Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GR}
% ****************************************************************************************************************************
% KAPITOLA: Podgrupy
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Podgrupy}
\begin{define}
Množina $H\neq \emptyset$ je \textbf{podgrupa} grupy $G$ (značíme $H \leq G$), pokud je grupou vůči násobení v $G$. (Tedy obsahuje jednotku z $G$ a je uzavřená vůči násobení prvků z $H$ a jejich inverzi.)
\end{define}
\begin{example}
Množina $\{E,A\}$ je podgrupou v $D_6$ ($A^2=E$, $A^{-1}=A$).
\end{example}
\begin{theorem}
Množina $\emptyset \neq H \subset G$ je podgrupa $\lra$ $(\all x,y \in H)(xy^{-1} \in H)$.
\begin{proof}
Implikace $\ra$ plyne přímo z definice podgrupy. Dokážeme opačnou implikaci. Z definice je $H$ neprázdná, a tedy můžeme vzít $g \in H$. Pokud nyní položíme $x = g$ a $y = g$, máme $gg^{-1} \in H$, tedy $H$ obsahuje jednotku. Dále tedy volíme $x = 1$ a $y = g$ a dostáváme $1g^{-1} \in H$, tedy $H$ obsahuje inverzi $g$. Nakonec pro libovolné prvky $f,g \in G$ volíme $x = f$ a $y = g^{-1}$, dostáváme $f(g^{-1})^{-1} \in H$, tedy $H$ obsahuje součin $fg$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Pro konečnou podgrupu $H \leq G$ platí ($\all x \in H$)($|x|\le \infty$).
\end{remark}
%__________________________________________________
\subsection{Cyklické grupy}
\begin{define}
Podgrupu nazýváme \textbf{cyklická}, pokud je generována jen jedním prvkem $a$ a značíme $H=<a>=\{a^n|n \in \mathbb{Z},a^0=e\}$.
\end{define}
\begin{remark}
Cyklická podgrupa je vždy abelovská (komutativní).
\end{remark}
\begin{remark}
Dvě cyklické grupy $<x>$ a $<\xi>$ stejného řádu jsou isomorfní ($\varphi(x^n)=\xi^n$).
\end{remark}
\begin{theorem}
Pro podgrupu $H=<x>$ platí $|G|=|x|$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Pro $|x|=\infty$ jsou všechny prvky $c^\alpha$ různé pro $\all \alpha \in \N$, tedy jich je nekonečně mnoho.
\item Nechť $|x|=n$. Platí $(\all \alpha \in \Z)(\alpha = kn+m)$, pro nějaké $n \in \Z$ a $(m \in \Z^+)(m \le n)$. Potom $s^\alpha = x^{kn}x^m = 1x^m$. Máme tedy právě $n$ prvků v $G$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
\label{v:rady}
Mějme grupu $G = <x>$. Potom platí:
\begin{enumerate}
\item $|G|=\infty \ra |x^\alpha|=\infty$ a navíc $(x^\alpha \neq x^\beta)(\all \alpha,\beta \in \Z\setminus\{0\})$,
\item $|G|=n \ra |x^\alpha|=\frac{n}{(n,\alpha)}$ pro $\alpha \in \Z\setminus\{0\}$. (Závorka je nejmenší společný dělitel $n$ a $\alpha$.)
\end{enumerate}
\begin{proof}
1) $|G|=\infty$ znamená, že $|x|=\infty$, tedy $(\all a \in \N)((x^\alpha)^n = x^{n\alpha} \neq 1)$. Důkaz druhé části provedeme sporem, tedy nechť $x^\alpha = x^\beta$. Potom $x^{\alpha - \beta} = x^0 = 1$ (tedy $|x|=\alpha-\beta$), což je spor.
2) Víme tedy, že $|x|=n$. Označme si $d=(n,\alpha)$. Musí existovat celé číslo $c$ takové, že $\alpha = c d$. Jelikož $\alpha$ i $n$ jsou pevná, pak i $c$ je pevně určeno. Nyní budeme hledat nejmenší $a \in \N$ takové, aby $(x^\alpha)^a=x^{\alpha a} = 1$. Musí tedy platit $\alpha a = bn$ pro nějaké $b \in \N$, které si můžeme volit. To dále upravíme:
\begin{align}
\alpha a &= b n \nonumber \\
c d a &= b n \nonumber \\
a &= \frac{b}{c} \frac{n}{d}. \nonumber
\end{align}
Víme, že $\frac{n}{d}$ je celé číslo. Jelikož $a$ musí být také celé číslo a navíc chceme, nejmenší možné, zvolíme $b=c$. Nemůžeme volit $b < c$, protože aby pak bylo $a$ celé, muselo by mít $c$ a $n$ společného dělitele, což je spor s definicí $c$. Tím dostáváme tvrzení věty. (Doporučuji si to vyzkoušet na konkrétních číslech, třeba $n=4$ a $\alpha = 6$.)
