Součásti dokumentu 02LIAG
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG}
\section{Dynkinovy diagramy}
Cartanovu matici lze jednoznačně přiřadit grafu.
\Def{
\emph{Dynkinův diagram} je zakreslení $\Delta^p$ do grafu, kde spojíme $\alpha_i$ a $\alpha_j$ $a_{ij}a_{ji}$ hranami, pokud je hran více zakreslíme šipku směrem k~většímu kořenu (ve smyslu normy indukované $\braket{\cdot , \cdot}$).
}
\Vet{
Nechť $\Delta = \Delta_1 \cup \Delta_2$, $\Delta_1 \cap \Delta_2 = \emptyset$, $\braket{\gamma_i , \gamma_j}=0$, $\forall \gamma_k \in \Delta_k$. Potom $\g = \g_1 \oplus \g_2$, $[\g_1,\g_2]=0$, $K(X_i,X_j)=0$, $\forall X_k \in \g_k$.\\
(Tedy souvislé komponenty Dynkinova diagramu odpovídají prostým algebrám.)
}
Jednoduše řečeno máme kořeny rozděleny na nezávislé části, které spolu nijak neinteragují, takže i $\g$ je rozdělena na nezávislé části, které se komutováním nepromíchávají.
\lemma{
Nechť $\alpha_i,\alpha_j \in \Delta^p$, $\braket{\alpha_i, \alpha_j} \le \braket{\alpha_j ,\alpha_j}$. Potom počet hran spojujících $\alpha_i$ a $\alpha_j$ je $\# \{k \in \Z | \alpha_j+k \alpha_i \in \Delta \}-1$.
}
Definujeme $e_i=\frac{\alpha_i}{\norm{\alpha_i}}$, označíme $n_{ij}$ počet hran spojujících $\alpha_i$ a $\alpha_j$. Pak platí $\braket{e_i, e_j}=-\sqrt{n_{ij}}$. Uvažujeme libovolný $x=\sum_j x_je_j$, takže
\begin{align}
\norm{x}=
\sum_j x_j^2+2 \!\!\!\!\!\!\! \sum_{1\le i < j \le \# \Delta^p} \!\!\!\!\!\!\! x_i x_j \braket{e_i,e_j}=
\sum_j x_j^2-2 \!\!\!\!\!\!\! \sum_{1\le i < j \le \# \Delta^p} \!\!\!\!\!\!\! x_i x_j \sqrt{n_{ij}} >0 \,.
\end{align}
Tuto podmínku použijeme pro zjištění přípustných grafů, výsledky shrnuje následující lemma.
\lemma{
Podmínky pro přípustnost Dynkinových diagramů jsou:
\begin{itemize}
\item Dynkinovy diagramy neobsahují uzavřené smyčky.
\item V~každém vrcholu se setkávají nejvýše tři hrany.
\item Nahradíme-li dvojici vrcholů spojených jednou hranou jediným vrcholem dostaneme přípustný Dynkinův diagram.
\item Poddiagram určený $n=\mrm{diag}(1,2,1,1)$ není přípustný.
\item Pro diagram na obr. \ref{diag_1} označíme $x=\sum_{j=1}^{p-1}je_j$, $y=\sum_{j=1}^{q-1}jf_j$, $z=\sum_{j=1}^{r-1}jg_j$ platí
\begin{enumerate}
\item Viz sešit.
\end{enumerate}
Dostaneme tak přípustné možnosti, kdy je graf rozštěpen.
\end{itemize}
}
Aplikací těchto podmínek získáme všechny možné přípustné komplexní prosté Lieovy algebry určené Dynkinovými diagramy (označíme $\dim \g_0 = \mrm{rank}\,\g$)
\begin{itemize}
\item série $A_l$ odpovídající $\mfrk{sl}(l+1,\C)$, $l\ge 1$,
\item série $B_l$ odpovídající $\mfrk{so}(2l+1,\C)$, $l\ge 2$,
\item série $C_l$ odpovídající $\mfrk{sp}(2l,\C)$, $l\ge 3$,
\item série $D_l$ odpovídající $\mfrk{so}(2l,\C)$, $l\ge 4$,
\item výjimečné algebry $G_2$, $F_4$ a $E_k$, $k=6,7,8$.
