Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Eliptické diferenciální rovnice a operátory, Sturm-Liouvilleova teorie}
\begin{define}
Buď $G\subset \R^n$ omezená, otevřená množina. Nechť je dále $\partial G$ po částech z $\C^{1}$. Buďte dále $p\in \C^1(\bar{G})$, $q\in \C(\bar{G})$ takové funkce,
že $p(x) >0$ a $q(x) \geq 0$ pro všechna $x\in G$. Pak
$$ Lf(x) = -\div(p(x)\grad f(x)) + q(x) f(x) = g(x)$$
nazýváme {\bf Sturm-Liovilleovou úlohou} s okrajovými podmínkami (Robinovými):
Existují funkce $\alpha(x),\beta(x)$ takové, že $\alpha \geq 0$, $\beta \geq 0$ a $\alpha+\beta >0$ takové, že
$$ \alpha(x)f(x) + \beta(x)\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G,$$
kde $\vec{n}$ značí jednotkový vektor směřující ve směru vnější normály.
\end{define}
\begin{remark}
Robinovy okrajové podmínky jsou jen kombinací dvou klasických podmínek, které je z nich možné snadno obdržet. Volíme-li
\begin{enumerate}
\item[$\alpha = 0$], pak má podmínka tvar $\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it homogenní von Neumannovou okrajovou podmínkou}.
\item[$\beta =0$], pak má podmínka tvar $f(x) = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it Dirichletovou okrajovou podmínkou}.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{remark}
Podmínky na funkce $p,q$ zajišťují eliptičnost operátoru, resp. rovnice. Provedeme-li totiž aplikaci divergence, obdržíme složky Laplaceova operátoru pronásobené funkcí $p(x)$, která je nenulová.
\end{remark}
V následující kapitole budeme zkoumat obecné vlastnosti operátoru $L$. Ty se budou odvíjet i od jeho definičního oboru, podobně jakou tomu je u funkcí.
Pro naše účely budeme brát za definiční obor operátoru $L$ množinu
$$\mathrm{Dom}(L) = \left\{f \in \C^2(G) \cap \C^1 (\bar{G}): Lf \in L^2(G) \ \mbox{a splňují okrajové podmínky}} \right\}$$
\section{Vlastnosti $L$}
Než si ukážeme několik vlastností operátoru $L$, rozepíšeme z praktických důvodů, následující integrál:
$$\displaystyle \int_{G}v(x)Lu(x) \dd x = \displaystyle \int_{G}\left(-\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x = - \displaystyle \int_{G}\left(\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x$$
Nyní využijeme jednu identitu vektorové analýzy, která říká, že
$$\div (v(x)p(x)\grad u(x)) = p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x) \div( p(x)\grad u(x)).$$
Aplikací této identity na integrand obdržíme
$$- \displaystyle \int_G \div v(x)p(x)\grad u(x)) \dd x + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x)) \dd x =$$
$$ = - \displaystyle \int_{\partial G} v(x)p(x)\underbrace{\grad u(x) \cdot \vec{n}}_{\pd{u(x)}{\vec{n}}} \dd S + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x) )\dd x $$
Nyní již přikročme k větě, která nám ozřejmí vlastnosti Sturm-Liouvilleova operátoru
\begin{theorem}
Buď $L$ operátor z definice výše s Robinovými okrajovými podmínkami. Buďte dále $u,v \in \mathrm{Dom}(L)$. Pak platí:
\begin{enumerate}
\item L je symetrický operátor, tj. $\forall u,v \in \mathrm{Dom}(L) $ platí $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle $;
\item L je positivní operátor, tj. $\forall u \in \mathrm{Dom}(L) $ platí $\langle u,Lu \rangle \geq 0$ ;
\item dimenze jádra operátoru $L$ je buď 0, nebo 1;
\item všechny vlastní hodnoty operátoru $L$ jsou nezáporné, tj. $\sigma(L) \subset \R^+$;
\item vlastní funkce příslušné různým vlastním hodnotám jsou na sebe kolmé;
\item vlastní funkce lze volit reálné.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Jelikož $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle \Leftrightarrow \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle =0 $, budeme zkoumat tento výraz a využijeme přitom faktu, že operátor $L$ má reálné koeficienty a rozepsání integrálu, které jsme provedli výše:
