01FA2:Kapitola6

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 00:30, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01FA2} \section{Normální operátory} \begin{theorem} Nechť $A$ je uzavřený operátor, $\uz{\Dom A}=\H$. Potom $A^*A$ je samosdružený a platí $\...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01FA2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01FA2Gromadan 30. 9. 201513:24
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůGromadan 30. 9. 201513:40
Header editovatHlavičkový souborGromadan 30. 9. 201513:44 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodKubuondr 8. 6. 201808:43 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatFundamentální věty funkcionální analýzyKubuondr 1. 6. 201809:49 kapitola1.tex
Kapitola10 editovatHolomorfní vektorové funkceKubuondr 4. 6. 201819:19 kapitola2.tex
Kapitola2 editovatSpektrum uzavřeného operátoruKubuondr 2. 6. 201808:16 kapitola3.tex
Kapitola3 editovatSpektrální rozklad pro samosdružené omezené operátoryKubuondr 8. 6. 201808:13 kapitola4.tex
Kapitola8 editovatKompaktní operátoryGromadan 30. 9. 201513:35 kapitola5.tex
Kapitola9 editovatHilbert--Schmidtovy operátoryGromadan 30. 9. 201513:33 kapitola6.tex
Kapitola5 editovatNeomezené operátoryKubuondr 6. 2. 201909:05 kapitola7.tex
Kapitola6 editovatNormální operátoryAdmin 1. 8. 201000:30 kapitola8.tex
Kapitola7 editovatSamosdružené rozšíření symetrických operátorůKubuondr 8. 2. 201910:08 kapitola9.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01FA2}
\section{Normální operátory}
 
\begin{theorem}
  Nechť $A$ je uzavřený operátor, $\uz{\Dom A}=\H$. Potom $A^*A$ je
  samosdružený a platí $\uz{A\restriction\Dom(A^*A)}=A$ ($\Dom(A^*A)$ je
  \uv{core} pro $A$).
  \begin{proof}
    Platí: $\Dom(A^*A)=\{x\in\Dom A|Ax\in\Dom A^*\}$. Dále
    $\H_+=(\Gamma(A),(\cdot,\cdot)_+)$, kde $(x,y)_+=(x,y)+(Ax,Ay)$,
    je Hilbertův prostor a $\Dom(A)$ je izomorfní s~$\Gamma(A)$: $\Dom
    A\ni x\mapsto[x,Ax]\in\Gamma(A)$. Pro normu v~$\Gamma(A)$ platí
    $\norm{x}_+=\sqrt{\norm{x}^2+\norm{Ax}^2}\ge\norm{x}$ a proto
    zobrazení $\iota:\H_+\hookrightarrow\H:[x,Ax]\mapsto x$ je spojité
    vnoření ($\norm{\iota([x,Ax])}=\norm{x}\le\norm{x}_+$).
 
    Pro libovolné $z\in\H$ položme $\phi_z(u)=(z,u)$ pro
    $u\in\Dom(A)\equiv\H_+$. Funkcionál $\phi_z\in\H_+^*$, neboť
    \[\abs{\phi_z(u)}=\abs{(z,u)}\le\norm{z}\norm{u}\le\norm{z}\norm{u}_+\]
    a tedy $\norm{\phi_z}_+\le\norm{z}$.
 
    Z~Riezsova lemmatu plyne existence 
    lineárního zobrazení $F$ takového, že pro každé
    $z\in\H$, $u\in\Dom A$ je $\phi_z(u)=(Fz,u)_+$ pro každé
    $u\in\H_+$, tj.
    \[(z,u)=(Fz,u)+(AFz,u)\iff(z-Fz,u)=(AFz,Au).\]
    Pro každé $z\in\H$ je tedy $AFz\in\Dom A^*$ a $A^*AFz=z-Fz$.
    Z~toho také plyne, že $Fz\in\Dom A^*A$. Tedy
    $F:\H\mapsto\Dom(A^*A)$ a po úpravě $(I+A^*A)F=I$. Je-li $Fz=0$,
    pak také $z=(I+A^*A)Fz=0$ a proto $\Ker F=\{0\}$.
 
