Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Implicitní zobrazení}
Mějme soustavu nelineárních rovnic
\[
\begin{matrix}
\Phi^1(x^1,\dots,x^r,y^1,\dots y^m)&=&0\\
&\vdots&\\
\Phi^m(\underbrace{x^1,\dots,x^r}_x,\underbrace{y^1,\dots y^m}_y)&=&0
\end{matrix}.
\]
Očekávám, že za jistých podmínek z~této soustavy dostanu
\[
\begin{matrix}
y^1&=&\phi^1(x^1,\dots,x^r)\\
&\vdots&\\
y^m&=&\phi^m(x^1,\dots,x^r)
\end{matrix}.
\]
\begin{define}
Buď $\Phi:\R^{r+m}\to\R^m$. Potom řešením rovnice $\Phi^j(x,y)=0$,
$j\in\hat m$, rozumíme každé zobrazení $\phi:\R^r\to\R^m$ takové, že
$\Phi(x,\phi(x))=0$ pro každé $x\in\df\phi$.
\end{define}
\begin{remark}
Říkáme, že $\phi$ je zadáno {\bf implicitně}.
\end{remark}
\begin{theorem}[o~existenci a jednoznačnosti]
Buď $\Phi:\R^{r+m}\to\R^m$, $\Phi\in\c{q}$, $q,r,m\in\N$ a platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item existuje $(x_0\ y_0)\in\df\Phi$ takové, že $\Phi(x_0\ y_0)=0$,
\item
\[\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^1,\dots,y^m)}(x_0\ y_0)\not=0.\]
\end{enumerate}
Potom existuje okolí $\V_{x_0}$, že rovnicí $\Phi(x,y)=0$ je na
$\V$ definováno právě jedno zobrazení $\phi:\V\subset\R^r\to\R^m$
takové, že platí:
\begin{enumerate}
\item $\phi(x_0)=y_0$,
\item $\phi\in\c{q}$,
\item $\Phi(x,\phi(x))=0$ na $\V_{x_0}$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
Bude proveden v následující větě, která je obecnější.
\end{proof}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item
\[
\left.\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^1,\dots,y^m)}\right|_{(x_0,y_0)}=
\left|
\begin{matrix}
\frac{\pd\Phi^1}{\pd y^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd y^m}\\
\vdots & & \vdots\\
\frac{\pd\Phi^m}{\pd y^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd y^m}\\
\end{matrix}
\right|_{(x_0,y_0)}
\]
\item Stačí $\Phi\in\c{0}$, musí být třídy $\c{1}$ vůči
$y^1,\dots,y^m$. Pak $\phi\in\c{0}$.
\item $\Phi(x^1,\dots,x^n,y)$ stačí $\Phi\in\c{0}$ a monotonie vůči
$y$.
\item Buď $n\in\N$, $1\le i_1<i_2<\dots<i_r\le n$ rostoucí $r$-tice,
$1\le j_1<j_2<\dots<j_m\le n$ rostoucí $m$-tice. Zaveďme
$\lambda=(i_1,\dots,i_r)$, $\mu=(j_1,\dots,j_m)$, $(\lambda,\mu)$ je
$(r+m)$-tice. Jestliže $\mu$ jsou zrovna takové, že $\lambda$ doplní do
$\n$, pak označíme $\mu=\lambda'$. $(\lambda,\lambda')=(1,\dots,n)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}
Nechť $q,r,m\in\N$. Buď $\Phi$
zobrazení třídy $\c{q}$ z~$\R^{r + m}\to\R^m$ a platí:
\begin{enumerate}
\item existuje $x_0\in\df\Phi$ takové, že $\Phi(x_0)=0$,
\item $\h(\Phi'(x_0))=m$.
\end{enumerate}
Pak existuje okolí $\H_{x_0}\subset\R^{r + m}$, $r$-tice $\lambda$, okolí
$\V_{x_0^\lambda}\subset\R^r$ tak, že
$\{x\in\H_{x_0}|\Phi(x)=0\}$ je zobrazení třídy $\c q$ zobrazující $\V_{x_0^\lambda}\to\R^m$.
