02VOAFskriptum:Kapitola8
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 16. 11. 2010, 17:09, kterou vytvořil Karel.brinda (diskuse | příspěvky)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02VOAFskriptum
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02VOAFskriptum | Karel.brinda | 18. 11. 2010 | 02:51 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 12. 11. 2023 | 10:26 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Kmity soustav hmotných bodů | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 02:25 | kapitola01.tex | |
Kapitola2 | editovat | Postupné vlny | Johndavi | 25. 5. 2017 | 10:36 | kapitola02.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vlny v disperzním prostřední | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 02:43 | kapitola03.tex | |
Kapitola4 | editovat | Energie vlnění | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 17:14 | kapitola04.tex | |
Kapitola5 | editovat | Odraz vln | Karel.brinda | 18. 11. 2010 | 02:44 | kapitola05.tex | |
Kapitola6 | editovat | Elektromagnetické vlny | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 17:16 | kapitola06.tex | |
Kapitola7 | editovat | Polarizace | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 17:19 | kapitola07.tex | |
Kapitola8 | editovat | Interference a ohyb | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 15:58 | kapitola08.tex | |
Kapitola9 | editovat | Geometrická optika | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 15:49 | kapitola09.tex |
Zdrojový kód
% \wikiskriptum{02VOAFskriptum} \chapter{Interference a ohyb} \section{Michelsonův interferometr} \begin{quote} {\it Pojem interference,interference a ohyb, podmínka pro interferenci. Michelsonův interferometr, případy dokonalé koherence a nekoherence, viditelnost interferenčního jevu, určení koherenční doby.} \end{quote} Samozřejmým důsledkem linearity Maxwellových rovnic ve vakuu nebo lineárním prostředí a z nich plynoucích vlnových rovnic je princip superpozice: s danými dvěma řešeními je řešením i každá jejich lineární kombinace, speciálně jejich součet nebo rozdíl. U harmonických postupných vln stejné frekvence tak dochází v různých místech prostoru ke konstruktivní respektive destruktivní superpozici. Výsledné vlnění v prostoru má formu stojatého vlnění, v němž je energie přerozdělena s maximy a minimy intenzity. Tato {\itshape {\bf interferenční struktura}\/}\index{interferenční struktura} ve stacionárním světelném poli se na stínítku projeví určitým vzorem světlých a tmavých interferenčních proužků --- {\itshape {\bf interferenčním jevem}\/}\index{interferenční jev}. Objev interference světla Thomasem Youngem (1807) v uspořádání se dvěma štěrbinami (oddíl 8.3) byl považován za potvrzení vlnové podstaty světla. Při detekci interferenčních jevů buď lidským okem nebo jinými detektory záření se registruje nikoliv okamžitá hodnota amplitudy, nýbrž intenzita, tj. časová střední hodnota kvadratické energetické veličiny s charakteristickou prostorovou modulací. Uvedený obecný pojem interference vlnění je v optice obvyklé dělit na případy skládání vlnění z diskrétních bodových zdrojů ({\it interference v užším smyslu}) a skládání vlnění ze spojitě rozložených zdrojů ({\itshape {\bf ohyb}\/}\index{ohyb} neboli {\itshape {\bf difrakce}\/}\index{difrakce}). Ve skutečných světelných polích, která nejsou monochromatická, ale v nejlepším případě kvazimonochromatická, je třeba zkoumat podmínky pro vznik interferenčních jevů. Hlavním činitelem, který ve stacionárním náhodném světelném poli může narušit realizaci interferenčního jevu, jsou nepředvídatelné náhodné změny fáze v čase a v prostoru. K popisu náhodných změn fáze v čase jsme v oddíle 7.4 zavedli pojem {\itshape {\bf časové koherence}\/}\index{časová koherence}. Dobrým příkladem, na kterém lze ilustrovat roli časové koherence a vliv koherenční doby na realizaci interferenčního jevu, je Michelsonův interferometr (obr. \ref{ob8c1}). \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8c1}\\ \caption{Michelsonův interferometr.} \label{ob8c1} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 8.1 Michelsonův interferometr} Svazek kvazimonochromatického světla z bodového zdroje \(Z\) dojde na dělič svazku (polopropustné zrcadlo) \(D\). Dva vzniklé svazky se odrážejí od zrcadel \(Z_1,Z_2\) a po opětném dopadu na dělič \(D\) se registruje světlo přicházející k pozorovateli (okuláru) \(P\). Světlo ze zdroje \(Z\) se tedy k pozorovateli \(P\) šíří po dvou cestách, jejichž celkové délky označme \(l_1,l_2\). Tyto délky lze měnit posuvem zrcadel. Zapíšeme-li složku kvazimonochromatického elektrického pole v místě zdroje \[E(Z,t)=E_0\cos{(\omega_0 t+\varphi(t))},\] můžeme elektrické pole svazků \(i=1,2\) v bodě \(P\) vyjádřit pomocí příslušných retardovaných časů \(t_i'=t-(l_i/c)\) a koeficientů zeslabení amplitud \(a_i\): \[E_i(P,t)=a_iE(Z,t_i')=a_iE_0\cos{(\omega_0 t-k_0l_i+\varphi_i(t_i'))}.