Verze z 5. 4. 2020, 21:09

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
 
\section[Limita funkce]{\fbox{Limita funkce}}
\subsection{Definice}
 
	\begin{define}[Limita funkce $f$ v bodě $a$]
	Nechť pro nějaké $a \in \R$ a $p>0$ je sjednocení $(a-p, a)\cup(a, a+p)$ částí definičního oboru $D_f$. Potom řekneme, že limita funkce $f$ v bodě $a$ je $\ell$:
	$$
	\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell \ekv 
	(\forall \varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(a-p,a)\cup(a,a+p)~)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-\ell| < \varepsilon).
	$$
	\end{define}
 
	\begin{define}[Limita funkce $f$ v bodě $a$ zprava]
	Nechť pro nějaké $a \in \R$ a $p>0$ je sjednocení $(a, a+p)$ částí definičního oboru $D_f$. Potom řekneme, že limita funkce $f$ v bodě $a$ \textbf{zprava} je $\ell$:
	$$
	\lim\limits_{x \to a+} f(x) = \ell \ekv 
	(\forall \varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(a,a+p)~)(a<x<a+\delta \Rightarrow |f(x)-\ell| < \varepsilon).
	$$
	\end{define}
 
	\begin{define}[Limita funkce $f$ v bodě $a$ zleva]
	Nechť pro nějaké $a \in \R$ a $p>0$ je sjednocení $(a-p, a)$ částí definičního oboru $D_f$. Potom řekneme, že limita funkce $f$ v bodě $a$ \textbf{zleva} je $\ell$:
	$$
	\lim\limits_{x \to a-} f(x) = \ell \ekv 
	(\forall \varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(a-p,a)~)(a-\delta<x<a \Rightarrow |f(x)-\ell| < \varepsilon).
	$$
	\end{define}
 
	\begin{theorem}[Vztah existence limity a existence limit zleva a zprava]
	$$
	\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell \ekv 
	\lim\limits_{x \to a+} f(x) = \ell \wedge
	\lim\limits_{x \to a-} f(x) = \ell
	$$
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{Vlastnosti limity}
 
	\begin{lemma}\oprava
	$$
		\lim\limits_{x\to a} f(x) = 0 \ekv \lim\limits_{x\to a} |f(x)| = 0.
	$$
		\begin{proof}
		Plyne z přímo z definice limity.
		\end{proof}
	\end{lemma}
 
 
	\begin{theorem}[Ekvivalence zápisů limity]
	Následující výroky jsou ekvivalentní:
	\begin{enumerate}
		\item $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$,
		\item $\lim\limits_{x \to a} f(x) - \ell=0$,
		\item $\lim\limits_{x \to a} |f(x) - \ell|=0$,
		\item $\lim\limits_{h \to 0} f(a+h)=\ell$.
	\end{enumerate}
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{Jednoznačnost limity}
	\begin{theorem}[O jednoznačnosti limity funkce]\oprava
		$$
		\left( \lim\limits_{x \to c}f(x)=\ell \quad \wedge \quad \lim\limits_{x \to c}f(x)=m \right) \quad\Rightarrow\quad \ell=m.
		$$
		\begin{proof}Sporem.
		\\
		Předpokládejme, že $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell \wedge \lim\limits_{x \to a} f(x) = m \wedge \ell\neq m$.
		\\
		Zvolme $\varepsilon = \frac12|\ell-m| > 0$ a z definic limit existují pro toto $\varepsilon$ čísla $\delta_\ell>0$ a $\delta_m>0$ tak, že 
		\begin{align}
			\nonumber 0 < |x-a| < \delta_\ell &\Rightarrow |f(x)-\ell| < \varepsilon \\
			\nonumber 0 < |x-a| < \delta_m &\Rightarrow |f(x)-m| < \varepsilon 
		\end{align}
		Definujme $\delta = \min\{\delta_\ell, \delta_m\}$, pak totiž pro $0 < |x-c| < \delta$ platí, že
		$$
			|\ell-m| = 
			\left|f(x)-m - (f(x)-\ell)\right| \underset{\underset{\triangle\neq}{\uparrow}}{\leq}
			\underbrace{|f(x)-\ell|}_{<\varepsilon} + 
			\underbrace{|f(x)-m|}_{<\varepsilon} <
			2\varepsilon = |\ell-m|.
		$$
		Dohromady dostáváme nerovnici $|\ell-m| < |\ell-m|$, což je spor.
		\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
	\begin{theorem}[Vlastnosti limity funkce]
	Nechť $\lim\limits_{x \to a}f(x)=\ell$ a $\lim\limits_{x \to a}g(x)=m$, kde $\ell,m\in\R$. Potom:
	\begin{enumerate}
	\item[(i)] $\lim\limits_{x \to a} (f+g)(x) = \ell+m$,
	\item[(ii)] $\lim\limits_{x \to a} (f-g)(x) = \ell-m$,
	\item[(iii)] $\lim\limits_{x \to a} (fg)(x) = \ell m$,
	\item[(iiii)] pokud navíc $m\neq0$, pak $\lim\limits_{x \to a} \frac fg(x) = \frac \ell m$,
	\end{enumerate}
	\end{theorem}  
	\begin{proof}
	Plyne přímo z definice limity.
	\end{proof}
 
