Součásti dokumentu 02GMF1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GMF1}
\chapter{Operace s diferenciálními formami}
\begin{defi}
Na vektorovém prostoru $\LambP{\bullet}$ zavádíme binární operaci zvanou \textbf{vnější součin} následujícím způsobem ($\tau \in \LambP{k}, \ \omega \in \LambP{l}, \ X_1, \ldots, X_{k+l} \in \tecn$):
\[ \tau \wedge \omega \left( X_1, \ldots, X_{k + l} \right) = \sum_{\substack{\overrightharpoon{I}, \overrightharpoon{J} \\ |I| = k, |J| = l}} \delta_{(1, \ldots, k+l)}^{\overrightharpoon{I} \, \overrightharpoon{J}} \ \tau \left( X_{i_1} , \ldots , X_{i_k} \right) \ \omega \left( X_{j_1}, \ldots, X_{j_l} \right).
\]
\end{defi}
Z této definice je zřejmé, že $\tau \wedge \omega \in \LambP{k+l}$ (multilinearita roznásobením pravé strany, antisymetrie využitím $\sgn \pi_1 \circ \pi_2 = \sgn \pi_1 \cdot \sgn \pi_2$)
\begin{priklad}
Nechť $\omega = \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k}$ a $\tau = \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_l}$. Pak $\omega \wedge \tau = \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k} \wedge \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_l}$.
\end{priklad}
\subsubsection*{Vlastnosti vnějšího součinu}
\begin{enumerate}
\item bilinearita, tj. $(\forall \omega, \tau_1, \tau_2 \in \LambP{\bullet})(\forall a \in \R)$\\
$((a \tau_1 +\tau_2) \wedge \omega = a \tau_1 \wedge \omega + \tau_2 \wedge \omega$ \text{ a současně } $\tau \wedge (a \omega_1 + \omega_2) = a \tau \wedge \omega_1 + \tau \wedge \omega_2)$
\item $(\forall \omega \in \LambP{k})(\forall \tau \in \LambP{l})$ \fbox{$\tau \wedge \omega = (-1)^{k \cdot l} \ \omega \wedge \tau$}
\item asociativita, tj. $(\forall \sigma, \tau, \omega \in \LambP{\bullet})((\sigma \wedge \tau) \wedge \omega = \sigma \wedge (\tau \wedge \omega))$
\end{enumerate}
\begin{pozn}
Důkaz vlastnosti ve druhém bodu. Nechť $\omega \in \LambP{k}$, $\tau \in \LambP{l}$. Pak:
\begin{align*}
\tau \wedge \omega \, (X_1, \ldots, X_{k+l}) & = \omega \wedge \tau \, (X_{l+1}, \ldots, X_{k+l}, X_1, \ldots, X_l)
\\& = \sgn \binom{1, \ \ \ldots \ \ , k, \ k+1, \ldots, k+l}{l+1, \ldots, k+l, 1, \ \ \ldots \ \ , l} \ \omega \wedge \tau \, (X_1, \ldots, X_{k+l}). \quad \blacksquare
\end{align*}
\end{pozn}
\begin{pozn}
Důkaz asociativity. Nechť $\omega \in \LambP{k}$, $\tau \in \LambP{l}$, $\sigma \in \LambP{m}$. Pak $( X_{\overrightharpoon{I}} \equiv (X_{i_1}, \dots, X_{i_k}))$:
\begin{align*}
\omega \wedge (\tau \wedge \sigma) (X_1, \ldots, X_{k+l+m}) & = \sum_{\substack{\overrightharpoon{I}, \overrightharpoon{M} \\ |I| = k, |M| = l+m}} \delta_{(1, \ldots, k+l+m)}^{\overrightharpoon{I} \, \overrightharpoon{M}} \ \omega \left( X_{\overrightharpoon{I}} \right) \ (\tau \wedge \sigma) \left( X_{\overrightharpoon{M}} \right)
\\& = \sum_{\substack{\overrightharpoon{I}, \overrightharpoon{M} \\ |I| = k, |M| = l+m}}%
\sum_{\substack{\overrightharpoon{J}, \overrightharpoon{K} \\ |J| = l, |K| = m}} \delta_{(1, \ldots, k+l+m)}^{\overrightharpoon{I} \, \overrightharpoon{M}} \ %
\delta_{\overrightharpoon{M}}^{\overrightharpoon{J} \, \overrightharpoon{K}} \ %
\omega \left( X_{\overrightharpoon{I}} \right) \ \tau \left( X_{\overrightharpoon{J}} \right) \ \sigma \left( X_{\overrightharpoon{K}} \right)
\\& = \sum_{\substack{\overrightharpoon{I}, \overrightharpoon{J}, \overrightharpoon{K} \\ |I| = k, |J| = l, |K| = m}} \delta_{(1, \ldots, k+l+m)}^{\overrightharpoon{I} \, \overrightharpoon{J} \, \overrightharpoon{K}} \ %
\omega \left( X_{\overrightharpoon{I}} \right) \ \tau \left( X_{\overrightharpoon{J}} \right) \ \sigma \left( X_{\overrightharpoon{K}} \right).
