Aktuální verze z 3. 4. 2024, 10:17

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1Priklady}
\section{Extremální úlohy, konvexnost, konkávnost, inflexe}
\subsection*{\fbox{Rozcvička}}
V této části jsou příklady na procvičení hledání lokálních extrémů, které pro svou nižší náročnost nejsou zahrnuty ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány.
 
\begin{itemize}
 
\item Úsečku rozdělte na dvě části tak, aby součet obsahů
čtverců sestrojených nad oběma částmi byl minimální.
 
\res{v polovině}
 
\item Ze všech obdélníků s daným obsahem určete ten, který má
nejmenší obvod.
 
\res{$a=b=\sqrt{S}$, kde $S$ je obsah}
 
\item 
Jak volit rozměry pozemku pravoúhlého tvaru, máme-li jej
oplotit pletivem délky $60$m a chceme aby obsah byl co
největší?
 
\res{$15 \times 15 = 225$}
 
 
 
\end{itemize}
 
 
\subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}}
 
 
 
\begin{enumerate}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Konvexnost, konkávnost a inflexe}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\item Vyšetřete konvexnost,  konkávnost a inflexní body funkce 
\begin{priklad}
f(x) = \frac{|x^2-3x-4|}{x} 
\end{priklad}
 
\res{konvexní na $(-\infty, -1)$ a $(0, 4)$, konkávní na $(-1, 0)$ a $(4, +\infty)$, inflex $x=-1, x=4$}
 
\item Vyšetřete konvexnost,  konkávnost a inflexní body funkce 
\begin{priklad}
f(x) = 1 + \sqrt[3]{x}
\end{priklad}
 
\res{TODO}
 
 
\item Vyšetřete konvexnost,  konkávnost a inflexní body funkce 
\begin{priklad}
f(x) = 3x^2-x^3
\end{priklad}
 
\res{TODO}
 
\item Vyšetřete konvexnost,  konkávnost a inflexní body funkce 
\begin{priklad}
f(x) = \frac{2x}{1+x^2}
\end{priklad}
 
\res{TODO}
 
\item Vyšetřete konvexnost,  konkávnost a inflexní body funkce 
\begin{priklad}
f(x) = \sqrt{1+x^2}
\end{priklad}
 
\res{konvexní na $\R$}
 
\item Vyšetřete konvexnost,  konkávnost a inflexní body funkce 
\begin{priklad}
f(x) = \frac{|x-1|}{x^2}
\end{priklad}
 
\res{TODO}
 
\item Vyšetřete konvexnost,  konkávnost a inflexní body funkce 
\begin{priklad}
f(x) = \ln(1+x^2)
\end{priklad}
 
\res{konvexní na $(-1, 1)$, konkávní na $(-\infty, -1)$ a $(1, +\infty)$, inflex $x=-1, x=1$}
 
\item Vyšetřete konvexnost,  konkávnost a inflexní body funkce 
\begin{priklad}
f(x) = x^3\ln{x} + 1
\end{priklad}
 
\res{TODO}
 
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Extremální úlohy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
 
\item Z desky tvaru trojúhelníku, jehož základna je $a$ a výška
$v$ a úhly při základně jsou ostré, má být vyříznuta obdélníková
deska; přičemž jedna strana obdélníku je částí základny. 
Pomocí techniky hledání extrémů určete
rozměry obdélníku tak, aby jeho obsah byl maximální.
 
\res{$x=\frac{a}2$, $y = \frac{v}2$}
 
\item Určete rozměry parního kotle tvaru válce tak, aby při daném objemu $V$ 
bylo ochlazování páry nejmenší - tj. aby povrch válce (včetně podstav) byl minimální.
 
\res{ $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}, v = \frac{V}{\pi r^2}$}
 
\item 
Ze všech pravoúhlých trojúhelníků s daným součtem délek
přepony a odvěsny $k$ určete ten jehož obsah je největší.
 
\res{$y=k/3$, $x = \sqrt3/3 k$, $\alpha=\pi/6$}
 
\item 
Chceme oplotit výběh pro slépky, který má mít tvar
pravoúhelníku. Přitom máme k dispozici $200$m pletiva a víme, že
část plotu budou tvořit 2 celé stěny drůbežárny, jejíž obdélníkový
půdorys má rozměry $a=16m$ a $b=10m$. Jaké rozměry musí mít
výběh, aby měl co největší obsah?
 
\res{čtverec $56,5m$}
 
\item 
Pomocí techniky hledáni extrémů určete rozměry obsahově maximálního obdélníka vepsaného
elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$
 
\res{$a\sqrt2, b\sqrt2$}
 
\item 
Pomocí techniky hledání extrémů určete rozměry objemově maximálního válce vepsaného do
koule o poloměru $R$.
 
\res{$v = 2R/\sqrt3$, $r=R\sqrt{2/3}$}
 
 
\item Jaké rozměry musí mít bazén se čtvercovým dnem a objemem
$V=32m^3$, má-li se na jeho vyzdění spotřebovat co nejméně
matriálu?
 
\res{$4,4,2$}
 
 
\item Pomocí techniky hledání extrémů vepište do půlkruhu o poloměru $r$ obdélník maximální plochy.
 
\res{$r\sqrt2, \frac{r}{\sqrt2}$}
 
\item Dolní část okna má tvar obdélníka, horní tvar půlkruhu.
Délka rámu celého okna je $P$. Při jakých rozměrech bude okno
propouštět nejvíce světla?
 
