Součásti dokumentu 02GMF1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GMF1}
\chapter{Diferencovatelné variety}
Geometrickými vlastnostmi matematických struktur se v principu zabývají dvě oblasti matematiky:
\begin{itemize}
\item \textbf{Algebraická geometrie} zkoumá útvary v daném prostoru ($\R^n, \mathbb{C}^n,\mathbb{CP}^n$, \ldots) zadané jako množina řešení (systémů) polynomiálních rovnic, tzv. algebraické variety (angl. variety), které mohou obsahovat různé typy singularit, viz např. $x\cdot y = 0$ v $\R^2[x,y]$. Jedná se o velice abstraktní oblast matematiky.
\item \textbf{Diferenciální geometrie}, neboli globální analýza, zkoumá topologické prostory, které jsou lokálně ztotožnitelné s $\R^n$, ze kterého se na ně přenáší pojmy známé z analýzy. Podstatné jsou vnitřní vlastnosti a jejich popis v různých souřadnicích, nikoliv způsob vnoření do nějakého vektorového či afinního prostoru. Základním pojmem je tzv. diferencovatelná (neboli hladká) varieta (angl. manifold).
\end{itemize}
V tomto skriptu se budeme věnovat základním pojmům druhé jmenované. Nejprve uveďme pár definic:
\begin{defi}
Topologický prostor $(M,\tau)$ je \textbf{Hausdorffův} $\Leftrightarrow (\forall x, y \in M, x \neq y)( \exists U = U^\circ, x \in U)$ $(\exists V = V^\circ, y \in V)( U \cap V = \emptyset)$.
\end{defi}
\begin{defi}
Nechť jsou $\pokryti \in \tau, \pokrytiA \in \tau$ dvě otevřená pokrytí topologického prostoru $(M, \tau)$, tj. $\bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha = M = \bigcup_{\beta \in J} V_\beta$, pak $\pokrytiA$ je \textbf{zjemněním} $\pokryti \Leftrightarrow (\forall \beta \in J) (\exists \alpha \in I)( V_\beta \subset U_\alpha)$.
\end{defi}
\begin{defi}
Otevřené pokrytí $\pokryti$ topologického prostoru $(M, \tau)$ je \textbf{lokálně konečné} $\Leftrightarrow$ \mbox{$(\forall x \in M)$}$(\exists J \subset I, \#\{ J\} < + \infty)(\forall \alpha \in I \setminus J)(\{x\} \cap U_\alpha = \emptyset)$.
\end{defi}
\begin{defi}
Topologický prostor $(M,\tau)$ je \textbf{parakompaktní} $\Leftrightarrow$ pro každé pokrytí $\pokryti$ existuje lokálně konečné zjemnění.
\end{defi}
\begin{defi}
Nechť $(M, \tau)$ je topologický prostor, $U = U^\circ \subset M$, $V = V^\circ \subset \R^n$. Pak homeomorfizmus $\varphi : U \rightarrow V$ nazýváme \textbf{mapa} či \textbf{lokální souřadnice} na $M$. $U$ nazýváme \textbf{souřadnicové okolí} v $M$.
\end{defi}
\begin{defi}
Otevřené pokrytí $\pokryti$ topologického prostoru $(M, \tau)$ vybavené mapami $\varphi_\alpha: U_\alpha \rightarrow \varphi_\alpha(U_\alpha)$ nazýváme \textbf{atlas} na $M$ a $n$ nazýváme \textbf{dimenzí atlasu}. Atlas obvykle značíme $\atlas$. (Připomeňme, že $\varphi_\alpha(U_\alpha) = (\varphi_\alpha(U_\alpha))^\circ \subset \R^n$.)
\end{defi}
\begin{pozn}
Klademe $\dim M = n$ ($n$ viz předchozí definice).
\end{pozn}
\begin{pozn}
$C^\omega$ označuje analytické funkce (tj. jejichž Taylorův rozvoj konverguje v každém bodě). Standardně budeme uvažovat $C^\infty$, tj. funkce libovolněkrát diferencovatelné.
\end{pozn}
\begin{defi}
Buď $k \in \mathbb{N}$, popř. $k \in \{ \infty, \omega \}$. Atlas $\atlas$ na $M$ je \textbf{třídy} {\boldmath$C^k$} $\Leftrightarrow$ $(\forall \alpha, \beta \in I: U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset)$ je zobrazení \mbox{$\tau_{\alpha \beta} = \varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1}: \varphi_\alpha (U_\alpha \cap U_\beta) \subset \R^n \rightarrow \varphi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta) \subset \R^n$} třídy $C^k$ a zároveň zobrazení inverzní je třídy $C^k$.
\end{defi}
\begin{defi}
Zobrazení $\tau_{\alpha \beta}$ z předchozí definice nazýváme \textbf{přechodová funkce}.
\end{defi}
\begin{defi}
Mapa $(U, \varphi)$ je {\boldmath$C^k$}\textbf{-kompatibilní} s atlasem $\atlas \Leftrightarrow (\forall \alpha \in I: U \cap U_\alpha \neq \emptyset)$ $(\varphi_\alpha \circ \varphi^{-1}: \varphi(U \cap U_\alpha) \rightarrow \varphi_\alpha (U \cap U_\alpha)$ je třídy $C^k$ a současně $\varphi \circ \varphi_\alpha^{-1}$ je třídy $C^k$, tj. $\varphi \circ \varphi_\alpha^{-1}$ je difeomorfizmus třídy $C^k)$.