\end{align*}
Pro $(\omega \wedge \tau) \wedge \sigma$ bychom dostali tentýž výsledek. (V poslední rovnosti jsme využili skutečnost, že $\delta_O^{\overrightharpoon{I} \overrightharpoon{M}} \ \delta_{\overrightharpoon{M}}^{\overrightharpoon{J} \overrightharpoon{K}} = \delta_O^{\overrightharpoon{I} \overrightharpoon{J} \overrightharpoon{K}} = \delta_O^{\overrightharpoon{N} \overrightharpoon{K}} \delta_{\overrightharpoon{N}}^{\overrightharpoon{I} \overrightharpoon{J}}$.) $\quad \blacksquare$
\end{pozn}
Pro obecné prvky $\tau, \, \omega \in \LambP{\bullet}$ vnější součin definujeme distributivně:
\[ \tau = \tau^{(0)} + \tau^{(1)} + \ldots + \tau^{(n)}, \ \omega = \omega^{(0)} + \omega^{(1)} + \ldots + \omega^{(n)} \Rightarrow \tau \wedge \omega = \sum_{a,b = 0}^n \tau^{(a)} \wedge \omega^{(b)}.
\]
V lokálních souřadnicích $(x^i)$ máme $\tau = \tau_{\overrightharpoon{I}} \, \dx^{\overrightharpoon{I}}, \ |I| = k, \ \omega = \omega_{\overrightharpoon{J}} \, \dx^{\overrightharpoon{J}}, \ |J|=l$, a tedy:
\begin{gather*}
\tau \wedge \omega = \tau_{\overrightharpoon{I}} \cdot \omega_{\overrightharpoon{J}} \ \dx^{\overrightharpoon{I}} \! \wedge \dx^{\overrightharpoon{J}} = (\tau \wedge \omega)_{\overrightharpoon{K}} \, \dx^{\overrightharpoon{K}},\ \text{kde} \\
(\tau \wedge \omega)_{\overrightharpoon{K}} = (\tau \wedge \omega) (X_{\overrightharpoon{K}}) = \delta_{\overrightharpoon{K}}^{\overrightharpoon{I} \overrightharpoon{J}} \ \tau_{\overrightharpoon{I}} \ \omega_{\overrightharpoon{J}}, \quad
\dx^{\overrightharpoon{I}} \wedge \dx^{\overrightharpoon{J}} = \delta_{\overrightharpoon{K}}^{\overrightharpoon{I} \overrightharpoon{J}} \dx^{\overrightharpoon{K}}, \ |K| = k+ l.
\end{gather*}
Takto konstruovanou $2^n$-rozměrnou asociativní nekomutativní algebru $\LambP{\bullet}$ s operací vnější součin nazýváme \textbf{vnější algebra} v bodě $p \in M$. Vnější součin zavádíme i na $\Om{\bullet}$ způsobem:
\[ (\tau \wedge \omega)(p) = \tau(p) \wedge \omega (p), \ \tau, \omega \in \Om{\bullet}, \forall p \in M.