\] K interferenčnímu jevu vede interferenční člen v kvadratickém výrazu pro intenzitu superpozice obou svazků \[I=<[E_1(P,t)+E_2(P,t)]^2>_r.\] Pro objasnění vlivu časové koherence provedeme nejprve středování přes periodu \(T_0\ll\tau_{koh}:\) \[<[E_1(P,t)+E_2(P,t)]^2>_{T_0}=I_1+I_2+I_{int}(t).\] Interferenční člen \begin{eqnarray*} I_{int}(t) & = & a_1a_2<2E(Z,t'_1)E(Z,t'_2)>_{T_0} \\ & = & a_1a_2E_0^2<2\cos{(\omega_0t'_1+\varphi(t'_1))}\cos{(\omega_0t'_2+\varphi(t'_2))}>_{T_0} \end{eqnarray*} se upraví pomocí vzorce \(2\cos{a}\cos{b}=\cos{(a+b)}+\cos{(a-b)}\). Při středování přes \(T_0\) dá člen \(\cos{(a+b)}\) nulu a v členu \(\cos{(a-b)}\) uvážíme, že \(\varphi(t)\) se během jedné periody nemění, takže \[I_{int}(t)=a_1a_2E_0^2\cos{(k_0(l_2-l_1)+\varphi(t'_1)-\varphi(t'_2))}.\] Za předpokladu pozorování velmi pomalým přístrojem s reakční dobou \(t_r\gg\tau_{koh}\) bude výsledný interferenční jev záviset na délce časového intervalu \[\Delta t=\left|t'_1-t'_2\right|=\frac{\left|l_2-l_1\right|}{c}\] mezi vysláním signálů ze zdroje \(Z\) tak, aby oba dospěly k pozorovateli ve stejném okamžiku \(t\). \begin{enumerate} \item {\it Případ dokonalé koherence}. Je-li \(\Delta t\ll\tau_{koh}\), pak \(\varphi(t'_1)\doteq\varphi(t'_2)\) a interferenční člen \[I_{int}(t)=a_1a_2E_0^2\cos{(k_0(l_2-l_1))}\] se nemění s časem, je tedy roven intenzitě změřené velmi pomalým přístrojem. Jeho velikost závisí jen na dráhovém rozdílu \(\left|l_2-l_1\right|=c\Delta t\) a leží v intervalu \[-a_1a_2E_0^2\leq I_{int}\leq a_1a_2E_0^2.\] Celková intezita v místě \(P\) je rovněž konstantní \begin{eqnarray*} I & = & \frac{1}{2}E_0^2(a_1^2+a_2^2+2a_1a_2\cos{k_0(l_2-l_1)}) \\ & = & I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos{k_0(l_2-l_1)} \end{eqnarray*} a leží v intervalu \be \left(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}\right)^2\leq I\leq\left(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}\right)^2. \label{081I} \ee Podmínka \(\Delta t\ll 10^{-9}s\) se pomocí dráhového rozdílu vyjádří jako \(\left|l_2-l_1\right|\ll 0,3 \, m.\) {\bf Cvičení 1}. Interferenční proužky pozorované v Michelsonově pokusu jsou způsobeny interferencí ne zcela rovnoběžných svazků přicházejících do místa pozorování. K tomu si spočtěte příklad 7.16 ze skript \cite{TK}. \item {\it Případ nekoherence}. Je-li \(\Delta t\geq\tau_{koh}\), pak \(\varphi(t'_1)-\varphi(t'_2)\) se zcela náhodně mění s časem. Vzhledem k tomu, že během velmi dlouhé doby \(t_r\) rozdíl fází nabývá se stejnou pravděpodobností všech hodnot v intervalu \(<0,2\pi>\), bude přístroj registrovat \[<I_{int}(t)>_r=\frac{1}{t_r}\int\limits_0^{t_r}I_{int}(t)dt=0,\] tj. \(I=I_1+I_2\) a interferenční jev nevzniká.\footnote{Tento výsledek se někdy vyjadřuje slovy, že "nekoherentní vlny spolu neinterferují". K tomu je třeba si připomenout zásadní roli předpokladu \(t_r\gg\tau_{koh}\). Pro dostatečně rychlý přístroj \(t_r\leq\tau_{koh}\leq\Delta t\) by se totiž fáze změnila během měření jen nepatrně, \(\varphi(t'_1)\approx\varphi(t'_2)\), takže přístroj by stačil sledovat náhodné změny interferenčního jevu v čase.} \end{enumerate} Popsané případy dokonalé časové koherence a nekoherence představují mezní situace, mezi nimiž se spojitě vyskytují připady {\it částečné koherence}. Přechod mezi nimi charakterizuje veličina \[V=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}\] zvaná {\itshape {\bf viditelnost (kontrast)}\/}\index{viditelnost (kontrast)} interferenčního jevu. Při dokonalé koherenci nabývá viditelnost své maximální hodnoty \[V_{max}=\frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}\] (při \(I_1=I_2\) je \(V_{max}=1\)), zatímco u nekoherentních signálů je \(V=0\). Koherenční čas \(\tau_{koh}\) je pak z experimentální praxe konvečně definován hodnotou \(\Delta t\), pro kterou \(V\) poklesne např. na \(V_{max}/\sqrt{2}\) nebo na \(0,1\, V_{max}\) apod. \section{Babinetův princip} \begin{quote} {\it Doplňková stínítka; Babinetův doplňkový princip; Huygensova konstrukce; Fraunhoferova a Fresnelova difrakce.} \end{quote} Další obvyklé uspořádání pro pozorování interferenčních jevů je vyobrazeno na obr. 8.2: \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=1.0\textheight]{ob8c2}\\ \caption{Stinítko s otvorem. Doplňková stinítka A, B.} \label{ob8c2} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 8.2 Stínítko s otvorem.