02VOAFskriptum:Kapitola2
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 16. 11. 2010, 17:06, kterou vytvořil Karel.brinda (diskuse | příspěvky)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02VOAFskriptum
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02VOAFskriptum | Karel.brinda | 18. 11. 2010 | 02:51 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 12. 11. 2023 | 10:26 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Kmity soustav hmotných bodů | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 02:25 | kapitola01.tex | |
Kapitola2 | editovat | Postupné vlny | Johndavi | 25. 5. 2017 | 10:36 | kapitola02.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vlny v disperzním prostřední | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 02:43 | kapitola03.tex | |
Kapitola4 | editovat | Energie vlnění | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 17:14 | kapitola04.tex | |
Kapitola5 | editovat | Odraz vln | Karel.brinda | 18. 11. 2010 | 02:44 | kapitola05.tex | |
Kapitola6 | editovat | Elektromagnetické vlny | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 17:16 | kapitola06.tex | |
Kapitola7 | editovat | Polarizace | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 17:19 | kapitola07.tex | |
Kapitola8 | editovat | Interference a ohyb | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 15:58 | kapitola08.tex | |
Kapitola9 | editovat | Geometrická optika | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 15:49 | kapitola09.tex |
Zdrojový kód
% \wikiskriptum{02VOAFskriptum} %\setcounter{chapter}{1} \chapter{Postupné vlny} \section{Postupné vlny na struně} \begin{quote} {\it d'Alembertovo řešení vlnové rovnice a jeho fyzikální smysl. Fáze, fázová rychlost, retardovaný čas.} \end{quote} Soustavy, které jsme doposud uvažovali, byly {\it uzavřené\/}, ohraničené, takže energie kmitání zůstávala v mezích soustavy. Kmity struny upevněné na obou koncích byly popsány jako superpozice módů --- stojatých vln. Nyní budeme uvažovat soustavy {\it otevřené}, neohraničené. Vlny vzbuzené v otevřeném prostředí se nazývají {\it postupné vlny}. Putují od zdroje, který je budí, nenávratně pryč. Případné vzdálené meze soustavy mohou vést k odrazům, které si podrobně popíšeme v kapitole 5. Vraťme se opět k jednorozměrné modelové soustavě --- {\it homogenní struně\/} --- nyní natažené podél osy $z$ od $-\infty$ do $+\infty$. Zapišme pohybovou rovnici struny \be \label{eq:2.1} \f{\pad^2\psi}{\pad t^2}=v^2\f{\pad^2 \psi}{\pad z^2}\ ,\qq\qq v^2 = \f{T}{\varrho}\ . \ee Obecné řešení určíme d'Alembertovou metodou. Zavedeme nové nezávislé proměnné \be (z,\,t)\ \longmapsto\ (\xi=z-vt,\,\eta=z+vt) \ee a položíme $\tilde{\psi}(\xi,\,\eta)=\psi(z,\,t).