\]
Tím se $\Om{\bullet}$ stává algebrou. Je však současně též tzv. $\Cnek$-modulem, neboť máme násobení $\omega \in \Om{\bullet}$ libovolnou funkcí $f \in \Cnek: (f \omega)(p) = f(p) \omega(p)$ a platí $f(\omega_1 + \omega_2) = (f \omega_1) + (f \omega_2)$, $(f g) \omega = f (g \omega)$. Struktura $\Cnek$-modulu a algebry na $\Om{\bullet}$ jsou kompatibilní ve smyslu:
\[ (f \tau) \wedge \omega = \tau \wedge (f \omega) = f (\tau \wedge \omega), \ f \in \Cnek, \ \tau, \omega \in \Om{\bullet}.
\]
\begin{defi}
Na prostoru forem $\Om{\bullet}$ dále zavádíme \textbf{vnější derivaci}, což je lineární zobrazení $\de{}: \Om{k} \rightarrow \Om{k+1}$ vyhovující následujícím podmínkám:
\begin{enumerate}
\item $(\forall k \in \hat{n} \cup \{ 0\})(\forall \tau \in \Om{k})(\forall \omega \in \Om{\bullet})(\de{(\tau \wedge \omega)} = \de{\tau} \wedge \omega + (-1)^k \tau \wedge \de{\omega})$
\item $(\forall f \in \Cnek = \Om{0})(\forall X \in \cX)(\de{f} (X) = X f)$
\item $(\forall \omega \in \Om{\bullet})(\de{}^2 \omega= 0)$
\end{enumerate}
\end{defi}
Druhá podmínka v lokálních souřadnicích $(x^i)$ znamená, že $\de{f} = \pderA{f}{x^i} \ \dx^i$, tj. vnější derivace funkce je prostě její derivací (totálním diferenciálem). Současně je zřejmý význam označení bazických $1$-forem $\dx^i$. Jsou to skutečně diferenciály souřadnicových funkcí $x^i$.
\begin{pozn}
Existenci a jednoznačnost operátoru $\de{}$ ukážeme v souřadnicích. Pak ukážeme, že nezávisí na výběru souřadnic. V souřadnicích $(x^i)$ na okolí $p \in M$ budeme zkoumat $\de{\omega} (p)$, nejprve pro $f \in \Cnek$:
\[ \de{f} = (\de{f})_i \ \dx^i \Rightarrow \ (\forall X^i \in \R)(\de{f} (X) = (\de{f})_i \, X^i \ \text{a současně } \de{f} (X) = X f = X^i \pderA{f}{x^i}).
\]
Tedy $(\de{f})_i \, (p) = \pderA{f}{x^i} (p)$ a $\de{f} (p) = \pderA{f}{x^i} (p) \, \dx^i$. Pro formu $\omega = \omega_{\overrightharpoon{J}} \dx^{\overrightharpoon{J}}$ definujeme $\de{\omega} = \de{\omega_{\overrightharpoon{J}}} \wedge \dx^{\overrightharpoon{J}} = \pderA{\omega_{\overrightharpoon{J}}}{x^i} \ \dx^i \wedge \dx^{\overrightharpoon{J}}$. Ověříme vlastnosti $\de{}^2 = 0, \ \de{(\omega_1 \wedge \omega_2)}$ pro formy ve tvaru $\omega_a = f_a \ \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k}$ (dále linearitou):
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
\de{\omega} & = &\de{f} \wedge \dx^{j_1} \! \wedge\dx^{j_k} = \pderA{f}{x^i} \ \dx^i \wedge \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge\dx^{j_k} \\
\de{\omega}^2 & = & \underbrace{\frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}}_\text{sym. v $i, j$} \underbrace{\dx^j \wedge \dx^i}_\text{antisym. v $i, j$} \wedge \ \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge\dx^{j_k} = 0
\end{IEEEeqnarray*}
%
\begin{align*}
\de{(\omega_1 \wedge \omega_2)} & = \de{(f_1 f_2)} \, \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k} \wedge \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_l}
\\& = (f_2 \, \de{f_1} + f_1 \, \de{f_2}) \wedge \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k} \wedge \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_l}
\\& = (\de{f_1} \wedge \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k}) \wedge (f_2 \, \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_l})
\\& \quad + (-1)^k (f_1 \, \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k}) \wedge (\de{f_2} \wedge \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_l})
\\& = \de{\omega_1} \wedge \omega_2 + (-1)^k \omega_1 \wedge \de{\omega_2}.