} kvazimonochromatické světlo se střední vlnovou délkou $\lambda$ se šíří prostorem od zdroje \(Z\) k pozorovateli \(P\), přičemž mezi \(Z\) a \(P\) je umístěno stínítko s otvorem nebo jiné překážky, jejichž rozměry jsou poměrně velké vzhledem k vlnové délce \(\lambda\). Nejjednodušší úlohy tohoto typu budou popsány v následujících oddílech této kapitoly. Pro jejich přeformulování do snadno řešitelné formy zásadní roli hraje {\itshape {\bf Babinetův doplňkový princip}\/}\index{Babinetův doplňkový princip}. Babinetův princip se vztahuje na případy doplňkových stínítek podle obr. \ref{ob8c2}. Říká téměr evidentní fakt, že součet elektrických polí \(E_A(P)\) resp. \(E_B(P)\) která vzniknou v bodě \(P\) v přítomnosti pouze stínítka \(A\) resp. pouze stínítka \(B\), je roven elektrickému poli \(E_{\emptyset}(P)\) v nepřítomnosti stínítek: \begin{equation} \label{082III} \fbox{$\displaystyle E_A(P)+E_B(P)=E_{\emptyset}(P).$} \end{equation} Rovnici (\ref{082III}) lze porozumět z hlediska představy o funkci {\bf neprůhledného stínítka} \(A\cup B\). Pole \(E_{\emptyset}\) ze zdroje \(Z\) totiž budí ve stínítku \(A\cup B\) další indukované pole \(E_A^{ind}+E_B^{ind}\), jež se za stínítkem přesně ruší s dopadajícím. Tuto situaci podle obr. 8.2a můžeme v místě \(P\) vyjádřit rovnicí \begin{equation} \label{082IV} E_{\emptyset}(P)+E_A^{ind}(P)+E_B^{ind}(P)=0. \end{equation} Stejná úvaha použitá na situaci podle obr. 8.2b dává pro výsledné pole v místě \(P\) \begin{equation} \label{082V} E_{\emptyset}(P)+E_B^{ind}(P)=E_B(P). \end{equation} Je-li překážkou pouze stínítko \(A\), platí \[E_{\emptyset}(P)+E_A^{ind}(P)=E_A(P).\] Sečtením posledních dvou rovnic se přesvědčíme, že Babinetův doplňkový princip (\ref{082III}) je ekvivalentní rovnici (\ref{082IV}) definující funkci neprůhledného stínítka. Z rovnic (\ref{082IV}) a (\ref{082V}) nyní vyplývá udivující výsledek \begin{equation} \label{082VI} E_B(P)=-E_A^{ind}(P). \end{equation} Z pohledu pozorovaných intenzit to znamená, že {\bf intenzita \(I_B(P)\) v situaci podle obr. 8.2b je stejná jako intenzita \(I_A^{ind}(P)\) za stínítkem \(A\), obr. 8.2c, pokud uvažujeme pouze indukované pole !} Babinetův princip tedy (až na znaménko) úzce souvisí s {\bf Huygensovou konstrukcí} světelného pole. Stačí si představit otvor ve stínítku \(B\) zaplněný bodovými Huygensovými zdroji, jež pohlcují dopadající světlo a vyzařují právě jen elementární indukovaná pole, jež v součtu vytvářejí pole \(E_A^{ind}(P)\). {\bf Cvičení 2}. Pomocí Huygensovy konstrukce vlnoploch odvoďte zákony odrazu a lomu světla na rovinném rozhraní dvou prostředí s indexy lomu \(n_1\), \(n_2\). V dalších oddílech budeme aplikovat důležitý výsledek (\ref{082VI}) na speciální případy rovinného stínítka \(B\) s jednou nebo více štěrbinami. Praktickou realizací může být např. plátek staniolu nalepený na skle, z něhož vyřízneme úzké proužky. Experimentální uspořádání pro studium ohybových jevů typu obr. 8.2 se v optice dělí do dvou kategorií: \begin{enumerate} \item {\bf Fraunhoferova difrakce}, kde vzdálenosti zdroje i pozorovatele od stínítka jsou asymptotické, \(L_Z\longrightarrow\infty\), \(L_P\longrightarrow\infty\). Mluví se zde o vzdálené zoně světelného pole určené nerovností \(L\lambda\gg D^2\), kde \(D\) je rozměr otvoru. \item {\bf Fresnelova difrakce}, kde alespoň jedna ze vzdáleností \(L_Z\), \(L_P\) není asymptotická. \end{enumerate} Fraunhoferův ohyb se vyznačuje snažší experimentální realizací i jednodušším teoretickým popisem. Všechny případy difrakce uvedené v těchto skriptech patří do této kategorie. Velké vzdálenosti \(L_Z\), \(L_P\) znamenají, že paprsky od zdroje do všech bodů otvoru (a od všech bodů otvoru k pozorovateli) jsou prakticky rovnoběžné, takže je lze charakterizovat úhly. Abychom se při praktické realizaci vyhnuli poklesu intenzity na velké vzdálenosti, můžeme rovnoběžné paprsky soustředit tenkou čočkou do ohniskové roviny ve vzdálenosti \(f\). \section{Youngův pokus a prostorová koherence} \begin{quote} {\it Uspořádání Youngova dvouštěrbinového pokusu. Fraunhoferův ohyb na dvojici rovnoběžných štěrbin --- aplikace Babinetova principu. Interference vln v rovině ze dvou monochromatických bodových zdrojů. Vliv časové a pro\-sto\-rové koherence světla na viditelnost interferenčního jevu; kritérium pro boční koherenci.} \end{quote} Youngův interferenční pokus, který měl základní význam pro důkaz vlnové podstaty světla (Thomas Young 1807), používá dvě rovnoběžné štěrbiny \(P_1\), \(P_2\), na něž dopadá světlo z velmi úzké štěrbiny \(Z\) intenzivně osvětlené kvazimonochromatickým světlem (obr. \ref{ob8c4}). \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8c4}\\ \caption{Schema Youngova pokusu.} \label{ob8c4} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 8.3 Schema Youngova pokusu.