\res{$\frac{2P}{\pi+4}, \frac{P}{4+\pi}$}
 
 
\item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \sin(x)\sqrt{1-\cos^2(x)}$ na intervalu $[-\pi,\pi]$. 
\begin{enumerate}
  \item Rozhodněte, zda existuje první derivace funkce $f$ v bodě $x=0$. 
  \item Nalezněte všechny lokální extrémy a intervaly monotonie funkce $f(x)$ na intervalu $(-\pi,\pi)$. 
	Jsou tyto lokální extrémy též globálními extrémy na uvažovaném intervalu $[-\pi,\pi]$ ?
\end{enumerate}
 
\res{TODO}
 
\item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = x+2\sqrt{1-\cos^2(x)}$. 
\begin{enumerate}
  \item Rozhodněte, zda existuje první derivace funkce $f$ v bodě $x=0$. 
  \item Nalezněte všechny lokální extrémy a intervaly monotonie funkce $f(x)$ na intervalu $(-\pi,\pi)$. 
	Jsou tyto lokální extrémy též globálními extrémy na uvažovaném intervalu $[-\pi,\pi]$ ?
\end{enumerate}
 
\res{(a) neex.; (b) $-\pi \nearrow -\frac{\pi}{3} \searrow 0 \nearrow \frac{2\pi}{3} \searrow \pi$, glob. max v $\frac{2\pi}{3}$}
 
\item Nalezněte definiční obor, lokální extrémy a intervaly monotonie funkce
\begin{priklad}
f(x) =  \left( \frac{x^2}{x+1} \right)^{\frac{1}{4}}
\end{priklad}
 
\res{$D_f = (-1, +\infty), -1 \searrow 0 \nearrow +\infty$}
 
\item Nechť součet dvou čísel je 12, určete tato čísla tak, aby
  \begin{enumerate}
    \item součet třetích mocnin byl minimální
    \item součin jednoho s třetí mocninou druhého byl maximální
    \item obě byla kladná a součin jednoho s druhou mocninou
    druhého byl maximální.
  \end{enumerate}
 
\res{TODO}
 
\item Ukažte, že pro všechna $x>0$ je funkce $\ln x$ vždy menší než $\sqrt{x}$.
(Návod: zkoumejte extrémy rozdílu těchto funkcí.)
 
\res{maximum $\ln{x}-\sqrt{x}$ je $2\ln{2}-2 < 0$}
 
\item Ukažte, že pro všechna $x\in\R$ je funkce $1+x$ vždy menší nebo rovna $\e^x$.
(Návod: zkoumejte extrémy rozdílu těchto funkcí.)
 
\res{minimum $\e^{x}-x-1$ je $0$ v $x=0$}
 
\item Ukažte, že pro všechna $x>-1$ je funkce $\ln(1+x)$ vždy menší nebo rovna $x$.
(Návod: zkoumejte extrémy rozdílu těchto funkcí.)
 
\res{minimum $x-\ln(1+x)$ je pro $x=0$}
 
\item Ukažte, že pro všechna $x>0$ je funkce $\arctg{x}$ vždy menší než $x$.
(Návod: zkoumejte extrémy rozdílu těchto funkcí.)
 
\res{$\arctg{x}-x$ je pro $x>0$  ostře klesající a záporná}
 
 
 
\item
  Určete kladný parametr $A>0$ tak, aby objem tělesa, 
  které vznikne rotací funkce
 
\begin{priklad}
f(x) = Ax+\frac{1}{A(x+1)}
\end{priklad}
okolo osy $x$ na intervalu $[0,1]$ byl minimální !
 
\res{$A = \sqrt[4]{3/2}$}
 
 
 
\item Je-li rozdíl dvou čísel rovný $10$, je jejich součin větší než $-30$?
 
\res{ano}
 
 
 
\item 
Nit délky $l$ se má rozstřihnout na dvě části, z jedné části
se udělá kružnice a ze druhé čtverec. Určete délky jednotlivých
částí tak, aby součet ploch čtverce a kruhu byl minimální.
 
\res{$l_1 = \frac{l\pi}{4+\pi}$, $l_2 = \frac{4l}{4+\pi}$}
 
\item 
Nit délky $l$ se má rozstřihnout na dvě části. Z jedné části
se udělá kružnice a ze druhé rovnostranný trojúhelník. Určete délky jednotlivých
částí tak, aby součet ploch trojúhelníku a kruhu byl minimální.
 
\res{TODO}
 
\item
Do koule o poloměru $R$ vepište válec s maximálním objemem.
 
\res{$r=R\sqrt{\frac23}$, $v=\frac{2R}{\sqrt3}$}
 
\item
Do koule o poloměru $R$ vepište válec s maximálním povrchem.
 
\res{$r=R\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt{5}}{10}}$, $v=R\sqrt{2-\frac{2\sqrt{5}}{2}}$}
 
\item
Jaký je maximální objem kužele s danou stranou $s$?
 
\res{$\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}s^3$}
 
\item
Při jakých rozměrech má válec daného objemu $V$ nejmenší povrch?
 
\res{$v=2\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$, $r=\frac{v}{2}$}
 
\item
Z papíru tvaru obdélníka se stranami $a$ a $b$ vyrobíme krabičku tak, že vystřihneme ze všech čtyř rohů stejné čtverce. 
Krabička bude mít výšku rovnou straně tohoto čtverce. 
Pomocí techniky hledání extrémů nalezněte délku strany čtverce, při níž bude objem krabičky největší.
 
\res{$\frac16\left(a+b-\sqrt{a^2-ab+b^2}\right)$}
 
 
 
\end{enumerate}