Součásti dokumentu 01MAA4cviceni
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4cviceni}
\section{Kvadriky}
\begin{define} (\textsc{Kvadratická funkce}) \index{Definice!Kvadratické funkce}
Buďte $A \in \Rnn$ symetrická, $A \ne \Theta$,
$b \in \Rn$, $c \in \R$.
Pak zobrazení $f: \Rn \to \R:$
\[ f(x) = x \trans A x - 2 b \trans x + c \]
se nazývá kvadratická funkce.
Množina $\mathcal{Q} = f^{-1}(0) = \{ x \in \Rn \vert f(x) = 0 \}$ se nazývá kvadrika s rovnicí $f(x) = 0$.
\end{define}
\begin{remark}
V této definici jsme použili značení standardního skalárního součinu pomocí sloupcových a řádkových vektorů.
Zřejmě platí
\[ x \trans A x = (x, Ax) \]
\[ b \trans x = (b, x) \]
Tohoto zápisu budeme zhusta používat.
\end{remark}
\begin{define} (\textsc{Souřadná soustava}) \index{Definice!Souřadné soustavy}
Nechť $\px$ je báze $\Rn$, $s \in \Rn$. Pak dvojici $(\px, s)$ nazýváme soustavou souřadnic s bází $\px$
a počátkem $s$.
\end{define}
\begin{remark}
$(\forall x \in \Rn)(x = (\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}))$
\[ x = s + \sum_{i=1}^{n} y_{i}x_{i} \]
když $\px = (x_{1}, \ldots , x_{n})$ a souřadnice $y = (y_{1}, \ldots , y_{n})$. Pomocí matice přechodu $\mathbb{P}$ zapíšeme výše
uvedený vztah jako $x = s + \mathbb{P} y$
\end{remark}
\begin{remark} V následujícím textu se tedy budeme snažit zjednodušit výraz pro $f(x)$ přechodem k jiné soustavě souřadné.
\end{remark}
Máme tedy
\[ f(x) = f(s+\sum_{i=1}^{n} y_{i} x_{i}) = f(s+ \pre y) = (s + \pre y) \trans \MA (s + \pre y) - 2 b \trans (s + \pre y) + c = \]
\[ = s \trans \MA s + s \trans \MA \pre y + (\pre y) \trans \MA s + (\pre y) \trans \MA \pre y - 2 b \trans s - 2 b \trans \pre y + c = \]
\[ = y \trans \pre \trans \MA \pre y + 2 (s \trans \MA - b \trans) \pre y + s\trans \MA s - 2 b \trans s + c = f_{1}(y) \]
$f_{1}(y)$ je opět kvadratickou funkcí. Z odvozeného zápisu vyplývá několik zajimavých možností:
\begin{itemize}
\item Určitou záměnou můžeme zrušit konstantu (pokud $f(s) = 0$).
\item Pro eliminaci lineárního členu je zapotřebí, aby $s \trans \MA - b \trans = \Theta$.
\end{itemize}
Pokud $\MA$ je symetrická pak existuje $\pre$ tak, že $\pre \trans \MA \pre$ je diagonální a tedy
\[ y \trans \pre \trans \MA \pre y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i}^{2}. \]
A tedy existuje $s \in \Rn$ tak, že $s \trans \MA - b \trans = \Theta$. Dosáhneme toho, že lineární člen vypadne, tj.
$\MA s = b$.
\begin{define} (\textsc{Střed kvadriky}) \index{Definice!Středu kvadriky}
Bod $s \in \Rn$ se nazývá středem kvadriky $\mathcal{Q}$ právě když $(\forall x \in \Rn)(f(s+x)=f(s-x))$.
Existuje-li alespoň jeden střed kvadratické funkce, pak se kvadratika nazývá centrální. Neexistuje-li, nazýváme ji necentrální. Ozančíme
$S_{f}$ množinu všech středů $f$.
\end{define}
\begin{theorem} Platí následující tvrzení:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\mathcal{Q} = f^{-1}(0)$ je centrální právě když existuje $s \in \Rn$ tak, že $\MA = b$.
\item $S_{f} = \{ s \in \Rn \vert \MA s = b \}$ je varieta.
