Aktuální verze z 18. 9. 2018, 14:36

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\chapter{Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru}
 
Přesný výpočet vlastních čísel operátorů a vlastních funkcí je možné provést analytickými metodami jen u~velmi omezeného počtu fyzikálně 
zajímavých případů. Některé z~nich jsme již uvedli: energie harmonického oscilátoru, energie \cc e v~Coulombově poli, moment hybnosti. Pro 
mnohé další případy se musíme většinou uchýlit k~přibližným metodám. Jednou z~nich je tzv.~poruchová teorie, kterou popíšeme v~následujících 
podkapitolách. Její podstatou je, že operátor, jehož vlastní čísla chceme spočítat, je možno zapsat jako $\hat A + \hat B$, kde spektrum 
operátoru $\hat A$ je možno řešit přesně a operátor $\hat B$ je možno v~nějakém smyslu považovat za malou opravu --- \uv{poruchu} --- 
operátoru $\hat A$.
 
Přesněji, nechť $\hat A$ a $\hat B$ jsou samosdružené operátory. Budeme zkoumat operátor
\be \hat A + \epsilon\hat B, \ll{aeb} \ee
kde $\epsilon$ leží v~okolí nuly a vlastnosti vlastních čísel a funkcí v~závislosti na parametru $\epsilon$. Dá se očekávat (ač to obecně 
nemusí být splněno), že pro $\epsilon\rightarrow 0$ se budou vlastní čísla a funkce blížit k~odpovídajícím veličinám pro operátor $\hat A$ a 
pro $\epsilon\rightarrow 1$ za příznivých okolností též k~vlastním číslům a funkcím operátoru $\hat A +\hat B$. V některých případech, jako 
je např.~Starkův jev, který vysvětlíme níže, lze navíc proměnné $\epsilon$ dát fyzikální smysl.
 
Než přejdeme k~výsledkům poruchových metod rozeberme důsledky uvedených  předpokladů. Nechť $\lambda(\epsilon)$, $\lambda_k^{(0)}$ a 
$\ket{\psi(\epsilon)}$, $\ket{\psi_k^{(0)}}$ jsou vlastní čísla a vlastní vektory operátorů $\hat A+\epsilon\hat B$ a $\hat A$
\be
  (\hat A + \epsilon\hat B ) \ket{\psi(\epsilon)} = \lambda(\epsilon) \ket{\psi(\epsilon)}, \ \ 
  \hat A\ket{\psi_k^{(0)}} = \lambda_k^{(0)} \ket{\psi_k^{(0)}}.
  \ll{apsilam}
\ee
Odtud snadno dostaneme
\be (\hat A -\lambda_k^{(0)})\ket{\triangle\psi_k} = (\triangle\lambda_k-\epsilon\hat B)\ket{\psi(\epsilon)}, \ll{startpm} \ee
kde
\be \ket{\triangle\psi_k} = \ket{\psi(\epsilon)}-\ket{\psi_k^{(0)}},\ \ \triangle\lambda_k = \lambda(\epsilon)-\lambda_k^{(0)}. \ee
Vynásobíme-li skalárně rovnost \rf{startpm} vektorem $\ket{\psi_j^{(0)}}$, využijeme samosdruženost operátoru $\hat A$ a druhou rovnost 
v~\rf{apsilam}, dostaneme
\be
  (\lambda_j^{(0)}-\lambda_k^{(0)})\braket{\psi_j^{(0)}}{\triangle\psi_k} 
    = \triangle\lambda_k\braket{\psi_j^{(0)}}{\psi(\epsilon)}-\epsilon\braketA{\psi_j^{(0)}}{\hat B}{\psi(\epsilon)}.
  \ll{dpsieps}
\ee
Pro $j=k$ odtud plyne
\be \triangle\lambda_k\braket{\psi_k^{(0)}}{\psi(\epsilon)} = \epsilon\braketA{\psi_k^{(0)}}{\hat B}{\psi(\epsilon)}. \ll{dlameps} \ee
Tyto dvě rovnice představují výchozí bod pro aplikaci poruchového počtu. Jako první rozebereme případ, kdy operátor $\hat A$ má čistě bodové 
spektrum a všechna vlastní čísla jsou navzájem různá.
 
 
 
 
\section{Poruchová teorie pro nedegenerované čistě bodové spektrum}
 
Nechť operátor $\hat A$ má čistě bodové spektrum s~navzájem různými vlastními čísly $\lambda_k^{(0)}$ a příslušné vlastní vektory $\ket{\psi_k^{(0)}}$ tvoří ortonormální bazi
$$
\braket{\psi_j^{(0)}}{\psi_k^{(0)}} = \delta_{j,k},\quad \sum_{j}\ketbra{\psi_j^{(0)}}{\psi_j^{(0)}} = \hat I.
$$
Předpokládejme dále, že v~okolí nuly lze vlastní čísla i vlastní vektory operátoru $\hat A + \epsilon\hat B$ napsat jako 
nekonečnou řadu v~proměnné $\epsilon$ s~nenulovým poloměrem konvergence. Neboť pro $\epsilon=0$ operátor $\hat A +\epsilon\hat B$ přejde na 
$\hat A$, lze očekávat, že 
\be \lambda(\epsilon) = \lambda_k^{(0)}+\epsilon\lambda_k^{(1)}+ \epsilon^2\lambda_k^{(2)}+\cdots \ll{lamep} \ee
\be \ket{\psi(\epsilon)} = \ket{\psi_k^{(0)}}+\epsilon\ket{\psi_k^{(1)}} + \epsilon^2\ket{\psi_k^{(2)}}+\cdots \ll{psiep} \ee
Ideální by bylo, kdybychom uměli vypočítat všechny koeficienty řad \rf{lamep} a \rf{psiep} a odtud usoudit na konvergenci či dokonce provést 
součet. V~praxi se nám obvykle podaří vypočítat pouze několik nejnižších členů, jejichž příspěvky však často překvapivě dobře odpovídají 
experimentálně naměřeným hodnotám fyzikálních pozorovatelných. Vzorce pro výpočet koeficientů lze odvodit dosazením \rf{lamep} a \rf{psiep} do 
\rf{dpsieps} a \rf{dlameps}. Porovnáním členů u~první mocniny $\epsilon$ v~\rf{dlameps} zjistíme, že první oprava vlastního čísla je rovna střední hodnotě operátoru $\hat B$ ve stavu $\ket{\psi_k^{(0)}}$
\be 
{\LARGE \fbox{$
\lambda_k^{(1)} = \mean{\hat B}{\psi_k^{(0)}}$}}  \ .
\ll{1oprvlc} 
\ee
Poznamenejme, že pro platnost tohoto vztahu stačí, aby vlastní hodnota $\lambda_k^{(0)}$ měla násobnost jedna, zbytek spektra může být degenerovaný.
 
