Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Riemannův integrál jako elementární integrál}
%\begin{remark}
Tuto kapitolu Vrána zkouší pouze na A, slouží spíše pro shrnutí dosavadních poznatků o Riemannově konstrukci integrálu, na níž budeme následně budovat integrál Lebesgueův.
%\end{remark}
\begin{define}
Buď $\I$ kompaktní uzavřená množina taková, že
\[\I=\bigx_{i=1}^n\left[ a^i,b^i\right] .\]
Množinu $\I$ nazveme {\bf $n$-rozměrným intervalem}.
\end{define}
\begin{define}
{\bf Objemem $n$-rozměrného intervalu $\I$} nazveme číslo
\[V(\I)=\prod_{i=1}^n(b^i-a^i).\]
\end{define}
\begin{define}
Buďte $\sigma^i$, $i\in\n$ rozdělení intervalu $\left[ a^i,b^i\right] $. Pak
množinu
\[\sigma=\bigx_{i=1}^n\sigma^i\]
nazveme {\bf kartézským rozdělením $n$-rozměrného intervalu
$\I$}.
\end{define}
\begin{define}
Číslo $\norm{\sigma}=\max_{i\in\n}\norm{\sigma^i}$ nazveme {\bf norma
rozdělení $\sigma$}. Rozdělení, pro které platí
$\norm{\sigma}<\delta$, nazveme {\bf $\delta$-rozdělení}. Posloupnost
rozdělení $\posl{\sigma_m}$ nazveme {\bf normální}, právě když
$\norm{\sigma_m}\to 0$.
\end{define}
\begin{define}
Buď $\I$ interval v~$\R^n$, $f:\I\mapsto\R$, $\sigma$ rozdělení
$\I$, buďte
\[M_i=\sup_{\I_i}f(x),\quad m_i=\inf_{\I_i}f(x).\]
Pak číslo
\[S(f,\sigma)=\sum_{i=1}^pM_iV(\I_i)\]
nazveme {\bf horním Darbouxovým součtem funkce $f$ na $J$} a číslo
\[s(f,\sigma)=\sum_{i=1}^pm_iV(\I_i)\]
nazveme {\bf dolním Darbouxovým součtem}.
$\sigma^*$ zjemnění $\sigma$: $\sigma_i^*$ je zjemnění $\sigma_i$ pro
každé $i\in\n$.
\end{define}
\begin{define}
Buď $\I$ interval v~$\R^n$, $f:\I\mapsto\R$. Pak označíme
\[\underline{\int_\I}f=\sup_{(\sigma)}s(f,\sigma),\quad
\overline{\int_\I}f=\inf_{(\sigma)}S(f,\sigma).\]
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item
\[mV(\I)\le s(f,\sigma)\le S(f,\sigma)\le MV(\I)\]
\[s(f,\sigma)\le s(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma)\]
\item Pro $\sigma_1,\sigma_2$ existuje zjemnění obou $\sigma^*$, z~čehož vyplývá
\[s(f,\sigma_1)\le s(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma_2).\]
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $f$ omezená na $\I\subset\R^n$. Pak
$(\forall\epsilon)(\exists\delta>0)(\forall\sigma)(\norm{\sigma}<\delta)$
a platí
\[\overline{\int_{\I}}f\le S(f,\sigma)<\overline{\int_{\I}}f+\epsilon\wedge
\underline{\int_{\I}}f\ge s(f,\sigma)>\underline{\int_{\I}}f-\epsilon.\]
\end{theorem}
\begin{dusl}
Je-li $\norm{\sigma_m}\to 0$, pak
\[\lim_{m\to\infty}S(f,\sigma_m)=\overline{\int_{\I}}f,\quad
\lim_{m\to\infty}s(f,\sigma_m)=\underline{\int_{\I}}f.\]
\end{dusl}
\begin{define}
Buď $f$ omezená na $\I$. Řekneme, že $f$ je {\bf Darbouxovsky
integrabilní}, právě když
\[\underline{\int_\I}f=\overline{\int_\I}f=\mathfrak D\!\int_\I f
\text{ \dots nazýváme {\bf Darbouxův integrál}}\]
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item
Funkce je darbouxovsky integrabilní, právě když
$(\forall\epsilon)(\exists\delta)(\forall \sigma , \norm{\sigma}<\delta)$
$(\Omega(f,\sigma)=S(f,\sigma)-s(f,\sigma)<\epsilon)$, kde
\[\Omega=\sum_{j=1}^p(M_j-m_j)V(\I_j)\]
je {\bf oscilace funkce}.
\item Funkce spojitá na intervalu je darbouxovsky integrabilní.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Mějme libovolnou reálnou funkci $f$ na kompaktu $\I$.
\[\Xi(f,\sigma)=\sum_{i=1}^p f(\xi_i)V(\I_i),
\quad\xi_i\in\I_i\ \forall i\in\hat p\]
nazveme {\bf Riemannovým integrálním součtem}.
