Součásti dokumentu 02KVAN2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Reprezentace vícečásticových systémů}
Nechť Hilbertův prostor 1 částice je nějaký separabilní $\mathscr{H}$, na tomto Hilbertově prostoru zvolíme vhodnou úplnou množinu pozorovatelných tak, abychom měli bázi oindexovanou přirozenými čísly $\left\lbrace \ket{k} \right\rbrace_{k \in \mathbb{N}}$.
Uvažujme $n$ částic stejného typu, t.j. nerozlišitelných, jak vypadá báze příslušného Hilbertova prostoru
\begin{equation}
\mathscr{H}=\begin{cases}
\mathscr{S}\left(\underbrace{\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}\ldots\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}}_{n\times}\right),\\
\mathscr{A}\left(\underbrace{\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}\ldots\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}}_{n\times}\right),
\end{cases}
\label{eq:hilbert}
\end{equation}
kde $\mathscr{S}$ a $\mathscr{A}$ označuje symetrickou či antisymetrickou část? Symetrická a antisymetrická část prostoru je zde kvůli fermionům a bosonům, viz. \cite{hlav:QM}.
Označme si $m_j$ index vektoru v bázi $j$-tého Hilbertova prostoru v \eqref{eq:hilbert}, dohromady tak dostaneme vektor přirozených čísel $(m_1, \ldots, m_n) \in \mathbb{N}^n$, multiindex, který parametrizuje bázi celkového Hilbertova prostoru, protože tu tvoří normované vektory
\begin{equation}
\mathscr{S}(\mathscr{A}) \left( \frac{\psi_{m_1} (x_1) \otimes \psi_{m_2} (x_2) \otimes \ldots \otimes \psi_{m_n} (x_n)}{\norm{\ldots}} \right), \label{eq:bazeTenzoru}
\end{equation}
kde jsme kompaktně zapsali symetrizaci/antisymetrizaci příslušného vektoru.
Jelikož uvažujeme částice nerozlišitelné, mnoho stavů v \eqref{eq:bazeTenzoru} by bylo \textit{nabytečných}, můžeme si tak zvolit konvenci $m_1 \leq m_2 \leq \ldots \leq m_n$, pokud prohlásíme stavy s permutovanými indexy za identické.
%================================================================================
\subsection{Obsazovací čísla, Fockův prostor}
%================================================================================
Ukazuje se býti užitečným místo $(m_1, \ldots, m_n)$ parametrizovat bázi tzv. \textit{obsazovacími čísly} $(n_1, \ldots, n_k, \ldots)$, $n_i \in \mathbb{N}_0$ a $\sum_{i=1}^\infty n_i = n$, která se definují jako
\begin{equation}
n_j = \#\left\lbrace i \in \hat{n}: m_i = j \right\rbrace,
\end{equation}
kde jsme použili stříškovou notaci z lineární algebry $\hat{n} = \{ 1, 2, \ldots, n \}$. Obsazovací číslo $n_j$ tedy představuje počet částic ve stavu $\psi_j$. Pomocí obsazovacích čísel zapíšeme stav \eqref{eq:bazeTenzoru} jako
\begin{equation}
\ket{n_1, n_2, \ldots, n_k, \ldots} = \mathscr{S}(\mathscr{A}) \left( \frac{\psi_1(x_1) \ldots \psi_1(x_{n_1}) \psi_2(x_{n_1+1}) \ldots \psi_2(x_{n_1 + n_2}) \ldots}{\norm{\ldots}} \right),
\end{equation}
kde už pro zkrácení nepíšeme tenzořítka $\otimes$.
Z antisymetrizace pro fermiony hned vidíme, že $\exists i: n_i > 1$ implikuje $\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = 0$.
