Verze z 8. 6. 2018, 09:44

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN2}
 
\section{Algebraická teorie momentu hybnosti} 
 
V minulém semestru jsme zavedli operátor momentu hybnosti způsobem
	\[
		\hat{L}_j = \varepsilon_{jkl} \hat{X}_k \hat{P}_l.
  \]
a viděli, že řada jeho vlastností plyne čistě ze znalosti komutačních relací
	\begin{equation}
		\komut{\hat{L}_j}{\hat{L}_k} = i \hbar \varepsilon_{jkl} \hat{L}_l, \quad 
		\komut{\hat{L}_j}{\hat{L}^2} = 0.
	\label{MomH:RelaceMomH}
	\end{equation}
Tyto relace lze odvodit z komutátorů
  \[
    \komut{\hat{X}_k}{\hat{X}_l} = 0, \quad
    \komut{\hat{P}_k}{\hat{P}_l} = 0, \quad
    \komut{\hat{X}_k}{\hat{P}_l} = i\hbar \delta_{kl}
  \]
a identit platných pro komutátory zahrnující součiny operátorů%
\footnote{Všimněte si, že tvarem nápadně připomínají Leibnizovo pravidlo pro 
derivaci součinu, podle čehož si jdou snadno zapamatovat. Operace, které 
splňují $D(xy) = xD(y) + D(x)y$ (jako zde $D(\bullet) = \komut{A}{\bullet}$, 
resp. $D(\bullet) = \komut{\bullet}{C}$), se také 
zobecněně nazývají derivace.}
	\begin{align} \label{MomH:KomutacniTrik}
		\komut{A}{BC} &= B \komut{A}{C} + \komut{A}{B} C,  \nonumber \\
		\komut{AB}{C} &= A \komut{B}{C} + \komut{A}{C} B.  
	\end{align}	 
%-----------------------------------------------------------------------
 
Obvykle hledáme společné vlastní vektory komutujících operátorů $\hat{L}^2$ 
a $\hat{L}_3$. V jazyce braketového formalizmu je můžeme označit kety 
$\ket{\lambda , \mu}$, kde vyžadujeme
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{L}^2 \ket{\lambda , \mu} &= \lambda \ket{\lambda , \mu}, \\
\hat{L}_3 \ket{\lambda , \mu} &= \mu \ket{\lambda , \mu}, \\
\braket{\lambda , \mu}{\lambda , \mu} &= 1 \quad \text{(normalizace)}.
\end{aligned}
\label{MomH:VlastniHod}
\end{equation}
 
Předpokládáme existenci vlastního vektoru $\ket{\lambda , \mu}$ pro jistou dvojici $\lambda , \mu$. Úkolem algebraické teorie momentu hybnosti je zjistit maximum o $\lambda , \mu$ a dalších vlastních vektorech výhradně na základě komutačních relací operátoru momentu hybnosti \eqref{MomH:RelaceMomH}. Získaná pravidla pak platí i pro libovolnou další trojici operátorů, která splňuje \eqref{MomH:RelaceMomH}, i když není tvaru vektorového součinu polohy a hybnosti (tedy například operátory spinu).
 
V dalších výpočtech využijeme s výhodou posunovacích operátorů
	\[
		\hat{L}_\pm = \hat{L}_1 \pm i \hat{L}_2 ,
	\]
	\begin{equation}
		\komut{\hat{L}^2}{\hat{L}_\pm} = 0 , \hspace{10 pt}  
		\komut{\hat{L}_3}{\hat{L}_\pm} = \pm \hbar \hat{L}_\pm , \hspace{10 pt}
		\komut{\hat{L}_+}{\hat{L}_-} = 2 \hbar \hat{L}_3	
	\label{MomH:PosunOp}
	\end{equation}
 