Funkci nazveme {\bf Riemannovsky integrabilní}, právě když
pro každou normální posloupnost $\posl{\sigma_m}$ a pro každý systém
$\xi_i$ existuje vlastní limita
\[\lim_{m\to\infty}\Xi(f,\sigma_m)=\mathfrak R\!\int_\I f.\]
\end{define}
\begin{remark}
$s(f,\sigma_m)\le\Xi(f,\sigma_m)\le S(f,\sigma)$. Má-li funkce
Darbouxův integrál, má i~Riemannův.
\end{remark}
\begin{theorem}
Následující dva výroky jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}
\item Existuje Darbouxův integrál (a~funkce je tedy omezená)
\[\mathfrak D\!\int_\I f\]
\item Existuje normální posloupnost $\posl{\sigma_m}$ tak, že pro
jakoukoli posloupnost Riemannových integrálních součtů existuje limita
\[\lim_{m\to\infty}\Xi(f,\sigma_m)\in\R\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[1)]
\item $1\implies 2$: Nejenže existuje $\posl{\sigma_m}$, ale dokonce
pro každou.
\item $2\implies 1$, resp. $\neg 1\implies\neg 2$: $\mathfrak D\!\int f$
neexistuje, tedy posloupnost částečných součtů není omezená
(tj. funkce není omezená) nebo $\underline{\int} f\not=\overline{\int}
f$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Funkce není omezená:
Vezmu libovolnou $\norm{\sigma_m}\to 0$. Pak (alespoň) v~jednom
částečném intervalu ($k$-tém) je funkce neomezená. Naleznu $\xi_{k'}$
tak, aby
\[\sum_{\substack{k=1\\k\not=k'}}^{p_m}
f(\xi_k^m)\V(\I_k^m)+f(\xi_{k'}^m)\V(\I_k^m)>m\]
\item $\underline{\int} f\not=\overline{\int} f$:
Konstrukce $\xi_k$:
\[m_k^{(m)}\le f(\xi_k^{(m)})<m_k^{(m)}+\epsilon\text{ pro $m$ liché}\]
\[M_k^{(m)}-\epsilon<f(\xi_k^{(m)})\le M_k^{(m)}\text{ pro $m$ sudé}\]
a mám vybrané posloupnosti konvergující k~různým limitám
$\underline\int$ a $\overline\int$, takže limita
neexistuje.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{dusl}
Darbouxův a Riemannův integrál se shodují. Darboux ovšem potřebuje
omezenou funkci, Riemann si ji nese v~definici Riemannova integrálního
součtu. Darboux se hodí na existenci integrálu, Riemann se hodí na
výpočet hodnoty integrálu.
Z~Darbouxe například okamžitě plyne integrabilita součtu, násobku a
součinu funkcí:
\[\Omega(\alpha f+\beta g,\sigma)\le\abs{\alpha}\Omega(f,\sigma)+
\abs{\beta}\Omega(g,\sigma),\]
\[\Omega(fg,\sigma)\le K\Omega(f,\sigma)+M\Omega(g,\sigma),\]
kde $\abs{f}\le K$, $\abs{g}\le M$.
Z~Riemanna zase plyne
\[\lim_{m\to\infty}\Xi(\alpha f+\beta g,\sigma)=
\alpha\mathfrak R\!\int f+\beta\mathfrak R\!\int g.\]
\end{dusl}
\begin{theorem}
Buď $\I$ kompaktní. Pak $\c{0}(\I)\subset\mathfrak D(\I)=\mathfrak
R(\I)$, funkce spojitá na $\I$ je darbouxovsky integrabilní na
kompaktu.
\begin{proof}
Díky stejnoměrné spojitosti $f$
\[\Omega(f,\sigma)=\sum_{i=1}^p(M_i-m_i)V(\I_i)<\epsilon V(\I)\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Množina $Z$ je {\bf Jordanovy míry nula}, právě když pro každé
$\epsilon>0$ existuje konečný systém $\system{j=1}{r}{\K_j}$
takový, že pokrývá $Z$ ($Z\subset\bigcup_{j=1}^r\vn{\K_j}$) a současně
platí
\[\sum_{j=1}^r V(\K_j)<\epsilon\]
\end{define}
\begin{remark}
Konečná množina je Jordanovy míry nula, množina s~konečným počtem
hromadných bodů je Jordanovy míry nula.
\end{remark}
\begin{theorem}
Má-li množina bodů nespojitosti omezené funkce $f$ na $\I\subset\R^n$
Jordanovu míru nula, pak je funkce $f$ Riemannovsky integrabilní.
\end{theorem}