Naší touhou je formalizovat Hilbertův prostor pro libovolný počet částic fermionových či bosonových, to jest prostor, který by obsahoval stavy se všemi možnými počty částic v různých stavech. Tento prostor se nazývá \textit{Fockův prostor} a pro fermiony a bosony se definuje zvlášť. Označme
\begin{equation}
\mathscr{H}^{\otimes k} = \underbrace{\mathscr{H} \otimes \ldots \otimes \mathscr{H}}_{k \times},
\end{equation}
kde $\mathscr{H}$ je stále Hilbertův prostor jedné částice, a kde dodefinujeme $\mathscr{H}^{\otimes 0} = \mathbb{C}$. S pomocí této notace např. pro bosony hned umíme napsat hledaný prostor jako direktní součet prostoru pro vakuum ($\mathbb{C}$), prostoru jedné částice, dvou, \ldots
\begin{equation}
\mathscr{F}_\mathrm{B} = \mathbb{C} \oplus \mathscr{H} \oplus \mathscr{S}(\mathscr{H}^{\otimes 2}) \oplus \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathscr{S} (\mathscr{H}^{\otimes k}),
\end{equation}
a stejně tak pro fermiony
\begin{equation}
\mathscr{F}_\mathrm{F} = \mathbb{C} \oplus \mathscr{H} \oplus \mathscr{A}(\mathscr{H}^{\otimes 2}) \oplus \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathscr{A} (\mathscr{H}^{\otimes k}).
\end{equation}
Je hned vidět, že pro $\dim \mathscr{H} < \infty$ tak dostáváme
\begin{eqnarray}
\dim \mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H}) & = & \infty, \\
\dim \mathscr{F}_{\mathrm{F}} (\mathscr{H}) & = & 2^{\dim \mathscr{H}}.
\end{eqnarray}
Z konstrukce Fockova prostoru dále vyplývá, že pokud $\mathscr{H}$ je separabilní, $\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H})$ i $\mathscr{F}_{\mathrm{F}} (\mathscr{H})$ jsou separabilní Hilbertovy prostory, pokud dodefinujeme skalární součin pro $k_1 \neq k_2$, $\ket{\psi} \in \mathscr{H}^{\otimes k_1}$ a $\ket{\varphi} \in \mathscr{H}^{\otimes k_2}$ jako
\begin{equation}
\braket{\psi}{\varphi} = 0,
\end{equation}
a pro $k_1 = k_2 = k$ využijeme definice skalárního součinu na tenzorovém součinu prostorů a pro $\ket{\psi_1} \ldots \ket{\psi_k}$, $\ket{\varphi_1} \ldots \ket{\varphi_k}$ definujeme
\begin{equation}
\left(\bra{\psi_1} \ldots \bra{\psi_k}\right) \left(\ket{\varphi_1} \ldots \ket{\varphi_k}\right) = \braket{\psi_1}{\varphi_1} \ldots \braket{\psi_k}{\varphi_k}.
\end{equation}
S pomocí těchto skalárních součinů už umíme spočítat skalární součin libovolných dvou vektorů z Fockova prostoru, obecný direktní součet by se rozložil na součet jednotlivých skalárních součinů jako je zvykem.
%================================================================================
\subsection{Bosonové kreační a anihilační operátory}
%================================================================================
Dále je vhodné a pro druhou kvantizaci nutné, zavést kreační a anihilační operátory. A opravdu se Vám nebude zdát, když Vám tento formalismus bude připadat podobný tomu pro LHO ze zimy, je to úmysl.
Prvně se soustřeďme na bosonové operátory a bosonový Fockův prostor. Chceme nějak vhodně zvolit \textit{kreační} operátor $\kreak{i}$, který by působil
\begin{equation}
\kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \beta_{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots},
\end{equation}
neboli tak, aby nám přidával jednu částici ve stavu $\ket{\psi_i}$ a konstantu $\beta_i$ vhodně zvolíme. Vidíme, že $\kreak{i}$ je zobrazení
\begin{equation}
\kreak{i}: \mathscr{F}_\mathrm{B} \longrightarrow \mathscr{F}_\mathrm{B}.
\end{equation}
Když už budeme mít kreační operátor, anihilační k němu definujeme pomocí hermitovského sdružení
\begin{equation}
\anihilak{i} = \left(\kreak{i}\right)^\dagger.
\end{equation}
Abychom viděli jak konstanty $\beta_{n_i}$ vyskočí u anihilačních operátorů, rozepíšeme si jejich působení ve skalárním součinu
\begin{eqnarray}
\brapigket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{&\left(\kreak{i}\right)^\dagger &}{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \overline{\brapigket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{\kreak{i}}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\
& = & \overline{\beta_{n_i} \braket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{m_1, \ldots, m_i + 1, \ldots}} \notag \\
& = & \overline{\beta_{n_i}} \delta_{n_1, m_1} \ldots \delta_{n_i, m_i + 1} \ldots \notag \\
& = &
\begin{cases}
0 & \mathrm{pro}\: n_{i}=0\\
\ldots & \mathrm{pro}\: n_{i}>0
\end{cases} \notag \\
& = & \overline{\beta_{n_i-1} \braket{n_1, \ldots, n_{i} - 1, \ldots}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\
& = & \overline{\beta_{n_i-1}} \braket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots},
\end{eqnarray}
neboli vidíme, že
\begin{equation}
\anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} =
\begin{cases}
0 & \mathrm{pro}\: n_{i}=0,\\
\overline{\beta_{n_i-1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots} & \mathrm{pro}\: n_{i}>0.