Je výhodné vyjádřit operátor $\hat{L}^2$ pomocí posunovacích operátorů $\hat{L}_\pm$ a operátoru $\hat{L}_3$
	\begin{align}
			\hat{L}^2 &= \hat{L}_3^2 + \frac{1}{4} \left( \hat{L}_+ + \hat{L}_- \right)^2 + 
			\frac{-1}{4} \left( \hat{L}_+ - \hat{L}_- \right)^2 = \hat{L}_3^2 + \frac{1}{2} \left( \hat{L}_+ \hat{L}_- + 
			\hat{L}_- \hat{L}_+ \right) = \nonumber \\
			&= \hat{L}_3^2 + \hat{L}_+ \hat{L}_- - \hbar \hat{L}_3
      = \hat{L}_3^2 + \hat{L}_- \hat{L}_+ + \hbar \hat{L}_3.
	\label{MomH:PosunOpL2}
	\end{align}
 
\noindent Nyní se podíváme, jak se vůči operátorům $\hat{L}^2$ a $\hat{L}_3$ chová vektor $\hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}$. Užijeme komutačních relací posunovacích operátorů \eqref{MomH:PosunOp} a rovností \eqref{MomH:VlastniHod},
	\begin{align}
		\hat{L}^2 \left( \hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu} \right) &=  \hat{L}_\pm \left( \hat{L}^2 \ket{\lambda , \mu} \right) = \lambda 	
		\hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu} \nonumber \\
		\hat{L}_3 \left( \hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu} \right) &= \left( \hat{L}_\pm \hat{L}_3 + \komut{\hat{L}_3}{\hat{L}_\pm}  
		\right) \ket{\lambda , \mu} = \left( \hat{L}_\pm \hat{L}_3 \pm \hbar \hat{L}_\pm \right) \ket{\lambda , \mu} = \\ 
																	 &= \left( \mu \pm \hbar \right) \hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}. \nonumber
	\label{MomH:PosunOpVl}
	\end{align}	
 
Využijeme vyjádření $\hat{L}^2$ pomocí posunovacích operátorů \eqref{MomH:PosunOpL2} k určení normy vektoru 
$\hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}$
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \norm{\hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}}^2 &= \brapigket{\lambda , \mu}{\hat{L}_\pm^\dagger \hat{L}_\pm}{\lambda , \mu} =
    \brapigket{\lambda , \mu}{\hat{L}_\mp \hat{L}_\pm}{\lambda , \mu} = \\
    &= \brapigket{\lambda , \mu}{(\hat{L}^2 - \hat{L}_3^2 \mp \hbar \hat{L}_3)}{\lambda , \mu} = \\
    &= \left( \lambda - \mu^2 \mp \hbar \mu \right) \underbrace{ \braket{\lambda , \mu}{\lambda , \mu} }_{= 1} \geq 0,
  \end{aligned} 
  \label{MomH:Norma2}
\end{equation}
což nám dává podmínku			
	\begin{equation}
		\lambda \geq \mu \left( \mu \pm \hbar \right).
	\label{MomH:Relace1}
	\end{equation}	
 
 
Rovněž jsme zjistili, že $\hat{L}_\pm \ket{\lambda , \mu}$ je vlastní vektor pro $\hat{L}^2$ a $\hat{L}_3$, pokud $\lambda > \mu \left( \mu \pm \hbar \right)$. Působením $\hat{L}_+$ na $\ket{\lambda , \mu}$ takto (po normalizaci) získáváme postupně vektory $\ket{\lambda , \mu + \hbar}, \ket{\lambda , \mu + 2 \hbar}, \ldots$ \allowbreak Nerovnost \eqref{MomH:Relace1} přechází při $k$-násobném aplikování $\hat{L}_+$ na podmínku $\lambda \geq \left( \mu + k\hbar \right) \* \left( \mu + (k+1) \hbar \right)$, kde $k \in \priroz_0, \lambda, \mu = \const$. Jelikož pravá strana nerovnosti roste s rostoucím $k$ do $+ \infty$, musí ale existovat $K_0 \in \priroz$ takové, že $\left( \mu + K_0 \hbar \right) \left( \mu + (K_0 + 1) \hbar \right)$ překročí hodnotu $\lambda$. Pokud bychom byli schopni najít odpovídající vektor $\ket{\lambda , \mu + K_0 \hbar }$, toto by podle \eqref{MomH:Norma2} znamenalo, že kvadrát normy $L_+ \ket{\lambda, \mu+K_0\hbar}$ je záporný, čemuž musíme předejít. Tento problém se vyřeší, pokud $\exists K \in \priroz_0: \ket{\lambda , \mu + K \hbar } \neq \nulvek \wedge \hat{L}_+ \ket{\lambda , \mu + K \hbar } = \nulvek$: v tom případě výsledek aplikace $L_+$ normalizovat nelze a naše generovaná posloupnost vlastních vektorů skončí.
 
