Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GR}
% ****************************************************************************************************************************
% KAPITOLA: Faktor grupy
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Faktor grupy}
\begin{remark}
Studium faktor grup dané grupy $G$ nám umožňuje zkoumat její strukturu a je ekvivalentní zkoumání homomorfismů $G$.
\end{remark}
\begin{define}
Mějme homomorfismus $\varphi : G \rightarrow H$. \textbf{Vláknem} homomorfismu $\varphi$ příslušejícím prvku $x \in H$ nazýváme množinu $\{y \in G|\varphi(y)=x\}$, tedy množina všech prvků, které se zobrazí na $x$. (Obr. \ref{fig:vlakna}).
\end{define}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=.8]{vlakna.PNG}
\caption{Znázornění vláken homomorfismu. Převzato z \cite{AA}.}
\label{fig:vlakna}
\end{figure}
\begin{corollary}
Pro homomorfismus $\varphi$ : $G \rightarrow H$ platí:
\begin{enumerate}
\item $\varphi(1_G)=1_H$
\item $\varphi(g^{-1})=\varphi(g)^{-1}$
\item $\varphi(g^{n})=\varphi(g)^{n}$
\item $\mathrm{Ker}\varphi \le G$
\item $\mathrm{Im}\varphi \le H$ (obraz)
\end{enumerate}
\end{corollary}
\begin{define}
Mějme homomorfismus $\varphi : G \rightarrow H$ s jádrem $\mathrm{Ker}\varphi=K$. Potom \textbf{faktor grupa} $G/K$ ($G$ mod $K$) je grupa na vláknech $\varphi$ s operací definovanou pomocí reprezentantů: pokud $X$ je vlákno nad $a$ a $Y$ je vlákno nad $b$, pak prvek $XY \in G/K$ je vlákno nad $ab$.
\end{define}
\begin{remark}
To, že faktor grupa má skutečně vlastnosti grupy se lehce ověří z platnosti těchto vlastností v $G$.
\end{remark}
\begin{theorem}
\label{v:tridy}
Mějme homomorfismus $\varphi : G \rightarrow H$ s jádrem $\mathrm{Ker}\varphi=K$ a nechť $X_a \in G/K$ je vlákno nad $a \in H$, tedy $X_a=\varphi^{-1}(a)$. Potom platí:
\begin{enumerate}
\item $\all u \in X_a$ je $X_a=\{uk|k \in K\}$,
\item $\all u \in X_a$ je $X_a=\{ku|k \in K\}$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Dokážeme pouze první bod (druhý se dokazuje analogicky). Označme $uK = \{uk|k \in K\}$, mějme $u \in X_a$ (tedy $\varphi(u)=a$) a ukážeme, že $uK \subset X_a$: $\varphi(uk)=\varphi(u)\varphi(k)=\varphi(u)e=a$. (Využili jsme nejprve toho, že $\varphi$ je homomorfismus a pak toho, že $k$ je z jádra.)
Pro důkaz opačné inkluze mějme libovolné $g \in X_a$ a vezměme $k=u^{-1}g$. Jelikož $\varphi(k)=\varphi(u^{-1}g)=\varphi(u^{-1})\varphi(g)=a^{-1}a=e$, $k$ patří do jádra. Dále zřejmě $g=uk$, tedy $g \in uK$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Pro libovolnou $H \le G$ a libovolné $g \in G$ nazýváme množiny $gH=\{gh|h \in H\}$ respektive $Hg=\{hg|h \in H\}$ \textbf{levé} respektive \textbf{pravé} třídy $H$ v $G$. Libovolný prvek třídy nazýváme jejím \textbf{reprezentantem}.
\end{define}
\begin{theorem}
Buďte $G$ grupa a $K$ jádro nějakého homomorfismu $\varphi$ z $G$ do nějaké grupy. Potom množina levých tříd $K$ v $G$ s operací definovanou jako $aK \otimes bK = (ab)K$ je grupa $G/K$. Tedy tato operace je dobře definovaná (nezávisí na výběru reprezentanta). (Obr. \ref{fig:nasobeni_reprezentanti})
\begin{proof}
Mějme $X,Y \in G/K$, $X=\varphi^{-1}(a)$, $Y=\varphi^{-1}(b)$ a $Z=XY \in G/K$. Podle definice operací v $G/K$ je $Z=\varphi^{-1}(ab)$. Z věty \ref{v:tridy} víme, že prvky $G/K$ jsou levé třídy $K$. Je třeba ukázat, že i operace, kterou zde definuje pomocí reprezentantů odpovídá původní definici násobení v $G/K$ bez ohledu na výběr reprezentanta. Mějme $u \in X$ a $v \in Y$, tedy $\varphi(u)=a$, $\varphi(v)=b$ a $X=uK$ a $Y=vK$. Určíme, zda $uv \in Z$.