Pro výpočet oprav vyšších řádů vlastního čísla je vhodné uvažovat vlastní vektor $\ket{\psi(\varepsilon)}$, který není nutně normován k jedné. Poznamenejme, že norma vektoru $\ket{\psi(\varepsilon)}$ nehraje v odvození vztahů  (\ref{dpsieps}) a (\ref{dpsieps}) žádnou roli. Z rozvoje (\ref{psiep}) plyne, že pro dostatečně malá $\varepsilon$ je 
$$
\braket{\psi_k^{(0)}}{\psi(\epsilon)} \neq 0.
$$
Díky tomu můžeme zvolit normu a fázi vektoru $\ket{\psi(\epsilon)}$ tak, že platí
\be 
\braket{\psi_k^{(0)}}{\psi(\epsilon)}=1\ \Leftrightarrow\ \braket{\psi_k^{(0)}}{\triangle\psi_k} = 0.
\label{poruch:norm} 
\ee
Opravu vlastního vektoru $\ket{\triangle\psi_k}$ tedy budeme hledat v ortogonálním doplňku k původnímu vektoru $\ket{\psi_k^{(0)}}$. Vztah (\ref{dlameps}) se pak zjednoduší do tvaru
$$
\triangle\lambda_k = \epsilon\braketA{\psi_k^{(0)}}{\hat B}{\psi(\epsilon)},
$$
z čehož pro opravu řádu $s$ vlastního čísla plyne 
\begin{equation}\label{oprvlcvlf1}
\lambda_k^{(s)}= \braketA{\psi_k^{(0)}}{\hat B}{\psi_k^{(s-1)}}.
\end{equation}
Musíme tedy nalézt opravu vlastního vektoru řádu $s-1$. Pro ty je možné z rovnice (\ref{dpsieps}) odvodit rekurentní vztah
\begin{equation}\label{oprvlcvlf2}
\ket{\psi_k^{(s)}} = \sum_{j\neq k}\frac{\braketA{\psi_j^{(0)}}{\hat B}{\psi_k^{(s-1)}} -
\sum\limits_{r=1}^{s-1}\lambda_k^{(r)}\braket{\psi_j^{(0)}}{\psi_k^{(s-r)}}}{\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)}}\ket{\psi_j^{(0)}}.
\end{equation}
Speciálně, oprava prvního řádu vlastního vektoru je
\be
  \ket{\psi_k^{(1)}} 
    = \sum_{j\neq k}\frac{ \braketA{\psi_j^{(0)}}{\hat B}{\psi_k^{(0)}}}{ \lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)} } \ket{\psi_j^{(0)}},
  \ll{1oprvlfce}
\ee
Pro opravu vlastního čísla do druhého řádu v~$\epsilon$ pak dostaneme vztah
\be 
\lambda_k^{(2)} = \braketA{\psi_k^{(0)}}{\hat B}{\psi_k^{(1)}} =\sum_{j\neq k}\frac{|\braketA{\psi_j^{(0)}}{\hat B}{\psi_k^{(0)}}|^2}
{\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)}}. \ll{2oprvlc}
\ee
Pro nejmenší vlastní číslo operátoru $\hat A$ (tj. $\lambda_k^{(0)}<\lambda_j^{(0)},\ \forall j$) je oprava druhého řádu vždy nekladná. Vztah (\ref{2oprvlc}) (a analogické vzorce pro opravy vlastních čísel vyšších řádů) je možné odvodit i bez dodatečné podmínky (\ref{poruch:norm}), je to však podstatně náročnější.
 
 
\bc
  Poruchovou metodou spočítejte energie do druhého řádu jednorozměrné \qv é \cc e  na kterou působí síla $M \omega^2 x+F$
  (harmonický oscilátor v~homogenním poli).
\ec
 
\bc
  Poruchovou metodou spočítejte energie do druhého řádu jednorozměrné \qv é \cc e v~potenciálu
  \[ V(x)=\half M \omega^2 x^2 + \alpha x^3 + \beta x^4. \]
  (Anharmonický oscilátor.)
\ec
 
\section{Poruchová teorie pro vícenásobná vlastní čísla}
 
V~předchozí kapitole jsme využili faktu, že ke každému vlastnímu číslu existovala právě jedna vlastní \fc e. Nyní ukážeme jak postupovat 
pro \textbf{konečněnásobné} vlastní číslo $\lambda^{(0)}$ operátoru $\hat A$, tedy v~případě, kdy vlastní vektory příslušné k~číslu 
$\lambda^{(0)}$ tvoří lineární podprostor $\Hil_{\lambda^{(0)}}$ dimenze $N>1$. V tomto podprostoru si zvolíme nějakou ortonormální bazi $\{\ket{\phi_{i}}\}_{i=1}^N$, tj. pro její vektory platí
$$
\hat A\ket{\phi_i} = \lambda^{(0)}\ket{\phi_i},\quad \braket{\phi_i}{\phi_j} = \delta_{ij},\quad \sum\limits_{i=1}^N \ketbra{\phi_i}{\phi_i} = \hat I_{\lambda^{(0)}},
$$
kde $\hat I_{\lambda^{(0)}}$ značí jednotkový operátor v podprostoru $\Hil_{\lambda^{(0)}}$.
 
Zaměníme-li operátor $\hat A$ operátorem $\hat A+\epsilon\hat B$, pak se v~obecném případě změní i vlastní čísla a jejich násobnost. Opět budeme předpokládat, že v~okolí nuly lze vlastní čísla i vlastní vektory operátoru $\hat A +\epsilon\hat B$ napsat jako nekonečnou řadu 
v~proměnné $\epsilon$ s~nenulovým poloměrem konvergence, takže vlastní čísla operátoru $\hat A+\epsilon\hat B$, která pro 
$\epsilon\rightarrow 0$ konvergují k~$\lambda^{(0)}$, lze zapsat jako
\be \lambda_{n}(\epsilon) = \lambda^{(0)}+\epsilon\lambda_{n}^{(1)}+\epsilon^2\lambda_{n}^{(2)}+\cdots, \ll{lamepdg} \ee
a
\be 
\ket{\psi_{n}(\varepsilon)} = \ket{\psi_{n}^{(0)}}+\epsilon\ket{\psi_{n}^{(1)}}+ \epsilon^2\ket{\psi_{n}^{(2)}}+\cdots, \ll{psiepdg} 
\ee
kde $ \ n=1,\ldots,N$.
 