Předefinujme $\mu \mapsto \tilde{\mu} = \mu + K \hbar$. Vlastní vektor $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}$ splňuje
	\[
		\hat{L}_3 \ket{\lambda , \tilde{\mu}} = \tilde{\mu} \ket{\lambda , \tilde{\mu}}, \quad
		\hat{L}_+ \ket{\lambda , \tilde{\mu}} = \nulvek, \quad
		\hat{L}^2 \ket{\lambda , \tilde{\mu}} = \tilde{\mu} \left( \tilde{\mu} + \hbar \right) \ket{\lambda , \tilde{\mu}},  \\  
	\]
 
\noindent z čehož na základě definičních relací \eqref{MomH:VlastniHod} (je vidět z~\eqref{MomH:Norma2}) plyne 
	\begin{equation}
		\lambda = \tilde{\mu} \left( \tilde{\mu} + \hbar \right). 
	\label{MomH:AlgTHL+}	
	\end{equation}
 
Postup zopakujeme pro operátor $\hat{L}_-$ a vektor $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}$. Působením $\hat{L}_-$ na $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}$ získáváme posloupnost vektorů $\ket{\lambda , \tilde{\mu} - \hbar}, \ket{\lambda , \tilde{\mu} - 2\hbar}, \ldots$ Po $k$-násobném aplikování $\hat{L}_-$ na $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}$ získáváme vektor $\ket{\lambda , \tilde{\mu} - k\hbar}$. Nerovnost \eqref{MomH:Relace1} pro vektor $\ket{\lambda , \tilde{\mu} - k\hbar}$ je tvaru $\lambda \geq \left( \tilde{\mu} - k\hbar \right) \left( \tilde{\mu} - (k + 1)\hbar \right)$, kde $k \in \priroz_0, \lambda, \tilde{\mu} = \const$. Znovu si můžeme povšimnout, že pravá strana této nerovnosti jde v limitě s $k$ do $+ \infty$. Musí proto existovat $\tilde{K}_0 \in \priroz: \lambda < ( \tilde{\mu} - \tilde{K}_0 \hbar ) ( \tilde{\mu} - (\tilde{K}_0 + 1) \hbar )$. 
Pro $\tilde{K}_0$ by však kvadrát normy vektoru $L_- \ket{\lambda , \tilde{\mu} - \tilde{K}_0 \hbar}$ opět byl záporný. 
Aby tento případ nenastal, budeme požadovat, aby $\exists \tilde{K} \in \priroz_0:$
$\ket{\lambda , \tilde{\mu} - \tilde{K} \hbar } \neq \nulvek \wedge \hat{L}_- \ket{\lambda , \tilde{\mu} - \tilde{K} \hbar} = \nulvek $. Poslední rovnost je možno s užitím \eqref{MomH:Norma2} a \eqref{MomH:AlgTHL+} použít k vyjádření $\tilde{K}$:
	\[
		\lambda = \tilde{\mu} \left( \tilde{\mu} + \hbar \right) = \left( \tilde{\mu} - \tilde{K}\hbar \right) 
			\left( \tilde{\mu} - (\tilde{K} + 1)\hbar \right),
	\]
což je kvadratická rovnice pro $\tilde{K}$ mající dvě řešení, $\tilde{K} = 2\tilde{\mu}/\hbar$ nebo $\tilde{K} = -1$. Matematický smysl mají pouze $\tilde{K} \in \priroz_0$, dozvídáme se tedy, že $2 \tilde{\mu}$ je nutně celočíselný nezáporný násobek $\hbar$.
 
