Součásti dokumentu 02KVAN2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Propagátor}\label{sec:propagator}
Otázka dráhového integrálu a propagátorů se historicky váže hlavně k postavě Richarda Feynmana, jehož pojednání o štěrbinovém experimentu lze doporučit jako zajímavou četbu pro rozšíření motivační části poznámek. Tato kapitola jinak vychází hlavně z knihy Quantum Field Theory \cite{ryd:QFT}.
%================================================================================
\subsection{Všechny možné historie}
%================================================================================
Většinou je kvantová mechanika formulována pomocí formalismu, v němž se vezmou poloha a hybnost v klasické teorii ($q$ a $p$) a ty se nahradí operátory, které splňují správné komutační relace. Formulace pomocí dráhového integrálu se v tomto liší, přímo využívá tzv. propagátoru, který označíme $ \prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} $, co to je uvidíme dále.
Pokud budeme uvažovat vlnovou funkci (pro jednoduchost jednorozměrnou) $\psi(q_i, t_i)$ v čase $t_i$, propagátor je objekt, který nám umožní napsat vlnovou funkci v nějakém pozdějším čase $t_f$ podobně jako v Huygens–Fresnelově principu pro vlnění:
\begin{equation}
\psi (q_f, t_f) = \bra{q_f} \hat{U} (t_f, t_i) \ket{\psi_i} = \int \prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} \psi(q_i, t_i) \dif q_i \label{eq:prop}
\end{equation}
Jelikož je $ \abs{\psi(q_f, t_f)}^2 $ většinou interpretována jako hustota pravděpodobnosti, je přirozené $ \prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} $ interpretovat jako amplitudu pravděpodobnosti přechodu z místa $q_i$ v čase $t_i$ do $q_f$ v čase $t_f$. Neboli můžeme napsat pravděpodobnost, že částici zpozorujeme v místě $q_f$ v čase $t_f$ jako
\begin{equation}
P(q_f, t_f; q_i, t_i) = \abs{\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i}}^2
\end{equation}
Rozdělme nyní časový interval $ \left\langle t_i, t_f \right\rangle $ do dvou podintervalů $ \left\langle t_i, t \right\rangle $ a $ \left( t, t_f \right\rangle $ a stejně tak interval v poloze pomocí bodu $q$ (viz. Obr. \ref{fig:cesty}).
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=7cm]{cesty}
\caption{Možné vývoje systému}
\label{fig:cesty}
\end{figure}
Pokud nyní použijeme definici propagátoru dvakrát, dostaneme
\begin{equation}
\psi (q_f, t_f) = \int\int \prop{q_f}{t_f}{q}{t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} \psi(q_i, t_i) \dif q_i \dif q,
\end{equation}
Což nám dává vyjádření samotného propagátoru jako
\begin{equation}
\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} = \int \prop{q_f}{t_f}{q}{t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} \dif q,
\end{equation}
neboli na přechod z $(q_i, t_i)$ do $(q_f, t_f)$ můžeme nahlížet jako na přechod skrz \textit{všechny možné mezibody $q$}.
Hezká ilustrace tohoto principu je dvouštěrbinový experiment, u něhož dostaneme interferenční obrazec na stínítku pouze pokud se přestaneme ptát, kterou štěrbinou částice proletěla, a místo toho řekneme, že částice proletěla oběma štěrbinami najednou.
Ukážeme nyní, že propagátor je vlastně maticový element časového vývoje $\braket{q_f, t_f}{q_i, t_i}$ ve vhodné bázi. V q-reprezentaci se vlnová funkce dá napsat jako:
\begin{equation}
\psi (q, t) = \braket{q}{\psi t}_S ,
\end{equation}
kde vztah mezi vektory v jednotlivých obrazech (Heisenbergův a Schrodingerův) je
\begin{equation}
\ket{\psi(t)}_S = e^{\frac{-iHt}{\hbar}} \ket{\psi}_H.
\end{equation}
Označme nyní
\begin{equation}
\ket{q, t} = e^{\frac{iHt}{\hbar}} \ket{q},
\end{equation}
což bychom v mechanice nazvali pohybující se vztažná soustava:
\begin{equation}
\psi(q, t) = \braket{q, t}{\psi}_H. \label{eq:pohyb}
\end{equation}
Díky tomu, že ortonormální báze stavů zůstává v čase ortonormální, můžeme psát
\begin{equation}
\braket{q_f, t_f}{\psi} = \int \braket{q_f, t_f}{q_i, t_i} \braket{q_i, t_i}{\psi} \dif q_i,
\end{equation}
což je díky \eqref{eq:pohyb} kýžený výsledek:
\begin{equation}
\psi(q_f, t_f) = \int \braket{q_f, t_f}{q_i, t_i} \psi(q_i, t_i) \dif q_i,
\end{equation}
neboť díky \eqref{eq:prop}:
\begin{equation}
\braket{q_f, t_f}{q_i, t_i} = \prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i}.