\end{cases}
\end{equation}
Vhodnou volbu konstant $\beta_{n_i}$ najdeme z volby komutačních relací kreačního a anihilačního operátoru. Nejprve si ale připravíme $\komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}}$ pro $n_i, n_j > 0$
\begin{eqnarray}
\komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &=& \overline{\beta_{n_j-1}} \overline{\beta_{n_i-1}}\ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\
& & - \overline{\beta_{n_i-1}} \overline{\beta_{n_j-1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\
& = & 0,
\end{eqnarray}
pro $n_i = 0 \vee n_j = 0$ nebo pro $i=j$ je výsledek triviálně stejný. Úplně stejně by se ukázalo, že kreační operátory vzájemně komutují.
Zpět k volbě konstant z komutátoru, zkusíme ho spočítat pro $i \neq j$
\begin{eqnarray}
\komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} & = & \beta_{n_j} \overline{\beta_{n_i - 1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\
& & - \overline{\beta_{n_i - 1}} \beta_{n_j} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\
& = & 0.
\end{eqnarray}
A pro $i = j$
\begin{eqnarray}
\komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} & = & \beta_{n_i} \overline{\beta_{n_i}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} \notag \\
& & - \overline{\beta_{n_i - 1}} \beta_{n_i - 1} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots},
\end{eqnarray}
Komutátor položíme roven jedničce, abychom se co nejvíce přiblížili lineárnímu harmonickému oscilátoru.
Celkově tedy pokládáme
\begin{equation}
\komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} = \delta_{i, j} I, \label{eq:komutatorBosony}
\end{equation}
Ještě ověříme, že k tomu postačí volba $\beta_{n_i} = \sqrt{n_i + 1}$
\begin{eqnarray}
\beta_{n_i} \overline{\beta_{n_i}} - \overline{\beta_{n_i -1}} \beta_{n_i - 1} = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_i + 1} - \sqrt{n_i} \sqrt{n_i} = 1.
\end{eqnarray}
Shrnutí naší volby tedy je
\begin{eqnarray}
\anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &=& \sqrt{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots} \\
\kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &=& \sqrt{n_i + 1} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots}
\end{eqnarray}
Nyní stav s danými obsazovacími čísly můžeme zapsat výhodně jako
\begin{equation}
\ket{n_1, n_2, \ldots} = \frac{\kreak{1}^{n_1}}{\sqrt{n_1 !}} \frac{\kreak{2}^{n_2}}{\sqrt{n_2 !}} \ldots \ket{0},
\end{equation}
kde $\ket{0}$ je vakuový stav, který vyhovuje
\begin{equation}
\anihilak{j} \ket{0} = 0 \: \mathrm{pro} \: \forall j. \label{eq:anihilakkk}
\end{equation}
A díky tomu lze Fockův prostor napsat jako
\begin{equation}
\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H}) = \obal{\left. \left( \prod_{i=1}^{\infty} \frac{\kreak{i}^{n_i}}{\sqrt{n_i !}} \right) \ket{0} \right| \sum_{i=1}^{\infty} n_i < + \infty}.
\end{equation}
%================================================================================
\subsubsection{Operátory počtu částic}
%================================================================================
Pomocí kreačních a anihilačních operátorů lze zavést \textit{operátor počtu částic v $i$-tém stavu}
\begin{equation}
\hat{N_i} = \kreak{i} \anihilak{i},
\end{equation}
podívejme se jak působí
\begin{eqnarray}
\kreak{i} \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} & = & \kreak{i} \anihilak{i} \left( \prod_{k=1}^{\infty} \frac{\kreak{k}^{n_k}}{\sqrt{n_k !}} \right) \ket{0} \notag \\
& = & \underbrace{\prod_{k=1, k \neq i}^{\infty} \frac{\kreak{k}^{n_k}}{\sqrt{n_k !}} \frac{\kreak{i}}{\sqrt{n_i !}}}_{= A} \left( \anihilak{i} \left( \kreak{i} \right)^{n_i} \right) \ket{0}, = *
\end{eqnarray}
kde jsme využili toho, že operátory stejného druhu komutují a stejně tak komutují kreační a anihilační operátory s různými indexy, dále použijeme $n_i$-krát známý komutátor \eqref{eq:komutatorBosony}
\begin{eqnarray}
* &=& A \left( \underbrace{\komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}}}_1 \kreak{i}^{n_i -1} + \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \right) \ket{0} \notag \\
& = & \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \ket{0} \notag \\
& = & \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \left( \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} + \kreak{i}^{n_i - 2}\right) \ket{0} \notag \\
& = & 2 \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i}^2 \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} \ket{0} \notag \\
& \vdots & \notag \\
& = & n_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots},
\end{eqnarray}
a vidíme, že název sedí.