Získali jsme tak posloupnost vlastních vektorů $\ket{\lambda , \tilde{\mu}}, \ket{\lambda , \tilde{\mu} - \hbar}, 
\ldots, \ket{\lambda , - \tilde{\mu}}$. Mimo to jsme rovněž ukázali, jak vypadá (bodové) spektrum operátorů $\hat{L}^2$ a $\hat{L}_3$. Zaměníme-li značení $\ket{\lambda, \mu} \mapsto \ket{l, m} \colon (\lambda, \mu) = (\hbar^2 l(l+1), \hbar m)$, můžeme shrnout naše výsledky:
	\begin{align*}
		\sigma_P ( \hat{L}^2 ) &\subset \left\{ \hbar^2 l \left( l + 1 \right) \middle| 2l \in \priroz_0 \right\}, \\
		\sigma_P ( L_3 ) &\subset \left\{ \hbar m \middle| m \in \cela \right\}, \\
    \braket{l,m}{l,m} &= 1 \quad \text{pro $m \in \left\{ -l, -l+1, \ldots, l \right\}$}, \\
    \hat{L}^2 \ket{l,m} &= \hbar^2 l (l+1) \ket{l,m}, \\
    \hat{L}_3 \ket{l,m} &= \hbar m \ket{l,m}.
	\end{align*}	
 
U tohoto algoritmu jsme se zatím hlouběji nezabývali normalizací vznikajících vektorů. K ní máme připraven vztah \eqref{MomH:Norma2}, který přepíšeme pomocí kvantových čísel $l,m$:
 	\[
 		\norm{\hat{L}_\pm \ket{l , m}}^2 = \Bigl( \hbar^2 l (l + 1) - \hbar^2 m (m \pm 1) \Bigr) \braket{l,m}{l,m},			
 	\]
z čehož plyne
 	\[
 		\ket{l , m \pm 1} = \hbar \left(\alpha^{(\pm)}(l,m)\right)^{-1} \hat{L}_\pm \ket{l , m}, \quad 
    |\alpha^{(\pm)}(l,m)| = \sqrt{l (l + 1) - m (m \pm 1)}.
 	\]
 
Koeficient %před vektorem $\ket{l , m \pm 1}$, který budeme označovat $\alpha^{(\pm)}(l,m)$,
$\alpha^{(\pm)}(l,m)$ není určen jednoznačně. Je možno mu připsat jakoukoliv fázi $e^{i \varphi}, \varphi \in \real$, která jeho normu nijak nezmění. Budeme však používat standardní konvenci (Condon--Shortley), která koresponduje s volbou nezáporné reálné odmocniny%
\footnote{Condon a Shortley nedefinují pouze volbu znaménka $\alpha^{(\pm)}$. Jedná se o celkové přiřazení komplexních fází sférickým funkcím $Y_{l,m}(\vartheta, \varphi)$ a zmíněná relace je důsledkem. Pro úplnost uveďme, že existují i jiné přijímané znaménkové konvence.}
 	\begin{equation} 	\label{MomH:alpha}
 		\alpha^{(\pm)}(l,m) = \sqrt{l (l + 1) - m (m \pm 1)}
 	\end{equation}
 