\end{itemize}
To že všechny tyto algebry jsou nejen přípustné, ale že opravdu existují bylo ukázáno jejich explicitní konstrukcí. Přehled Cartanových matic jednotlivých sérií (kořeny uspořádány standardně, 0 vynechány)
% \begin{small}
\begin{align*}
a^{A_l}=\begin{pmatrix}
2 & -1 & & & & \\
-1 & 2 & -1 & & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & & \\
& & -1 & 2 & -1 \\
& & & -1 & 2 & -1 \\
& & & & -1 & 2 \\
\end{pmatrix} , &&
a^{B_l}=\begin{pmatrix}
2 & -1 & & & & \\
-1 & 2 & -1 & & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & & \\
& & -1 & 2 & -1 & \\
& & & -1 & 2 & -2 \\
& & & & -1 & 2 \\
\end{pmatrix}\,, \\
a^{C_l}=\begin{pmatrix}
2 & -1 & & & & \\
-1 & 2 & -1 & & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & & \\
& & -1 & 2 & -1 & \\
& & & -1 & 2 & -1 \\
& & & & -2 & 2 \\
\end{pmatrix} , &&
a^{D_l}=\begin{pmatrix}
2 & -1 & & & & \\
-1 & 2 & -1 & & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & & \\
& & -1 & 2 & -1 & -1 \\
& & & -1 & 2 & \\
& & & -1 & & 2 \\
\end{pmatrix} \,.
\end{align*}
% \end{small}
\Pzn{
Pro rychlé určení směru šipky (od menšího k~většímu) se hodí vztah
\begin{align}
\frac{\norm{\alpha_i}}{\norm{\alpha_j}}=\sqrt{\frac{\braket{\alpha_i,\alpha_i}}{\braket{\alpha_j,\alpha_j}}}=\sqrt{\frac{a_{ij}}{a_ji}} && \Rightarrow && \norm{\alpha_i}=\sqrt{\frac{a_{ij}}{a_{ji}}} \norm{\alpha_j}\,.
\end{align}
}
\Pzn{
Přehled vztahů mezi souřadnicovými funkcionály v~definující reprezentaci klasických sérií $\varphi \in \g_0^*$ (zavedeny na cvikách) a fundamentálními kořeny (viz další kapitola).
}
\begin{itemize}
\item[$A_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_l= \sum_{i=1}^{l}\varphi_i$,\\
nejvyšší váha definující reprezentace na $V=\C^{l+1}$ je $\varphi_1$, $\varphi_1 + \varphi_2$ získáme z~$V \wedge V$, atd.
\item[$B_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_{l-1}=\sum_{i=1}^{l-1}\varphi_i ,\, \lambda_l=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l}\varphi_i \right)$, \\
reprezentace poslední nelze vytvořit tenzorovými součiny: \emph{spinorová reprezentace}.
\item[$C_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\, \lambda_2=\varphi_1+\varphi_2, \dots ,\, \lambda_l= \sum_{i=1}^{l}\varphi_i$, \\
nejvyšší váha definující reprezentace na $V=\C^{2l}$ je $\varphi_1$, $\varphi_1 + \varphi_2$ získáme z~$V \wedge V = \C^{l(2l-1)}$, atd.
\item[$D_l$:] $\lambda_1=\varphi_1,\,
\lambda_2=\varphi_1+\varphi_2,
\dots ,\,
\lambda_{l-2}=\sum_{i=1}^{l-2}\varphi_i ,\,
\lambda_{l-1}=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l-1}\varphi_i -\varphi_l \right),\,
\lambda_{l}=\frac{1}{2}\left( \sum_{i=1}^{l}\varphi_i \right)$, \\
takže máme 2 spinorové reprezentace.
\end{itemize}
% JEŠTĚ SEM PŘIJDE ČÁST O DYNKINOVÝCH DIAGRAMECH, KTERÁ NENÍ SLOŽITÁ A PAK KLASIFIKACE