\begin{align}
\varphi(uv)=\varphi(u)\varphi(v)=ab \nonumber
\end{align}
Odtud tedy plyne, že $uv \in Z$, a tedy $Z=uvK$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{nasobeni_reprezentanti.PNG}
\caption{Znázornění násobení v $G/K$ pomocí reprezentantů levých tříd. Převzato z \cite{AA}.}
\label{fig:nasobeni_reprezentanti}
\end{figure}
\begin{theorem}
Nechť $N \le G$, potom množina levých tříd $N$ v $G$ tvoří rozklad $G$ (jejich sjednocením je $G$ a jednotlivé třídy mají prázdný průnik). Dále $\all u,v \in G $ platí $uN=vN$ právě tehdy, když $u^{-1}v \in N$, tedy když $u$ a $v$ jsou reprezentanty stejné třídy.
\begin{proof}
Nejprve ukážeme, že sjednocením levých tříd je celé $G$. Jelikož $N$ je grupa, pak $1 \in N$, a tedy platí:
\begin{align}
\bigcup_{g \in G} gN \subset \bigcup_{g \in G} g1 = G. \nonumber
\end{align}
Pro důkaz druhé části vezmeme $uN \cap vN \neq \emptyset$ a ukážeme, že potom platí $uN = vN$. Vezměme $x \in uN \cap vN$, tedy $x$ můžeme napsat jako $x= un_1 = vn_2$ pro nějaká $n_1,n_2 \in N$. Rovnost vynásobíme zprava $n_1^{-1}$ a dostaneme $u = vn_2 n_1^{-1} = vn_3$ pro nějaké $n_3 \in N$. Tedy vidíme, že $u \in vN$. Dále pro libovolné $t \in uN$ platí $t = un_4 = (vn_3)n_4 = vn_5$, takže $t \in vN$ pro $\all t \in uN$, tedy $uN \subset vN$. Opačnou inkluzi dostaneme záměnou role $u$ a $v$.
Jelikož víme, že $u=vn_3$, pak platí $v^{-1}u=n_3$, tedy $v^{-1}u \in N$ a to platí pro libovolné reprezentanty tříd.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
\label{v:normalni}
Buď $G$ grupa a $N \le G$. Potom:
\begin{enumerate}
\item Operace na levých třídách definovaná jako $uNvN=(uv)N$ je dobře definovaná právě tehdy, když $(gng^{-1} \in N)(\all g \in G $ a $ \all n \in N)$.
\item Je-li výše uvedená operace dobře definovaná, pak je množina levých tříd $N$ grupou s jednotkou $eN$ a inverzním prvkem $(gN)^{-1}=g^{-1}N$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
str 81/95
\end{proof}
\end{theorem}
%XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx
%\begin{define}
% Operce na levých třídách (na pravých obdobně) $N$ v $G$ je \textbf{dobře definovaná}, pokud $(\all u,u_1 \in uN)(\all v,v_1 \in vN)$ platí $(uvN=u_1v_1 N)$.
%\end{define}
%
%
%\begin{theorem}
% Máme-li $N \le G$, potom:
% \begin{enumerate}
% \item Operace na levých třídách je dobře definovaná $\lra$ $(\all n \in N)(\all g \in G)(gng{-1}N)$.
% \item Je-li operace dobře definovaná, pak množina tříd s touto operací tvoří grupu. (Tedy jsem schopen vytvořit faktor grupu.)
% \end{enumerate}
% \begin{proof}
% \begin{enumerate}
% \item $\la)$ Nechť ($u=e, u_1 \in N, v=v_1=g^{-1} \in G) \le (eg^{-1}N=u_1g^{-1}) \le (N=gug^{-1}N)$.\\
% $\ra) (\all n\in N, \all g \in G)(gng^{-1}\in N).$ Mějme $u_1,u_2 \in u_1 N$ a $v_1,v_2 \in v_1 N$ ??????????
% \item $eN=N$ (jednotka je $N$), $(gN)^{-1}=g^{-1}N$, asociativita.
% \end{enumerate}
% \end{proof}
%\end{theorem}
\begin{define}
Prvek $m=gng^{-1}$ se nazývá \textbf{konjugovaný} k $n$ prvkem $g$.
\end{define}
\begin{define}
Buď $A \subset G$ libovolná podmnožina grupy. Množina $M=gAg^{-1}$ se nazývá \textbf{konjugovaná} k $A$ prvkem $g$.
