Aktuální verze z 25. 4. 2024, 11:36

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Odvození termodynamiky IP statistickými metodami}
\index{plyn, ideální}
 \label{chap:IP}
Vezměme si jednočásticovou partiční funkci IP a nejprve předpokládejme, že částice může nabývat
pouze určitých hodnot energie (diskrétní rozdělení).
 
$$\zeta = \suma{i}{}\exp\left(-\frac{\varepsilon _i}{kT}\right)$$
\bigskip
 
Pro volnou částici platí $\varepsilon = \frac{p^2}{2m}$. Potom suma přejde v integrál
 
$$\zeta = \frac{1}{h^3}\integral{}{} \exp\left( - \frac{p^2}{2mkT}\right)d^3q  d^3p = 
\frac{V}{h^3}\integral{0}{\infty}\exp\left( - \frac{p^2}{2mkT}\right) 4 \pi p^2 \: dp 
= \frac{V}{h^3}(2 \pi m k T)^{\tripul}$$
\bigskip
 
viz. odvození Maxwell-Boltzmanova rozdělení hybností. Částice IP jsou nezávislé, leč
nerozlišitelné a proto 
 
$$Z = \frac{1}{N!}\zeta ^N = \frac{1}{N!}\left(\frac{V}{h^3} \right)^N(2\pi mkT)^{\tripul N}$$
\bigskip
 
Odtud dostáváme
 
$$F = -kT \ln Z = -NkT \ln \zeta + kT \ln N! = -NkT \ln \zeta + kT \ln 
\left( \frac{N}{e} \right)^N = $$
$$= -NkT \ln \zeta + NkT \ln N - NkT $$
\medskip
 
$$S = - \termderiv{F}{T}{V,N} = Nk \ln \left(\frac{V}{h^3}(2 \pi m k T)^{\tripul}\right) + Nk T \tripul\frac1 T-
  Nk \ln N + Nk = $$
$$=  Nk \ln \frac{V}{h^3}(2 \pi m k T )^{\tripul} - Nk \ln N + N \cdot \text{konst}$$
\bigskip
 
a máme tedy známou entropii IP
 
$$S = Nk \ln V + \tripul Nk \ln T - Nk \ln N + N \cdot \text{konst}$$
\bigskip
 
\begin{remark}
 
Kdybychom použili nekorigovanou MB statistiku, předpokládali, že $Z = \zeta ^N$ a faktor
$\frac{1}{N!}$ zanedbali, člen $Nk \ln N $ by se nám ve vyjádření pro entropii neobjevil.
To je ale, jak všichni víme, \index{paradox,Gibbsův}\emph{Gibbsův paradox} (entropie by nebyla aditivní).
 
\end{remark}
\bigskip
 
Dále potom tlak vyjádříme jako
 
$$p = - \termderiv{F}{V}{T,N} = \frac{NkT}{V} \quad \Rightarrow \quad pV = NkT$$
\bigskip
 
Pro vnitřní energii platí
 
$$U = -\pderivx{}{\beta} \ln Z=  kT^2 \pderivx{}{T}\ln Z = \tripul NkT$$
\bigskip
 
a jelikož 
 
$$C_V = \termderiv{U}{T}{V} = \tripul Nk \quad \Rightarrow \quad U = C_V T = N c_V T$$
\bigskip
 Vyjádříme-li entropii $S(T,V)$ pomocí stavové rovnice IP jako funkci $T$ a $p$, vyjde nám  
$$C_p = T\termderiv{S}{T}{p} = \frac{5}{2}kN \quad \Rightarrow \quad C_p - C_V = 
\frac{5}{2}kN - \tripul kN = kN$$
($C_p$ se snáze dostane z entalpie $H$: $H=U+pV=\frac{5}{2}NkT\quad C_p =\termderiv{H}{T}{p}= \frac{5}{2}kN$)