$ Pak transformujeme parciální derivace \bea \f{\pad \psi}{\pad t} & = & \f{\pad \tilde{\psi}}{\pad \xi}\f{\pad\xi}{\pad t}+\f{\pad \tilde{\psi}}{\pad\eta}\f{\pad\eta}{\pad t}= \left(-v\f{\pad}{\pad\xi}+v\f{\pad}{\pad\eta}\right)\tilde{\psi}\,,\\ \f{\pad \psi}{\pad z}&=&\f{\pad \tilde{\psi}}{\pad \xi}\f{\pad\xi}{\pad z}+\f{\pad \tilde{\psi}}{\pad\eta}\f{\pad\eta}{\pad z}= \left(\f{\pad}{\pad\xi}+\f{\pad}{\pad\eta}\right)\tilde{\psi}\,. \eea Druhé derivace vzniknou iterací předešlých operací, \bea \f{\pad^2 \psi}{\pad t^2}&=&\f{\pad}{\pad t}\f{\pad}{\pad t} \psi=\left(-v\f{\pad}{\pad\xi}+v\f{\pad}{\pad\eta}\right) \left(-v\f{\pad}{\pad\xi}+v\f{\pad}{\pad\eta}\right)\tilde{\psi}\,, \\ \f{\pad^2 \psi}{\pad z^2}&=&\f{\pad}{\pad z}\f{\pad}{\pad z} \psi=\left(\f{\pad}{\pad\xi}+\f{\pad}{\pad\eta}\right) \left(\f{\pad}{\pad\xi}+\f{\pad}{\pad\eta}\right)\tilde{\psi}\,. \eea Po dosazení do vlnové rovnice (\ref{eq:2.1}) zbudou v ní pouze smíšené derivace \be \label{eq:2.2} 4\f{\pad^2\tilde{\psi}}{\pad\xi\pad\eta}=0\,, \ee neboť pro dostatečně hladkou funkci platí $\pad^2\tilde{\psi}/\pad\xi\pad\eta=\pad^2\tilde{\psi}/ \pad\eta\pad\xi\,.$ Řešení rovnice (\ref{eq:2.2}) --- {\it d'Alembertovo řešení vlnové rovnice} --- \be \tilde{\psi}(\xi,\,\eta)=F(\xi)+G(\eta) \ee je součtem dvou libovolných funkcí, z nichž každá triviálně řeší (\ref{eq:2.2}). V původních souřadnicích $z,\,t$ \be \label{eq:2.3} \fbox{$\disp\psi(z,\,t)=F(z-vt)+G(z+vt)\,.$} \ee \begin{figure} \begin{center} %%TODO%% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{ob2c1}\\ %\epsfxsize=90mm \epsfysize=40mm %\mbox{\epsffile{ob2c1.eps}}\\ % Obr. 2.1 Význam fázové rychlosti \caption{Význam fázové rychlosti} \label{obr2.1} \end{center} \end{figure} Jaký fyzikální smysl má d'Alembertovo řešení (\ref{eq:2.3})\,? Všimněte si průběhu řešení s $G\equiv 0,$ tj. $\psi(z,\,t)= F(z-vt)$, v časech $t_1$ a $t_2>t_1$ podle obr. \ref{obr2.1}, kde $F$ je krátký puls. Argument $z-vt$ funkce $F$ se nazývá {\it fáze}. Na obr. \ref{obr2.1} místo s určitou hodnotou fáze \be \label{eq:2.4} z_1-vt_1=z_2-vt_2=C \ee odpovídá stejné výchylce \be F(z_1-vt_1)=F(z_2-vt_2)=F(C). \ee Toto {\it místo konstantní fáze} se podle (\ref{eq:2.4}) pohybuje ve směru osy $z$ {\it fázovou rychlostí} $v$: \be z_2-z_1=v(t_2-t_1)\,. \ee Celý puls tedy postupuje ve směru $+z$ {\it beze změny tvaru.} Podobně funkce $G(z+vt)$ představuje (obecně jiný) puls postupující po struně beze změny tvaru rychlostí $-v$, tedy ve směru $-z$. {\bf Příklad.} {\em Vyzařování postupných vln.