} Štěrbiny jsou velmi tenké (\(\sim 10^{-2} \, mm\)) a jejich vzdálenost \(d\sim 0,5 \, mm\). Místo štěrbiny \(Z\) lze použit osvětlení laserem. Uspořádání pokusu má odpovídat Fraunhoferově difrakci, tj. vzdálenosti \(L_Z\), \(L_Q\) vyhovují \(L\lambda\gg d^2\). Poloha pozorovaného bodu \(Q\) je určena úhlem \(\vartheta\), \[y_Q=L_Q \mbox{tg}\vartheta.\] {\bf Cvičení 3}. Vzdálená zona světelného pole je v blízkosti osy \(z\) určena podmínkou \(|r_2-r_1|\ll\lambda/2\). Při \(y_Q=d/2\) platí \(r_2^2=r_1^2+d^2\) a tedy \[d^2=(r_2-r_1)(r_2+r_1)\ll\frac{\lambda}{2}2L_Q.\] Zjistěte, zda je tato podmínka splněna při \(L_Q\sim 5 \, m,\) jestliže $d = 0,5 \, mm$, $\lambda = 500 \, nm$. Teoretická analýza pokusu se významně zjednoduší pomocí Babinetova principu: místo uspořádání podle obr. 8.4 stačí zkoumat pouze indukovaná pole vysílaná ze štěrbin \(P_1\), \(P_2\)\,! V prvním přiblížení uvažujeme velmi tenké štěrbiny. Vliv jejich konečné šířky bude ukázán v oddíle 8.5. Jako zjednodušený model tedy předpokládejme rovinnou situaci podle obr. \ref{ob8c5} se dvěma kvazimonochromatickými bodovými zdroji \(P_1\), \(P_2\) s dominantní úhlovou frekvencí $\omega$. Z bodových zdrojů se šíří kruhové monochromatické vlny, jež obecně zapíšeme s různými amplitudami a fázovými konstantami: \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8c5}\\ \caption{Interference kruhových vln ze dvou bodových zdrojů.} \label{ob8c5} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 8.4 Interference kruhových vln ze dvou bodových zdrojů.} \begin{eqnarray*} E_1(Q,t) & = & a_1E_0\cos(\omega t-kr_1+\varphi_1),\\ E_2(Q,t) & = & a_2E_0\cos(\omega t-kr_2+\varphi_2). \end{eqnarray*} Intenzita každé vlny zvlášť je \[I_i=<E_i(Q,t)^2>_T=\frac{1}{2}a_1^2E_0^2, \q i=1,2.\] Interferenční jev je dán intenzitou superpozice vln v místě pozorování \(Q\), \[I(Q)=<[E_2(Q,t)+E_2(Q,t)]^2>_T.\] (Středujeme přes periodu \(T\), protože se jedná o monochromatické vlny.) Stejným postupem jako v oddíle 8.1 pak dostaneme \begin{equation} \label{081VII} I(Q)=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos[k(r_2-r_1)+\varphi_1-\varphi_2]. \end{equation} Opět tedy platí nerovnost (\ref{081I}). Při stejném osvětlení štěrbin máme \(a_1=a_2,\varphi_1=\varphi_2,I_1=I_2\), takže \[I(Q)=2I_1(1+\cos[k(r_2-r_1)]).\] \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8c6}\\ \caption{Graf intenzity \(I(Q)\) jako funkce fázového rozdílu \(kd\sin\vartheta\), dráhového rozdílu \(d\sin\vartheta\) a \(\sin\vartheta)\).} \label{ob8c6} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 8.5 Graf intenzity \(I(Q)\) jako funkce fázového rozdílu % \(kd\sin\vartheta\), dráhového rozdílu \(d\sin\vartheta\) a % \(\sin\vartheta)\).} Poloha interferenčních maxim a minim záleží na rozdílu vzdáleností \(r_2-r_1\). Při pozorování ve vzdálené zoně můžeme spojnice \(P_1Q\) a \(P_2Q\) považovat za prakticky rovnoběžné a rozdíl \(r_2-r_1\) vyjádřit pomocí úhlu \(\vartheta\), \[r_2-r_1\doteq d\sin\vartheta.\] Prostorové rozdělení intenzity \(I(Q)\) je pak dáno vztahem \begin{equation} \label{081VIII} \fbox{$\displaystyle I(Q)=2I_1(1+\cos(kd\sin\vartheta)).$} \end{equation} Na obr. \ref{ob8c6} vidíme, ve kterých směrech dochází podle rovnice (\ref{081VIII}) ke konstruktivní resp. destruktivní superpozici \begin{eqnarray*} \label{081IX} (\sin\vartheta)_{max} & = & 2m\frac{\lambda}{2d}, \\ (\sin\vartheta)_{min} & = & (2m+1)\frac{\lambda}{2d}, \end{eqnarray*} kde \(m=0,\pm 1,\pm 2, \dots \); mluvíme o maximu centrálním (nultého řádu) a dále prvního, druhého, atd. řádu. Youngův pokus dovolil určit vlnovou délku \(\lambda\) světla změřením polohy \(y_Q\) světlých proužků na pozorovacím stínítku, \[(y_Q)_{max}=L_Q(\mbox{tg}\vartheta)_{max}\doteq L_Q(\sin\vartheta)_{max}=mL_Q\frac{\lambda}{d},\] kde \(m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots\) a předpokládáme \(\vartheta\ll 1\). Vzdálenost sousedních proužků je \[\Delta y\doteq L_Q\frac{\lambda}{d},\] odkud lze určit vlnovou délku \[\lambda\doteq\frac{d\Delta y}{L_Q}.\] {\bf Cvičení 4}. Odvoďte vztah (\ref{081VII}). Jak se změní graf průběhu (\ref{081VIII}) na obr. \ref{ob8c6}, když \(\varphi_1\neq\varphi_2,I_1\neq I_2\)? Interferenční jev na obr. \ref{ob8c6} byl odvozen za tří hlavních zjednodušujících předpokladů: \begin{enumerate} \item aproximace velmi tenkých štěrbin, \item monochromatické světlo, \item dokonalá koherence světla ve štěrbinách \(P_1\), \(P_2\). \end{enumerate} V prvním případě je třeba vzít v úvahu vliv Fraunhoferova ohybu na štěrbinách konečné šířky, který bude studován v oddíle 8.5. Další dva předpoklady souvisí s koherencí světla. Při použití tepelného zdroje je světlo kvazimonochromatické s koherenční dobou \(\tau_{koh}\approx 10^{-9} \, s\). Geometrie