\end{equation}
%================================================================================
\subsection{Rovnice pro propagátor}
%================================================================================
Jakou rovnici propagátor musí splňovat zjistíme když zkusíme spočítat jeho časovou derivaci (a $q_f, t_f$ přeznačíme na $q, t$):
\begin{align}
i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} = \bra{q} i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \hat{U}(t, t_i) \ket{q_i} = \bra{q} \hat{H} \hat{U}(t, t_i) \ket{q_i} \notag\\
\int \dif y \bra{q} \hat{H} \ket{y} \bra{y} \hat{U}(t, t_i) \ket{q_i} = \int \dif y \bra{q} \hat{H} \ket{y} \prop{y}{t}{q_i}{t_i}.
\end{align}
Je-li $\hat{H} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \Delta +V(q,t)$, potom
\begin{equation}
\bra{q} \hat{H} \ket{y} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \Delta (\delta \left( q - y \right) ) + V(q,t) \delta \left( q - y \right),
\end{equation}
a po přetažení derivace z delta funkce k propagátoru dostaneme
\begin{align}
i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} = &\int \dif y \delta (q-y) \left( - \frac{{\hbar}^2}{2m} \right) \Delta_y \prop{y}{t}{q_i}{t_i} + \\
&\int \dif y V(q,t) \delta (q-y) \prop{y}{t}{q_i}{t_i}, \notag
\end{align}
a to dává:
\begin{equation}
i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \Delta \prop{q}{t}{q_i}{t_i} + V(q,t) \prop{q}{t}{q_i}{t_i},
\end{equation}
což je hledaná rovnice, která by ve 3D vypadala (postup úplně stejný):
\begin{equation}
i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \Delta \prop{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} + V(\vec{x},t) \prop{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i}.
\end{equation}
Neboli $\prop{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i}$ je řešením Schrödingerovy rovnice s počáteční podmínkou
\begin{equation}
\prop{\vec{x}}{t_i}{\vec{x}_i}{t_i} = \delta ^{(3)} (\vec{x} - \vec{x}_i).
\end{equation}
Mnoho výpočtů se později zjednoduší, když nyní zavedeme propagátory respektující kauzalitu, tj. nulové pro $t_f<t_i$ resp. $t_f>t_i$:\\
Retardovaný propagátor:
\begin{equation}
\propR{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} = \theta (t_f - t_i) \prop{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i},
\end{equation}
Advanceovaný propagátor:
\begin{equation}
\propA{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} = \theta (t_i - t_f) \prop{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i},
\end{equation}
kde $\theta()$ je Heavisideova funkce.
A hned můžeme ukázat, že retardovaný, resp. advanceovaný propagátor jsou Greenovými funkcemi Schrödingerovy rovnice, neboť
\begin{equation}
i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \propRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = \pm i \hbar \delta (t - t_i) K^{(\pm)}(\ldots) - \frac{{\hbar}^2}{2m} \Delta K^{(\pm)} (\ldots) + V(\vec{x},t) K^{(\pm)} (\ldots),
\end{equation}
což se, díky počáteční podmínce na propagátor a vlastnostem delta funkce v čase, dá přepsat na
\begin{equation}
\left( i \hbar \frac{\dif}{\dif t} - \hat{H} \right) \propRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = \pm i \hbar \delta(t-t_i) \delta^{(3)} (\vec{x} - \vec{x}_i).
\end{equation}
%================================================================================
\subsection{Volná částice} \label{ssec:volna}
%================================================================================
Zde se budeme, jak název napovídá, zabývat systémem s Hamiltoniánem $\hat{H} = \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m}$, abychom si usnadnili postup, přejdeme nyní do hybností reprezentace, kde
\begin{equation}
\prop{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} \equiv \braket{\vec{p}, t}{\vec{p}_i, t_i},
\end{equation}
podobně jako dříve. Když se podíváme na Schrödingerovu rovnici v této reprezentaci, obdržíme
\begin{equation}
i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} = \frac{\vec{p}^2}{2m} \prop{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i}.
\end{equation}
Ta má řešení
\begin{equation}
\prop{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} = e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)} \delta ^{(3)} \left( \vec{p} - \vec{p}_i \right),
\end{equation}
resp. pro retardovaný/advanceovaný propagátor obdobně:
\begin{equation}
\propRA{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} = \theta \left(\pm (t-t_i)\right) \delta ^{(3)} \left( \vec{p} - \vec{p}_i \right) e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)}.
\end{equation}
Náš konečný cíl je samozřejmě propagátor v $q$-reprezentaci, abychom se k němu dostali, uvědomíme si
\begin{equation}
\braket{\vec{x}}{\vec{p}} = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{i \frac{\vec{p}\vec{x}}{\hbar}},
\end{equation}
a přepíšeme výsledek v hybností reprezentaci do $q$-reprezentace
\begin{eqnarray}
\propRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = \int \braket{\vec{x}}{\vec{p}} \propRA{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} \braket{\vec{p}_i}{\vec{x}_i} \dif^3 p \dif^3 p_i \notag\\
= \theta \left(\pm (t-t_i)\right) \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \int \dif^3 p \dif^3 p_i \delta ^{(3)} \left( \vec{p} - \vec{p}_i \right) e^{i \frac{\vec{p}\vec{x}}{\hbar}} e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)} e^{ - i \frac{\vec{p}_i\vec{x}_i}{\hbar}} \notag \\
= \theta \left(\pm (t-t_i)\right) \int \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar)^3} e^{i \frac{\left(\vec{x} - \vec{x}_i\right)\vec{p}}{\hbar}} e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)}, \label{eq:volny_prop}
\end{eqnarray}
což je ale divergentní integrál. To pro nás ale není překvapivé, i na levé straně je zobecněná funkce. Integrál lze přesto spočítat a to dvěma způsoby, buďto se podíváme jak působí na testovací funkce (takže bychom ho spočítali ve smyslu zobecněných funkcí) a nebo pomocí tzv. regularilazace. My si vybereme regularizaci, protože je hežčí [citation needed].