Pomocí těchto operátorů lze dále definovat \textit{operátor celkového počtu částic}
\begin{equation}
\hat{N} = \sum_{i=1}^{+\infty} \hat{N}_i = \sum_{i=1}^{+\infty} \kreak{i} \anihilak{i}.
\end{equation}
Také si všimněme toho, že $\left\lbrace \hat{N}_i \right\rbrace_{i=1}^{+ \infty}$ tvoří ÚMP na $\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H})$ se společnými vlastními vektory $\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}$.
%================================================================================
\subsubsection{Hamiltonián}
%================================================================================
Abychom mohli napsat Hamiltonián soustavy částic, musíme znát i jejich interakci, předpokládejme prozatím proto, že máme neinteragující částice. V tom případě, pokud $\hat{H}_0$ je Hamiltonián jedné částice, hned umíme napsat
\begin{equation}
\hat{H} = \hat{H}_0 \otimes I \otimes \ldots \otimes I + I \otimes \hat{H}_0 \otimes I \otimes \ldots \otimes I + \ldots + I \otimes \ldots \otimes \hat{H}_0.
\end{equation}
Pokud $\ket{i} \in \mathscr{H}$, $\hat{H}_0 \ket{i} = \epsilon_i \ket{i}$, můžeme zapsat působení takového Hamiltoniánu
\begin{equation}
\hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i=1}^{\infty} n_i \epsilon_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}, \: \sum_{i=1}^{\infty} n_i = n,
\end{equation}
neboli
\begin{equation}
\hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i=1}^{\infty} \epsilon_i \hat{N}_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}.
\end{equation}
Protože jsme tak rozepsali působení operátoru na každém bazickém vektoru, platí i operátorově
\begin{equation}
\hat{H} = \sum_{i=1}^{\infty} \epsilon_i \hat{N}_i = \sum_{i=1}^{\infty} \epsilon_i \kreak{i} \anihilak{i},
\end{equation}
pro neinteragující částice na $\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H})$.
Pokud budeme chtít započítat interakci, musíme přidat další členy do Hamiltoniánu, které také zapíšeme pomocí kreačních a anihilačních operátorů. Významnou třídu takových operátorů tvoří ty, pro které
\begin{equation}
\komut{\hat{H}}{\hat{N}} = 0,
\end{equation}
které zachovávají celkový počet částic.
Formálně lze uvažovat popis interakce pomocí obsazovacích čísel příslušejících i spojité části spektra, obvykle hybnosti a spinu. Označme odpovídající operátory jako
\begin{equation}
\kreak{\vec{p}, \xi}, \anihilak{\vec{p}, \xi},
\end{equation}
kde $\vec{p}$ předepisuje tři složky hybnosti a $\xi$ spin částice, kterou takový operátor vytvoří/anihiluje
\begin{equation}
\kreak{\vec{p}, \xi} \ket{0} \longleftrightarrow \psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{x}).
\end{equation}
Třeba
\begin{equation}
\frac{\kreak{\vec{p}, \xi}^2}{\sqrt{2}} \ket{0},
\end{equation}
odpovídá stavu se dvěma částicemi s danou hybností a spinem, neboli stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{x}) \psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{y})$.
Stále postulujeme stejné komutační relace
\begin{eqnarray}
\komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\anihilak{\vec{p}', \xi'}} & = & 0, \\
\komut{\kreak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} & = & 0, \\
\komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} & = & \delta_{\xi, \xi'} \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}') I.