pokusu je ovšem taková, že je splněna nerovnost \[|r_2-r_1|=d \, |\sin\vartheta|\approx 0,5 \, mm\ll c\tau_{koh}\approx 30 \, cm,\] takže časová koherence nemá vliv na výsledný interferenční jev. Koherence světla ve štěrbinách \(P_1\), \(P_2\) má však jiný charakter. Pro viditelnost interferenčního jevu na pozorovacím stínítku je třeba, aby pole \(E_1(P_1,t)\), \(E_2(P_2,t)\) byla dokonale koherentní {\it ve stejném časovém okamžiku}. To odpovídá definici prostorové koherence: Pole \(E_1(P_1,t)\), \(E_2(P_2,t)\) v různých bodech \(P_1\), \(P_2\) jsou {\itshape {\bf dokonale prostorově koherentní}\/}\index{dokonalá prostorová koherence}, jestliže znalost pole \(E_1\) v místě \(P_1\) v čase \(t\) dovoluje přesně předpovědět pole \(E_2\) v místě \(P_2\) ve stejném čase. Nazveme je {\itshape {\bf prostorově nekoherentní}\/}\index{prostorová nekoherence}, jestliže znalost jednoho z polí nedává žádnou informaci o druhém. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.26\textheight]{ob8c7}\\ \caption{K pojmům podélné a boční prostorové koherence.} \label{ob8c7} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 8.6 K pojmům podélné a boční prostorové koherence.} V případě kvazimonochromatického bodového zdroje \(Z\) se prostorová koherence mezi body \(P_2\), \(P_3\) na obr. \ref{ob8c7} nazývá {\itshape {\bf podélnou}\/}\index{podélná prostorová koherence}. Nebudeme ji uvažovat, protože ji lze jednoznačně převést na časovou: pole v bodě \(P_3\) v čase \(t\) je totiž jednoznačně určeno polem v \(P_2\) v retardovaném čase \(t-(l/c)\). Stačí tedy porovnávat pole v bodě \(P_2\) v různých časech \(t\), \(t-(l/c)\). Prostorovou koherenci světla mezi body \(P_1\), \(P_2\), do nichž sférická vlnoplocha dorazí ve stejném časovém okamžiku \(t\), nazýváme {\itshape {\bf boční}\/}\index{boční prostorová koherence}. K boční nekoherenci v bodech \(P_1\), \(P_2\) a tím ke snížení viditelnosti interferenčních proužků v Youngově pokusu může dojít, když tepelný zdroj není bodový. Uvažujme proto Youngovo experimentální uspořádání s tepelným zdrojem konečné šířky \(d_Z\) (obr. \ref{ob8c8}) \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8c8}\\ \caption{Vliv konečné šířky tepelného zdroje na boční koherenci ve štěrbinách \(P_1\), \(P_2\).} \label{ob8c8} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 8.7 Vliv konečné šířky tepelného zdroje na boční %koherenci ve štěrbinách \(P_1\), \(P_2\).} Takový zdroj je soustavou nezávislých zářičů, u nichž fáze záření v daném čase se náhodně mění s polohou ve zdroji a v daném místě zdroje se náhodně mění s časem. Na obr. \ref{ob8c8} každý z elementárních zářičů mezi body \(Z_1\), \(Z_2\) by na pozorovacím stínítku způsobil jasné interferenční proužky. Centrální maxima zdrojů \(Z_1\), \(Z_2\) budou v bodech \(Q_1\), \(Q_2\). \footnote{Ukažte, že nulté maximum od zdroje \(Z_1\) bude určeno podmínkou \(r_1+s_1-r_2-s_2=0\), tj. \(r_1-r_2=s_2-s_1=d\sin\vartheta_1\).} Při pozorování okem nebo jiným pomalým detektorem s rozlišovací dobou \(t_r\gg\tau_{koh}\) nekoherentní vlny pocházející z různých míst zdroje spolu neinterferují a {\it výsledná intenzita bude součtem intenzit jednotlivých zářičů}. Výsledný interferenční obrazec bude velmi málo porušen pouze tehdy, když vzdálenost \(d_Q\) bude velmi malá vzhledem ke vzdálenosti \(\Delta y \doteq L_Q\lambda/d_P\) sousedních interferenčních maxim, \(d_Q\ll\bigtriangleup y\). V případě \(d_Q \geq \Delta y\) se viditelnost interference blíží nule. {\itshape {\bf Podmínku dokonalé prostorové koherence}\/}\index{podmínka dokonalé prostorové koherence} ve štěrbinách \(P_1\), \(P_2\) lze podle předchozí úvahy a obr. \ref{ob8c8} vyjádřit následujícími ekvivalentními způsoby: \begin{equation} \label{081X} d_Q\ll\Delta y \quad \Leftrightarrow \quad \delta\vartheta\ll\frac{\lambda}{d_P} \quad \Leftrightarrow \quad d_Zd_P\ll\lambda L_Z. \end{equation} {\bf Cvičení 5}. Jaká by musela být vzdálenost štěrbin \(d\), aby při jejich osvětlení přímým slunečním světlem byla splněna podmínka dokonalé koherence? \footnote{Viz \cite{TK}, př. 7.2: průměr Slunce $700$ tisíc $km$, vzdálenost Slunce $150$ milionů $km$.} \section{Difrakční mřížka} \begin{quote} {\it Optická mřížka. Interference vln z \(N\) zdrojů. Průběh interferenční intenzity. Spektrální rozklad světla. Rayleighovo kritérium rozlišení spektrálních čar.} \end{quote} {\itshape {\bf Optická mřížka}\/}\index{optická mřížka} je obvykle skleněná destička s nanesenou měkkou vrstvou např. hliníku, do níž jsou pomocí diamantového nástroje vyryty rovnoběžné vrypy. Musí být přesně stejně široké a přesně stejně navzájem vzdálené, většinou \(0,25\) až \(6000\) vrypů na \(1\) mm. Vzdálenost středů sousedních vrypů \(d\) se nazývá {\itshape {\bf mřížková konstanta}\/}\index{mřížková konstanta}. Dopadá-li na mřížku rovnoběžný svazek kvazimonochromatického světla (obr. \ref{ob8c9}), vrypy vyzařují cylindrické vlny a na stínítku pozorujeme interferenční proužky. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8c9}\\ \caption{Uspořádání pro pozorování difrakce světla na optické mřížce.} \label{ob8c9} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 8.8. Uspořádání pro pozorování difrakce světla na optické mřížce.} Na rozdíl od Youngova pokusu se dvěma štěrbinami se na pozorovacím stínítku vytvoří velmi ostré tenké světlé čáry na tmavém pozadí. Abychom pochopili funkci mřížky, nahradíme uspořádání na obr. \ref{ob8c9} pomocí Babinetova principu soustavou zdrojů v místech vrypů. Na obr. \ref{ob8d10} je zjednodušená soustava \(N\) bodových zdrojů \(P_1,P_2,\dots,P_N\), jejichž vzdálenosti jsou \(d\) a všechny vyzařují v rovině kvazimonochromatické světlo se stejnou amplitudou \(E_0\), stejnou střední úhlovou frekvencí \(\omega\) a stejnou fázovou konstantou \(\varphi_0\). \footnote{Předpokládáme, že na celé šířce mřížky je splněno kritérium boční koherence.} \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8d10}\\ \caption{Interference vln z \(N\) zdrojů.} \label{ob8d10} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 8.9 Interference vln z \(N\) zdrojů.} Pozorovací bod \(Q\) je tak daleko, že úhel \(\vartheta\) je přibližně stejný pro všech \(N\) zdrojů. Pak ve vzdáleném bodě \(Q\) v blízkosti osy \(z\) je superpozice polí z \(N\) zdrojů \[E(Q,t)=aE_0\cos(\omega t_1'+\varphi_0)+\dots +aE_0\cos(\omega t_N'+\varphi_0)\] určena koeficientem zeslabení \(a<1\) a retardovanými časy $t_i'=t-(r_i/c)$, $i=1,\dots,N$, jež odpovídají vzdálenostem \(r_1,\dots,r_N\) od bodů \(P_1,\dots,P_N\) k bodu \(Q\), Pro další výpočet vyjádříme pole \(E(Q,t)\) jako reálnou část sumy komplexních členů \[E(Q,t)=\sum_{i=1}^NaE_0\cos(\omega(t-\frac{r_i}{c})+\varphi_0) =\mbox{Re}\sum_{i=1}^NaE_0e^{i(\omega t-kr_i+\varphi_0)}.\] Protože sousední vzdálenosti $r_i$, $r_{i+1}$ splňují s dobrou přesností vztahy \[r_2-r_1=d\sin\vartheta,\; r_3-r_2=d\sin\vartheta, \; \dots, \; r_N-r_{N+1}=d\sin\vartheta,\] můžeme pole \(E(Q,t)\) upravit na reálnou část konečné komplexní geometrické řady s kvocientem \(q=\exp(-ikd\sin\vartheta)\): \begin{eqnarray*} E(Q,t) & = & \mbox{Re}\left\{aE_0e^{i(\omega t-kr_1+\varphi_0)}\left(1+q+q^2+...+q^{N-1}\right)\right\} \\ & = & \mbox{Re}\left\{aE_0e^{i(\omega t-kr_1+\varphi_0)}\frac{e^{-iNkd\sin\vartheta}-1}{e^{-ikd\sin\vartheta}-1}\right\}. \end{eqnarray*} Zlomek dále upravíme vytknutím faktorů \(\exp\left(-\frac{1}{2}iNkd\sin\vartheta\right)\) z čitatele a \(\exp\left(-\frac{1}{2}ikd\sin\vartheta\right)\) z jmenovatele na podíl sinů, takže výsledný vztah můžeme napsat ve tvaru součinu modulované amplitudy a nosné vlny: \[E(Q,t)=aE_0\frac{\sin\left(\frac{1}{2}Nkd\sin\vartheta\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}kd\sin\vartheta\right)}\cos\left(\omega t-kr_1-\frac{1}{2}(N-1)kd\sin\vartheta+\varphi_0\right).\] Hledaný interferenční jev má následující průběh intenzity na stínítku (stačí středovat přes jednu periodu): \begin{equation} \label{081XI} I(Q)=<E(Q,t)^2>_T =\frac{a^2E_0^2}{2}\left(\frac{\sin\left(\frac{1}{2}Nkd\sin\vartheta\right)} {\sin\left(\frac{1}{2}kd\sin\vartheta\right)}\right)^2. \end{equation} \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8d11}\\ \caption{Graf intenzity \(I(Q)\) jako funkce fázového rozdílu \(kd\sin\vartheta\), dráhového rozdílu \(d\sin\vartheta\) a \(\sin\vartheta\).} \label{ob8d11} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 8.11 Graf intenzity \(I(Q)\) jako funkce fázového rozdílu % \(kd\sin\vartheta\), dráhového rozdílu \(d\sin\vartheta\) a % \(\sin\vartheta\).} \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=1.0\textheight]{ob8d12}\\ \caption{Graf intenzity \(I(Q)\) jako funkce \(\sin\vartheta\) pro $N=2,3,4$ a velké $N$.} \label{ob8d12} \end{center} \end{figure} Graf funkce (\ref{081XI}) na obrázcích \ref{ob8d11} a \ref{ob8d12} se v jednom ohledu podobá grafu intenzity pro Youngův pokus (\(N=2\)) na obr. \ref{ob8c6}: funkce \(I(Q)\) jsou v obou případech {\it periodické} s periodou \(2\pi\) v proměnné \(kd\sin\vartheta\). Polohy interferenčních maxim jsou proto určeny stejným vztahem jako u Youngova pokusu, \begin{equation} \label{081XII} (\sin\vartheta)_{max}=m\frac{\lambda}{d}, \qquad m=0,\pm 1,...,\pm \left[\frac{d}{\lambda}\right]. \end{equation} Maxima jsou však daleko užší, neboť např. centrální maximum prochází první nulou v bodech \(\frac{1}{2}Nkd\sin\vartheta=\pm\pi\), tj. \[\sin\vartheta=\pm\frac{\lambda}{Nd}.