 
	\begin{corollary}
	Nechť $p$ je polynom. Potom $\forall a\in\R$
	$$
	\lim\limits_{x \to a} p(x) = p(a).
	$$
	\end{corollary}
 
\subsection{Nekonečné limity}
	\begin{define}[Nekonečná limita funkce $f$ v bodě $c$]
	Nechť pro nějaké $c \in \R$ a $p>0$ je sjednocení $(c-p, c)\cup(c, c+p)$ částí definičního oboru $D_f$.Potom
	$$
	\lim\limits_{x \to c} f(x) = +\infty \ekv 
	(\forall\alpha>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(c-p, c)\cup(c, c+p)~)(0<|x-c|<\delta \Rightarrow f(x) > \alpha),
	$$
	$$
	\lim\limits_{x \to c} f(x) = -\infty \ekv
	(\forall\alpha>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in(c-p, c)\cup(c, c+p)~)(0<|x-c|<\delta \Rightarrow f(x) < -\alpha).
	$$
	\end{define}
	\begin{remark}
	Analogicky definice jednostranných limit
	\begin{itemize}
	\item $	\lim\limits_{x \to c+} f(x) = +\infty 	$
	\item $	\lim\limits_{x \to c+} f(x) = -\infty 	$ 
	\item $	\lim\limits_{x \to c-} f(x) = +\infty 	$
	\item $	\lim\limits_{x \to c-} f(x) = -\infty .	$
	\end{itemize}
	\end{remark}
 
 
 
 
 
 
	\begin{theorem}[Vlastnosti nekonečných limit]\oprava
	\begin{itemize}
		\item $\lim\limits_{x\to a} f(x) = +\infty ~\wedge~ \lim\limits_{x\to a} g(x) = \ell \neq -\infty$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{x\to a} (f+g)(x) = +\infty$
		\item $\lim\limits_{x\to a} f(x) = -\infty ~\wedge~ \lim\limits_{x\to a} g(x) = \ell \neq +\infty$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{x\to a} (f+g)(x) = -\infty$
		\item $\lim\limits_{x\to a} f(x) = +\infty ~\wedge~ \lim\limits_{x\to a} g(x) = \ell \neq 0$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{x\to a} (f\cdot g)(x) = (\sign{\ell})\cdot\infty$
		\item $\lim\limits_{x\to a} f(x) = -\infty ~\wedge~ \lim\limits_{x\to a} g(x) = \ell \neq 0$ $\Rightarrow$ $\lim\limits_{x\to a} (f\cdot g)(x) = (\sign{\ell})\cdot(-\infty)$
		\item $\lim\limits_{x\to a} f(x) = \pm\infty \Rightarrow \lim\limits_{x\to a} \left(\frac1f\right)(x) = 0$
	\end{itemize}
	\end{theorem}
 
	\begin{remark}
	Výrazy $\ind$:  \uv{$\infty-\infty$}, \uv{$0\cdot\infty$}, \uv{$\frac{\infty}{\infty}$}, \uv{$\frac{1}{0}$} a \uv{$\frac00$} jsou neurčité, je potřeba provést algebraické manipulace před samotnou limitou.
	\end{remark}
 
 
	\begin{define}[Limita funkce v nekonečnu]\oprava
	$$
	\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = l \ekv 
	(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x > \delta \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon),
	$$
	$$
	\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = l \ekv 
	(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x < -\delta \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon),
	$$
	\end{define}
 
	\begin{remark}
	Analogicky definice 
	\begin{itemize}
	\item $	\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty 	$
	\item $	\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty 	$ 
	\item $	\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty 	$
	\item $	\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty .	$
	\end{itemize}
	\end{remark}
 
 
 
