Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GR}
% ****************************************************************************************************************************
% KAPITOLA: Přímý a polopřímý součin grup
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Přímý a polopřímý součin grup}
Jedná se o způsob konstrukce větších grup z menších.
\begin{define} Přímý součin definujeme pro konečné a spočetně nekonečné množiny grup (rozdíl definice je jen formální).
\begin{enumerate}
\item \textbf{Přímým součinem} grup $G_1 \times G_2 \times \ldots \times G_n$ s násobením $\ast_1, \ast_2, \ldots \ast_n$ po řadě, je množina $n$-tic $(g_1, g_2, \ldots, g_n)$ ($g_i \in G_i$) s násobením definovaným po složkách. Tedy:
\begin{equation}
(g_1, g_2, \ldots, g_n)\ast(h_1, h_2, \ldots, h_n) = (g_1 \ast_1 h_1, g_2 \ast_2 h_2, \ldots, g_n \ast_n h_n).
\end{equation}
\item \textbf{Přímým součinem} grup $G_1 \times G_2 \times \ldots $ s násobením $\ast_1, \ast_2, \ldots $, po řadě, je množina posloupností $(g_1, g_2, \ldots )$ ($g_i \in G_i$) s násobením definovaným po složkách. Tedy:
\begin{equation}
(g_1, g_2, \ldots)\ast(h_1, h_2, \ldots) = (g_1 \ast_1 h_1, g_2 \ast_2 h_2, \ldots).
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{define}
Je zřejmé, že výsledkem přímého součinu grup je opět grupa a to řádu $|G| = |G_1||G_2|\ldots|G_n|$ nebo nekonečného.
\section{Klasifikace Abelovských grup}
\begin{define}
\begin{enumerate}
\item Grupa $G$ je \textbf{konečně generovaná}, pokud existuje konečná množina $A\subset G$ taková, že $G=<A>$.
\item Pro každé $r\in \mathbb{Z}$, $r \geq 0$, buď $\mathbb{Z}^r=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \times \ldots \times \mathbb{Z}$ direktní součet $r$ kopií grupy $\mathbb{Z}$, kde $\mathbb{Z}^0=e$. Grupa $\mathbb{Z}^r$ se nazývá \textbf{volná Abelovská grupa řádu $r$}.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{theorem}
(Základní věta konečně generovaných Abelovských grup): Buď $G$ konečně generovaná Abelovská grupa. Pak:
\begin{enumerate}
\item $G \cong \mathbb{Z}^r \times Z_{n_1}\times Z_{n_2} \times \ldots \times Z_{n_s}$ pro nějaká celá čísla splňující následující podmínky:
\begin{enumerate}
\item $r \geq 0$ a $n_j \geq 2$ pro všechna $j$,
\item $n_{i+1}|n_i$ pro $1\leq i \leq s-1$,
\end{enumerate}
\item a rozklad je jednoznačný.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Nedělá se.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Každý prvočíselný dělitel $|G|$ musí dělit $n_1$.
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $G$ grupa řádu $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_k^{\alpha_k}$. Potom
\begin{enumerate}
\item $G \cong A_1 \times A_2\times \ldots \times A_k$, kde $|A_i|=p_i^{\alpha_i}$,
\item pro každé $A\in {A_1, A_2, \ldots, A_k}$, kde $|A|=p^\alpha$ je $A \cong Z_{p^{\beta_1}} \times Z_{p^{\beta_2}} \times \ldots \times Z_{p^{\beta_t}}$, kde $\beta_1 \geq \beta_2 \geq \ldots \geq \beta_t \geq 1$ a $\beta_1 + \beta_2 + \ldots + \beta_t = \alpha$ ($t$ a $\beta_j$ závisí na $i$)
\item a rozklad v 1) a 2) je jednoznačný.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Nedělá se.
\end{proof}
\end{theorem}
\section{Polopřímý součin}
\begin{remark}
Polopřímý součin je další způsob, jak z menších grup vyrobit grupu větší. Ve výsledku dostaneme z grup $H$ a $K$ grupu $G$, ve které bude platit $H \npg G$, ale $K \le G$ nemusí být normální. Jako motivaci předpokládejme, že už takovou $G$ máme a platí $H \cap K = 1$. Pltí, že $HK \le G$ a existuje bijekce mezi prvky $HK$ a dvojicemi $(h,k)$, kde $h \in H$ a $k \in K$. Chceme-li součin dvou prvků z $HK$ opět napsat ve tvaru $hk$, postupujeme takto:
\begin{align}
(h_1 k_1)(h_2 k_2) = h_1 k_1 h_2 (k_1^{-1} k_1) k_2 = h_1 (k_1 h_2 k_1^{-1}) k_1 k_2 = h_1 h_3 k_3 = h_4 k_3, \nonumber
\end{align}
kde jsme využili toho, že $H$ je normální podgrupa. Cílem polopřímého součinu je zavést grupu s obdobným násobením bez "zastřešující" grupy, která nám umožňuje násobit mezi sebou prvky z $K$ a $H$.
\end{remark}
\begin{theorem}
Buďte $H$ a $K$ grupy a $\varphi$ homomorfismus z $K$ do automorfismů $H$. (Tedy $\varphi$ každému prvku $k \in K$ přiřadí nějakou permutaci $H$.) Dále puď $\cdot$ akce grupy $K$ na $H$ daná zobrazením $\varphi$. Buď $G$ množina dvojic $(h,k)$, $h \in H$ a $k \in K$ a definuje násobení těchto dvojic jako:
\begin{align}
(h_1,k_1)(h_2,k_2) = (h_1 k_1 \cdot h_2,k_1 k_2). \nonumber
\end{align}
\begin{enumerate}
\item $G$ s touto operací je grupa řádu $|G| = |K||H|$.
\item Množiny $\{(h,1) |h \in H\}$ a $\{(1,k) |k \in K\}$ jsou podgrupy $G$ isomorfní grupám $H$ a $K$. (Dále mezi nimi nerozlišujeme.)
\item $H \npg G$.
\item $H \cap K = 1$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
???
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Grupu $G$ z předchozí věty nazýváme \textbf{polopřímý součin} grup $H$ a $K$ a značíme $H \rtimes_\varphi K$.
\end{define}