\end{define}
%\begin{define}
% Buď $\emptyset \neq A \subset G$. Množinu $C_G(A)=\{g\in G|(gag^{-1}=a )(\all a \in A)\}$ nazveme \textbf{centralizátor} $A$ v $G$.
%\end{define}
%
%\begin{theorem}
% $C_G(A) \le G$.
% \begin{proof}
% $e \in C_G(A), g_1 g_2 = a, g_1^{-1} g_2^{-1} = a$
% \end{proof}
%\end{theorem}
%
%
%\begin{define}
% \textbf{Centrum} grupy je $Z_G=\{z \in G|gzg^{-1}=z \all g \in G\}=C_G(G)$. (Neboli $gz=zt$ - všechny prvky, které komutují s celou grupou. Je to množina, kterou centralizuje celá grupa.)
%\end{define}
%
%\begin{define}
% Množinu $N_G(A)=\{g\in G|gAg^{-1}=A\}$ nazveme \textbf{normalizátor} $A$ v $G$.
%\end{define}
%
%\begin{remark}
% $C_G(A) \le N_G(A)$.
%\end{remark}
\begin{define}
Pokud pro $N \le G$ platí $N_G(N)=G$ (normalizátor $N$ v $G$), pak $N$ nazýváme \textbf{normální} podgrupa. Značíme $N \npg G$
\end{define}
\begin{remark}
Pro ověření, zda podgrupa $N \le G$ je normální, stačí ověřit, že komutuje s generátory množiny $G \setminus N$ (množinový rozdíl), pokud tyto generátory známe.
\end{remark}
\begin{theorem}
\label{v:ekvivalence_normalni}
Nechť $N \le G$, potom následující tvrzen jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}
\item $N \npg G$
\item $N_G(N)=G$
\item $gN=Ng$
\item Operace na třídách je dobře definovaná.
\item $gNg^{-1} \subset N$
\end{enumerate}
\begin{proof}
Přepsání definic.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť $N \npg G$, potom $\exists$ homomorfismus $\varphi$ takový, že $N=Ker(\varphi)$.
\begin{proof}
$\la$) Podle věty \ref{v:tridy} víme, že levé a pravé třídy jsou stejné ($gN = Ng$), což je podle věty \ref{v:ekvivalence_normalni} ekvivalentní normálnosti grupy.
\end{proof}
$\ra$) Nyní máme $N \npg G$ a označíme $H = G/N$ (Podle věty \ref{v:normalni} je operace na levých třídách pro normální grupu dobře definovaná). Definujeme zobrazení $\pi: G \rightarrow G/N$ jako $\pi(g) = gN$ pro $\all g \in G$. Z definice operací v $G/N$ platí pro $\all f,g \in G$: $\pi(fg) = (fg)N = fNgN = \pi(f)\pi(g)$, tedy $\pi$ je homomorfismus. Jeho jádro je: $Ker(\pi) = \{g \in G | \pi(g) = 1N\} = \{g \in G | gN = 1N \} = \{g \in G | g \in N\} = N$.
\end{theorem}
\begin{remark}
Nyní můžeme faktorizovat podle normální podgrupy $G/N$ aniž bychom měli homomorfismus.
\end{remark}
\begin{define}
Buď $N \npg G$, pak zobrazení $\pi:G \rightarrow G/N: \pi(g)=gN$ nazýváme \textbf{přirozená projekce} $G$ na $G/N$.
\end{define}
\begin{theorem}
\label{v:lagrange}
(Lagrangeova věta) Nechť $G$ je konečná, $H \le G$, potom $|H|$ dělí $|G|$. Navíc počet levých tříd $H$ v $G$ je roven $\frac{|G|}{|H|}$.
\begin{proof}
Nejprve ukážeme, že všechny levé třídy mají stejně prvků. Označme $|H|=n$ a $k$ počet levých tříd a pro $\all g \in G$ definujme zobrazení z $H$ do $gH$ přiřazující $h \rightarrow gh$. Podle definice levých tříd je toto zobrazení surjektivní a jelikož $gh_1=gh_2$ právě, když $h_1 = h_2$, je i injektivní. Odtud plyne $|gH|=|H|$.
Jelikož je tedy $G$ rozděleno na $k$ levých tříd o $n$ prvcích, platí $|G|=kn$, a tedy $k=\frac{|G|}{n}$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Komutativní grupa prvočíselného řádu nemůže mít netriviální normální podgrupu.
\end{remark}
\begin{define}
Buď $G$ grupa (i nekonečného řádu) a $H \le G$. Potom počet levých tříd $H$ v $G$ nazýváme \textbf{index} $H$ v $G$ a značíme $|G:H|$.