\] Tato veličina se bere jako míra úhlové šířky maxima: maximum má úhlovou šířku \(\lambda/Nd\) ve výšce \(4I_0/\pi^2\doteq0,41 \, I_0\), kde \(I_0=N^{2} a^{2} E_{0}^{2}/2\). Čím je počet vrypů \(N\) větší, tím jsou maxima ostřejší. To je důležité při spektrálním rozkladu světla mřížkou. Dopadá-li na mřížku světlo složené, např. bílé světlo žárovky, bude centrální ma\-xi\-mum bílé, avšak již v 1. řádu budeme pozorovat příspěvky různých barev spektra pod různými úhly \(\vartheta\). Základní vlastností difrakční mřížky je tedy schopnost rozložit dopadající světlo do různých směrů podle vlnových délek, tj. provést jeho {\itshape {\bf spektrální rozklad}\/}\index{spektrální rozklad}. Praktický význam optické spektroskopie je v tom, že každá látka vyzařuje jistý, pro ni charakteristický soubor {\itshape {\bf spektrálních čar}\/}\index{spektrální čáry} (viz kap. 12). Lze tak získat informace o složení látek a např. v astronomii i o složení vzdálených objektů (planet, komet, hvězd, galaxií apod.). Protože spektrální čáry mohou mít velmi blízké vlnové délky, vzniká otázka, jaké vlastnosti musí mřížka mít, abychom takové čáry ve spektru zřetelně rozlišili. Podle {\itshape {\bf Rayleighova kritéria}\/}\index{Rayleighovo kritérium} (obr. \ref{ob8d13}) jsou dvě blízké kvazimonochromatické spektrální čáry \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) rozlišeny v mřížkovém spektru 1. řádu, když úhlová vzdálenost středů maxim je větší nebo rovna úhlové šířce maxim: $$\left|\frac{\lambda_1}{d}-\frac{\lambda_2}{d}\right|\geq \frac{\lambda_{str}}{Nd},$$ kde $\lambda_{str}=(\lambda_{1}+\lambda_{2})/2 \doteq\lambda_{1,2}.$ Po vykrácení \(d\) dostaneme podmínku $$ \frac{\left|\lambda_1-\lambda_2\right|}{\lambda_{str}}\geq\frac{1}{N}, $$ která říká, že spektrální rozlišení mřížky je tím lepší, čím je počet vrypů \(N\) větší ! U maxim vyššího řádu \(|m|\) je vzdálenost maxim \(|m|\)--krát větší, získá se tedy \(|m|\)--krát lepší rozlišení\footnote{{\itshape {\bf Rozlišovací schopnost mřížky}\/}\index{rozlišovací schopnost mřížky} se definuje podílem $R=\lambda_{str}/\left| \lambda_{1} - \lambda_{2} \right|=|m|N.$}. Situaci však zhoršuje ohybový jev způsobený konečnou šířkou vrypů, který vede k zeslabení intenzity ve vyšších řádech (viz oddíl 8.5). {\bf Cvičení 6}. Známé žluté světlo plamene znečištěného kuchyňskou solí obsahuje spektrální čáry $\lambda_1=589,6 \, nm$ a $\lambda_2=589,0 \, nm$. Kolik vrypů musí mít mřížka, aby v 1. řádu právě rozlišila tento sodíkový dublet? \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.3\textheight]{ob8d13}\\ \caption{Spektrální čáry \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) jsou podle Rayleigha právě rozlišeny, když maximum intezity jedné čáry leží právě v prvním minimu intenzity druhé čáry.} \label{ob8d13} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 8.13 Spektrální čáry \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) jsou podle % Rayleigha právě rozlišeny, když maximum intezity jedné čáry leží právě % v prvním minimu intenzity druhé čáry.} \section{Ohyb na štěrbině} \begin{quote} {\it Fraunhoferova difrakce na štěrbině a na kruhovém otvoru. Vliv omezení svazku světla na difrakční rozbíhavost; rozlišovací schopnost optických přístrojů; ostrost zraku.} \end{quote} Vlnová povaha světla má závažné důsledky při Fraunhoferově difrakci na štěrbině konečné šířky. Předpokládejme, že na štěrbinu šířky \(D\) dopadá rovnoběžný svazek kva\-zi\-monochromatického světla o vlnové délce \(\lambda<D\). Uspořádání dle obr. \ref{ob8d14} lze pomocí Babinetova principu nahradit ekvivalentní soustavou zdrojů {\it spojitě rozložených} v ploše štěrbiny a vyzařujících se stejnou fází. \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8d14a}\\ \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8d14b}\\ \caption{Fraunhoferova difrakce na štěrbině šířky \(D\). Převážná část intenzity je vyzařována do oblasti o úhlové šířce \(\delta\approx\lambda/D\).} \label{ob8d14} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 8.14 Fraunhoferova difrakce na štěrbině šířky %\(D\). Převážná část intenzity je vyzařována do oblasti o úhlové šířce % \(\delta\approx\lambda/D\).} Se soustavou ekvidistantních {\it diskrétních zdrojů} jsme se setkali v oddíle 8.4 u difrakční mřížky. Intenzitu světla na pozorovacím stínítku lze u štěrbiny šířky \(D\) snadno odvodit ze vzorce (\ref{081XI}) pro mřížku pomocí limity \(N\rightarrow\infty\). V limitním přechodu ke spojitě rozloženým zdrojům musíme současně předpokládat zmenšování mřížkové konstanty \(d\rightarrow 0\), aby celková šířka \(D=(N-1)d\doteq Nd\) zůstávala konstantní. Pro provedení limity vztah (\ref{081XI}) rozšíříme \[I(Q)= \lim_{N\rightarrow\infty}\frac{a^2E_0^2}{2} \left(\frac{\sin{(\frac{1}{2}kD\sin{\vartheta})}\frac{1}{2}k\frac{D}{N}\sin{\vartheta}}{\sin{(\frac{1}{2}k\frac{D}{N}\sin{\vartheta})}\frac{1}{2}k\frac{D}{N}\sin{\vartheta}}\right)^2\] a využijeme toho, že \[\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{\sin{(\frac{1}{2}k\frac{D}{N}\sin{\vartheta})}}{\frac{1}{2}k\frac{D}{N}\sin{\vartheta}}=1.