Vektory $\ket{\psi_{n}^{(0)}} = \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\ket{\psi_{n}(\epsilon)}$, na rozdíl od případu nedegenerovaného
spektra, nejsou určeny řešením úlohy pro vlastní čísla a vektory operátoru $\hat A$. Víme pouze, že je lze napsat jako
lineární kombinaci námi zvolené baze $\{\ket{\phi_{i}}\}_{i=1}^N$
\be
\ket{\psi_{n}^{(0)}} = \sum_{i=1}^N a_{n,i}\ket{\phi_{i}}. 
\ll{psipresf}
\ee
Musíme tedy napřed určit vektory $\ket{\psi_{n}^{(0)}}$, resp. koeficienty $a_{n,i}$. Dosadíme opět řady \rf{lamepdg}, \rf{psiepdg} do úlohy pro
vlastní čísla 
\be 
(\hat A+\epsilon\hat B)\ket{\psi_{n}(\varepsilon)} = \lambda_{n}(\varepsilon)\ket{\psi_{n}(\varepsilon)}
\ee
a porovnáme členy úměrné první mocnině $\epsilon$. Dostaneme 
\be 
\hat A \ket{\psi_{n}^{(1)}} + \hat B\ket{\psi_{n}^{(0)}} = \lambda_{n}^{(0)}\ket{\psi_{n}^{(1)}} + \lambda_{n}^{(1)}\ket{\psi_{n}^{(0)}}. 
\ll{1raddg}
\ee
Vynásobíme-li tuto rovnost skalárně zprava vektorem $\ket{\phi_{j}}$, použijeme samosdruženost $\hat A$ a toho, že
$\ket{\phi_{j}}$ je vlastní vektor operátoru $\hat A$, dostaneme sadu rovnic
\be 
\braketA{\phi_{j}}{\hat B}{\psi_{n}^{(0)}} =
\lambda_{n}^{(1)}\braket{\phi_{j}}{\psi_{n}^{(0)}},\quad j=1,\ldots, N. 
\ee
Dosadíme-li sem \rf{psipresf} a využijeme ortonormálnost
vektorů $\ket{\phi_{j}}$, pak můžeme tyto rovnice přepsat způsobem 
\be
\sum_{i=1}^N B_{j,i} a_{n,i} = \lambda_{n}^{(1)} a_{n,j},,\quad j=1,\ldots, N 
\ll{matvlc}
\ee
což je úloha pro vlastní čísla matice $B_{\lambda^{(0)}}$ s maticovými elementy
\be
B_{ji} = \braketA{\phi_{j}}{\hat B}{\phi_{i}},\ i,j=1,\ldots,N. 
\ee
$B_{\lambda^{(0)}}$ je tedy matice operátoru poruchy $\hat B$ zúženého na podprostor $\Hil_{\lambda^{(0)}}$ vyjádřená v námi zvolené bazi $\{\ket{\phi_{i}}\}_{i=1}^N$. První opravy vlastních čísel  $\lambda_{n}^{(1)}$ pak
dostaneme z~řešení úlohy \rf{matvlc}, tedy jako kořeny sekulární rovnice
\be 
\det(B_{\lambda^{(0)}} - \lambda I_{\lambda^{(0)}})=0.
\ll{sekub}
\ee
Řešením rovnic (\ref{matvlc}) získáme koeficienty $a_{n,i}$, které určují \uv{správné} vlastní vektory $\ket{\psi_{n}^{(0)}}$ operátoru $\hat A$ vzhledem k poruše $\hat B$. Výpočet dalších oprav je opět dosti komplikovaný a příslušné vzorce zde nebudeme uvádět.
 
\subsection{Starkův jev na vodíku}
Starkovým jevem nazýváme rozštěpení spektrálních čar atomu vlivem homogenního elektrostatického pole. Atom vodíku popíšeme jako dipól s dipólovým momentem $\vec d = e (\vex_e - \vex_p) = e\vex$, který má v~homogenním elektrostatickém poli $\vec {\cal E}$ potenciální energii 
$$
\hat V = -\vec d\cdot\vec {\cal E} = e \vex\cdot \vec {\cal E} . 
$$
Celkový hamiltonián atomu vodíku v elektrickém poli (po odečtení pohybu těžiště) je tedy roven
\be 
\hat H = \hat H_0 + \hat V = -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta- \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{|\vex|} + e\vec {\cal E}\vex,
\ee
kde $M = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$ je redukovaná hmotnost. Pro slabé elektrické pole, tj.~$\frac{e}{4\pi\epsilon_0 a_0^2} \gg |\vec{\cal E}|$, kde $a_0$ je Bohrův poloměr atomu vodíku, je možno $V$ považovat za malou opravu $\hat H_0$ popisující atom vodíku bez přítomnosti vnějšího elektrického pole. 
Jeho vlastní čísla i vlastní funkce známe z~podkapitoly \ref{podkap:coulomb}. Víme, že vlastní čísla (kromě nejnižší energie) jsou degenerovaná, takže musíme použít poruchovou metodu pro degenerované spektrum.
 
Bez újmy na obecnosti (neporušený hamiltonián $\hat H_0$ je isotropní), můžeme předpokládat, že $\vec{\cal E}=(0,0,\epsilon)$. Oprava $\epsilon\hat B$ 
hamiltoniánu $\hat H_0$ je $\hat V = e \epsilon\,\hat X_3=e\epsilon\,r\cos\theta\cdot$ a zajímá nás změna $N$-té energetické hladiny vodíku 
$E_N=-\frac R {N^2}$ v~závislosti na síle elektrického pole $\epsilon$.
 
