Součásti dokumentu 02GMF1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GMF1}
\chapter{Tečný bundle, vektorová pole, integrální křivky}
Zaveďme disjunktní sjednocení všech $\tecn, \ p \in M$ (tj. $V \in TM \Leftrightarrow (\exists p \in M)(\exists X \in \tecn)(V = X)$):
\[ \boldsymbol{TM} = \coprod_{p \in M} \tecn = \{ X_p \in \tecn | \ p \in M\}.
\]
Na $TM$ zavádíme zobrazení $\pi : TM \rightarrow M, \, \pi (X_p) = p$. Na $TM$ můžeme přirozeným způsobem zavést strukturu diferencovatelné variety. Buď $\{U_\alpha, (x_\alpha^i)\}_{\alpha \in I}$ diferencovatelný atlas na $M$, $\dim M = n$. Pak zavedeme na $TM$ atlas $\{V_\alpha, \psi_\alpha\}_{\alpha \in I}$, kde $V_\alpha = \pi^{(-1)}(U_\alpha)$ a $\psi_\alpha: V_\alpha \rightarrow \R^{2n}$ jsou definovány předpisem:
\[ \psi_\alpha(X_p) = (x_\alpha^1(p), \ldots, x_\alpha^n(p), X_\alpha^1(p), \ldots, X_\alpha^n(p)), \text{ kde } X_p = X_\alpha^i (p) \restr{\pder{x^i}}{p} .
\]
Zobrazení $\psi_\alpha$ je bijekce. Zvolíme na $TM$ takovou topologii, aby bylo $\psi_\alpha$ i $\pi$ spojité. Přechodové zobrazení má tvar $(\tau_{\alpha \beta} = \psi_\beta \circ \psi_\alpha^{-1},\ X_p = X_\beta^i \restr{\pder{x_\beta^i}}{p})$:
\[ \tau_{\alpha \beta} (x_\alpha^1, \dots, x_\alpha^n, X_\alpha^1, \dots, X_\alpha^n) = (x_\beta^1 (x_\alpha), \dots, x_\beta^n (x_\alpha), X_\beta^1, \dots, X_\beta^n),
\]
kde $X_\beta^i = \restr{\pderA{x_\beta^i}{x_\alpha^j}}{x_\alpha} \! \! \cdot X_\alpha^j$. Zobrazení $\tau_{\alpha \beta}$ je hladké, neboť lineární zobrazení $( X_\alpha^1, \dots, X_\alpha^n) \rightarrow \left( \restr{\pderA{x_\beta^i}{x_\alpha^j}}{x_\alpha} \! \! \cdot X_\alpha^j\right)_{i=1}^n$ je hladké jako funkce $2n$ proměnných $x^i$ a $X^i$ a $x_\beta \circ x_\alpha^{-1}$ je hladké z předpokladů.
\begin{pozn}
U variet budeme dále implicitně uvažovat zobrazení, která jsou hladká.
\end{pozn}
\begin{defi}
Diferencovatelnou varietu $TM$ nazýváme \textbf{tečný fibrovaný prostor} (též \textbf{tečný bundle}). $TM$ je speciálním případem tzv. fibrovaného prostoru.
\end{defi}
\begin{defi}
\textbf{Fibrovaný prostor} (angl. fibre bundle) je diferencovatelná varieta $E$, nazývaná \mbox{\textbf{totální prostor}}, vybavená následujícími dodatečnými strukturami:
\begin{enumerate}
\item Diferencovatelnou varietou $M$ zvanou \textbf{báze} neboli \textbf{bázová varieta} se surjektivním zobrazením $\pi: E \rightarrow M$ zvaným \textbf{projekce} a otevřeným pokrytím $\pokryti$, $\bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha = M$.
\item Diferencovatelnou varietou $F$ zvanou \textbf{typické vlákno} s difeomorfizmy $\psi_\alpha : \pi^{(-1)}(U_\alpha) \rightarrow U_\alpha \times F$ zvanými \textbf{lokální trivializace} splňujícími ($\pi_1$ je projekce na první složku kartézského součinu $U_\alpha \times F$):
\[ \pi_1 \circ \psi_\alpha = \restr{\pi}{\pi^{(-1)}(U_\alpha)}.