    Zvolme $z=(I+A^*A)v$, kde $v\in\Dom A^*A$. Po úpravě dostaneme
    \[(I+A^*A)(v-F(I+A^*A)v)=0.\]
    Operátor $I+A^*A$ je prostý: Buď $u\in\Dom(I+A^*A)$,
    $(I+A^*A)u=0$. Potom
    \[\begin{split}
      0&=(u,(I+A^*A)u)=\norm{u}^2+(u,A^*Au)=\norm{u}^2+(Au,Au)=\\
      &=\norm{u}+\norm{Au}^2\ge\norm{u}^2
    \end{split}\]
    a proto $u=0$. Odtud pro každé $v\in\Dom A^*A$ je $v-F(I+A^*A)v=0$
    a proto $F(I+A^*A)=I_{\Dom A^*A}$, $\Ran F=\Dom(A^*A)$,
    $F=(I+A^*A)^{-1}$ a $I+A^*A=F^{-1}$.
 
    Dále pro každé $z,v\in\H$ je
    \[(z,Fv)=(Fz,Fv)+(AFz,AFv)=
    \overline{(Fv,Fz)}+\overline{(AFv,AFz)}=
    \overline{(v,Fz)}=(Fz,v).\]
    Operátor $F$ je tedy symetrický a protože $\Dom F=\H$, je i
    omezený a samosdružený. Dále $\uz{\Ran F}=\H$, neboť
    $(\Ran F)^\perp=\Ker F^*=\Ker F=\{0\}$, takže
    $(F^{-1})^*=(F^*)^{-1}=F^{-1}$. Proto i $A^*A=F^{-1}-I$ je
    samosdružený a $\Dom A^*A=\Dom F^{-1}=\Ran F$.
 
    Zbývá dokázat tvrzení o~uzávěru. Buď $B=A\restriction\Dom
    A^*A$. Potom $\uz
    B=A\iff\uz{\Gamma(B)}=\Gamma(A)\iff \Gamma(B)^\perp=\{0\}$, kde
    $\Gamma(B)^\perp$ značí OG doplněk v~$\Gamma(A)$.
 
    Platí $\Gamma(B)=\{[x,Ax]|x\in\Dom(A^*A)\}$. Nechť
    $[u,Au]\in\Gamma(A)$ leží v~$\Gamma(B)^\perp$. Potom pro každé
    $x\in\Dom A^*A$ je 
    \[0=([u,Au],[x,Ax])=(u,x)+(Au,Ax)=(u,(I+A^*A)x)=(u,F^{-1}x).\]
    Protože $F^{-1}:\Dom A^*A\mapsto\H$ je surjektivní, je $(u,y)=0$
    pro každé $y\in\H$ a proto $u=0$ a $[u,Au]=0$. Tedy $\uz B=A$.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
  Uzavřený, hustě definovaný operátor $A$ je normální, právě když
  $\Dom A=\Dom A^*$ a $\forall x\in\Dom A$, $\norm{Ax}=\norm{A^*x}$.
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item Předpokládejme, že $A$ je normální ($A^*A=AA^*$). Položme
      $V=\Dom A^*A=\Dom AA^*\subset\Dom A\cap A^*$. Potom pro $x\in V$
      je
      \[\norm{Ax}^2=(Ax,Ax)=(x,A^*Ax)=(x,AA^*x)=(A^*x,A^*x)=\norm{A^*x}^2.\]
      Z~předchozí věty plyne $A=\uz{A\restriction V}$,
      $A^*=\uz{A^*\restriction V}$ (protože $A=\uz A$, je $A=A^{**}$,
      $AA^*=(A^*)^*A^*$ a tedy $A^*$ je normální).
 