\end{defi}
\begin{defi}
Atlas $\atlas$ třídy $C^k$ na $M$ je \textbf{maximální} $\Leftrightarrow$ obsahuje všechny mapy s ním $C^k$-kompatibilní. Maximální atlas třídy $C^\infty$ na $M$ nazýváme \textbf{diferencovatelná} či \textbf{hladká struktura} na $M$.
\end{defi}
\begin{defi}
Topologický Hausdorffův parakompaktní prostor $(M, \tau)$ vybavený diferencovatelnou strukturou nazýváme \textbf{diferencovatelná varieta} (neboli \textbf{hladká varieta}).
\end{defi}
\begin{pozn}
Místo parakompaktnosti se často žádá silnější podmínka, a to aby byl prostor $(M,\tau)$ \textbf{lokálně kompaktní} (tj. každý bod $p$ má kompaktní okolí, tj. kompaktní množinu obsahující otevřenou množinu obsahující $p$) se \textbf{spočetnou bází topologie} (tj. $(\exists \pokryti: U_\alpha = U_\alpha^\circ, I \ \text{je spočetná})(\forall V \in \tau)$ $(\exists J \subset I)(V = \bigcup_{\alpha \in J} U_\alpha))$.
\end{pozn}
Díky lokálnímu ztotožnění topologického prostoru $M$ s prostorem $\R^n$ pomocí atlasu jsme najednou schopni na $M$ např. derivovat, zkoumat hladkost atd. Většinou se setkáme s varietami pokrytými nejvýše spočetným systémem map. Pak lze topologii $\tau$ převést pomocí $\varphi_\alpha^{-1}$ z $\R^n$ a nemusí být zadána předem. Maximalita atlasu se vyžaduje za účelem jednoznačnosti pojmu varieta. Při praktickém počítání použijeme spíše atlas s minimálním počtem map.
\begin{defi}
Spojité zobrazení $\phi$ dvou diferencovatelných variet $M$ a $N$ ($\phi: M \rightarrow N$) je \textbf{hladké} (tj. třídy $C^\infty$) $\Leftrightarrow$ pro každou mapu $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ z atlasu $M$ a pro každou mapu $(V_\beta, \psi_\beta)$ z atlasu $N$, kde $\ \phi(U_\alpha) \cap V_\beta \neq \emptyset$, je zobrazení $\psi_\beta \circ \phi \circ \varphi_\alpha^{-1}: \varphi_\alpha(U_\alpha \cap \phi^{(-1)}(V_\beta)) \subset \R^m \rightarrow \psi_\beta (\phi(U_\alpha) \cap V_\beta) \subset \R^n$ hladké, kde $m = \dim M$ a $n = \dim N$.
\end{defi}
\begin{defi}
Hladkou bijekci $\phi: M \rightarrow N$ takovou, že $\phi^{-1}$ je též hladké, nazýváme \textbf{difeomorfizmus} variet $M$ a $N$.
\end{defi}
\begin{pozn}
Difeomorfní variety považujeme za ekvivalentní a pro praktické účely je ztotožňujeme, např. $S^2 \simeq \mathbb{CP}^1$.
\end{pozn}
Často diferencovatelné variety zadáváme pomocí vazeb, tj. jako vzor $F^{(-1)}(y_0)$ nějakého vybraného bodu $y_0 \in \R^r$ při zobrazení $F: \R^{n+r} \rightarrow \R^r$. Topologii na $F^{(-1)}(y_0)$ uvažujeme indukovanou z $\R^{n+r}$ (indukuje se tak lokální kompaktnost, spočetná báze a to, že prostor je Hausdorffův), mapy přenášíme pomocí věty o implicitní funkci. Její aplikací dostáváme následující větu.
\begin{veta}
Buď $F: \R^{r+n} \rightarrow \R^r$ třídy $C^\infty$, $y_0 \in \R^r$, $F^{(-1)}(y_0) = \{ x \in \R^{r+n} | F(x) = y_0\}$ a nechť \mbox{$\forall x \in F^{(-1)}(y_0)$} platí $\rank{} \, \de{F(x)} = \dim \R^r = r$. Pak $F^{(-1)}(y_0)$ je diferencovatelnou varietou dimenze $n$ s mapami vytvořenými s využitím věty o implicitní funkci.
\end{veta}
\begin{pozn}
Pokud $\varphi_\alpha: U_\alpha \rightarrow \R^{2n} \cong \mathbb{C}^n$, tak může nastat situace, kdy jsou všechny přechodové funkce $\tau_{\alpha \beta}: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n$ na svém definičním oboru holomorfní. Tím pádem máme holomorfní atlas definující tzv. $n$-rozměrnou \textbf{komplexní varietu}. Každá $n$-rozměrná komplexní varieta je $2n$-rozměrnou reálnou varietou, opačná implikace obecně neplatí.
\end{pozn}
\begin{pozn}
Máme-li $(M, \tau, \atlas)$, $(N, \sigma, \{(V_\beta, \psi_\beta)\}_{\beta \in J})$, $\dim M = m, \dim N = n$, dvě variety, pak lze na $M \times N$ přirozeně zavést \textbf{součinovou topologii} $\tau \times \sigma$ (otevřené množiny jsou konečné průniky a libovolná sjednocení kartézských součinů otevřených množin). S mapami $\chi_{\alpha \beta}: U_\alpha \times V_\beta \rightarrow \R^m \times \R^n$, $\chi_{\alpha \beta}(u,v) = (\varphi_\alpha(u), \psi_\beta(v))$, je pak taková množina $M \times N$ $(m+n)$-rozměrnou diferencovatelnou varietou.
\end{pozn}