\]
\end{enumerate}
\end{defi}
\begin{defi}
Nechť $p \in U_\alpha \cap U_\beta$. Zobrazení $\tau_{\alpha \beta}: F \rightarrow F$ takové, že
\[ (\forall u \in F)((p, \tau_{\alpha \beta}(p) u) = \psi_\beta \circ \psi_\alpha^{-1} (p, u)),
\]
nazýváme \textbf{přechodová funkce} na vlákně při přechodu z trivializace $(U_\alpha, \psi_\alpha)$ do trivializace $(U_\beta, \psi_\beta)$.
\end{defi}
\begin{pozn}
Neplést $\tau_{\alpha \beta}$ s přechodovou funkcí u variet.
\end{pozn}
\begin{pozn}
Fibrovaný prostor $(E, M, F, \pi, \{(U_\alpha, \psi_\alpha) \}_{\alpha \in I})$ často značíme jen jako $E$ nebo $E \stackrel{\pi}{\rightarrow} M$.
\end{pozn}
Často klademe omezení na přípustné lokální trivializace: připouštíme pouze takové trivializace, kdy všechny přechodové funkce na vlákně leží ve vhodně vybrané grupě zobrazení $F \rightarrow F$, tj. ve vhodné podgrupě grupy všech difeomorfizmů Diff$(E)$. Vybranou grupu nazýváme \textbf{strukturní grupa} fibrovaného prostoru $E$. Může jít o případy, kdy má $F$ dodatečnou strukturu, jako např. vektorový prostor nebo varieta s metrikou. Za přechodové funkce se pak vybírají zobrazení zachovávající onu strukturu, např. lineární zobrazení.
\begin{pozn}
Pokud $F$ má strukturu vektorového prostoru, je přirozené požadovat, aby strukturní grupa fibrovaného prostoru $E$ s typickým vláknem $F$ byla $GL(\dim F, \R)$. Takový fibrovaný prostor nazýváme \textbf{vektorový fibrovaný prostor}.
\end{pozn}
\begin{defi}
Pro dané $p \in M$ nazýváme $\pi^{(-1)}(p)$ \textbf{vlákno nad bodem {\boldmath $p$}}. $\pi^{(-1)}(p)$ je diferencovatelná varieta izomorfní typickému vláknu $F$ (izomorfizmus není určen jednoznačně, předpis pro něj zní: $x \rightarrow \pi_2 (\psi_\alpha(x)), \ x \in \pi^{(-1)}(p)$).
\end{defi}
\begin{defi}
\textbf{Řez fibrovaného prostoru $E$} definujeme jako hladké zobrazení $\sigma: M \rightarrow E$ vyhovující podmínce $\pi \circ \sigma = id$. Množinu všech řezů $E$ značíme $\Gamma(E)$.
\end{defi}
\begin{defi}
\textbf{Lokální řez} na okolí $U = U^\circ \subset M$ je hladké zobrazení $\sigma: U \rightarrow E$ splňující $\pi \circ \sigma = \restr{id}{U}$.
\end{defi}
\begin{defi}
\textbf{Zobrazením fibrovaných prostorů} $(E, M, F, \pi)$ a $(\tilde{E}, \tilde{M}, \tilde{F}, \tilde{\pi})$ (angl. bundle map) nazveme dvojici zobrazení $\phi: E \rightarrow \tilde{E}$ a $\varphi: M \rightarrow \tilde{M}$ vyhovující podmínce: $\tilde{\pi} \circ \phi = \varphi \circ \pi$.
\end{defi}
\begin{defi}
Fibrovaný prostor $E \stackrel{\pi}{\rightarrow} M$ je \textbf{triviální}, pokud existuje vzájemně jednoznačné zobrazení fibrovaných prostorů $E \stackrel{\pi}{\rightarrow} M$ a $M \times F \stackrel{\pi_1}{\rightarrow} M$.