      Potom 
      \[\begin{split}
        y\in\Dom
A~&\iff(\exists y_n\in V)(y_n\to y\text{ a $\{A_n\}$ je
          cauchyovská})\\
        &\iff(\exists y_n\in V)(y_n\to y\text{ a $\{A^*_n\}$ je
          cauchyovská})\\
        &\iff y\in\Dom A^*.
      \end{split}\]
      Z~toho plyne $\Dom A=\Dom A^*$. Navíc pro $y_n\in V$ je
      $\norm{Ay_n}=\norm{A^*y_n}$, provedením limity dostáváme
      $\norm{Ay}=\norm{A^*y}$ pro každé $y\in\Dom A$.
    \item Nechť $\Dom A=\Dom A^*$, $\norm{Ay}=\norm{A^*y}$. Použitím
      polarizační formule dostáváme rovnost $(Ax,Ay)=(A^*x,A^*y)$ pro
      každé $x,y\in\Dom A$. Dále pro každé $x\in\Dom A^*A$, $y\in\Dom
      A=\Dom A^*$ je $(A^*Ax,y)=(A^*x,A^*y)$. Z~toho plyne
      $A^*x\in\Dom A^{**}=\Dom A$ a tedy $x\in\Dom AA^*$. Protože
      $\Dom A$ je hustý, je $AA^*x=A^*Ax$, takže $A^*A\subset
      AA^*$. Symetricky i $AA^*\subset A^*A$, celkem $AA^*=A^*A$.\qed
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
  Nechť $A=\uz A$ je normální. Potom
  \begin{enumerate}
  \item $\lambda\in\rho(A)\iff\exists M>0\ \forall x\in\Dom A\
    \norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x}$.
  \item $\lambda\in\sigma(A)\iff\exists x_n\subset\Dom A,\
    \norm{x_n}=1$ taková, že $\lim(A-\lambda)x_n=0$,
  \end{enumerate}
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item Nechť $\lambda\in\rho(A)$. Potom
      $\norm{(A-\lambda)^{-1}}<\infty$ a pro každé $x\in\Dom A$ je
      \[\norm{x}=\norm{(A-\lambda)^{-1}(A-\lambda)x}\le
      \norm{(A-\lambda)^{-1}}\norm{(A-\lambda)x},\]
      takže \[M=\frac{1}{\norm{(A-\lambda)^{-1}}}.\]
    \item Z~nerovnosti $\norm{(A-\lambda)x}\ge M\norm{x}$ plyne, že
      $A-\lambda$ je prostý. Proto $(A-\lambda)^{-1}$ existuje a
      $\Dom(A-\lambda)^{-1}=\Ran A-\lambda$. Operátor $A$ je normální,
      takže i $A-\lambda$ je normální a podle předchozí věty pro každé
      $x\in\Dom A=\Dom A^*$ je
      $\norm{(A-\lambda)x}=\norm{(A^*-\overline\lambda)x}$,
      a proto $\Ker A-\lambda=\Ker A^*-\overline\lambda=\Ran
      (A-\lambda)^\perp$ a tedy $\uz{\Ran(A-\lambda)}=\H$.
 
      Buď $x\in\Dom(A-\lambda)^{-1}$, $x=(A-\lambda)y$, $y\in\Dom
      A$. Potom
      \[\norm{y}\le\frac1M\norm{(A-\lambda)y}\iff
      \norm{(A-\lambda)^{-1}x}\le\frac1M\norm{x}\]
      a proto $(A-\lambda)^{-1}$ je omezený. Protože $A$ je uzavřený,
      je i $(A-\lambda)^{-1}$ uzavřený a z~omezenosti a uzavřenosti
      plyne $\Dom (A-\lambda)^{-1}=\uz{\Dom
      (A-\lambda)^{-1}}=\H$. Tedy $\lambda\in\rho(A)$.\qed
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{dusl}
  $A=A^*\implies\sigma(A)\subset\R$.
  \begin{proof}
    Obdobně jako v~omezeném případě.
  \end{proof}
\end{dusl}

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01FA2:Kapitola6&oldid=3110“