\item $f \vert _{S_{f}} = const.$ (tzv. centrální hodnota)
\end{enumerate}
\end{theorem}
Důkaz:
\[ f(s \pm x) = s \trans \MA s \pm 2 s \trans \MA x + x \trans \MA x - 2 b \trans \mp 2 b \trans x + c = \]
\[ = x \trans \MA x \pm 2 (s \trans \MA - b \trans) x + f(s)\]
Nyní vydíme, že tvrzení č. 1 věty platí.
\bigskip
\textbf{Závěr:} Pro centrální kvadriky existuje souřadný systém $(\px, s)$ tak, že (je-li $y$ zápis souřadnic
bodu $x$ v systému $(\px, s)$):
\[ f(x) = f_{1}(y) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i}^{2} + f_{0}. \]
\begin{remark} Některé zápisy
\end{remark}
\begin{itemize}
\item Nechť $f$ je centrální, $\MA \in \Rnn$, $k = \hod (\MA) \leq n$, $s \in S_{f}$, $\px$ je diagonální
báze taková, že
\[ (\forall j \in \hat{k} )(\lambda_{j} \ne 0)(\forall j = k+1 \ldots ,n)(\lambda_{j} = 0). \]
Pak se $(\px, s)$ nazývá tzv. Kanonickou soustavou \index{Definice!Kanonické soustavy}. $f$ má v této
soustavě tvar
\[ f(x) = f_{1}(y) = \sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} y_{i}^{2} + f_{0}. \]
\item Nechť $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p} > 0$, $p \geq k$ a $\lambda_{p+1}, \ldots, \lambda_{k} < 0$. Potom
podle hodnoty $f_{0}$ můžeme standardní tvar kvadriky $\mathcal{Q} = f^{-1}(0)$ zapsat následujícími způsoby
\begin{enumerate}
\item Pokud $f_{0} = 0$ pak
\[ \sum_{i = 1}^{p} \Big( \frac{y_{i}}{\alpha_{i}} \Big) ^{2} - \sum_{i = p + 1}^{k} \Big( \frac{y_{i}}{\alpha_{i}} \Big) ^{2} = 0, \]
kde \begin{align*}
\lambda_{i}& = \frac{1}{\alpha_{i}^{2}}, &i \in \hat{p}, \\
\lambda_{i}& = - \frac{1}{\alpha_{i}^{2}}, &i = p+1 ,\ldots,k.
\end{align*}
\item Pokud $f_{0} \ne 0$ pak
\[ \sum_{i = 1}^{p} \Big( \frac{y_{i}}{\alpha_{i}} \Big) ^{2} - \sum_{i = p + 1}^{k} \Big( \frac{y_{i}}{\alpha_{i}} \Big) ^{2} = 1, \]
kde \[ \frac{1}{\alpha_{i}^{2}} = \pm \frac{1}{\abs{f_{0}}}\abs{\lambda_{i}}, i \in \hat{k}. \]
\end{enumerate}
\end{itemize}
\begin{define}
Reálné osy mají indexy $i \in \hat{p}$, imaginární osy $i \in \{ p+1, \ldots, k \}$. Hodnost $\MA$ je rovna $n$, právě když je to regulární kvadrika.
\end{define}
% NECENTRALNI KVADRIKY --------------------------
\medskip
\subsection{Necentrální kvadriky}
\begin{remark}
Nyní nelze odstranit lineární člen (rovnice $\MA s = b$ nemá řešení). Zkusíme tedy najít $s$ tak, aby $f(s) = 0$.
\end{remark}
\begin{remark}
Jestliže matice $\MA \in \Rnn$ je symetrická pak $\ker \MA \oplus \image \MA = \Rn$ \footnote{Zde $\ker \MA = \MA ^{-1}(\Theta)$ a $\image \MA = \MA () \Rn$.}.
\end{remark}
\begin{theorem}
Nechť $f$ je necentrální, $b = b_{1} + b_{2}$, kde $b_{1} \in \image \MA$ a $b_{2} \in \ker \MA$. Pak existuje $s \in \Rn$ tak, že
$\MA s = b_{1}$.