\end{eqnarray}
Obecný vektor z takového Fockova prostoru částic se spinem můžeme napsat jako
\begin{equation}
\ket{\varphi} = \sum_{k=0}^{+ \infty} \left( \prod_{j=1}^{k} \int \dif^3 p_j \sum_{\xi_j} \right) \alpha_{\begin{array}{c} p_{1},\ldots,p_{k} \\ \xi_{1},\ldots,\xi_{k} \end{array}} \prod_{j=1}^k \kreak{\vec{p}_j, \xi_j} \ket{0}, \label{eq:obecnyVektor}
\end{equation}
kde v koeficientech $\alpha_{\begin{array}{c} p_{1},\ldots,p_{k} \\ \xi_{1},\ldots,\xi_{k} \end{array}}$ jsou schované informace o stavu.
%================================================================================
\subsection{Fermionové kreační a anihilační operátory}
%================================================================================
Podobně jako pro bosony zavedeme fermionový kreační operátor, který rozepíšeme a dáme si pozor na antisymetrizaci
\begin{eqnarray}
\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j, \ldots} &=& \bkreak{j} \mathscr{A} \left( \frac{\psi_1(x_1) \ldots \psi_1(x_{n_1}) \psi_2(x_{n_1+1}) \ldots \psi_2(x_{n_1 + n_2}) \ldots}{\norm{\ldots}} \right) \notag \\
&=& \sqrt{n_j + 1} \: \mathscr{A} \left( \frac{\psi_j(x_1) \psi_1(x_2) \ldots \psi_1(x_{n_1 + 1}) \ldots}{\norm{\ldots}} \right) \notag \\
&=& \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, n_2, \ldots, n_j + 1, \ldots},
\end{eqnarray}
kde mínus vyskočilo právě kvůli antisymetrizaci, protože u fermionů záleží na pořadí jednočásticových vlnových funkcí. Fermionový anihilační operátor je potom
\begin{equation}
\banihilak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j, \ldots} = \begin{cases}
0 & n_{j}=0\\
\sqrt{n_j} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_j - 1, \ldots} & n_{j}>0.
\end{cases}
\end{equation}
Pro další postup budeme bez újmy na obecnosti předpokládat $i<j$, chceme se podívat jaké relace že to naše operátory splňují, rozepišme si proto
\begin{eqnarray}
& \bkreak{i}\bkreak{j} & \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = \notag \\
&=&\sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\
&=& \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\sum_{k=i}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots, n_j + 1, \ldots},
\end{eqnarray}
podobně
\begin{eqnarray}
& \bkreak{j}\bkreak{i} & \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = \notag \\
&=& \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\left( \sum_{k=i}^{j-1} n_k \right) + 1} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots, n_j + 1, \ldots},
\end{eqnarray}
takže
\begin{equation}
\bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = - \bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots}.
\end{equation}
Z toho vidíme, oproti bosonovým operátorům, že kreační operátory fermionů antikomutují!
\footnote{Příští rok v QFT ukážete, že nějaké kreační a anihilační operátory komutují/antikomutují a z toho usoudíte, že jste popisovali bosony/fermiony.}
\begin{equation}
\antikomut{\bkreak{i}}{\bkreak{j}} = \bkreak{i} \bkreak{j} + \bkreak{j} \bkreak{i} = 0.
\end{equation}
Podobně by se ukázalo
\begin{eqnarray}
\antikomut{\banihilak{i}}{\banihilak{j}} &=& 0, \\
\antikomut{\banihilak{i}}{\bkreak{j}} &=& \delta_{ij} I,
\end{eqnarray}
a díky tomu lze fermionový stav zapsat pomocí obsazovacích čísel jako
\begin{equation}
\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \frac{\bkreak{1}^{n_1}}{\sqrt{n_1 !}} \ldots \frac{\bkreak{i}^{n_i}}{\sqrt{n_i !}} \ldots \ket{0}.
\end{equation}
Z antikomutačních relací je také hned vidět
\begin{equation}
\bkreak{i}^2 = \frac{1}{2} \antikomut{\bkreak{i}}{\bkreak{i}} = 0,
\end{equation}
což je elegantně zapsaný Pauliho vylučovací princip.