Vlastní funkce $\psi_{N,l,m}$ příslušné k~$E_N$ jsou vyjádřeny vzorcem \rf{nlmcoul}. Matice $B_{E_N}$, jejíž vlastní hodnoty představují první opravy energie $E_N$, má v~tomto případě elementy
\begin{eqnarray}
\nonumber B_{ji} & \equiv & B_{lm,l'm'} = e (\psi_{N,l,m},r\cos\theta\,\psi_{N,l',m'}) \\
& = & e \int R_{Nl}^*(r)R_{Nl'}(r)r^3\dr \int Y_{lm}^*(\theta,\varphi)\cos\theta\, Y_{l'm'}(\theta,\varphi)\d\Omega.
 \ll{starkmatel}
\end{eqnarray}
Druhý integrál je roven (viz např.~\cite[G.29]{for:ukt})
\be
  \int Y_{lm}^*(\theta,\varphi)\cos\theta\, Y_{l'm'}(\theta,\varphi)\d\Omega 
    = \delta_{mm'} \left( \delta_{l,l'+1}\sqrt{\frac{l^2-m^2}{4l^2-1}}+\delta_{l+1,l'}\sqrt{\frac{l'^2-m^2}{4l'^2-1}} \right), \ll{YzzY}
\ee
takže maticové elementy jsou nenulové pouze pro $m=m'$ a $l'=l \pm 1$. Výpočet prvního integrálu v~\rf{starkmatel} je obecně dosti složitý a proto se omezíme na výpočet prvních oprav základní a první excitované hladiny. Pro nejnižší energii $N=1$ je $l=l'=0$, takže
$$ 
E_1^{(1)} = (\psi_{1,0,0}, er\cos\theta\psi_{1,0,0}) = 0.
$$
Základní hladina se tedy do prvního řádu v~$\epsilon$ nezmění. Pro první excitovanou hladinu je 
$N=2$ a $l,l'=0,1$. Jediné nenulové elementy $B_{ji}$ v~důsledku \rf{YzzY} jsou
\be 
(\psi_{2,1,0},er\cos\theta\,\psi_{2,0,0}) =  (\psi_{2,0,0},er\cos\theta\,\psi_{2,1,0})^*=-3ea_0. 
\ee
Matice $B_{E_1}$ v~tomto případě má tvar
\be B_{E_1} = \left( \begin{array}{cccc}
	 0   & 0 & -3ea_0 & 0 \\
	 0   & 0 &  0   & 0 \\
	-3ea_0 & 0 &  0   & 0 \\
	 0   & 0 &  0   & 0
\end{array} \right), \ee
kde jsme zvolili pořadí bazických vektorů $\psi_{2,0,0},\psi_{2,1,1},\psi_{2,1,0},\psi_{2,1,-1} $. Kořeny sekulární rovnice \rf{sekub} jsou $E_{2,0}^{(0)} = 0$, $E_{2,\pm}^{(0)} = \pm 3ea_0$, přičemž 0 je dvojnásobně degenerovaná. Znamená to, že první excitovaná hladina vodíku $E_1 \approx -3,4$ eV, která je čtyřnásobně degenerovaná, 
se ve slabém vnějším elektrickém poli rozštěpí na tři s hodnotami 
$$
E_{2,0}(\varepsilon) =  -3,4\ {\rm eV}, \quad E_{2,\pm}(\varepsilon) =  -3,4\ {\rm eV} \pm 3 e a_0\epsilon,
$$
kde $e$ je náboj elektronu, $a_0$ je Bohrův poloměr vodíku $a_0=0,53\times10^{-8}$ cm a $\epsilon$ je hodnota intenzity vnějšího elektrického pole. Původní hladina $-3,4$ eV 
zůstane degenerovaná i v~elektrickém poli, avšak pouze dvakrát. Vlastní funkce $\psi_{2,0}^{(0)}$ tvoří dvourozměrný prostor lineárních kombinací $a_+\psi_{2,1,1}+a_-\psi_{2,1,-1}$. Hladiny $-3,4$ eV $\pm 3 ea\epsilon$ jsou již nedegenerované a v nultém řádu jim odpovídají vlastní \fc e 
$\psi_{2,\pm}^{(0)} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{2,1,0}\mp\psi_{2,0,0})$. Všimněme si, že šířka rozštěpení je úměrná 
intenzitě elektrického pole. Podobně se rozštěpí i vyšší excitované hladiny. Toto experimentálně pozorované rozštěpení hladin se nazývá 
(lineární) Starkův jev.
 
\bc
 Spočítejte rozštěpení druhé excitované hladiny atomu vodíku při Starkově jevu. 
\ec
 
\bc 
Existuje lineární Starkův jev pro isotropní oscilátor? 
\ec
 
 
 
\section{Struktura atomu, Hartreeho metoda} %Viz
Podrobnosti k~této části viz \cite[kap.~10.6]{for:ukt}. Atomy se skládají z~kladně nabitého jádra a záporně nabitého obalu. Vzhledem 
k~rozdílu hmotností jádra a obalu je možno různé stavy atomů s~dobrou aproximací popisovat jako stavy soustavy záporně nabitých \cc{} --- elektronů --- pohybujících se v~potenciálovém
poli jádra.
 
 
Zabývejme se tedy atomem s~atomovým číslem $Z$. Hamiltonián systému $Z$ elektronů elektrostaticky interagujících
s jádrem a mezi sebou je \be \hat H=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\sum_{j=1}^Z\Delta_j -
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j=1}^Z \frac{Ze^2}{ |\vex_j|} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j<k}
\frac{e^2}{|\vex_j-\vex_k|}. \ll{hamatob}\ee
 
 
\bc Spočítejte prouchovou metodou energii základního stavu helia, považujeme-li poslední člen v~\rf{hamatob}
za poruchu. \ec Přesné nalezení vlastních (Z-částicových) stavů hamiltoniánu \rf{hamatob} je prakticky
nemožné. Ukazuje se však, že  stavy atomu a jeho energie je možné popsat pomocí antisymetrických kombinací
jednočásticových vlnových \fc í v~poli sféricky symetrického potenciálu. Jeho tvar lze dostat tzv.~Hartreeho
metodou self-konzistentního pole, kterou nyní popíšeme.
 
 
Předpokládejme, že jsou známy polohy všech elektronů obalu atomu kromě j-tého. Hamiltonián j-tého elektronu pak
má tvar \be \hat H_j=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta_j - \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{ |\vex_j|}
+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j\neq k}^Z \frac{e^2}{|\vex_j-\vex_k|}, \ll{hamatj}\ee kde $\vex_k,\ k\neq j$
jsou parametry hamiltoniánu. Tento předpoklad však bohužel není splněn, neboť polohy všech elektronů jsou
kvantově mechanické pozorovatelné a informace o jejich okamžité hodnotě je ukryta ve vlnových \fc ích.
Modifikujeme-li tedy náš předpoklad tak, že známe vlnové \fc e $\phi_k,\ k\neq j$, pak můžeme hamiltonián
\rf{hamatj} nahradit \ha nem \be \hat H_j=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta_j -
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{ |\vex_j|} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j\neq k}^Z
\int_{\R^3}\frac{|\phi_k(\vex_k)|^2e^2}{|\vex_j-\vex_k|}\d^3x_k. \ll{hamatj2}\ee Problém je v~tom, že funkce
$\phi_k$ neznáme stejně jako $\phi_j$. Mohli bychom se nicméně pokusit řešit soustavu rovnic \be \hat
H_j\phi_j=E_j\phi_j ,\ j=1,\ldots,Z \ee pro funkce $\phi_j$. Avšak díky přítomnosti $\phi_k,\ k\neq j$ v
\rf{hamatj2} se opět jedná o prakticky neřešitelný (dokonce nelineární) problém.
 
