Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Variety}
\begin{define}\label{DVarieta}
Buďte $m,n,r,q\in\N$, $1\le m<n$, $r=n-m$. Neprázdnou množinu
$M\subset\R^n$ nazveme $r$-rozměrnou varietou třídy $\c{q}$, platí-li:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $(\forall x_0\in M)(\exists\H_{x_0},\
\Phi:\H_{x_0}\mapsto\R^m\in\c{q})$,
\item $M\cap H_{x_0}=\{x\in\H_{x_0}|\Phi(x)=0\}$,
\item $(\forall x\in\H_{x_0})(\h(\Phi'(x))=m)$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Varieta $\equiv$ varieta třídy $\c{q}$.
\item Bod jde dodefinovat zvlášť jako 0-rozměrnou varietu.
\item $r$-varieta $\equiv$ $r$-rozměrná varieta.
\item $r=1$ křivka, $r=2$ plocha, $r=n-1$ nadplocha.
\item $r$-varieta je {\bf lokálně difeomorfní} s~množinami, které jsou
izometrické s~otevřenými podmnožinami $\R^m$.\
\item Variety nemají kraj.
\item Kompaktní variety jsou (geometricky) uzavřené.
\item Například otevřená ani uzavřená koule v $\R^3$ není varieta.
\item Buď $\Phi\in\c{q}:\R^n\mapsto\R^m$. Definujme
\[
M=\{x\in\df\Phi|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}.
\]
Pak $M$ je varieta dimenze $r=n-m$.
\begin{proof}
Buď $x\in M$, $(\forall y\in\H_x)(\h(\Phi'(y))=m)$
\[M\cap\H=\{x\in H|\Phi(x)=0\}\]
\end{proof}
\item $M=\{x\in\R^n|\abs{x}=1\}=
\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}=
\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\not=\Theta\}$,
např. $\Phi(x)=\norm{x}^2-1$, $\Phi'(x)=(2x^1,\dots,2x^n)$.
$\h(\Phi'(x))=1$, právě když $x\not=0$.
\item Lineární varieta $W$ o~dimenzi $r$ je $r$-rozměrnou varietou.
\begin{proof}
Buď $x_0\in W$. Pak $W=x_0+Z(W)$, $\dim Z(W)=r$. Existuje
$L:\V^n\mapsto\V^m$ takové, že $Z(W)=L^{-1}(\Theta)$, $\h(L)=m$.
\[
\begin{split}
M&=\{x\in\R^n|L(x-x_0)=\Theta\}=
\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}=\\
&=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}
\end{split}
\]
\end{proof}
\item Pouze variety uzavřené a omezené, tj. kompaktní, jsou uzavřené geometricky.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Buď $M$ varieta, $x_0\in M$. Vektor $\vec h\in\V^n$ nazveme {\bf
tečným vektorem} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$, existuje-li zobrazení
$\psi:\R\mapsto M$ takové, že $\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$.
\end{define}
\begin{remark}
Označme $x_t=x_0+t\vec h$, $y_t=\psi(t)$.
\[\lim_{t\to 0}\frac{\abs{x_t-y_t}}{\abs{x_t-y_0}}=
\lim_{t\to 0}\abs{\frac{\psi(t)-\psi(0)}{t}-\vec h}=0.\]
\end{remark}
\begin{define}
{\bf Tečným prostorem} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$ budeme rozumět
množinu všech tečných vektorů v~$x_0$, značit ho budeme $T_M(x_0)$.
\end{define}
\begin{theorem}
Při značení z~\ref{DVarieta} platí: Tečný prostor k~varietě $M$ v~$x_0$ je {\bf
jádrem derivace} $\Phi'(x_0)$ neboli:
$T_M(x_0)=(\Phi'(x_0))^{-1}(\theta)$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $(\Rightarrow)$
$\vec h\in T_M(x_0)\implies (\exists\psi:\R\mapsto
M)(\psi(0)=x_0\wedge\psi'(0)=\vec h)$. Pak existuje $\delta$ takové,
že $\psi(-\delta,\delta)\subset\H\subset M$ a na $\H$ je definováno
$\Phi$. Definuji $\phi=\Phi\circ\psi$ a platí, že
$(\forall t\in(-\delta,\delta))(\phi(t)=0)$.
\[0=\phi'(0)=\Phi'(\psi(0))\psi'(0)=\Phi'(x_0)\vec h=0,\]
tedy $\vec h$ je z~jádra.
\item $(\Leftarrow)$ Buď $L=\Phi'(x_0)$, $L\vec h=0$.