\end{defi}
\begin{defi}
\textbf{Vektorové pole $X$} na varietě $M$ je řez tečného bundlu, tj. $X \in \Gamma(TM)$. Množinu všech vektorových polí na varietě $M$ značíme $\cX$ nebo $\Gamma(TM)$ (viz důsledek \ref{cXoznaceni}).
\end{defi}
\begin{pozn}
Jinak řečeno, vektorové pole přiřazuje každému $p \in M$ tečný vektor $X(p) \in \tecn$ hladkým způsobem, tj. v libovolných souřadnicích $X(p) = X^i(p) \pder{x^i}$, kde $X^i \in \CnekA{U}$, $(X: M \rightarrow TM)$.
\end{pozn}
\begin{defi}
\textbf{Integrální křivka vektorového pole} $X \in \cX$ vycházející z bodu $p_0 \in M$ je hladké zobrazení $\gamma: (a,b) \rightarrow M, \ a < 0 < b, \ \gamma(0)=p_0$, takové, že $\der \gamma(t) \equiv \dot{\gamma}(t) = \restr{X}{\gamma(t)}$. Přitom $\dot{\gamma}(t)$ je definováno jako tečný vektor v $\gamma(t) \in M$ určený třídou ekvivalence $[\tilde{\gamma}]$, kde $\tilde{\gamma} (s) = \gamma(t+s)$, $s \in (a - t, b - t)$.
\end{defi}
\begin{pozn}
V lokálních souřadnicích:
\[ \der \gamma^i (t) = X^i (\gamma^1 (t), \ldots, \gamma^n (t)), \, \gamma^i (0) = x^i (p_0),\, \forall i \in \hat{n}, \text{ kde } \gamma^i (t) = x^i (\gamma (t)).
\]
\end{pozn}
\begin{defi}
Vektorové pole $X \in \cX$ je \textbf{úplné}, právě když lze každou jeho integrální křivku rozšířit na integrální křivku zobrazující $\R$ do $M$.
\end{defi}
\begin{defi}
\textbf{Tok vektorového pole} $X \in \cX$ je zobrazení $\Psi_X: U \rightarrow M$, kde $U = U^\circ \subset M \times \R$ a $M \times \{0\} \subset U$, takové, že $(\forall p \in M)(\Psi_X (p, 0) = p)$ a $\Psi_X (p, t) = \gamma_X^p (t)$ je integrální křivka vektorového pole $X$ vycházející z bodu $p \in M$.
\end{defi}
\begin{pozn}
Z teorie diferenciálních rovnic vyplývá, že existuje právě jedno hladké zobrazení $\Psi_X$. Dále budeme často psát $\Psi_X (p, t ) \equiv \Psi_X^t (p)$, kde $\Psi_X^t: M \rightarrow M$. \label{tokZnaceni}
\end{pozn}
\begin{pozn}
\fbox{$\Psi_X^s \circ \Psi_X^t (p) = \Psi_X^{s+t} (p)$}, pokud má pravá strana smysl, tj. $(\Psi_X^t(p), s) \in U, \ (p,t) \in U$. \label{tokVztah}
\end{pozn}
V lokálních souřadnicích $(x^i)$, kde jsme označili $(\tilde{x}^1, \dots, \tilde{x}^n) = (x^1(p), \dots, x^n(p))$, máme:
\begin{gather*}
\Psi_X \leftrightarrow (\Psi_X^i): V_1 \times V_2 \rightarrow \R^n, \ V_1 = V_1^\circ \subset \R^n, \ V_2 = V_2^\circ \subset \R, \ 0 \in V_2:
\\ \left( \forall (\tilde{x}^1, \ldots, \tilde{x}^n) \in V_1, \ t \in V_2 \right) \left( \pder{t} \Psi_X^i (\tilde{x}^1, \ldots, \tilde{x}^n, t) = X^i (\Psi_X (\tilde{x}^1, \ldots, \tilde{x}^n, t)) \right),
\\ \left( \forall (\tilde{x}^1, \ldots, \tilde{x}^n) \in V_1 \right) \left( \Psi_X^i (\tilde{x}^1, \ldots, \tilde{x}^n, 0) = \tilde{x}^i \right).
\end{gather*}