Hartreeho metoda spočívá v~iteračním postupu, kde na začátku jsou zvoleny jednočásticové funkce $\phi_k^0$,
které splňují některé základní fyzikální požadavky na očekávaný tvar řešení. Ty jsou v~prvním kroku dosazeny do
\ha nu \rf{hamatj2}, přičemž je respektován Pauliho princip, že každý stav může být obsazen maximálně jedním
elektronem, a (obvykle numerickou metodou) vypočítány energie $E^1_j$ a funkce $\phi_j^1$, které splňují \be
\hat H_j^0\phi_j^1=E_j^1\phi_j^1. \ee Funkce $\phi_j^1$se opět dosadí do \ha nu \rf{hamatj2} a tento postup se
opakuje tak dlouho až  $\phi_j^{n+1}\approx\phi_j^n$ a $E_j^{n+1}\approx E_j^n$, takže \be \hat
H_j^n\phi_j^{n}=E_j^n\phi_j^{n}. \ee
 
Mimo to se obvykle  při podobných výpočtech používá přiblížení sféricky symetrického pole, kdy se poslední člen
\rf{hamatj2} vystředuje přes prostorové úhly, tzn.~nahradí se členem \be
V_{int}(r_j)=\frac{1}{(4\pi)^2\epsilon_0}\int_{\Omega}\sin\theta_j \d\theta_j \d\varphi_j\sum_{j\neq k}^Z
\int_{\R^3}\frac{|\phi_k(\vex_k)|^2e^2}{|\vex_j-\vex_k|}\d^3x_k. \ll{hamatj3}\ee Díky sférické symetrii takto
zkonstruovaného \ha nu pak lze hledat vlastní \fc e energie ve tvaru \be
\phi_j(\vex)=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) \ee a vlastní čísla nezávisí na $m$. \be E_j=E_{nl} \ll{ejnl}\ee
Tímto způsobem lze získat dosti dobrou aproximaci vlnových \fc í částic pohybujících se v~odpudivém
elektrostatickém poli ostatních.
 
 
Vlnovou \fc i atomového obalu Z~proměnných $\vex_j$ pak dostaneme např.~jako Slaterův determinant \rf{slaterd},
kde $a_j=(n_j,l_j,m_j,\pm\half)$, neboť elektrony mají spin 1/2 a jsou tedy fermiony.
 
Celková vnitřní energie atomu ve výše uvedené aproximaci je součtem energií jednotlivých elektronů obalu \be
E_{atom}=\sum_{j=1}^Z E_{n_j,l_j}.\ee
 
Vzhledem k~tomu, že energie jednočásticových stavů \rf{ejnl} nezávisí na projekci spinu ani magnetickém
kvantovém čísle $m$ má  každá hladina $E_{n,l}$ degeneraci $2(2l+1)$. Jednočásticové stavy se stejným $n_j$ a
$l_j$ tvoří tzv.~\emph{slupky atomu}. Z~Pauliho principu plyne, že \emph{žádná energetická slupka nemůže být
obsazena víc než $2(2l+1)$ elektrony}.
 
 
Pro atomy v~základním stavu jsou obsazeny všechny nejnižší jednoelektronové hladiny. Je zřejmé, že energie
spočítané Hartreeho metodou nelze vyjádřit vzorcem, nicméně se ukazuje, že pořadí nejnižších hladin téměř
nezávisí na atomovém čísle. Platí \[
E_{10}\LL E_{20}<E_{21}\LL E_{30}<E_{31}<<(E_{40},E_{32})<E_{41}\LL (E_{50},E_{42})<E_{51}\LL \cdots \] Energie uvedené
v závorkách jsou velmi blízké a jejich pořadí je dáno atomovým číslem $Z$. Naopak, skupiny energií oddělené $\LL$ jsou relativně velmi vzdálené. Chemické vlastnosti prvků určují elektrony s~největší energií (klasicky:
nejvzdálenější orbitou) a atomy, které v~základním stavu mají \uv{obsazené} energie stejných skupin tvoří periody
Mendělejevovy tabulky prvků. Je snadné se přesvědčit, že počty stavů v~jednotlivých skupinách 2, 8, 8, 18, 18,...
odpovídají délkám period.
 
\bc
  Atom uhlíku má čtyři valenční elektrony (přesvědčte se). Můžeme na něj tedy nahlížet jako na systém čtyř elektronů ve sféricky symetrickém 
  poli. Jaká je pak degenerace jeho základního stavu?
\ec
 