\end{align*}
Při změně souřadnic máme $\omega = f \, \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k} = f \, \pderA{x^{i_1}}{\tilde{x}^{j_1}} \ldots \pderA{x^{i_k}}{\tilde{x}^{j_k}} \, \de{\tilde{x}^{j_1}} \wedge \ldots \wedge \de{\tilde{x}^{j_k}}$ a tedy
\begin{align*}
\de{\omega} & = \de{} \left( f \, \pderA{x^{i_1}}{\tilde{x}^{j_1}} \ldots \pderA{x^{i_k}}{\tilde{x}^{j_k}} \right) \wedge \de{\tilde{x}^{j_1}} \wedge \ldots \wedge \de{\tilde{x}^{j_k}}
\\& = \de{f} \wedge \left( \pderA{x^{i_1}}{\tilde{x}^{j_1}} \ldots \pderA{x^{i_k}}{\tilde{x}^{j_k}} \right) \de{\tilde{x}^{j_1}} \wedge \ldots \wedge \de{\tilde{x}^{j_k}}
\\& \quad + f \ \Bigg( \bigg( \underbrace{\frac{\partial^2 x^{i_1}}{\partial \tilde{x}^{j_1} \partial \tilde{x}^j} }_\text{sym v $j_1, j$} \ldots \bigg) \underbrace{\de{\tilde{x}^{j}} \wedge \de{\tilde{x}^{j_1}}}_\text{antisym v $j_1, j$} \wedge \, \ldots \ + \, \bigg( \pderA{x^{i_1}}{\tilde{x}^{j_1}} \underbrace{\frac{\partial^2 x^{i_2}}{\partial \tilde{x}^{j_2} \partial \tilde{x}^j}}_\text{sym. v $j_2, j$} \ldots \bigg) \underbrace{\de{\tilde{x}^{j_1}} \wedge \ \ldots}_\text{antisym. v $j_2, j$} + \ \ldots \Bigg)
\\& = \de{f} \wedge \left( \pderA{x^{i_1}}{\tilde{x}^{j_1}} \ldots \pderA{x^{i_k}}{\tilde{x}^{j_k}} \right) \de{\tilde{x}^{j_1}} \wedge \ldots \wedge \de{\tilde{x}^{j_k}}
\\& = \de{f} \wedge \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k}
\end{align*}
tj. definice $\de{}$ nezávisí na výběru lokálních souřadnic. $\quad \blacksquare$
\end{pozn}
\subsubsection*{Speciální třídy k-forem}
\begin{itemize}
\item forma $\omega \in \Om{\bullet}$ je \textbf{uzavřená} $\Leftrightarrow \de{\omega} = 0$
\item forma $\omega \in \Om{\bullet}$ je \textbf{exaktní} $\Leftrightarrow (\exists \tau \in \Om{\bullet})(\omega = \de{\tau})$
\end{itemize}
\begin{pozn}
Exaktní forma je uzavřená.
\end{pozn}
Ukazuje se, že pro libovolnou uzavřenou formu $\omega \in \Om{\bullet}, \ \omega \notin \Om{0}$ a bod $p \in M$ existuje okolí $U = U^0$, $p \in U$ a $\tau \in \Omega^\bullet (U)$ takové, že $\restr{\omega}{U} = \de{\tau}$.
\begin{defi}
Buď $\omega \in \LambP{k}, \ X \in \tecn$. $(k - 1)$-formu definovanou předpisem
\[ i_X \omega (X_1, \ldots, X_{k-1}) = \omega (X, X_1, \ldots, X_{k-1}).
\]
nazýváme \textbf{vnitřní součin} či \textbf{zúžení} $X$ a $\omega$ a značíme jako $ i_X \omega \equiv X_\invbackneg \omega$.
Pro $\omega \in \Om{k}$, $X \in \cX$ je vnitřní součin definován bodově. Speciálně pro $\omega \in \Om{1}$ se zavádí značení: $i_X \omega = \omega (X) \equiv \langle \omega, X \rangle \equiv \langle X, \omega \rangle$, kde $\langle \cdot, \cdot \rangle $ je párování $\tecn$ a $\kotecn$.
\end{defi}