Definujme $\psi:\R\mapsto M$ vztahem
\[\psi(t) = g(x_0^\lambda+t{\vec h}^\lambda,0^{\lambda'}),\]
kde $g = f^{-1}$ je zobrazení z věty o implicitní funkci. Ověříme vlastnosti $\psi$:
\[\psi(0)=g(x_0^\lambda,0^{\lambda'})=x_0\]
\[\psi'(0)=g'(x_0^\lambda,0^{\lambda'})({\vec
h}^\lambda,0^{\lambda'})=\vec h\iff
f'(x_0)\vec h=({\vec h}^\lambda,{\vec 0}^{\lambda'})
\]
Pro $f$ platí: $f^\lambda=x^\lambda$, $f^{i_k}(x)=x^{i_k}$;
$f^{\lambda'}=\Phi$, $f^{j_l}(x)=\Phi(x)$;
\[{f^{i_k}}'(x)\vec h={\vec h}^{i_k}\iff (f'(x_0)\vec h)^\lambda={\vec h}^\lambda,\]
\[{f^{j_l}}'(x)\vec h={\Phi^l}'(x)\vec h=L^l\vec h=0
\iff (f'(x_0)\vec h)^{\lambda'}=0^{\lambda'}.\]
Sestrojili jsme tedy $\psi$ s~náležitými vlastnostmi, $\vec h$ je
tečný vektor.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Tečný prostor má stejnou dimenzi jako varieta.
\end{remark}
\begin{define}
{\bf Tečnou} k~varietě v~bodě $x_0$ rozumíme lineární varietu
$x_0+T_M(x_0)$.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Bod $x$ je z~tečny, právě když
\[x-x_0\in T_M(x_0)\iff\Phi'(x_0)(x-x_0)=0.\]
\item Kuželosečky jako speciální případ variet: Buď
\[M=\left\{x\in\R^n\left|
\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x^ix^j+2\sum_{i=1}^n b_i x^i + c=0
\right.\right\}.\]
Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat $a_{ij}=a_{ji}$,
protože matici $a_{ij}$ lze rozložit na její symetrickou a antisymetrickou část
\[a_{ij} = \frac{1}{2}(a_{ij}+a_{ji})+\frac{1}{2}(a_{ij}-a_{ji})
\]
Navíc je-li reálná matice $B$
antisymetrická, platí
\[
x^TBx = (Bx,x) = -(x,Bx)\Rightarrow x^TBx = 0
\]
Diskriminantem kuželosečky nazýváme determinant
\[
\Delta=\left|
\begin{matrix}
a_{ij} & b_i \\
b_j & c
\end{matrix}
\right|.
\]
Jestliže $\Delta\not=0$, pak hovoříme o~{\bf nedegenerované
kuželosečce}, jinak o~{\bf degenerované}. Nedegenerovaná kuželosečka je varieta.
\begin{proof}
\[
\begin{split}
M&=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=1\}=\\
&=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\Phi'(x)\neq \Theta \},
\end{split}
\]
takže pokud $\Phi'(x)\neq \Theta$ tak $M$ je nadplocha.
\end{proof}
Derivací podle $x_k$ se získá
\[\Phi_k(x)=2\sum_{i=1}^n a_{ik}x^i+2b_k=0\quad\forall k\in\n\]
Musí se ověřit jestli $\Phi'(x_0) \neq 0$. Pro $\h(a_{ij})\not=\h(a_{ij}|b_i)$ je to OK,
pro $\h(a_{ij})=\h(a_{ij}|b_i)$ existuje $x_0$ takové, že
$\Phi'(x_0)=0$. Ukážeme, že $x_0$ není ve varietě.
\[\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_0^ix_0^j+2\sum_{i=1}^nb_ix_0^i+c=0\]
\[\sum_{i=1}^n a_{ik}x_0^i+b_k=0 \forall k\in\hat n)\]
Vynásobením $x_0^k$ a odečtením vyjde
\[\sum_{i=1}^n b_i x_0^i+c=0\]
Kdyby $x_0$ byl ve varietě, vylezl by spor, protože
Derivace v~$x_0\in M$: $\Phi'(x_0)(x-x_0)=0$
\[\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=1}^n a_{ik}x_0^i+b_k\right)(x^k-x_0^k)=0,\]
s~využitím $x_0\in M$
\[\sum_{i,k=1}^na_{ik}x_0^ix^k+\sum_{k=1}^nb_k(x^k-x_0^k)-c=0.\] %pokud to chápete, podlňte to
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
{\bf Normálovým prostorem} $N_M(x_0)$ rozumíme ortogonální doplněk k~tečnému prostoru.
\end{define}
\begin{define}
{\bf Normálou} k~varietě $M$ v~bodě $x_0$ rozumíme varietu $x_0+N_M(x_0)$.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\vec n\in N_M(x_0)$, právě když $(\forall\vec h\in
T_M(x_0))(\vec n\vec h=0)$.
\item $\vec h\in T_M(x_0)\iff \Phi'(x_0)\vec
h=0\iff(\forall l\in\hat m)(\grad\Phi^l(x_0)\vec h=
{\Phi^l}'(x_0)\vec h=0)$.
\item $(\forall l\in\hat m)(\grad\Phi^l(x_0)\in N_M(x_0))$. Gradienty
tvoří bázi normálového prostoru.
\item Buď $f'(x_0)\not=\Theta$, $\vec n=\grad f(x_0)$, $f\in\c{1}$.
Díky tomu, že $f\in\c{1}$, platí
\[M=\{x\in\H|f(x)=f(x_0)\}=\{x\in\H|f(x)=f(x_0)\wedge
f'(x_0)\not=0\}.\]
$\Phi(x)=f(x)-f(x_0)$ a také $\grad\Phi=\grad f$.
\end{enumerate}
\end{remark}