 
%------------------------------------------------------------ 	
\subsection{Skládání dvou nezávislých momentů hybnosti}
Mějme systém se dvěma na sobě nezávislými momenty hybnosti $\hat{\vec{L}}_{(1)}, \hat{\vec{L}}_{(2)}$. Příkladem může být soustava dvou částic nebo jedna částice a její orbitální moment a spin. Operátory momentů hybnosti nechť splňují komutační relace
\begin{equation}
  \komut{ \hat{L}_{ (1)j } }{ \hat{L}_{ (1)k } } = i\hbar \epsilon _{jkl} \hat{L}_{(1)l} , \quad  
  \komut{\hat{L}_{(2)j}}{\hat{L}_{(2)k}} = i\hbar \epsilon _{jkl} \hat{L}_{(2)l} , \quad
  \komut{\hat{L}_{(1)j}}{\hat{L}_{(2)k}} = 0.
  \label{MomH:L1L2}
\end{equation}
 
Předpokládáme, že v námi uvažovaném Hilbertově prostoru tvoří $\hat{\vec{L}}_{(1)}^2$, $\hat{\vec{L}}_{(2)}^2$, $\hat{L}_{(1)3}$, $\hat{L}_{(2)3}$ ÚMP. Společné vlastní vektory této čtveřice operátorů $\ket{\psi}$ budeme charakterizovat dvojicí ketů
	\[
		\ket{\psi} = \ket{l_1, m_1} \otimes \ket{l_2, m_2} \buildrel \text{ozn.} \over = \ket{l_1, m_1} \ket{l_2, m_2}	
	\]	
splňujících
	\begin{align*}
		\hat{\vec{L}}_{(1)}^2 \ket{\psi}&= \hbar^2 l_1 (l_1 + 1) \ket{\psi},&
			\hat{\vec{L}}_{(2)}^2 \ket{\psi}&= \hbar^2 l_2 (l_2 + 1) \ket{\psi},&  \\
		\hat{L}_{(1)3} \ket{\psi}&= \hbar m_1 \ket{\psi},&
			\hat{L}_{(2)3} \ket{\psi}&= \hbar m_2 \ket{\psi}.&
	\end{align*}
 
Na tomtéž podprostoru lze vybrat i jinou fyzikálně významnou množinu komutujících pozorovatelných. Podíváme se na operátor celkového momentu hybnosti $\hat{\vec{L}} = \hat{\vec{L}}_{(1)} + \hat{\vec{L}}_{(2)}$ a především kvadrát jeho velikosti
	\begin{align*}
		\hat{\vec{L}}^2 &= ( \hat{\vec{L}}_{(1)} + \hat{\vec{L}}_{(2)} )^2 = \hat{\vec{L}}_{(1)}^2 + \hat{\vec{L}}_{(2)}^2 +
		\hat{\vec{L}}_{(1)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(2)} + \hat{\vec{L}}_{(2)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(1)} = \\
		&= \hat{\vec{L}}_{(1)}^2 + \hat{\vec{L}}_{(2)}^2 + 2\hat{\vec{L}}_{(1)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(2)},		
	\end{align*}
v němž dále užitím posunovacích operátorů upravíme výraz $\hat{\vec{L}}_{(1)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(2)}$
	\begin{align*}
		&\hat{\vec{L}}_{(1)} \cdot \hat{\vec{L}}_{(2)} = 
		\hat{L}_{(1)3} \hat{L}_{(2)3} +
		\frac{1}{4}(\hat{L}_{(1)+} + \hat{L}_{(1)-})(\hat{L}_{(2)+} + \hat{L}_{(2)-}) - {}\\ 
		 &\qquad- \frac{1}{4}(\hat{L}_{(1)+} - \hat{L}_{(1)-})(\hat{L}_{(2)+} - \hat{L}_{(2)-}) = 
		\hat{L}_{(1)3} \hat{L}_{(2)3} + \frac{1}{2} (\hat{L}_{(1)+} \hat{L}_{(2)-} + \hat{L}_{(1)-} \hat{L}_{(2)+}).
	\end{align*}
Hledané vyjádření operátoru $\hat{\vec{L}}^2$ je tedy 
	\begin{equation}
		\hat{\vec{L}}^2 = \hat{\vec{L}}_{(1)}^2 + \hat{\vec{L}}_{(2)}^2 + 2 \hat{L}_{(1)3} \hat{L}_{(2)3} +
		\hat{L}_{(1)+} \hat{L}_{(2)-} + \hat{L}_{(1)-} \hat{L}_{(2)+}.
	\label{MomH:DveCL2} 
 	\end{equation}
 