} Nechť je struna upevněna v bodě $z=0$ a sahá velmi daleko (podél kladné osy $z$). Předpokládejme, že počátkem struny pohybuje hnací mechanismus (vysílač) předepsaným způsobem \be \label{eq:2.5} \psi(0,\,t)=x(t)\,, \ee kde $x(t)$ je daná funkce času (obr. \ref{obr2.2}). Jde vlastně o vysílání vlny po struně z počátku $z=0$. Pro jednoznačnost řešení této úlohy je nutné předepsat ještě tzv. {\it podmínku vyzařování} \be G\equiv 0\,, \ee tj. že se po struně nešíří žádný signál z $+\infty$. Pak \be \psi(z,\,t)=F(z-vt)\,, \ee kde funkci $F$ určíme z podmínky (\ref{eq:2.5}): \be \psi(z,\,t)=F(z-vt)=F\left(0-v\left(t-\f{z}{v}\right)\right)= \psi\left(0,\,t-\f{z}{v}\right)=x\left(t-\f{z}{v}\right)\,. \ee Výchylky počátku se šíří po struně směrem $+z$ rychlostí $v$. Výchylka $ \psi(z,\,t)$ v místě $z$ v čase $t$ je stejná jako v $z=0$ v dřívějším, tzv. {\it retardovaném čase} \be t'=t-\f{z}{v}\ . \ee \begin{figure} \begin{center} %%TODO%% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{ob2c2}\\ %\epsfxsize=90mm \epsfysize=40mm %\mbox{\epsffile{ob2c2.eps}}\\ % Obr. 2.2 Vysílání postupné vlny na struně \caption{Vysílání postupné vlny na struně} \label{obr2.2} \end{center} \end{figure} \section{Harmonická postupná vlna} Jestliže hnací mechanismus vykonává harmonický pohyb \be x(t)=A\cos(\om t+\alpha)\,, \ee pak se po struně šíří {\it harmonická postupná vlna} \be \psi(z,\,t)=x\left(t-\f{z}{v}\right)=A\cos(\om t-k z+\alpha)\,, \ee kde $k=\om/v$ se nazývá vlnové číslo. {\it Fáze} vlny je $\om t-kz+\alpha$, {\it frekvence} $\nu=\om/2\pi$, perioda $T=1/\nu$, {\it vlnová délka} $\lambda=2\pi/k$. Jakou fázi má harmonická postupná vlna šířící se ve směru záporné osy $z$? Vztah \be \om=vk\,,\qq\qq v=\sqrt{\f{T}{\varrho}}\,, \ee je {\it disperzní vztah } pro strunu. Jiné, nelineární disperzní vztahy $\om=\om(k)$ budeme studovat v kap. 3. Ukažme si ještě na příkladě, jak řešení pomocí stojatých vln z oddílu 1.2 lze převést na superpozici stojatých vln postupujících proti sobě: \bea \psi(z,\,t)&=&\sum %\limits _{m=1}^\infty A_m \sin k_m z \sin \om_m t=\\ &=&\f{1}{2}\sum_{m=1}^\infty A_m\cos( k_m z-\om_m t)-\f{1}{2} \sum_{m=1}^\infty A_m \cos(k_m z+\om_m t)\,. \eea \section{Rovinná vlna} Přímým zobecněním postupných vln v trojrozměrném případě jsou {\it rovinné vlny}. Vztah \be \label{eq:2.7} \psi(x,\,y,\,z,\,t)=F(z-vt) \ee totiž definuje vlnu v prostoru, pro niž množina bodů konstantní fáze (v daném čase $t_1$) je rovina \be z-vt_1=C \ee kolmá k ose $z$ a protínající ji v bodě $z_1=vt_1+C$ (obr. \ref{obr2.3}). \begin{figure} \begin{center} %%TODO%% \includegraphics[width=0.6\textwidth]{ob2c3}\\ \caption{Rovinná vlna} \label{obr2.3} \end{center} \end{figure} %\epsfxsize=90mm \epsfysize=40mm %\mbox{\epsffile{ob2c3.eps}}\\ % Obr. 2.3 \\ Rovinná vlna Rovinná vlna (\ref{eq:2.7}) je řešením vlnové rovnice v trojrozměrném prostoru \be \label{eq:2.8} \fbox{$\disp \f{\pad^2\psi}{\pad t^2}=v^2\Delta\psi= v^2\left(\f{\pad^2\psi}{\pad x^2}+\f{\pad^2\psi}{\pad y^2} +\f{\pad^2\psi}{\pad z^2}\right)\, ,$} \ee neboť parciální derivace podle $x$ a $y$ jsou nulové. Vzhledem k tomu, že Laplaceův operátor $\Delta=\nabla . \nabla$ je invariantní při rotaci souřadného systému \cite{ST}, je řešením prostorové vlnové rovnice (\ref{eq:2.8}) rovinná vlna šířící se v libovolném směru určeném jednotkovým vektorem $\mbf{s}$: \be \label{eq:2.9} \mbox{ $\disp\psi(\mbf{r},\,t)=F(\mbf{s}.