Součásti dokumentu 02KVAN2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Partiční suma}
Nezávisí-li $\hat{H}$ explicitně na čase, lze propagátor přepsat s pomocí báze $\{\ket{\psi_n}, \hat{H} \ket{\psi_n} = E_n \ket{\psi_n}\} $ na
\begin{eqnarray}
\prop{\vec{x}_1}{t_1}{\vec{x}_0}{t_0} & = & K(\vec{x}_1; \vec{x}_0; t_1 - t_0) = \braket{\vec{x}_1, t_1}{\vec{x}_0, t_0} \notag \\
& = & \sum_n \braket{\vec{x}_1, t_1}{\psi_n} \braket{\psi_n}{\vec{x}_0, t_0} \notag \\
& = & \sum_n \exp \left( - \frac{i}{\hbar} E_n (t_1 - t_0) \right) \psi_n(\vec{x}_1) \overline{\psi}_n(\vec{x}_0).
\end{eqnarray}
Pokud se formálně označí $t_1 - t_0 = - i \beta \hbar$, dostáváme tzv. \textit{matici hustoty Gibbsova rozdělení v x-reprezentaci}
\begin{equation}
K(\vec{x}_1; \vec{x}_0; - i \beta \hbar) = \sum_n e^{- \beta E_n} \psi_n(\vec{x}_1) \overline{\psi}_n(\vec{x}_0) = \brapigket{\vec{x}_1}{e^{-\beta \hat{H}}}{\vec{x}_0}.
\end{equation}
Je tak velmi intuitivní jako partiční funkci systému o teplotě $T$ ($\beta = \frac{1}{kT} $) označit
\begin{equation}
Z(\beta) = \Tr{\underbrace{e^{-\beta \hat{H}}}_{\hat{\rho}}} = \int \dif^3 x K(\vec{x}; \vec{x}; - i \hbar \beta) = \sum_n e^{- \beta E_n},
\end{equation}
kde na pravé straně vidíme proč právě tento objekt je partiční funkcí.
Úplně stejně jako v termodynamice se nyní může odvodit, že střední hodnoty a další momenty se dají vyjádřit jako
\begin{eqnarray}
\stredni{E}_{\hat{\rho}} &=& - \frac{\partial }{\partial \beta} \ln (Z(\beta)), \\
\stredni{\left( E - \stredni{E} \right)^2}_{\hat{\rho}} &=& \frac{\partial^2 }{\partial \beta^2} \ln (Z(\beta)),\\
& \ldots & \notag
\end{eqnarray}
%================================================================================
\subsection{Použití k výpočtu středních hodnot pozorovatelných ve vakuovém stavu}
%================================================================================
Uvažujme pozorovatelnou $\hat{A}$ a vakuový stav nějakého pole. S tímto pojmem jsme se ještě nesetkali, ale v další kapitole jej osvětlíme, zatím ho budeme brát intuitivně jako stav systému, ve kterém se nevyskytuje žádná částice, označíme ho $\ket{0}$.
Trik, který se použije k výpočtu takové střední hodnoty $\hat{A}$, závisejícího jen na $A = A(\vec{x})$, je následující
\begin{eqnarray}
\brapigket{0}{\hat{A}}{0} &=& \lim_{\beta \rightarrow \infty} \frac{\Tr{\hat{A} \hat{\rho}}}{Z(\beta)} \notag \\
& = & \lim_{\beta \rightarrow \infty} \frac{\int \dif^3 x \sum_n e^{- \beta E_n} \psi_n(\vec{x}) \overline{\psi}_n(\vec{x}) A(\vec{x})}{Z(\beta)} \notag \\
& = & \lim_{\beta \rightarrow \infty} \frac{\int \dif^3 x A(\vec{x}) K(\vec{x}; \vec{x}; - i \beta \hbar)}{Z(\beta)}. \label{eq:stredniHodnota}
\end{eqnarray}
Do \eqref{eq:stredniHodnota} dosadíme za propagátor pomocí dráhového integrálu
\begin{eqnarray}
\brapigket{0}{\hat{A}}{0} = \lim_{\beta \rightarrow \infty} & & \int \mathscr{D} \vec{x}[\beta] A(\vec{x}(0)) \exp \left( \frac{1}{\hbar} \int L_{\mathrm{Eukl.}} (\vec{x}(\tau), \overset{.}{\vec{x}} (\tau), \tau) \dif \tau \right),
\end{eqnarray}
kde se integruje přes všechny uzavřené trajektorie $\vec{x}(\tau): <0, \beta> \rightarrow \mathbb{R}^3$:\begin{equation}
\vec{x}(0) = \vec{\beta},
\end{equation}
a $L_{\mathrm{Eukl.}}$ získáme nahrazením:
\begin{eqnarray}
t & \rightarrow & - i \tau, \\
\dif t & \rightarrow & -i \dif \tau, \\
\frac{\dif}{\dif t} & \rightarrow & i \frac{\dif}{\dif \tau}.
