Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Měřitelné funkce}
\begin{define}
Řekneme, že $\phi$ je {\bf měřitelná} ($\phi\subset\M$) funkce
$X\mapsto\RR$, jestliže existuje $\posl{h_n}\in\HH(X)$ taková, že
$h_n\to\phi$.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\Lambda^+\subset\M$, $\Lambda\subset\M$.
\item Je-li $\phi\gtrsim 0$, pak existuje $h_n\ge 0$, $h_n\to\phi$.
\begin{proof}
$k_n\to\phi$, $k_n^+\to\phi$.
\end{proof}
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}
Buď $\phi\gtrsim 0$, pak $\phi\in\M$, právě když $\phi\in\Lambda$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(1)]
\item $(\Leftarrow)$ $\Lambda\subset\M$ zřejmé.
\item $(\Rightarrow)$ Buď $\phi\in\M$, pak existuje $h_n\to\phi$,
$h_n\ge 0$, $h_n\in\HH$. Položme $\alpha_m^{(n)}=\min_{n\le k\le m}
h_k$, $\alpha_n=\inf_{k\ge n} h_k$. Protože
$\alpha_m^{(n)}\searrow\alpha_n$, je podle Leviho
$\alpha_n\in\Lambda$. Vzhledem k~nerovnosti
$0\le\II\alpha_n\le\II\alpha_n^{(n)}$, je $\alpha_n\in\LL$. Protože
ale $\alpha_n\nearrow\alpha=\liminf_{n\to\infty}h_n$, je znovu podle
Leviho $\alpha\in\Lambda$. Protože $h_n\to\phi \Rightarrow\alpha\sim \phi $, tvrzení věty
platí.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
$\phi\in\M$, právě když existuje dvojice funkcí $f,\ g \in \Lambda^+$ taková, že $\phi\sim f-g$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $(\Leftarrow)$ $(g_n-f_n)\to \phi$.
\item $(\Rightarrow)$ $\phi\sim\phi^+-\phi^-\sim
(f_1+g_2)-(f_2+g_1)$. Podle předchozí věty
$\phi^+,\phi^-\in\Lambda$. $\phi^+\sim f_1-g_1$, $\phi^-\sim f_2-g_2$,
$f_1,f_2\in\Lambda^+$ a protože $\phi^+$, $\phi^-$ musí mít integrál, pak $g_1,g_2\in\LL^+$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Jsou-li $\phi,\psi\in\M$, $\alpha\in\R$, pak platí
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\phi+\psi\in\M$, má-li součet smysl.
\item $\alpha\phi\in\M$,
\item $\max(\phi,\psi)\in\M$, $\min(\phi,\psi)\in\M$,
\item $\abs{\phi}\in\M$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{theorem}
\label{MMinorMajor}
Buď $\phi\in\M$.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Existuje-li $\psi\in\LL$ tak, že $\abs{\phi}\lesssim\psi$, pak
$\phi\in\LL$.
\item Existuje-li $\psi\in\Lambda$ tak, že $\II\psi=+\infty$ a
$\phi\gtrsim\psi$, pak $\phi\in\Lambda$ a $\II\phi=+\infty$.
\item Existuje-li $\psi\in\Lambda$ tak, že $\II\psi=-\infty$ a
$\phi\lesssim\psi$, pak $\phi\in\Lambda$ a $\II\phi=-\infty$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item $h_n\to\phi$ a $\abs{\phi}\le\psi$, tedy z poznámky \ref{lebesgue}.2 $\phi\in\LL$.
\item $\phi^+\gtrsim\psi^+$, tedy $\II\phi^+\ge\II\psi^+=+\infty$.
$\phi^-\lesssim\psi^-$, tedy $\II\phi^-\le\II\psi^-<+\infty$.