\end{theorem}
\begin{define} (\textsc{Vrchol}) \index{Definice!Vrcholu}
Vektor $s \in \Rn$ takový, že $f(s) = 0$ se nazývá vrchol $f$. Množina vrcholů se označuje $V_{f}$.
\end{define}
\begin{remark} (\textsc{Kanonický tvar}) \index{Tvar!Kanonický}
Pokud $\MA$ je diagonalizovatelná pomocí báze $\px$ (kanonická báze), $\hod ( \MA) = k$, $s \in V_f$ a
označíme-li souřadnice v $(\px , s)$ $y$, kde
\[ x_{k+1} = \frac{1}{\norm{b_2}} b_2, \]
pak kanonický tvar $\MA$
\[ \sum _{i=1} ^n \lambda_i (y_i)^2 - 2 \norm{b_2} y_{k+1} = \mathcal{Q}. \]
\end{remark}
\begin{remark} (\textsc{Standardní tvar} \index{Tvar!Standardní})
\end{remark}
% KVADRIKY v R2 --------------------------
\medskip
\subsection{Kvadriky v $\R ^{2}$ a $\R^3$ - kuželosečky}
Následují příklady některých často se vyskytujících kvadrik, tyto naleznete v Tabulce č. \ref{Kvad2}.
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
\hline
Rovnice kvadriky & Označení \\
\hline \\
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ & elipsa \\
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1$ & prázdná množina \\
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 0$ & bod \\
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ & hyperbola \\
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ & dvě přímky \\
$\frac{x^2}{a^2} = 1$ & dvě přímky \\
$\frac{x^2}{a^2} = 1$ & prázdná množina \\
$\frac{x^2}{a^2} = 0$ & přímka \\
$\frac{x^2}{a^2} = 2y$ & parabola
\end{tabular} \\
\label{Kvad2}
\caption{Kvadriky v $R^2$}
\end{center}
\end{table}
Dále uvedeme některé kvadriky v $R^3$, v této tabulce nechť $a,b,c >0$. Ty jsou v Tabulce č. \ref{Kvad3}.
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
\hline
Rovnice kvadriky & Označení \\
\hline \\
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ & elipsoid \\
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = -1$ & prázdná množina \\
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ & jednodílný hyperboloid \\
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ & dvoudílný hyperboloid \\
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 0$ & střed (bod) \\
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ & kužel \\
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ & eliptický válec \\
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1$ & prázdná množina \\
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ & hyperbolický válec \\
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 0$ & přímka \\
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ & dvojice rovin \\
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z$ & eliptický paraboloid \\
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z$ & hyperbolický paraboloid \\
$\frac{x^2}{a^2} = 1$ & dvojice rovin \\
$\frac{x^2}{a^2} = -1$ & prázdná množina \\
$\frac{x^2}{a^2} = 0$ & rovina \\
$\frac{x^2}{a^2} = 2y$ ¶bolický válec
\end{tabular} \\
\caption{Kvadriky v $R^3$}
\label{Kvad3}
\end{center}
\end{table}
\subsection{Kvadriky v $\R ^{3}$}
\subsection{Příklady}
V následujícím textu se budeme zabývat kvadrikami v $\R ^{2}$.
\begin{example}
Máme kvadriku o rovnici
\[ 5x^{2} + 4xy+8y^{2}-32x-56y+80 = 0. \]
\end{example}
Porovnáním s obecným tvare v $\R ^{2}$
\[ f \svekt{x}{y} = (x,y) \MA \svekt{x}{y} - 2 b \trans \svekt{x}{y} + c \]
dostaneme
\[ \MA = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}, \medspace
b = \begin{pmatrix} 16 \\ 28 \end{pmatrix}, \medspace c = 80. \]
Matice $\MA$ je regulární a proto existuje právě jedno $s$ tak, že $\MA s = b$. Řešme proto
\[ s \]
\begin{example} Máme kvadriku o rovnici
\[ 2x^2+y^2+2z^2-2xy+2yz+4x-2y=0. \]
\end{example}
\begin{example} Máme kvadriku o rovnici
\[ 2x^2+y^2+2z^2-2xy+2yz+4x+2y+2z-2=0. \]
\end{example}
