\le k\rho(x,y)).\]
\item Každé kontrahující zobrazení na úplném prostoru má právě jeden pevný
bod, tj. existuje takové $x$, že platí $f(x)=x$.
\end{enumerate}
\begin{theorem}[o~inverzním zobrazení]\label{VInvZob}
Nechť $q\in\N$, $g:E\to E\in\c{q}$, $t_0\in\vn {(\df g)}$, $\det
g'(t_0)\not=0$. Potom existuje $\H_{t_0} = \vn{(\H_{t_0})}$ takové, že
\begin{enumerate}[(i)]
\item zúžení $g|_{\H_{t_0}}$ je prosté,
\item $U=g(\H_{t_0})=\vn{U}$, tj. obraz otevřeného okolí je otevřený,
\item $f=(g|_{\H_{t_0}})^{-1}\in\c{q}$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Buď $x_0=g(t_0)$, $x=g(t)$. Pak $x-g(t)=0$, $t=x+(t-g(t))=\phi_x(t)$.
\begin{enumerate}[I)]
\item Předpokládejme, že $g'(t_0)\in\LL(\VEC E,\VEC E)$,
$g'(t_0)=\id{E}$
\[\phi'_x(t_0)=\id{\vec E}-g'(t_0)=\covec 0\]
\[\abs{\phi_x^i(t_2)-\phi_x^i(t_1)}=\abs{(\phi_x^i)'(\xi)(t_2-t_1)}\]
S využitím spojitosti $g$ existuje $\uz{B}(t_0,r)$ taková, že $(\forall t\in
B)\norm{\phi'_x(t)}\le k\in(0,1)$
a zároveň $\uz{B}$ je úplný prostor (je uzavřená v~úplném prostoru).
Musíme ještě ověřit, zda $\phi_x:\uz{B}(t_0,r)\to \uz{B}(t_0,r)$.
\[
\begin{split}
\norm{\phi_x(t)-t_0}&=\norm{x+t-g(t)-(x_0+t_0-g(t_0))}=\\
&=\norm{(x-x_0)+(x+t-g(t))-(x+t_0-g(t_0))}\le\\
&\le\norm{x-x_0}+\norm{\phi_x(t)-\phi_x(t_0)}\le (1-k)r+kr \le r
\end{split}
\]
Jestliže je $x\in B(x_0,(1-k)r)$, pak $\phi_x$ na $\uz{B}(t_0,r)$
kontrahuje a $\phi_x$ je $\uz{B}\to\uz{B}$. Z~toho vyplývá, že má
právě jeden pevný bod pro každé $x\in B(x_0,(1-k)r)$ a tedy zvolím-li
si $x\in B$, pak existuje právě jedno $t\in B(t_0,r)$ tak, že platí
$x=g(t)$. Tedy $g|_\H$ je prosté.
Definujeme tímto zobrazení $f(x)=t$.
% \[\H=f(B(x_0,(1-k)r))=g^{-1}(B(x_0,(1-k)r)).\]
% Jelikož $g\in\c{q}$, je $U=B(x_0,(1-k)r)$ otevřená. Zbývá dokázat, že
% $f=(g|_\H)^{-1}\in \c{q}$.
Nejprve ukážeme spojitost $f$.
\[
\begin{split}
\norm{g(t_2)-g(t_1)}&=\norm{x+t_2-\phi_x(t_2)-(x+t_1-\phi_x(t_1))}\ge\\
&\ge\norm{t_2-t_1}-\norm{\phi_x(t_2)-\phi_x(t_1)}
\ge(1-k)\norm{t_2-t_1}
\end{split}
\]
a tedy pro každé $x_1,x_2\in g(\H)$ platí:
\[\norm{f(x_2)-f(x_1)}\le\frac{1}{1-k}\norm{x_2-x_1},\]
tedy zobrazení $f$ je lipschitzovské, tedy i spojité. Vzor otevřené množiny při spojitém zobrazení je otevřený. Proto
$U=g(\H)=f^{-1}(\H)=\vn{U}$. Zbývá dokázat, že $f=(g|_\H)^{-1}\in \c{q}$.