\end{define}
\begin{remark}
Pro konečné grupy tedy platí $|G:H|=\frac{|G|}{|H|}$.
\end{remark}
\begin{dusl}
Pro konečnou grupu $G$ a $x \in G$ platí $|x|$ dělí $|G|$.
\end{dusl}
\begin{dusl}
Grupa prvočíselného řádu je cyklická.
\end{dusl}
\begin{define}
Grupu $G$, jejíž jediné normální podgrupy jsou triviální ($1$ a $G$), nazýváme \textbf{prostá}.
\end{define}
\begin{remark}
Opačné tvrzení k Lagrangeově větě neplatí. Tedy konečná grupa $G$, jejíž řád má dělitele $n$ nemusí mít podgrupu řádu $n$. (Pltí to pro konečné abelovské grupy.)
\end{remark}
\begin{define}
Zavádíme "součin" podgrup $K,H \le G$ jako: $KH= \{kh | k \in K, h \in H \}$.
\end{define}
A další věci od strany 93... nevím, co z toho se dělalo na přednášce.
%____________________________________________________________________________________________
\section{Věty o isomorfismech}
\begin{theorem}
(1. VOI) Pokud $\varphi : G \rightarrow H$ je homomorfismus, pak $Ker(\varphi) \npg G$ a $G/Ker(\varphi) \cong \varphi(G)$.
\begin{proof}
Cvičení.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{dusl}
Buď $\varphi : G \rightarrow H$ je homomorfismus. Potom platí:
\begin{enumerate}
\item $\varphi$ je prosté, právě když $Ker(\varphi) = 1$,
\item $|G:Ker(\varphi)| = |\varphi(G)|$.
\end{enumerate}
\end{dusl}
\begin{theorem}
(2. ("diamantová") VOI) Buď $G$ grupa a $A \le G$, $B \le G$ a $A \le N_G(B)$. Potom $AB \le G$, $B \npg AB$, $A \cap B \npg A$ a $AB/B \cong A/A \cap B$.
\begin{proof}
Str 97/111
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
(3. VOI) Buď $G$ grupa a $H \npg G$, $K \npg G$ a $H \le K$. Potom $K/H \npg G/K$ a $(G/H)/(K/H)\cong G/H$, tedy pokud faktorgrupu podle $H$ označíme pruhem, tvrzení je: $\bar{G}/\bar{K} \cong G/K$.
\begin{proof}
Str 98/112
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Následují věta hovoří o vztahu struktury podgrup původní grupy $G$ a faktorgrupy $G/N$. Vlastně říká, že struktura podgrup faktorgrupy je stejná jako struktura podgrup $G$, které obsahují $N$.
\end{remark}
\begin{theorem}
(4. (mřížková) VOI) Buď $G$ grupa a $N \npg G$. Potom existuje bijekce z množiny podgrup $G$ obsahujících $N$ na množinu podgrup $G/N$, která každé podgrupě $A$ z první množiny přiřazuje podgrupu $A/N$ ze druhé.
\begin{proof}
Str 99/113
\end{proof}
\end{theorem}
%____________________________________________________________________________________________
\section{Kompoziční řady a Hölderův program}
\begin{theorem}
Je-li $G$ konečná Abelovská grupa a $p$ prvočíslo, které dělí $|G|$, pak $G$ obsahuje prvek řádu $p$.
\begin{proof}
Důkaz se provádí pomocí takzvané úplné indukce podle řádu $G$. Tedy se předpokládá, že tvrzení platí pro všechny grupy řádu ostře menšího než $|G|$ a ukáže se platnost pro $|G|$. Pro $|G|=1$ je tvrzení triviální.
Mějme $|G|>1$, tedy existuje $x \in G$, $x \neq 1$. Pokud $|G|=p$ je v důsledku Lagrangeovy věty \ref{v:lagrange} $G$ cyklická a tedy generovaná nějakým prvkem řádu $|G|$. Dále tedy předpokládejme $|G|>p$.
Pokud bychom vzali prvek, jehož řád je dělitelný číslem $p$ (tedy $|x|=pn$), pak stačí vzít prvek $x^n$, který je řádu $|x^n|=p$. Dále tedy uvažujeme $p \nmid |x|$.