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Každá podgrupa grupy $<x>$ je cyklická.
\end{remark}
\begin{define}
Podgrupa \textbf{generovaná podmnožinou} $M \subset G$ je nejmenší podgrupa $G$ obsahující všechny prvky $M$. Tedy $<M>=\bigcap_{H_i \le G \atop M \subset H_i} H_i$. (Snadno se ukáže, že průnik dvou podgrup je opět podgrupa.)
\end{define}
%________________________________________Uspořádání__________________________________________
\section{Uspořádání}
Moc nevím, k čemu to tu je, ale měl jsem to zapsané z přednášky...
\begin{define}
Relaci $\preceq$ na množině $M$ nazýváme (částečné) \textbf{uspořádání}, pokud platí:
\begin{enumerate}
\item $(\all x \in M)(x \preceq x)$ (reflexivní),
\item $(\all x,y,z \in M)(x \preceq y \wedge y \preceq z \ra x \preceq z)$ (tranzitivní),
\item $(\all x,y \in M)(x \preceq y \wedge y \preceq x \ra x=y)$ (slabá antisymetrie).
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{example}
Grupa $G=\{e,a,b|a^2=e,b^2=e\}$ má podgrupy $\{e\}$, $<a>$, $<b>$ a $G$. Můžeme zavést uspořádání způsobem: $G_1 \preceq G_2 \lra G_1 \le G_2$. Viz Obr. \ref{fig:usporadani}.
\end{example}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.4]{usporadani.jpg}
\caption{Zobrazení uspořádání na $G=\{e,a,b|a^2=e,b^2=e\}$ podle relace "být podgrupou".}
\label{fig:usporadani}
\end{figure}
\begin{define}
Mějme množinu $M$ a relaci uspořádání $R$. Dále pro každé dva prvky $x,y \in M$ definujeme \textbf{supremum} ??????????
\end{define}
\begin{define}
Mějme množinu $M$ a relaci uspořádání $R$. Potom $\{M,R\}$ nazýváme \textbf{svaz}, pokud $(\all x,y \in M)((x\vee y \in M)\wedge (x\wedge y \in M)))$ (Znaky $\vee$ a $\wedge$ znamenají supremum a infimum).
\end{define}
\begin{define}
Svaz $\{M,R\}$ nazýváme \textbf{modulární}, pokud $(\all x,y,z \in M)((z \preceq x) \ra a\wedge (b\vee c)=(a \wedge b)\vee c)$.
\end{define}
\begin{example}
Mějme libovolnou množinu $A$ a její potenční množinu $2^A$. Zavedeme uspořádání $(\all M,N \in 2^A)(M \preceq N \lra M \subset N)$.
\end{example}
%________________________________________Zobrazení grupy přes podgrupy__________________________________________
\section{Zobrazení grupy přes podgrupy}
\begin{remark}
V této sekci popíšeme, jak je možné zobrazit strukturu grupy pomocí jejích podgrup.
\end{remark}
\begin{define}
Konstrukce \textbf{mřížky podgrup} konečné grupy $G$: (Nevím, jestli se tomu na přednášce neříká nějak jinak.) Najdeme všechny podgrupy $G$ a seřadíme je podle jejich řádu. Grupu $G$ dáme úplně navrch a grupu $1$ úplně dolů. Zbytek podgrup rozmístíme podle jejich řádu a spojíme čarami všechny grupy $A$ a $B$, pro které platí $A \le B$ a neexistuje podgrupa $C$, pro kterou $C < B$ (vlastní podgrupa) a zároveň $A < C$. (Tedy spojujeme jen \uv{nejbližší} podgrupy.)
\end{define}
\begin{remark}
Mezi každými dvěma podgrupami $A \le B$ existuje spojnice, ale může vést přes celý řetězec podgrup a těchto spojnic může být i více. Příklad je na Obr. \ref{fig:mrizka}
\end{remark}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{mrizka.PNG}
\caption{Mřížka podgrup grupy $\Z/12\Z$ Převzato z \cite{AA}.}
\label{fig:mrizka}
\end{figure}
%________________________________________Centralizátory, normalizátory, stabilizátory__________________________________________
\section{Centralizátory, normalizátory, stabilizátory a jádra}
\subsection{Centralizátory a normalizátory množiny v grupě}
\begin{define}
Buď $\emptyset \neq A \subset G$. Definujeme \textbf{centralizátor} množiny $A$ v $G$ jako: $C_G(A)=\{g \in G | gag^{-1} = a $ pro $ \all a \in A\}$.