\] Aby při \(N\gg 1\) vyšla konečná výsledná intenzita, musí ještě \(E_0\rightarrow 0\), aby veličina \[I_0=\frac{1}{2}a^2E_0^2N^2\] zůstala konstantní. Výsledek limity je pak \begin{equation} \label{081XIII} \fbox{$\displaystyle I(Q)=I_0\left(\frac{\sin{(\frac{1}{2}kD\sin{\vartheta})}}{\frac{1}{2}kD\sin{\vartheta}}\right)^2.$} \end{equation} Je zřejmé, že intenzita \(I(Q)\) již není periodickou funkcí \(\sin{\vartheta}\), jako byla u mřížky (vztah (\ref{081XI})). Na rozdíl od obr. \ref{ob8d11} na pozorovacím stínítku zůstane pouze centrální maximum se středem \(\vartheta=0\) a s prakticky stejným průběhem jako u mřížky s velkým počtem vrypů. Za míru \(\delta\) úhlové šířky interferenčního maxima bereme úhel od středu maxima po první nulovou hodnotu intenzity při \(\frac{1}{2}kD\sin{\delta}=\pi\), tj. \(\sin{\delta}=\lambda/D\). Pří \(\lambda\ll D\) píšeme \begin{equation} \label{081XIV} \fbox{$\displaystyle \delta\approx\frac{\lambda}{D}.$} \end{equation} Na obr. \ref{ob8d14} je vyšrafována oblast této úhlové šířky, kam dopadá převážná část intenzity. Získané výsledky, které jsou přímým důsledkem vlnové povahy světla, mají zásadní význam pro konstrukci optických přístrojů a posouzení oblasti jejich použitelnosti. Zjistili jsme, že prostorové omezení svazku světla má za následek jeho {\itshape {\bf difrakční rozbíhavost}\/}\index{difrakční rozbíhavost}: vlnový vektor \(\vc{k}\) již nemá stálý směr jako před štěrbinou --- světlo za štěrbinou obsahuje směry \(\vc{k}\) převážně v oblasti o úhlové šířce \(\delta \approx \lambda / D \) (velikost \(|\vc{k}|=2\pi/\lambda\) je dána vlnovou délkou). Pro {\it difrakci světla na kruhovém otvoru}\footnote{Při cylindrické symetrii je funkce \(\sin{(\frac{1}{2}kD\sin{\vartheta})}\) nahrazena cylindrickou (Besselovou) funkcí \(J_1(\frac{1}{2}kD\sin{\vartheta})\), která prochází nulou při \(J_1(1,22\pi)=0\).} se uvádí difrakční rozbíhavost \begin{equation} \label{081XV} \fbox{$\displaystyle \delta\approx 1,22\frac{\lambda}{D}.$} \end{equation} V optických přístrojích je šíření světla omezeno do tubusů, jejichž rozměry jsou dány velikostí optických elementů --- čoček, zrcadel, kolimátorů. Světlo se proto uvnitř nešíří přesně ve směrech paprsků určených pravidly geometrické optiky (viz kap. 9). Vykazuje vždy jistou {\itshape {\bf úhlovou rozbíhavost}\/}\index{úhlová rozbíhavost}, která posléze způsobuje nepřesnost ideálního geometrického zobrazení. Každý optický přístroj lze pak charakterizovat jeho {\itshape {\bf rozlišovací schopností}\/}\index{rozlišovací schopnost}, tj. schopností rozlišit jemné dataily struktury pozorovaného předmětu. Důležitým příkladem optického přístroje je {\itshape {\bf lidské oko}\/}\index{lidské oko}. Každý, kdo navštvil očního lékaře, zažil určení úhlové rozlišovací schopnosti svých očí. Pozorujeme--li milimetrové měřítko na vzdálenost $2 \, m$, zjistíme, že již sotva rozlišíme sousední čárky. Ve větší vzdálenosti vám tyto čárky úplně splynou. Jako maximální ostrost zraku normálního lidského oka při vidění uprostřed zorného pole se uvádí schopnost rozlišit dvě značky $3 \, mm$ od sebe na vzdálenost $10 \, m$. To odpovídá úhlovému rozlišení jedné obloukové minuty \[\delta\approx\frac{3.10^{-3}}{10}\approx 3.10^{-4}\, rad\approx 1'\] (encyklopedie \cite{V} uvádí 1'---3'). Porovnejme tuto skutečnost s teoretickým výpočtem podle vztahu (\ref{081XV}). Je-li \(\lambda\approx 6.10^{-7} \, m\) (světlo žluté barvy) a průměr panenky \(D\approx 2 \, mm\), vychází \[\delta\approx\frac{5.10^{-7}}{2.10^{-3}}\approx 3.10^{-4}\, rad,\] což je na dolní mezi udaných experimentálních hodnot. {\bf Cvičení 7}. Pro Youngův pokus se dvěma štěrbinami konečné šířky \(D<d\) odvoďte interferenční obrazec modulovaný ohybem, obr. \ref{ob8d15}. Uvažte, že každá ze štěrbin osvětluje stínítko podle obr. \ref{ob8d14} (viz \cite{TK}, př. 7.7). \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8d15}\\ \caption{Průběh intenzity pro Youngův pokus se štěrbinami konečné šířky \(D<d\).} \label{ob8d15} \end{center} \end{figure} % {\it Obr. 8.15 Průběh intenzity pro Youngův pokus se štěrbinami % konečné šířky \(D<d\).} \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[height=1.0\textheight]{ob8d16}\\ \caption{Grafy intenzity \(I(Q)\) jako funkce \(\sin\vartheta\) pro $N=1,2,3,4$ štěrbin konečné šířky \(D<d\).} \label{ob8d16} \end{center} \end{figure}