$$ \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle = \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - \overline{Lu} v \ \dd x = \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - L\bar{u} v \ \dd x =$$
$$ = -\displaystyle \int_{\partial G}p\left(\bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \right)\dd S + \displaystyle \int_G
\left[ p\grad \bar{u} \grad v + \bar{u}vq -\left(p\grad v \grad \bar{u} + v\bar{u}q\right) \right]\dd x = $$
$$ = - \displaystyle \int_{\partial G}p\left(\bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \right)\dd S$$
Abychom ukázali, že tento výraz je rovný nule, využijeme počáteční podmínky:
Ty jsou pro funkce $\bar{u}$ a $v$ následující: $\left\{\begin{array}{ll} \alpha \bar{u} + \beta \pd{\bar{u}}{\vec{n}}, &\mbox{na } \partial G, \\ \alpha v + \beta\pd{v}{\vec{n}}, &\mbox{na } \partial G. \end{array}\right.$ Toto lze ale ekvivalentně přepsat na tvar rovnice pro $\alpha$, $\beta$:
$$ \left(\begin{array}{cc}
\bar{u} & \displaystyle \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \\
v & \displaystyle \pd{v}{\vec{n}}
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}
\right) $$
Tohle ale je ekvivalentní s tvrzením, že
$$ \left| \begin{array}{cc}
\bar{u} & \displaystyle \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \\
v & \displaystyle \pd{v}{\vec{n}}
\end{array} \right| = \bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} = 0$$
Tímto jsme ukázali, že integrand je nulový a tedy celý integrál je nulový, čímž jsme ukázali, že operátor je symetrický.
\item Nyní máme ukázat, že $\langle u,Lu \rangle \geq 0$.
Rozepíšeme opět tento skalární součin a využijeme rozepsání integrálu
$$ \langle \bar{u},Lu \rangle = \displaystyle \int_{G} \bar{u},Lu \ \dd x = - \displaystyle \int_{\partial G} \bar{u}p \pd{u}{\vec{n}} \dd S +
\displaystyle \int_G p \grad \bar{u} \grad u + \bar{u}uq \ \dd x$$
Prozkoumáme integrandy u jednotlivých integrálů:
\subitem Pro druhý integrand dostáváme odhad
$$p \grad \bar{u} \grad u = p \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\pd{\bar{u}}{x_j}\pd{u}{x_j} = p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 >0,$$
přičemž využíváme kladnosti funkce $p$.
\subitem Pro třetí integrand dostáváme tento odhad (a tentokrát využíváme nezápornosti funkce $q$):
$$ \bar{u}uq = \Vert u \Vert q \geq 0$$
\subitem Pro první integrand bude diskuse nezápornosti obsáhlejší. Využijeme pro ni počáteční podmínky:
Jestliže existuje $x_0$ takové, že $\alpha(x_0) = 0$, pak $\beta(x_0)>0$. Pak podmínka přechází na tvar $\beta(x_0)\pd{u}{\vec{n}}(x_0) = 0$. odtud pak již plyne, že $\pd{u}{\vec{n}}(x_0) = 0$. Pak ale pro všechna $x$ taková, že $\alpha(x)= 0$ plyne, že integrand $p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}}$ je nulový.
Jestliže existuje $x_0$ takové, že $\beta(x_0) = 0$, pak $\alpha(x_0)>0$. Pak podmínka přechází na tvar $\alpha(x_0)u(x_0) = 0$. odtud pak již plyne, že $u(x_0) = 0$. Pak ale pro všechna $x$ taková, že $\beta(x)= 0$ plyne, že integrand $p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}}$ je nulový.
Označme $\Gamma = \left\{ x \in \partial G : \alpha(x) \neq 0 \land \beta(x) \neq 0 \right\}$. Pak $\forall x \in \Gamma$ platí
$$ \alpha u + \beta\pd{u}{\vec{n}} = 0 \Leftrightarrow u = - \frac {\beta}{\alpha}\pd{u}{\vec{n}}$$
Dosazením do prvního integrandu získáváme:
$$ - p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}} = p \frac {\beta}{\alpha} \overline{\pd{u}{\vec{n}}}\pd{u}{\vec{n}} = p \frac {\beta}{\alpha}\pd{\bar{u}}{\vec{n}}\pd{u}{\vec{n}} =
p \frac {\beta}{\alpha} \left\Vert \pd{u}{\vec{n}} \right\Vert ^2 \geq 0$$
Tímto jsme tedy dokázali, že je Sturm-Liouvilleův operátor positivní.