$\II\phi^+=+\infty$, protože $\phi^-\in\LL$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Rozšíření Lebesgueovy věty:
Buď $\phi_n\in\M$, $\abs{\phi_n}\lesssim\phi_0$, $\phi_0\in\LL$,
$\phi_n\to\phi$. Pak $\phi\in\LL$ a $\II\phi=\lim\II\phi_n$.
\begin{proof}
$\phi$ i $\phi_n$ jsou podle předchozí věty integrabilní, protože mají integrabilní majorantu. Můžeme tedy aplikovat klasického Lebesgua \ref{lebesgue}.
\end{proof}
\item Rozšíření Leviovy věty:
Buď $\phi_n\nearrow\phi$, $\phi_n\in\Lambda$,
$\II\phi_1>-\infty$.
Pak $\phi\in\Lambda$ a $\II\phi=\lim\II\phi_n$.
\begin{proof}
Pokud jsou všechny $\phi_n \in \LL$, pak použiji klasickou Leviovu větu. Nechť tedy $(\exists m \in \N)(\phi_m \in \Lambda \sm \LL)$. Pak je $\II\phi_m=+\infty$,
což implikuje $\II\phi_m^+=+\infty$ a $\phi_m^- \in \LL$. Rozepíšeme-li $\phi_n\sim\phi_n^+ - \phi_n^-$, pak $\phi_n^+\nearrow\phi^+$ a $\phi_n^-\searrow\phi^-$,
což implikuje $(\forall n \geq m)(\II \phi_m^+=+\infty)$. Protože je $\phi^+ \in \M \wedge \phi^+ \geq \phi_n^+$, je dle věty \ref{MMinorMajor} (ii) $\II\phi^+=+\infty$
a dále z $\phi_n^- \in \LL$ plyne podle Leviho pro posloupnost $\phi^- \in \LL$. Platí tudíž $\phi \sim \phi^+ - \phi ^-$ a $\II\phi=+\infty$.
\end{proof}
\item V rozšířené Leviově větě je předpoklad $\II\phi_1>-\infty$ nutný: Posloupnost $\posl{\psi_n}$, kde $\psi_n(x)=0, x \in (-n,n)$ a $-\infty$ jinde má limitu $\psi(x)=0, \forall x \in \R$ a $\II\psi \neq \im_{n\to +\infty}\II\psi_n$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}
\label{uzavrenost}
Jestliže $\phi_n\in\M$ a $\phi_n\to\phi$, pak $\phi\in\M$. (uzavřenost $\M$)
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Buď nejdříve $\posl{\phi_n}$, $\phi_n\gtrsim 0$. Potom pro každé
$m\in\N$ existuje posloupnost $\posl{h_n^{(m)}}$ nezáporných
základních funkcí(omezených) takových, že $h_n^{(m)}\to\phi_m$. Položme
\[\phi_0=\sum_{m,n=1}^\infty\frac{1}{n^2m^2}
\frac{h_n^{(m)}}{\II h_n^{(m)}+1}.\]
Z~Leviho plyne, že $\phi_0\in\LL$. Potom skoro všude platí
$\phi(x)>0\implies\phi_0(x)>0$. Pokud položíme $\psi_n: =\min(\phi,n\phi_0)$, je $\psi_n\nearrow\phi$. Z~Leviho poté
dostaneme $\phi\in\Lambda$, pokud platí, že $\psi_n\in\LL$. Pro
$\psi_n\sim\lim_{m\to\infty}\min(\phi_m,n\phi_0)$ a
$\abs{\min(\phi_m,n\phi_0)}\lesssim n\phi_0$, $\psi_n$ je limitní
funkce posloupnosti měřitelných funkcí s~integrabilní majorantou,
tudíž z rozšíření Lebesgua je $\psi_n\in\LL$.
\item Buď nyní $\posl{\phi_n}$ libovolná posloupnost měřitelných
funkcí a nechť $\phi_n\to\phi$. Potom platí $\phi_n^+\to\phi^+$ a
$\phi_n^-\to\phi^-$. Odtud a z~předcházejícího bodu vylývá, že
$\phi^+\in\Lambda$ a $\phi^-\in\Lambda$ a proto je $\phi\in\M$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