\end{define}
\begin{remark}
Jelikož $(gag^{-1} = a) \lra (ga = ag)$, je centralizátor množiny $A$ množina všech prvků z $G$, které komutují se všemi prvky z $A$.
\end{remark}
\begin{theorem}
Množina $C_G(A)$ je podgrupa v $G$.
\begin{proof}
Víme, že $C_G(A)$ je neprázdná, jelikož $1 \in C_G(A)$ (z definice komutuje se vším). Dále mějme $x \in C_G(A)$. Pak pro $\all a \in A$ platí:
\begin{align}
x^{-1} | \quad xax^{-1} &= a \quad | x \nonumber \\
a &= x^{-1}ax, \nonumber
\end{align}
tedy $x^{-1} \in C_G(A)$. Pro dva prvky $x,y \in C_G(A)$ pak máme:
\begin{align}
(xy)a(xy)^{-1} = x(yay^{-1})x^{-1} = xax^{-1} = a, \nonumber
\end{align}
a tedy centralizátor je uzavřený i vůči násobení.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Definujeme \textbf{centrum} grupy $G$ jako: $Z(G) = \{g \in G | gfg^{-1} = f $ pro $ \all f \in G\}$.
\end{define}
\begin{remark}
Platí, že $Z(G)=C_G(G)$, tedy je to množina prvků $G$, které komutují se všemi ostatními. Jako speciální případ předchozí věty platí $Z(G) \le G$.
\end{remark}
\begin{define}
Pro $A \subset G$ a $g \in G$ zavádíme značení: $gA = \{ga | a \in A\}$. Obdobně pro $Ag$, a tedy konkrétně $gAg^{-1} = \{gag^{-1} | a \in A\}$.
\end{define}
\begin{define}
Buď $\emptyset \neq A \subset G$. Definujeme \textbf{normalizátor} $A$ v $G$ jako: $N_G(A) = \{g \in G | gAg^{-1} = A\}$.
\end{define}
\begin{remark}
Normalizátor se od centralizátoru liší tím, že může prvky $A$ zpermutovat (množina $A$ se tím nezmění). Platí, že $C_G(A) \le N_G(A)$. To, že $N_G(A)$ je grupa se ukáže obdobně, jako u centralizátoru.
\end{remark}
\subsection{Stabilizátory a jádro akce grupy}
\begin{define}
Mějme grupu $G$ a její akci $\cdot: G\times S \rightarrow S$ na množinu $S$ a nechť $s \in S$ je pevně zvolený prvek. Potom \textbf{stabilizátor} $s$ v $G$ je: $G_s = \{g \in G | g\cdot s = s\}$.
\end{define}
\begin{theorem}
Platí $G_s \le G$.
\begin{proof}
Víme, že $1 \in G_s$ z axiomu akce ($1\cdot s = s$). S využitím akce pak máme pro libovolné $y \in G_s$: $s = 1\cdot s = (y^{-1}y)\cdot s = [$axiom akce$] = y^{-1}\cdot(y\cdot s) = y^{-1}\cdot s$, tedy $y^{-1} \in G_s$. Konečně pro $x,y \in G_s$ latí: $(xy)\cdot c = x\cdot(y\cdot s) = x \cdot s = s$, tedy i součin $xy$ patří do $G_s$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Definujeme \textbf{jádro} akce jako: $Ker(\cdot) = \{g \in G | g\cdot s = s $ pro $ \all s \in S\}$.
\end{define}
\begin{remark}
Platí, že $Ker(\cdot) \le G$.
\end{remark}
%\begin{define}
%Buďte $G$ grupa a $S=\mathcal{P}(G)$ (množina všech podmnožin $G$). Pak $G$ působí na $S$ \textbf{sdružením} (konjugací) tak, že pro $\all B \in S$ a $g \in G$ přiřazuje $B \rightarrow gBg^{-1} (= \{ gbg^{-1} | b \in B\})$.
%\end{define}
%\begin{remark}
%Nyní zjišťujeme že $N_G(A)$ je stabilizátor konjugace $A$ v $G$
%\end{remark}