Buď $N = <x>$. Jelikož $G$ je abelovská, pak $N \npg G$ a z Lagrangeovy věty máme $|G/N| = \frac{|G|}{|N|}$, respektive $|G/N||N|=|G|$. Protože $|N|>1$, musí platit $|G/N|<|G|$. Dále jelikož $p \mid |G|$, ale $p \nmid |N|$, musí platit $p \mid |G/N|$. Z indukčního předpokladu pak $G/N$ obsahuje prvek $\bar{y} = yN$ řádu $p$. Jelikož $y \notin N$, ale $y^p \in N$, musí být $<y^p> \neq <y>$, a tedy $|y^p|<|y|$. Podle věty \ref{v:rady} tedy platí $p \mid |y|$ a dostáváme se k předchozímu případu.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Grupa $G$ (konečná i nekonečná) se nazývá \textbf{jednoduchá}, pokud $|G|>1$ a jejími jedinými normálními podgrupami jsou $1$ a $G$.
\end{define}
\begin{define}
V grupě $G$ řadu podgrup $1=N_0 \le N_1 \le \ldots \le N_{k-1} \le N_k = G$ nazýváme \textbf{kompoziční řada}, pokud $(\all 0\le i\le k-1)(N_i \npg N_{i+1})$ a $N_{i+1}/N_i$ je jednoduchá. Faktor grupy $N_{i+1}/N_i$ se pak nazývají \textbf{kompoziční faktory} $G$.
\end{define}
\begin{theorem}
(Jordan-Hölder) Buď $G \neq 1$ konečná grupa. Pak:
\begin{enumerate}
\item $G$ má kompoziční řadu,
\item kompoziční faktory této řady jsou dány jednoznačně. Konkrétně pokud $1=N_0 \le N_1 \le \ldots \le N_r = G$ a $1=M_0 \le M_1 \le \ldots \le M_r = G$ jsou dvě kompoziční řady $G$, pak $r=s$ a existuje permutace $\pi$ $r$-tice $(1, 2, \ldots, r)$ taková, že
\begin{equation}
M_{\pi(i)}/M_{\pi(i)-1} \simeq N_i/N_{i-1} \quad 1 \le i \le r.
\end{equation}
\end{enumerate}
\begin{proof}
117
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Existuje 18 (nekonečných) rodin jednoduchých grup a 26 jednoduchých grup, které nepatří do žádné z těchto skupin (sporadické jednoduché grupy) takových, že každá konečná jednoduchá grupa je isomorfní s některou z výše uvedených.
\begin{proof}
Výsledek cca 100 let práce mnoha matematiků na 5000-10000 stránkách odborných časopisů. Ponecháno čtenáři jako snadné cvičení.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Je-li $G$ jednoduchá grupa prvočíselného řádu, pak $G \simeq \mathbb{Z}_p$ pro nějaké prvočíslo $p$.
\begin{proof}
255 stran...
\end{proof}
\end{theorem}
\section{Sylowova věta}
\begin{define}
Buďte $G$ grupa a $p$ prvočíslo.
\begin{enumerate}
\item Grupu řádu $p^\alpha$ pro nějaké $\alpha \geq 1$ se nazývá \textbf{p-grupa}. Podgrupy $G$ řádu $p^\alpha$ nazýváme \textbf{p-podgrupy} $G$.
\item Je-li $G$ řádu $p^\alpha m$ a $p \nmid m$, pak podgrupu řádu $p^\alpha$ nazýváme \textbf{Sylowova p-podgrupa} $G$.
\item Množinu všech Sylowových $p$-podgrup značíme $Syl_p(G)$ a počet těchto podgrup $n_p(G)$ (nebo jen $n_p$, je-li grupa jasná z kontextu).
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{theorem}
(Sylowova věta): Buď $G$ grupa řádu $p^\alpha m$, kde $p$ je prvočíslo a $p \nmid m$. Pak:
\begin{enumerate}
\item Existuje Sylowova $p$-podgrupa, tedy $Syl_p(G) \neq \emptyset$.
\item Je-li $P$ Sylowova $p$-podgrupa $G$ a $Q$ libovolná $p$-podgrupa $G$, pak existuje $g \in G$ takové, že $Q \le gPg^{-1}$, tedy $Q$ je obsažena v nějakém sdružení $P$. Speciálně každé dvě Sylowovy $p$-podgrupy $G$ jsou vzájemně sdružené v $G$.
\item Počet Sylowových $p$-podgrup je tvaru $1+kp$, tedy $n_p = 1 ($mod $ p)$. Dále $n_p$ je index grupy $N_G(P)$ v $G$ pro každou Sylowovu $p$-podgrupu $P$, a tedy $n_p | m$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
str. 140
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{dusl}
Buď $P$ Sylowova $p$-podgrupa grupy $G$. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}
\item $P$ je jediná Sylowova $p$-podgrupa v $G$, tedy $n_p = 1$,
\item $P \npg G$.
\end{enumerate}
\end{dusl}