\section{Jemná struktura vodíku. Anomální Zeemanův jev}
\label{sec:fsh}
 
V kapitole \ref{podkap:coulomb} jsme vyšetřovali spektrum hamiltoniánu elektronu s hmotností $M$ v atomu vodíku v přiblížení nekonečně težkého jádra
\be
\label{H:vod}
\hat H_0 = \frac{\hat P^2}{2M} + V(r),\quad V(r) = -\frac{Q}{r},\quad Q = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}.
\ee
Nalezli jsme vlastní čísla 
$$
E_N = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ n,l \in \Z_+,\ N\in\N.
$$
Do celkového popisu stavu je třeba započítat i spin elektronu. Odpovídající vlastní vektory určené kvantovými čísly $N\in\N$, $l\in\Z_+$, $m_l\in\{l,l-1,\ldots,-l\}$ a $m_s=\pm\frac{1}{2}$, splňují rovnice
\begin{eqnarray}
\label{evec:fs1}
\nonumber \hat H_0 \ket{N,l,m_l,m_s} & = & E_N\ket{N,l,m_l,m_s}, \\
\nonumber \hat L^2 \ket{N,l,m_l,m_s} & = & \hbar^2 l(l+1) \ket{N,l,m_l,m_s},\\
\nonumber \hat L_3\ket{N,l,m_l,m_s} & = & m_l\hbar\ket{N,l,m_l,m_s}, \\
 \hat S_3\ket{N,l,m_l,m_s} & = & m_s\hbar\ket{N,l,m_l,m_s}.
\end{eqnarray}
V tomto přiblížení má hladina $E_N$ degeneraci $2N^2$. Při bližším zkoumání se ale ukazuje, že spektrum vodíku je složitější. Excitované hladiny jsou rozštěpené na multiplety hladin vzdálených řádově o $10^{-4}$\ eV. Tuto tzv. \emph{jemnou strukturu} spektrálních linií atomu vodíku určíme poruchovým výpočtem. Hamiltonián jemné struktury, který bereme jako poruchu hamiltoniánu $\hat H_0$, je dán součtem dvou členů
{
$$
\hat H_{FS} = \hat H_{SO} + \hat H_{R},\quad \hat H_{SO} = \frac{\mu_0 e}{4\pi\varepsilon_0 M \hbar c^2} \frac{1}{r^3} \hat{\vec{S}}\cdot \hat{\vec{L}}, \quad \hat H_R = -\frac{\hat P^4}{8 M^3 c^2}.
$$
Operátor $\hat H_{SO}$ popisuje tzv. spin-orbitální vazbu. Operátor $\hat H_R$ představuje relativistickou korekci ke kinetické energii elektronu. Jejich tvar zdůvodníme v následujících  kapitolách. Příspěvky k opravě vlastních čísel $E_N$ od $\hat H_{SO}$ a $\hat H_{R}$ do prvního řádu je možné určit zvlášť a s použitím vztahů pro nedegenerované vlastní hodnoty (\ref{1oprvlc}), přestože jsou původní hodnoty $E_N$ degenerované. V podprostoru stavů s hlavním kvantovým číslem $N$ je totiž možné zvolit bázi (tvořenou vlastními vektory celkového momentu hybnosti), ve které jsou zúžení operátorů $\hat H_0$, $\hat H_{SO}$ i $\hat H_R$ diagonální. Jak uvidíme dále, opravy pocházející od spin-orbitální vazby a relativistické korekce jsou srovnatelně velké. Pro určení jemné struktury je tak nutné zahrnout oba příspěvky, i když jsou fyzikálně rozdílné.}
 
 
\subsection{Spin-orbitální vazba}
 
Spin-orbitální vazba popisuje interakci spinu elektronu a magnetického pole protonu. Začněme s klasickým modelem, ve kterém se elektron pohybuje rychlostí $\vec{v}$ okolo protonu. V klidové soustavě elektronu se proton pohybuje rychlostí $-\vec{v}$ a generuje magnetické pole
$$
{\vec B}' = -\frac{1}{c^2}\vec{v}\times\vec{E} = \frac{e}{Mc^2} \vec{E}\times\vec{p},
$$
kde $\vec{E}$ je coulombické pole protonu
$$
\vec{E} = \frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{r}}{r^3}.
$$
Magnetické pole v klidové soustavě elektronu můžeme přepsat do tvaru
$$
\vec{B}' = \frac{e}{4\pi\varepsilon_0 Mc^2}\frac{1}{r^3} \vec{L}
$$
Interakci mezi vlastním magnetickým momentem elektronu a magnetickým polem protonu by pak měla odpovídat energie
\be
\label{hso:clas}
H_{SO} = -\vec{\mu}\cdot\vec{B}'.
\ee
Skutečná energie je poloviční. Důvodem je, že veličiny ve vztahu (\ref{hso:clas}) jsou vyjádřeny v klidové soustavě elektronu, která není inerciální. Při transformaci do laboratorní soustavy (tj. klidové soustavy protonu, který považujeme za nekonečně těžký) pak dochází k dodatečné rotaci vlastního magnetického momentu elektronu (tzv. Thomasova precese).
 
Přejděme ke kvantově-mechanickému popisu. Vlastnímu magnetickému momentu {elektronu} odpovídá operátor (\ref{mu:el}). Hamiltonián popisující spin-orbitální vazbu tedy bude roven
$$
\hat H_{SO} = \frac{\mu_0 e}{4\pi\varepsilon_0 M \hbar c^2} \frac{1}{r^3} \hat{\vec{S}}\cdot \hat{\vec{L}}, \quad \mu_0 = \frac{|e|\hbar}{2M}.
$$
Zavedeme-li konstantu jemné struktury 
$$
\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c} \approx \frac{1}{137},
$$
pak $\hat H_{SO}$ zapíšeme ve tvaru
$$
\hat H_{SO} = \frac{\alpha\hbar}{2Mc} \frac{1}{r^3} \hat{\vec{S}}\cdot \hat{\vec{L}} .
$$
Poznamenejme, že pomocí konstanty jemné struktury lze Rydbergovu energii vyjádřit způsobem
$$
R = \frac{1}{2}M c^2 \alpha^2.
$$
 