\begin{proof}
Matice $\Phi'(x_0)$ má tvar
\[
\left(
\begin{matrix}
\frac{\pd\Phi^1}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd x^{r + m}}\\
\vdots & & \vdots\\
\frac{\pd\Phi^m}{\pd x^1} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd x^{r + m}}\\
\end{matrix}
\right)_{x=x_0}
\]
Z~hodnosti plyne existence $\lambda'=(j_1,\dots,j_m)$ taková, že
\[
\left|
\begin{matrix}
\frac{\pd\Phi^1}{\pd x^{j_1}} & \hdots & \frac{\pd\Phi^1}{\pd x^{j_m}}\\
\vdots & & \vdots\\
\frac{\pd\Phi^m}{\pd x^{j_1}} & \hdots & \frac{\pd\Phi^m}{\pd x^{j_m}}\\
\end{matrix}
\right|_{x=x_0}
\not=0
\]
a ze spojitosti $\forall x\in U_{x_0}$ je
$\jac(\Phi_{j_1,\dots,j_m}^{1,\dots,m})(x)\not=0$.
Definujeme $f^\lambda(x)=x^\lambda$,
$f^{\lambda'}(x)=\Phi(x)$. $f:\R^{r + m}\to\R^{r + m}\in\c{q}$.
%$\jac f(x_0)$ má následující tvar:
%\[
%\left(
%\begin{matrix}
%0 & \hdots & 1 & \hdots & 0 & \hdots & 0 \\
%\vdots & & & \ddots & & & \vdots \\
%0 & \hdots & 0 & \hdots & 1 & \hdots & 0
%\end{matrix}
%\right)
%\]
%a tedy
\[
\jac f(x_0)=\left|
\begin{matrix}
\Phi_{j_1}^1 & \hdots & \Phi_{j_m}^1\\
\vdots & & \vdots\\
\Phi_{j_1}^m & \hdots & \Phi_{j_m}^m
\end{matrix}
\right|\not=0
\]
$f$ splňuje předpoklady \ref{VInvZob}, tedy existuje $\H_{x_0}$ takové, že
$f|_\H$ je prosté, $f(\H)$ je otevřené, $g=f^{-1}\in\c{q}$.
\[\V=\{x^\lambda\in\R^r|(x^\lambda\ 0^{\lambda'})\in f(\H)\}=\vn{\V}\]
\[
\begin{split}
\{x\in\H|\Phi(x)=0\}&=\{x\in\H|f(x)=(x^\lambda,0^{\lambda'})\}=
\{x\in\H|x=g(x^\lambda,0^{\lambda'})\}=\\
&=\{x\in\H|x^\lambda\in\V,\ x^{\lambda'}=\phi(x^\lambda)\}
\end{split}
\]
a $\phi(x^\lambda)=g^{\lambda'}(x^\lambda,0^{\lambda'})$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
$\Phi(x)=\Phi^p(x^\lambda,x^{\lambda'})$, $p\in\hat m$,
$x^{\lambda'}=\phi(x^\lambda)$, $\lambda=(i_1,\dots,i_r)$,
$\lambda'=(j_1,\dots,j_m)$. $\Phi^p(x^\lambda,\phi(x^\lambda))=0$,
$x^\lambda\in\V$.
Pro pevně zvolené $i_k$, $k\in\hat r$ a každé $p\in\hat m$ platí:
\[
\frac{\pd}{\pd x_{i_k}}\Phi^p(x^\lambda, \phi^{\lambda'}(x^\lambda)) = 0
\]
\[
\Phi_{i_k}^p+\sum_{l=1}^{m}\Phi_{j_l}^p\phi_{i_k}^l=0,
\]
což je soustava lineárních rovnic pro $\phi_{i_k}^l$
Z~Cramerova pravidla pak dostáváme
\[
\phi_{i_k}^l=-
\frac{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}
{\pd(x^{j_1},\dots,x^{j_{l-1}},x^{i_k},x^{j_{l+1}},\dots,x^{j_m})}}
{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(x^{j_1},\dots,x^{j_m})}}.
\]
Zapsáno \uv{klasicky}:
\[
\frac{\pd y^l}{\pd x^k}=-
\frac{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}
{\pd(y^{j_1},\dots,y^{j_{l-1}},x^{i_k},y^{j_{l+1}},\dots,y^{j_m})}}
{\frac{\pd(\Phi^1,\dots,\Phi^m)}{\pd(y^{j_1},\dots,y^{j_m})}}
\]
Pokud už mám $(x,y)$, pro které $\Phi(x,y)=0$, můžu určit hodnotu
derivace v~tom bodě.
\end{remark}