\item Odhady, které jsme získali v předešlé části, použijeme i při dokazování dimense jádra. Ukážeme, že $\mathrm{dim}ker L= 1 \Rightarrow ker L$ obsahuje konstantní funkce a
$\mathrm{dim}ker L= 0 \Rightarrow ker L $ obsahuje nulovou funkci. Berme tedy $u \in \mathrm{Dom} (L)$ takové, že $ u\in ker L$. Pak tedy z linearity plyne
$$ 0 = \langle u,Lu \rangle = displaystyle \int_{\Gamma} p \frac{\beta}{\alpha} \left\Vert \pd{u}{\vec{n}} \right\Vert ^2 \dd S +
\displaystyle \int_{G} p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 + q \Vert u \Vert^2 \dd x$$
Jelikož jsou všechny členy dle předešlé části důkazu nezáporné, musí být rovny nule, chceme-li dostat v jejich součtu nulu.
\subitem Pro druhý integrand máme
$$ p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 = 0 \Leftrightarrow \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert^2 = 0 \ \forall j\in \hat{n}.$$
Toto plyne z faktu, že $p>0$. Znamená to tedy, že $\pd{u}{x_j} = 0$ a tedy funkce $u $ je konstantní na $\bar{G}.$
Aby byla dimenze rovna jedné, musí být funkce $q \equiv 0$ na $G$.
\subitem První integraand je při těěchto podmínkách již automaticky roven nule. Je-li ovšem dimense jádra 1, pak okrajová podmínka má tvar
$$\alpha u =0 \Rightarrow \alpha \equiv 0 \ \mbox{na } \partial G$$
Tedy shrňme výsledek tohoto důkazu: $\mathrm{dim} \ ker L =0$, nebo $\mathrm{dim}\ker L =1 \Leftrightarrow q \equiv 0 \ \mbox{na }G \land \alpha \equiv 0 \ \mbox{na } \partial G$.
\item Buď $\lambda $ vlastní hodnota operátoru $L$, tj. $Lu = \lambda u$ pro jisté $u\in \mathrm{Dom}(L)$. Pak
$$ \langle u, Lu \rangle \geq 0 \Rightarrow \langle u, \lambda u \rangle \geq 0 \Leftrightarrow \lambda \langle u, u \rangle \geq 0 \Leftrightarrow \lambda \geq 0$$
Poslední nerovnost plyne z positivity skalárního součinu.
\item Buďte $\lambda, \mu$ různé vlastní hodnoty operátoru $L$ a $u,v$ k nim příslušné vlastní vektory. Potom
$$ \langle u, Lv \rangle = \langle u, \mu v \rangle \land \langle Lu, v \rangle = \langle \lambda u, v \rangle $$
Jelikož je ale operátor $L$ symetrický, platí $\langle u, Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle$.
To ale říká, že
$$ \langle u, \mu v \rangle = \rangle = \langle \lambda u \Rightarrow \mu \langle u, v \rangle = \lambda \langle u, v \rangle \Leftrightarrow (\mu - \lambda)\langle u, v \rangle = 0
\Leftrightarrow \langle u, v \rangle = 0 $$
Poslední ekvivalence plyne z faktu, že $\mu$ a $\lambda$ jsou různé vlastní hodnoty. Tedy vlastní funkce $u,v$ jsou ortogonální.
\item Poslední tvrzení dokážeme snadno. Předpokládejme, že $Lu = \lambda u$. Pak pomocí komplexního sdružení získáme
$$ \overline{Lu} = \overline{\lambda u} = \lambda \bar{u}$$
Jelikož má $L$ reálné koeficienty, platí, že $\overline{Lu} = L\bar{u}$. Pak ale
$$ \lambda \bar{u} = L\bar{u} \land Lu = \lambda u $$
Tedy vektory $u$ a $\bar{u}$ jsou vlastní vektory stejné vlastní hodnoty, tedy i jejich součet je vlastním vektorem. Pak ale stačí volit jako reálnou funkci $u +\bar{u}$.
Tímto jsme tedy explicitně našli konkrétní reálnou vlastní funkci příslušnou vlastní hodnotě $\lambda$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