Regularizaci provedeme nahrazením
\begin{equation}
\frac{1}{2m}\longrightarrow\frac{1}{2m}\mp i\epsilon,
\end{equation}
díky čemuž dostaneme v \eqref{eq:volny_prop} integrál Gaussovského typu s kladnou reálnou částí koeficientu, který rozhoduje o konvergenci. Potom co integrál vyčíslíme, provedeme limitu a pošleme $\epsilon$ do nuly.
Pro zapomnětlivé připomeneme vzoreček platný pro $\mathrm{Re} a > 0$
\begin{equation}
\int_\mathbb{R} \dif x e^{-a x^2 + bx} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4a}}. \label{eq:gauss}
\end{equation}
po nahrazení a použití tohoto vzorečku dostáváme
\begin{equation}
\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\theta \left( \pm (t-t_i) \right)}{\left( 2 \pi \hbar \right)^3} \left( \frac{\pi}{\frac{i}{\hbar} \left( \frac{1}{2m} \mp i \epsilon \right)(t-t_i)} \right)^{\frac{3}{2}} \exp\left( \frac{-(\vec{x} - \vec{x}_i)^2}{4 \hbar^2 \frac{i}{\hbar} \left( \frac{1}{2m} \mp i \epsilon \right) (t-t_i)} \right),
\end{equation}
což po zkrácení konstant a provedení limity dává výsledek:
\begin{equation}
\propRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = \theta \left( \pm (t-t_i) \right) \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar (t-t_i)} \right)^{\frac{3}{2}} \exp\left( \frac{i m (\vec{x} - \vec{x}_i)^2}{2 \hbar (t-t_i)} \right),
\end{equation}
který si dobře zapamatujeme, protože spolu s výsledkem v hybnostní reprezentaci ho budeme extenzivně využívat v dalších kapitolách.
%================================================================================
\subsubsection{Rozplývání vlnového balíku}
%================================================================================
Nyní znovu navštívíme první cvičení z kvantovky v zimním semestru. Nechť je na počátku náš systém ve stavu (jednorozměrný Gaussovský balík)
\begin{equation}
\psi_i (x, t=0) = \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} e^{-x^2},
\end{equation}
časový vývoj tohoto stavu je určen propagátorem volné částice jako
\begin{equation}
\psi (x, t) = \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \int \dif x' \prop{x}{t}{x'}{t'=0} \psi_i (x'),
\end{equation}
pokud označíme $\alpha = \frac{m}{2 \hbar t}$, dosadíme za propagátor z předchozí kapitolky a za $\psi_i$ dosadíme Gaussovský balík, dostaneme
\begin{equation}
\psi (x, t) = \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \int \dif x' \sqrt{\frac{\alpha}{i \pi}} e^{i \alpha (x - x')^2} e^{-{x'}^2},
\end{equation}
což je Gaussovský integrál. Za pomoci \eqref{eq:gauss} tak dostáváme
\begin{align}
\psi (x, t) &= \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \sqrt{\frac{\alpha}{i \pi}} e^{i \alpha x^2} \sqrt{\frac{\pi}{1-i\alpha}} e^{\frac{-4 \alpha^2 x^2}{4 (1-i\alpha)}} \notag \\
&= \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \sqrt{\frac{i \alpha}{i \alpha - 1}} e^{\frac{-i \alpha}{i \alpha - 1} x^2}.
\end{align}
Z tohoto řešení dostaneme hustotu pravděpodobnosti
\begin{equation}
\rho = \abs{\psi (x,t)}^2 = \sqrt{\frac{2 \alpha^2}{\pi (1 + \alpha^2)}} e^{-\frac{2 \alpha^2}{1+\alpha^2} x^2},
\end{equation}
a to je na první pohled Gaussovo rozdělení se střední kvadratickou odchylkou
\begin{equation}
\sigma = \sqrt{\frac{1+\alpha^2}{2 \alpha^2}} = \sqrt{\frac{m^2 + (2 \hbar t)^2}{2 m^2}},
\end{equation}
která je samozřejmě zajímavá hlavně v limitním případě
\begin{equation}
\lim_{t\longrightarrow \infty} \sigma = \infty.
\end{equation}
Takže vlnový balík se rozplývá stejně jako v zimně. Navíc je dobré si povšimnout, že pro $t\longrightarrow 0$ dostáváme původní vlnovou funkci, což je dobře.