\subsection{Věta o limitě sevřené funkce}
	\begin{theorem}[Sendvičová věta o limitě sevřené funkce]\label{thm:sendvic}
	Buď $p>0$ a nechť pro funkce $d$, $f$ a $h$ platí, že $(a-p,a)\cup(a,a+p) \subset D_f \cap D_d \cap D_h$ a pro všechna $x\in(a-p,a)\cup(a,a+p)$ je $d(x) \leq f(x) \leq h(x)$.
	Potom když $\lim\limits_{x \to a} d(x) = \lim\limits_{x \to a} h(x) = \ell$, pak
	existuje limita funkce $f$ v bodě $a$ a je rovna $\ell$
	$$ \lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell. $$
	\end{theorem}
	\begin{proof}
	Pro libovolné $\varepsilon>0$ existuje z definic limit $\delta_d$ a $\delta_h$ tak, že pro všechna $x$ taková, že
	\begin{itemize}
		\item 	$0 < |x-a| < \delta_d \Rightarrow \ell-\varepsilon < d(x) < \ell + \varepsilon$
		\item 	$0 < |x-a| < \delta_h \Rightarrow \ell-\varepsilon < h(x) < \ell + \varepsilon$
	\end{itemize}
	Zvolíme-li $\delta = \min\{p, \delta_d, \delta_h\}$, platí pro všechna $x$ taková, že $0<|x-a|<\delta$, nerovnosti
	$$
		\ell-\varepsilon < d(x) < f(x) < h(x) < \ell + \varepsilon,
	$$
	čímž je věta dokázána.
	\end{proof}
 
	\begin{remark}
	Věta \ref{thm:sendvic} platí i pro jednostranné limity a limity v nekonečnu.
	\end{remark}
 
 
\subsection{Goniometrické limity}
	\begin{remark}
	Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi:
	\begin{itemize}
	\item $\cos^2x+\sin^2x=1$
	\item $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
	\item $\label{cs2} \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
	\end{itemize}	
	\end{remark}
 
	\begin{lemma}[Snížení mocniny u goniometrických funkcí]\label{lemma:sincos}\oprava
	\begin{align*}
	\cos^2(x) &= \frac{1+\cos(2x)}{2} \\
	\sin^2(x) &= \frac{1-\cos(2x)}{2}
	\end{align*}
	\begin{proof}
	Větu dokážeme pomocí součtových vzorců pro funkci $\cos(2x)= \cos^2(x)-\sin^2(x)$.
	\end{proof}
	\end{lemma}
 
	\begin{theorem}\label{thm:sinxx}
		$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} =1.$$
		\begin{proof}
		\begin{figure}[htb]
			\centering
			\includegraphics{sinxx}
			\caption{Ilustrace k důkazu Věty \ref{thm:sinxx}.}\label{fig:sinxx}
		\end{figure}
		Nechť $x>0$ je úhel v radiánech. Z obrázku \ref{fig:sinxx} je patrná následující nerovnost mezi plochami AEB, ACB a ACD:
		$$
			\frac12\sin{x} < \frac12x < \frac12\tg{x},
		$$
		odkud
		$$
			\cos{x} < \frac{\sin{x}}{x} < 1.
		$$
		Z věty o limitě sevřené funkce snadno dostáváme tvrzení, které platí i o pro $x<0$ neb funkce $\frac{\sin{x}}{x}$ je sudá. 
		\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Asymptota funkce}
	\begin{define}[Asymptota]
	Přímku $y=kx+q$ nazveme asymptotou funkce $f$ v $+\infty$, resp. $-\infty$, platí-li, že
	$$
	\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) - kx -q = 0,
	$$
	resp.
	$$
	\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) - kx -q = 0.
	$$
	\end{define}
 
	\begin{define}[Vertikální asymptota]
	Přímku $x=a$ nazveme vertikální asymptotou funkce $f$, má-li funkce $f$ v bodě
	$a$ nekonečnou limitu zleva nebo zprava.
	\end{define}
 
	\begin{theorem}[Nalezení asymptoty]\label{thm:asy}
	$y=kx+q$ je asymptotou funkce $f$ v $\pm\infty$ právě tehdy, když
	\begin{subequations}
	\begin{align}
	\label{thm:asy:1} k &= \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \\
	\label{thm:asy:2} q &= \lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x)-kx.
	\end{align}
	\end{subequations}
		\begin{proof}
		Důkaz ekvivalence provedeme ve dvou krocích.\\
		1. \uv{$\Rightarrow$}: 
		Z definice asymptoty platí $\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x) - kx -q = 0$, odkud přímo plyne (\ref{thm:asy:2}). 
		Tvrzení (\ref{thm:asy:1}) dostaneme tak, že zkoumáme limitu 
		$$
			0 = \lim\limits_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)-kx-q}{x} = 
			\lim\limits_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}-k-\frac{q}{x} = 
			\left(\lim\limits_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}\right) -k-0.
		$$
		\\
		2. \uv{$\Leftarrow$}: Z (\ref{thm:asy:2}) rovnou plyne definice asymptoty $\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x) - kx -q = 0$. 
		\end{proof}
	\end{theorem}