%================================================================================
\subsubsection{Operátory počtu částic}
%================================================================================
Obdobně jako dřív lze zavést operátory počtu částic v $j$-tém stavu i pro fermiony
\begin{equation}
\hat{N}_j = \bkreak{j} \banihilak{j},
\end{equation}
které mají velmi zajímavou vlastnost
\begin{equation}
\hat{N}_j^2 = \bkreak{j} \banihilak{j} \bkreak{j} \banihilak{j} = \bkreak{j} \left( \antikomut{\banihilak{j}}{\bkreak{j}} - \bkreak{j} \banihilak{j} \right) \banihilak{j} = \bkreak{j} \banihilak{j} = \hat{N}_j,
\end{equation}
která dává opět Pauliho vylučovací princip, neboť jediná nezáporná celá čísla, která splňují $n_j^2 = n_j$ jsou jednička a nula.
V naprosté analogii s bosony lze zavést operátor celkového počtu částic
\begin{equation}
\hat{N} = \sum_{j=1}^{+\infty} \hat{N}_j = \sum_{j=1}^{+\infty} \bkreak{j} \banihilak{j}.
\end{equation}
%================================================================================
\subsubsection{Hamiltonián}
%================================================================================
Pro neinteragující částice, pokud $\ket{j} \in \mathscr{H}$, $\hat{H}_0 \ket{j} = \epsilon_j \ket{j}$, můžeme opět zapsat Hamiltonián $n$ fermionů
\begin{equation}
\hat{H} = \sum_{j=1}^{\infty} \epsilon_j \hat{N}_j = \sum_{j=1}^{\infty} \epsilon_j \bkreak{j} \banihilak{j}.
\end{equation}
Užitečná identita pro práci s fermiony je, pokud máme nějaké operátory $A, b, c, D$, kde $A = bc$
\begin{equation}
\komut{A}{D} = bcD - Dbc = bcD - bDc + bDc - Dbc = b \antikomut{c}{D} - \antikomut{b}{D}c,
\end{equation}
například v situacích
\begin{equation}
\komut{\hat{H}}{\bkreak{i}} = \epsilon_i \komut{\bkreak{i} \banihilak{i}}{\bkreak{i}} = \epsilon_i \bkreak{i} \antikomut{\banihilak{i}}{\bkreak{i}} = \epsilon_i \bkreak{i},
\end{equation}
\begin{equation}
\komut{\hat{H}}{\banihilak{i}} = - \epsilon_i \banihilak{i},
\end{equation}
pro neinteragující část Hamiltoniánů.
%================================================================================
\subsubsection{Více druhů částic}
%================================================================================
Pokud potřebujeme teorii popisující více druhů částic, je odpovídající Fockův prostor tenzorovým součinem Fockových prostorů jednotlivých druhů částic
\begin{equation}
\mathscr{F} = \mathscr{F}_{\mathbb{B}} (\mathscr{H}^1) \otimes \ldots \otimes \mathscr{F}_{\mathbb{B}} (\mathscr{H}^{\Lambda}) \otimes \mathscr{F}_{\mathbb{F}} (\widetilde{\mathscr{H}}^1) \otimes \ldots \otimes \mathscr{F}_{\mathbb{F}} (\widetilde{\mathscr{H}}^{\Sigma}),
\end{equation}
kde $\Lambda$ je počet druhů bosonů a $\Sigma$ je počet druhů fermionů. Je konvence označit
\begin{equation}
\kreak{\lambda, \vec{p}, \xi}
\end{equation}
bosonový kreační operátor částice s danou hybností a spinem $\left\{ -s_\lambda, \ldots, s_\lambda \right\}$ a obdobně pro fermiony
\begin{equation}
\bkreak{\sigma, \vec{p}, \xi}
\end{equation}
Obvyklá konvence je nechat všechny možné kombinace různých (fermionových vs. bosonových) operátorů komutovat \footnote{O této volbě bude ještě mluvit vyučující QFT příští rok.}
\begin{equation}
\komut{\hat{a}}{\hat{b}} = 0,
\end{equation}
a ostatní komutátory volit tak jako dřív, tedy
\begin{align}
\komut{\anihilak{\lambda, \vec{p}, \xi}}{\kreak{\lambda', \vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\lambda \lambda'} \delta_{\xi \xi'} \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}'), \\
\antikomut{\banihilak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\banihilak{\sigma', \vec{p}', \xi'}} &= 0 = \antikomut{\bkreak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\bkreak{\sigma', \vec{p}', \xi'}}\\
\antikomut{\banihilak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\bkreak{\sigma', \vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\sigma \sigma'} \delta_{\xi \xi'} \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}').
\end{align}
Lze ještě napsat obecný vektor pro tento systém, ale je to jen komplikovanější, zobecněná analogie vztahu \eqref{eq:obecnyVektor}.