\mbf{r}-vt)\,,\qq|\mbf{s}|=1\,.$} \ee Výraz (\ref{eq:2.9}) přechází zřejmě v (\ref{eq:2.7}), zvolíme-li $\mbf{s}=(0,\,0,\,1)$. {\it Rovina konstantní fáze} (v čase $t_1$) je nyní dána rovnicí \be \mbox{$\disp\mbf{s}.\mbf{r}-vt_1=C$}\,, \ee neboli známou rovnicí roviny kolmé k vektoru $\mbf{s}=(s_x,\,s_y,\,s_z)$, \be s_{x} x +s_{y} y+s_{z} z-vt_{1}-C=0\,. \ee Harmonickou rovinnou vlnu obdržíme z (\ref{eq:2.9}) pro funkci $$F(-vt)=A\cos(\om t+\alpha)\,,$$ tj. $$ \mbox{$\disp\psi(\mbf{r},\,t)=$} \mbox{$\disp\psi\left(0,\,t- {{\mbox{\bf s.r} \over{v}}} \right)=$} \mbox{$\disp A\cos(\om t- \mbf{k} . \mbf{r} +\alpha)\,.$} $$ Zde zavedený vektor ve směru šíření $$\mbox{$\mbf{k}=k\mbf{s}$}$$ se nazývá {\it vlnový vektor}. Příslušný disperzní vztah je nyní $$ \om=vk=v\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}\,.$$ {\bf Poznámka.} Od rovinné vlny musíme odlišovat sférickou vlnu vysílanou bodovým zdrojem. Množina bodů konstantní fáze (vlnoplocha) takové vlny \be r-vt_1=C \ee je sféra o poloměru $r$ se středem ve zdroji. Potom například {\it harmonická sférická vlna} má tvar $$ \psi(r,\,t)=A\cos(\om t-kr+\alpha) $$ a rovnice sférické vlnoplochy je $$kr=\om t_1+\alpha+C\,.$$ {\bf Matematická poznámka.} V d'Alembertově řešení (\ref{eq:2.3}) lze elegantním způsobem uplatnit počáteční podmínky \bea \psi(z,\,0)&=&f(z)\,,\\ \label{eq:21.10} \f{\pad\psi}{\pad t}(z,\,0)&=&g(z)\,. \label{21.11} \eea Dosazením (\ref{eq:2.3}) do (\ref{eq:21.10}) a (\ref{21.11}) dostaneme vztahy \bea F(z)+G(z)&=&f(z)\,, \label{21.12}\\ -vF'(z)+vG'(z)&=&g(z)\,. \label{21.13} \eea Rovnici (\ref{21.13}) vynásobíme $-1/v$ a zintegrujeme od 0 do $z$ \be \label{21.14} F(z)-G(z)-F(0)+G(0)=-\f{1}{v}\int_0^z g(z')\d z'\,. \ee Lineární rovnice (\ref{21.12}), (\ref{21.14}) pro $F(z),\,G(z)$ snadno vyřešíme: \bea F(z)&=&\f{1}{2} f(z)-\f{1}{2v}\int_0^zg(z')\d z'+\f{1}{2}F(0)-\f{1}{2}G(0)\,,\\ G(z)&=&\f{1}{2} f(z)+\f{1}{2v}\int_0^zg(z')\d z'-\f{1}{2}F(0)+\f{1}{2}G(0)\,. \eea Dosazením do (\ref{eq:2.3}) pak dostaneme konečný výsledek \be \psi(z,\,t)=\f{1}{2}f(z-vt)+\f{1}{2}f(z+vt)+ \f{1}{2v}\int_{z-vt}^{z+vt}g(z')\d z'\,. \ee {\bf Cvičení.\ }Rozmyslete si, jaké vlny se šíří po struně \begin{list}{}{\leftmargin 4ex \itemsep=0pt \topsep=\parsep} \item[a)] když je struna v čase $t=0$ vychýlena podle $\psi(z,\,0)=f(z)$ a puštěna s nulovou počáteční rychlostí $g(z)\equiv 0\,$, \item[b)] při rozkmitání úderem $g(z)\neq 0$ z rovnovážné polohy $f(z)=0$\ . \end{list}