Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Diferenciální rovnice tvaru: $x = f \big( y^\prime \big)$ resp. $y= g \big( y^\prime \big)$ }
\subsection*{Zamyslete se:}
Co víme o způsobu jejich řešení? \\
Jak vypadají jednotlivé parametrické vyjádření křivek? \\
Jednoznačnost?
\subsection*{Příklad č.1}
Řešte:
\begin{displaymath}
x = y^\prime \cdot \cos y^\prime
\end{displaymath}
Zvolíme tedy:
\begin{center}
\begin{math}
t = y^\prime
\end{math}
\begin{math}
x = t \cdot \cos t
\end{math}
\end{center}
\begin{displaymath}
y = \int \frac{dy}{dx} dx = \int t \big( t \cdot \cos t \big) ^\prime dt = \big[ t^2 \cdot \cos t \big] - \int \big( t \cdot \cos t \big) dt
= t^2 \cdot \cos t - t \cdot \sin t - \cos t
\end{displaymath}
čímž jsme dostali požadované parametrické vyjádření křivky:
\begin{center}
\begin{math}
x = t \cos t
\end{math}
\begin{math}
y = t^2 \cdot \cos t - t \cdot \sin t - cos t
\end{math}
\end{center}
\subsection*{Příklad č.2}
Řešte:
\begin{displaymath}
x = (y^\prime) ^2 + \frac{y}{y^\prime}
\end{displaymath}
Řešení této rovnice bude trochu obtížnější, protože se nejedná přímo o tvar zadání, které známe z přednášky.
Nejdříve si tedy vyjádřím:
\begin{center}
\begin{math}
y^\prime = t
\end{math}
\begin{math}
x = t^2 + \frac{y}{t} \ldots / \frac{d}{dy}
\end{math}
\end{center}
a dál už budu jen upravovat druhou rovnost.
\begin{displaymath}
\frac{1}{t} =\frac{dx}{dy} = 2t \frac{dt}{dy} + \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \frac{dt}{dy}
\end{displaymath}
\begin{center}
\begin{math}
0 = 2t \cdot \frac{dt}{dy} - \frac{1}{t^2} \frac{ dt}{dy}
\end{math}
\begin{math}
0 = \frac{dt}{dy} \big( 2t - \frac{1}{t^2} \big)
\end{math}
\begin{math}
x = C^2 + \frac{y}{C} \longrightarrow y = Cx - C^3
\end{math}
\end{center}
To je pro první případ \ldots $ \frac{dt}{dy} = 0 \Longrightarrow t = C$.
\begin{center}
\begin{math}
x = ^3\sqrt{ \frac{ y^2}{4} } + \frac{y}{ ^3\sqrt{ \frac{y}{2} } } = \frac{3}{2} ^3\sqrt{2y^2}
\end{math}
\begin{math}
x^3 = \frac{27}{8 } \cdot 2 y^2
\end{math}
\end{center}
tedy:
\begin{displaymath}
y_1 = 2 \frac{ \sqrt{27} }{27} x^{ \frac{3}{2} } = - y_2
\end{displaymath}
\subsection*{Příklad č.3}
Řešte:
\begin{displaymath}
y = (y^\prime)^2 + 4 (y^\prime) ^3
\end{displaymath}
Klasický druhý případ. Taky vidíme, že $y=0$ je taky řešením rovnice. Dále budu postupovat následovně:
\begin{center}
$y = t^2 + 4t^3$
\end{center}
\begin{displaymath}
x = \int \frac{dx}{dy} dy = \int \frac{1}{t} \big( 2t + 12t^2 \big) dt = \int \big( 2 + 12t \big) dt = 2t + 6t^2 + C
\end{displaymath}
Tím už řešení rovnice mám. Jedním způsobem. Můžeme si ale ukázat další, měli bychom se dostat ke stejnému výsledku. No, uvidíme.
\begin{center}
\begin{math}
y = t^2 + 4t^3 \ldots / \frac{d}{dx}
\end{math}
\begin{math}
\frac{dy}{dx} = 2t \frac{dt}{dx} + 12 t^2 \frac{dt}{dx}
\end{math}
\begin{math}
t = 2t \frac{dt}{dx} + 12 t^2 \frac{dt}{dx} - t = t \big( 2 \frac{dt}{dx} + 12 t \frac{dt}{dx} - 1 \big) = 0
\end{math}
\begin{math}
2 \frac{dt}{dx} + 12 t \frac{dt}{dx} = 1
\end{math}
\begin{math}
2 + 12 t = \frac{dx}{dt}
\end{math}
\begin{math}
x = 6t^2 + 2t + c
\end{math}
\end{center}
čímž jsme se dostali ke stejnému výsledku. Shrňme si tedy jak vypadajá naše parametrické vyjádření:
\begin{center}
\begin{math}
x = 6t^2 + 2t + c
\end{math}
\begin{math}
y = t^2 + 4t^3
\end{math}
\end{center}
\subsection*{Příklad č.4}
Řešte:
\begin{displaymath}
y = x y^\prime - e^{y^\prime}
\end{displaymath}
Zparametrizuji:
\begin{displaymath}
y^\prime = t \Longrightarrow y = xt - e^t
\end{displaymath}
\begin{center}
\begin{math}
\frac{dy}{dx} = t + x \frac{dt}{dx} - e^t \frac{dt}{dx}
\end{math}
\begin{math}
0 = \big( x - e^t \big) \frac{dt}{dx}
\end{math}
\end{center}
Teď musíme vyřídit různé možnosti nulovosti:
\begin{center}
\begin{math}
t = C \Longrightarrow y = Cx - e^C
\end{math}
nebo:
\begin{math}
x - e^t = 0 \Longrightarrow x = e^t
\end{math}
\begin{math}
y = e^t \big( t-1 \big)
\end{math}
nebo:
\begin{math}
x = e^t
\end{math}
\begin{math}
\ln x = t \Longleftarrow y = x \ln x - x = x \big( \ln x - 1 \big)
\end{math}
\end{center}