Uvažujme nyní $\hat H_{SO}$ jako poruchu $\hat H_0$. Baze tvořená vektory (\ref{evec:fs1}) není pro hledání oprav vlastních čísel $E_N$ vhodná, protože operátor $\hat{\vec{S}}\cdot \hat{\vec{L}}$ nekomutuje s $\hat L_3$ ani $\hat S_3$. Matice zúžení operátoru $\hat H_{SO}$ na podprostor $E_N$ v bazi (\ref{evec:fs1}) není diagonální, takže bychom  museli použít poruchovou teorii pro degenerované spektrum. Operátor $\hat{\vec{S}}\cdot \hat{\vec{L}}$ ale komutuje s $\hat J^2$ a $\hat J_3$, kde 
$$
\hat{\vec{J}} = \hat{\vec{L}} + \hat{\vec{S}}
$$
je celkový moment hybnosti elektronu. Operátory $\hat J^2$ a $\hat J_3$ jsou navíc kompatibilní s $\hat H_0$ a $\hat L^2$ a jejich společné vlastní vektory splňují rovnice
\begin{eqnarray}
\label{evec:fs2}
\nonumber \hat H_0 \ket{N,l,j,m} & = & E_N\ket{N,l,j,m}, \\
\nonumber \hat L^2 \ket{N,l,j,m} & = & \hbar^2 l(l+1) \ket{N,l,j,m},\\
\nonumber \hat J^2\ket{N,l,j,m} & = & \hbar^2 j(j+1)\ket{N,l,j,m}, \\
\hat J_3\ket{N,l,j,m} & = & m\hbar\ket{N,l,j,m} ,
\end{eqnarray}
kde $j=l\pm\frac{1}{2}$ pro $l\geq 1$ (resp. $j=\frac{1}{2}$ pro $l=0$) a kvantové číslo $m$ probíhá hodnoty $j,j-1,\ldots, -j$. S použitím vztahu (\ref{ll:coupling}) snadno nalezneme
\be
\label{sl:fs}
\hat{\vec{S}}\cdot \hat{\vec{L}}\ket{N,l,j,m} = \frac{1}{2}\left(\hat J^2 - \hat L^2 - \hat S^2\right)\ket{N,l,j,m} = \frac{1}{2}\hbar^2\left(j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}\right)\ket{N,l,j,m}.
\ee
Díky sférické symetrii $\frac{1}{r^3}$ pak platí 
$$
\braketA{N,l,j,m}{\hat H_{SO}}{N,l',j',m'} \sim \delta_{l,l'}\delta_{j,j'}\delta_{m,m'},
$$
takže pro dané $N$ je zúžení operátoru $\hat H_{SO}$ v bazi $\{\ket{N,l,j,m}\}$ reprezentováno diagonální maticí. První opravu vlastních čísel $\hat H_0$ v důsledku spin-orbitální vazby tak můžeme určit pomocí vztahu (\ref{1oprvlc})
$$
E_{SO}^{(1)} = \braketA{N,l,j,m}{\hat H_{SO}}{N,l,j,m}.
$$
S použitím (\ref{sl:fs}) dostaneme
$$
E_{SO}^{(1)} = \frac{\alpha\hbar^3}{4 M^2 c} \left(j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}\right) \left\langle\frac{1}{r^3}\right\rangle.
$$
Výpočet střední hodnoty $\frac{1}{r^3}$ ve stavu $\ket{N,l,j,m}$ je poměrně pracný, ale pro $l\geq 1$ je možné ukázat, že platí
$$
\left\langle\frac{1}{r^3}\right\rangle = \frac{2}{N^3 l(l+1)(2l+1)a_0^3},
$$
kde $a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{e^2 M}$ Bohrův poloměr vodíku. Pro stavy s $l\geq 1$ je první oprava vlastního čísla v důsledku spin-orbitální vazby rovna
\be
\label{so:1}
E_{SO}^{(1)} = - E_N \frac{\alpha^2}{N} \frac{j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}}{l(l+1)(2l+1)}.
\ee
{Jedná se tedy o korekci řádu $\alpha^2\sim 10^{-4}$.} Energie $s$-stavů se spin-orbitální vazbou do prvního řádu poruchové teorie nemění, protože
$$
\hat{\vec{S}}\cdot \hat{\vec{L}}\ket{N,0,\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}} = 0.
$$
 
\subsection{Relativistická korekce}
 
Relativistická kinetická energie elektronu je rovna
$$
T = \sqrt{p^2 c^2 + M^2 c^4} - M c^2 \simeq \frac{p^2}{2M} - \frac{p^4}{8 M^3 c^2} + \ldots.
$$
Druhý člen Taylorova rozvoje představuje relativistickou korekci. Operátor $\hat H_R$ je tedy roven
$$
\hat H_R = -\frac{\hat P^4}{8 M^3 c^2}.
$$ 
Díky sférické symetrii je matice zúžení $\hat H_R$ v bazi (\ref{evec:fs2}) diagonální (je diagonální i v bazi (\ref{evec:fs1}), protože $\hat H_R$ nezávisí na spinu, ale chceme-li vyjádřit opravu způsobenou $\hat H_{FS}=\hat H_{SO}+\hat H_R$ je vhodnější použít bazi (\ref{evec:fs2})). Opět můžeme využít poruchovou teorii pro nedegenerované spektrum a pro první opravy vlastních čísel v důsledku relativistické korekce dostaneme
$$
E_R^{(1)} = -\frac{1}{8 M^3 c^2} \langle \hat P^4\rangle.
$$
Pro výpočet střední hodnoty $\hat P^4$ využijeme vztah
$$
\hat P^2\ket{N,l,j,m} = 2M (\hat H_0 - V)\ket{N,l,j,m} = 2M(E_N - V)\ket{N,l,j,m},
$$
ze kterého plyne
$$ 
E_R^{(1)} = -\frac{1}{2Mc^2} \left\langle (E_N - V)^2\right\rangle = -\frac{1}{2Mc^2} \left(E_N^2 + 2 E_N Q\left\langle
\frac{1}{r}\right\rangle + Q^2 \left\langle\frac{1}{r^2}\right\rangle\right).
$$
Zbývající střední hodnoty je opět možné spočítat analyticky
$$
\left\langle
\frac{1}{r}\right\rangle = \frac{1}{N^2 a_0},\quad  \left\langle\frac{1}{r^2}\right\rangle = \frac{2}{N^3 a_0^2(2l+1)}.
$$
Celkem pro relativistickou korekci vlastních čísel $\hat H_0$ dostaneme vztah
\begin{equation}
\label{rel:1}
E_R^{(1)} = E_N \frac{\alpha^2}{N^2}\left(\frac{2N}{2l+1} - \frac{3}{4}\right).
\end{equation}
{Stejně jako v případě spin-orbitální vazby se jedná o korekci řádu $\alpha^2$.}
 
\subsection{Jemná struktura vodíku}
 
Korekce jemné struktury pro stavy s $l\geq 1$ je dána součtem příspěvků spin-orbitální vazby (\ref{so:1}) a relativistické opravy (\ref{rel:1})
\begin{equation}
\label{fs:1}
E_{FS}^{(1)} = E_{SO}^{(1)} + E_R^{(1)} = E_N \frac{\alpha^2}{N^2}\left(\frac{N}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4}\right).
\end{equation}
Tento výsledek ve skutečnosti platí i pro $l=0$. Pro $s$-stavy je sice příspěvek spin-orbitální vazby nulový, ale jemnou strukturu ovlivňuje další, tzv. Darwinův člen. Ten má původ v nerelativistické aproximaci Diracovy rovnice pro elektron v coulombickém poli. Jeho odvození zde provádět nebudeme. Operátor poruchy má v tomto případě tvar
$$
\hat H_D = \frac{\pi e^2 \hbar^2}{2M^2 c^2}\delta(\vec{r}).
$$
Díky $\delta$-funkci je střední hodnota $\hat H_D$ ve stavu $\ket{N,l,m,j}$ rovna
$$
\langle \hat H_D\rangle = \frac{\pi e^2 \hbar^2}{2M^2 c^2} |\psi_{N,l,j,m}(0)|^2.
$$
Protože $\psi_{N,l,j,m}(0) = 0$ pro $l\geq 1$ (viz \ref{nlmcoul}), ovlivňuje Darwinův člen pouze $s$-stavy. Pro $l=0$ pak nalezneme hodnotu opravy
$$
E_D^{(1)} = - E_N \frac{\alpha^2}{N}.
$$
Pro $l=0$ je tedy korekce jemné struktury rovna
$$
E_{FS}^{(1)} = E_R^{(1)} + E_D^{(1)} = E_N \frac{\alpha^2}{N^2}\left(N-\frac{3}{4}\right),
$$
což souhlasí se vztahem (\ref{fs:1}) pro $j=\frac{1}{2}$.
 