\[g(t)=g(t_0)+g'(t_0)(t-t_0)+\mu(t)\norm{t-t_0}\]
\[x-x_0=g'(t_0)(f(x)-f(x_0))+\mu(f(x))\norm{f(x)-f(x_0)}\]
\[f(x)-f(x_0)=(g'(t_0))^{-1}(x-x_0)-
(g'(t_0))^{-1}(\mu(f(x))\norm{f(x)-f(x_0)})\]
\[\norm{f(x)-f(x_0)}\le\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{x-x_0}+
\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}\norm{f(x)-f(x_0)}\]
\[\norm{f(x)-f(x_0)}\le\frac{\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{x-x_0}}{1-\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}}\]
a tedy
\[f(x)=f(x_0)+(g'(t_0))^{-1}(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0}\]
a
\[
\norm{\omega(x)}\le\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}
\frac{\norm{(g'(t_0))^{-1}}}{1-\norm{(g'(t_0))^{-1}}\norm{\mu(f(x))}}
\]
Existuje $f'(x_0)=(g'(t_0))^{-1}$. Pro $x\in U$, $t\in\H$
\[f'(x)=(g'(t))^{-1}\]
\item Pokud $g'(t_0)\not=\id{\vec E}$:
Definujeme
\[h(x)=x_0-g'(t_0)^{-1}(x-x_0).\]
Platí, že $G=(h\circ g)\in\c{q}$, $G(t_0)=x_0$,
$G'(t_0)=(h\circ g)'(t_0)=(g'(t_0))^{-1}\circ g'(t_0)=\id{\vec E}$.
\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $g^{-1}=f$ (funkce k sobě inverzní)
\item $\jac f(x_0)=(\jac g(t_0))^{-1}$ (Jacobiho matice k sobě inverzní)
\item $\det f'(x_0)=\frac{1}{\det g'(t_0)}$ (determinanty k sobě inverzní)
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Buď $g$ zobrazení třídy alespoň $\c{1}$ pro každé $t\in\df g$. Nechť
$\det g'(t)\not=0$ (tj. $g$ má regulární derivaci). Pak řekneme, že $g$
je {\bf regulární}.
\end{define}
\begin{remark}
Regulární zobrazení splňuje předpoklady \ref{VInvZob}, takže je {\bf lokálně
prosté}, tj. $(\forall t)(\exists\H_t)$ takové, že $g$ je na něm prosté.
\end{remark}
\begin{define}
Zobrazení $g:E\to E$ se nazývá {\bf difeomorfismus}, resp. {\bf
$q$-difeomorfismus}, platí-li
\begin{enumerate}[(I)]
\item $g$ je prosté,
\item $g$ i $g^{-1}$ jsou třídy $\c{1}$ resp. $\c{q}$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Regulární zobrazení je {\bf lokálně difeomorfní}.
\item Homeomorfismus je 0-difeomorfismus.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Zobrazení $g$ se nazývá {\bf otevřené}, platí-li
\[(A\subset \df g\wedge A=\vn{A})\implies g(A)=\vn{g(A)}.\]
\end{define}
\begin{theorem}
Je-li $g$ regulární, je otevřené.
\begin{proof}
Vezměme si libovolnou otevřenou množinu $A$, která leží v definičním oboru $g$; chceme ukázat, že $g(A)$ je otevřená množina. Zvolme libovolné $x_0\in g(A)$. Hledáme nějaké jeho okolí, které by patřilo do $g(A)$. Označme $t_0$ bod splňující $t_0\in A$ a zároveň $g(t_0)=x_0$. Na zobrazení $g|_A$ můžeme aplikovat větu \ref{VInvZob}. Z ní dostaneme, že existuje otevřené okolí bodu $t_0$ splňující $H_{t_0}\subset A$, jehož obraz $g(H_{t_0})$ je opět otevřený. Přitom ale zjevně $x \in g(H_{t_0}) \subset
g(A)$. Nalezli jsme tedy okolí bodu $x_0$ ležící v~$g(A)$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Zobrazení regulární a prosté je difeomorfní.
\end{remark}