\end{eqnarray}
Toto nahrazení dává
\begin{eqnarray}
L &=& \frac{1}{2} m \overset{.}{\vec{x}}^2 - V(\vec{x}) \notag \\
&\rightarrow& L_{\mathrm{Eukl.}} = - \frac{1}{2} m \overset{.}{\vec{x}}^2 - V(\vec{x}),
\end{eqnarray}
takže $L_{\mathrm{Eukl.}} \leq 0 $, pro kladné $V$. Abychom mohli pokračovat dál, musíme si definovat další pojem.
\subsubsection{Funkcionální derivace}{
Bez soustředění na matematickou korektnost se zde stručně seznámíme s funkcionální derivací. Je-li
\begin{equation}
F[\eta] = \int G(\eta, \overset{.}{\eta}, \overset{..}{\eta}, \ldots, \eta^{(k)}, t) \dif t,
\end{equation}
kde $\eta: <a, b> \rightarrow \mathbb{R}$ s příslušnými derivacemi, zavedeme funkcionální derivaci
\begin{equation}
\frac{\delta F}{\delta \eta (t)}
\end{equation}
pomocí výpočtu variace $F$:
\begin{equation}
\delta F[\eta] = \int_a^b \frac{\delta F}{\delta \eta(t)} \delta \eta (t) \dif t.
\end{equation}
}
Příklad takového systému jsme už viděli v \cite{sto:TEF}
\begin{equation}
S[\eta] = \int_a^b L(\eta, \overset{.}{\eta}, t) \dif t,
\end{equation}
kde $\frac{\delta S}{\delta \eta(t)} $ dává přesně levou stranu Euler-Lagrangiových rovnic.
Často lze psát
\begin{equation}
\frac{\delta F}{\delta \eta (t)} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} \frac{1}{\epsilon} \left( F[\eta + \epsilon \delta(t)] - F[\eta] \right),
\end{equation}
podobně jako jsme to provedli při výpočtu propagátoru LHO dráhovým integrálem.
Vraťme se k výpočtu střední hodnoty pozorovatelné $\hat{A}$ ve stavu $\ket{0}$. Označíme si
\begin{equation}
Z[\beta, \vec{\eta}] = \int \mathscr{D} \vec{x} \exp \left( \frac{1}{\hbar} \int_0^{\hbar \beta} \left\lbrace L_{\mathrm{Eukl.}}(\vec{x}(\tau), \overset{.}{\vec{x}} (\tau), \tau) + \vec{x}(\tau) \cdot \vec{\eta}(\tau) \right\rbrace \dif \tau \right),
\end{equation}
kde dráhový integrál je přes všechny uzavřené trajektorie $\vec{x}: <0, \hbar \beta> \rightarrow \mathbb{R}^3$ a $\vec{\eta}$.
Zapišme $A(\vec{x})$ pomocí vytvořujícího funkcionálu (Taylorova rozvoje)
\begin{equation}
A(\vec{x}) = \sum_{\vec{n}} a_{\vec{n}} x_1^{n_1} x_2^{n_2} x_3^{n_3} \equiv \sum_{\vec{n}} a_{\vec{n}} \vec{x}^{\vec{n}},
\end{equation}
potom
\begin{eqnarray}
\brapigket{0}{\hat{A}}{0} = \left. \lim_{\beta \rightarrow \infty} \frac{1}{Z(\beta)} \int \mathscr{D} \vec{x} \sum_{\vec{n}} a_{\vec{n}} \vec{x}^{\vec{n}}(0) \exp \left( \frac{1}{\hbar} \int_0^{\hbar \beta} \left\lbrace L_{\mathrm{Eukl.}} + \vec{x} \vec{\eta} \right\rbrace \dif \tau \right) \right|_{\vec{\eta} = 0},
\end{eqnarray}
kde každé $x_i^k(0)$ rozepíšeme poněkud formálně pomocí funkcionální derivace jako $\left(\frac{\hbar \delta}{\delta \eta_i(0)}\right)^k$ díky exponenciále, která za nimi následuje. Obdržíme tak výsledek ve velmi kompaktní formě, zapsaný pomocí zavedeného označení
\begin{equation}
\brapigket{0}{\hat{A}}{0} = \left. \lim_{\beta \rightarrow \infty} \frac{1}{Z(\beta)} A\left( \frac{\hbar \delta}{\delta \eta_1(0)}, \frac{\hbar \delta}{\delta \eta_2(0)}, \frac{\hbar \delta}{\delta \eta_3(0)} \right) Z[\beta, \vec{\eta}] \right|_{\vec{\eta} = 0}.
\end{equation}
To je mimořádně užitečný vztah pro zájemce o QFT. Zápisem funkcionálních derivací v závorce máme na mysli dosazení za příslušné složky $\vec{x}$ do vytvořujícího funkcionálu pro $A(\vec{x})$.