Při započítání jemné struktury energetické hladiny elektronu v atomu vodíku závisí kromě hlavního kvantového čísla $N$ i na kvantovém čísle $j$
\begin{equation}
\label{fs:2}
E_{N,j} = E_N \left[1 + \frac{\alpha^2}{N^2}\left(\frac{N}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4}\right)\right].
\end{equation}
%Příspěvek jemné struktury je řádu $\alpha^2\sim 10^{-4}$ a je tedy možné ho považovat za malou opravu. 
{Pro hladiny jemné struktury, respektive stavy $\ket{N,l,j,m}$, které jsou \uv{správnými} vlastními vektory $\hat H_0$ vzhledem k poruše $\hat H_{FS}$, se používá spektroskopické značení tvaru $NL_j$, kde $L=S,P,D,F,\ldots,$ pro $l=0,1,2,3,\ldots$. Pro ilustraci je na obrázku \ref{fig:fs} znázorněna jemná struktura hladin s hlavním kvantovým číslem $N=1,2,3$.}
 
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fine_structure.pdf}
\caption{{Spektrální linie vodíku a jejich rozštěpení po započítání jemné struktury.}}
\label{fig:fs}
\end{center}
\end{figure}
 
 
\subsection{Anomální Zeemanův jev}
 
V části \ref{sec:pnz} jsme zkoumali normální Zeemanův jev, tedy vliv silného magnetického pole na energetické hladiny elektronu v coulombickém poli. Pro atom vodíku v magnetickém poli $\vec B = (0,0,B)$ má celkový hamiltonián elektronu tvar
$$
\hat H = \hat H_0 + \hat H_Z,
$$
kde $\hat H_0$ je dán vztahem (\ref{H:vod}) a Zeemanův člen je roven
\be
\label{H:zeeman}
\hat H_Z = \frac{\mu_0}{\hbar} B  (\hat L_3 + 2\hat S_3).
\ee
Ukázali jsme, že vlivem silného magnetického pole dojde k rozštěpení hladiny $E_{nl}$ hamiltoniánu $\hat H_0$ na multiplet $2l+3$ hladin. Vzdálenost hladin v multipletu je $\Delta E = \mu_0 B$. Tento výpočet ale nezahrnoval příspěvek jemné struktury, která bude ve slabém magnetickém poli dominantní. V takovém případě je celkový hamiltonián
$$
\hat H = \hat H_0 + \hat H_{FS} + \hat H_Z,
$$
a $\hat H_Z$ je třeba brát jako dodatečnou poruchu. 
 
Pro poruchový výpočet opět použijeme vektory (\ref{evec:fs2}). Oprava prvního řádu je
$$
E_Z^{(1)} = \braketA{N,l,j,m}{\hat H_Z}{N,l,j,m}.
$$
V dalším je vhodné vyjádřit Zeemanův člen ve tvaru $\hat H_Z = \frac{\mu_0}{\hbar}B(\hat J_3 + \hat S_3)$. Oprava je pak rovna
$$
E_Z^{(1)} = \frac{\mu_0}{\hbar} B \left(m\hbar + \langle\hat S_3\rangle\right).
$$
Zbývající střední hodnotu lze spočítat {s využitím vztahů (\ref{joint:sl:0}) a (\ref{joint:sl}). V případě $l=0$ dostaneme
$$
\nonumber \braketA{N,0,\frac{1}{2},m}{\hat S_3}{N,0,\frac{1}{2},m} = m \hbar, \quad m=\pm \frac{1}{2}.
$$
Pro $l\geq 1$ nalezneme
$$ 
\braketA{N,l,l\pm\frac{1}{2},m}{\hat S_3}{N,l,l\pm\frac{1}{2},m} =  -\frac{\hbar}{2}\frac{l\mp m +\frac{1}{2}}{2l+1} + \frac{\hbar}{2}\frac{l\pm m + \frac{1}{2}}{2l+1} = \pm \frac{m\hbar}{2l+1}.
$$}
Příspěvek Zeemanova členu je pak možné zapsat ve tvaru
$$
E_Z^{(1)} = \mu_0 B m g_j,
$$
kde $g_j$ je Landého faktor, {jehož hodnota je pro $l\geq 1$ rovna
$$
g_{j=l\pm\frac{1}{2}} = 1 \pm \frac{1}{2l+1},
$$
a pro $l=0$ je $g_{\frac{1}{2}} = 2$. Landého faktor lze pro všechny hodnoty $j$ a $l$ zapsat ve tvaru}
$$
g_j = 1 + \frac{j(j+1)-l(l+1)+\frac{3}{4}}{2j(j+1)}.
$$
Celková energie {elektronu v atomu vodíku ve slabém magnetickém poli} je pak rovna
$$
E_{N,j,m} = E_N + E_{FS}^{(1)} + E_{Z}^{(1)} = E_N \left[1 + \frac{\alpha^2}{N^2}\left(\frac{N}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4}\right)\right] + \mu_0 B m g_j .
$$
Ve slabém magnetickém poli se hladina jemné struktury $E_{N,j}$ rozštěpí na multiplet $2j+1$ hladin, tj. sudý počet, protože $j$ je polocelé. Vzdálenost hladin navíc závisí na kvantovém čísle $j$. Pro $j=l+\frac{1}{2}$ je rozdíl hladin $\Delta E_+ = \mu_0 B\frac{2l+2}{2l+1}$, ve druhém případě ($j=l-\frac{1}{2}$) je vzdálenost hladin rovna $\Delta E_- = \mu_0 B\frac{2l}{2l+1}$. Toto nerovnoměrné rozštěpení spektrálních linií ve slabém magnetickém poli se nazývá \emph{anomální Zeemanův jev}. {Rozštěpení hladin jemné struktury $1S_{1/2}, 2S_{1/2}, 2P_{1/2}$ a $2P_{3/2}$ je znázorněno na obrázku \ref{fig:zeeman:fs}.}
 
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{zeeman_FS.pdf}
\caption{{Rozštěpení jemné struktury spektrálních linií vodíku vlivem slabého magnetického pole.}}
\label{fig:zeeman:fs}
\end{center}
\end{figure}