Snadno ověříme, že celkový moment hybnosti $\hat{\vec{L}}$ vyhovuje prvnímu 
z požadavků \eqref{MomH:RelaceMomH}. Druhý se nejsnáze ověří u složky 
$\hat{L}_3 (= \hat{L}_{(1)3} + \hat{L}_{(2)3})$, která s $\hat{\vec{L}}^2$ 
komutuje na základě \eqref{MomH:DveCL2} a vztahů \eqref{MomH:L1L2} 
a \eqref{MomH:PosunOp}. Ostatní složky $\hat{\vec{L}}$ komutují 
s $\hat{\vec{L}}^2$ v důsledku svobody volby směru třetí souřadnice. Pro 
celkový moment hybnosti a jeho odpovídající posunovací operátory $\hat{L}_\pm 
= \hat{L}_{(1)\pm} + \hat{L}_{(2)\pm}$ tedy platí všechny výsledky předchozí 
kapitoly.
 
$\hat{\vec{L}}_{(1)}^2$ a $\hat{\vec{L}}_{(2)}^2$ komutují se všemi členy 
součtu \eqref{MomH:DveCL2} a také s $\hat{L}_3$, čtveřice operátorů 
$\hat{\vec{L}}_{(1)}^2$, $\hat{\vec{L}}_{(2)}^2$, $\hat{\vec{L}}^2$, 
$\hat{L}_3$ tedy tvoří druhý systém vzájemně komutujících operátorů. Označme 
$\ket{l_1, l_2; l, m}$ jejich společný vlastní vektor splňující relace
	\begin{align} \label{MomH:Komut21}
		\hat{\vec{L}}_{(1)}^2 \ket{l_1, l_2; l, m}& = \hbar^2 l_1 (l_1 + 1) \ket{l_1, l_2; l, m},&
			\hat{\vec{L}}_{(2)}^2 \ket{l_1, l_2; l, m}& = \hbar^2 l_2 (l_2 + 1) \ket{l_1, l_2; l, m},& \nonumber \\
		\hat{\vec{L}}^2 \ket{l_1, l_2; l, m}& = \hbar^2 l (l + 1) \ket{l_1, l_2; l, m},&
			\hat{L}_3 \ket{l_1, l_2; l, m}& = \hbar m \ket{l_1, l_2; l, m}.&
	\end{align}
 
Pro dané $l_1, l_2 \in \priroz_0$ tvoří $\left\{ \ket{l_1, m_1} \ket{l_2, m_2} \right\}$ bázi $(2l_1 + 1)(2l_2 + 1)$-dimenzionálního podprostoru $\hilbert_{l_1l_2} \Subset \hilbert$. Ukážeme, jakých hodnot mohou pro dané $l_1, l_2$ nabývat $l, m$ ($\left\{ \ket{l_1, l_2; l, m} \right\}$ tvoří též bázi $\hilbert_{l_1l_2}$) a jak lze najít transformaci převádějící jednu bázi na druhou. Začneme s vektorem $\ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2}$ (kde $m_1 = l_1$, $m_2 = l_2$). Využijeme rozpisu $\hat{\vec{L}}^2$ pomocí \eqref{MomH:DveCL2}
	\begin{align} \label{MomH:Komut22}
		\hat{\vec{L}}^2 \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} &= 
			\Bigl( \hat{\vec{L}}_{(1)}^2 + \hat{\vec{L}}_{(2)}^2 + 2 \hat{L}_{(1)3} \hat{L}_{(2)3} +
			\overbrace{\hat{L}_{(1)+} \hat{L}_{(2)-} + \hat{L}_{(1)-} \hat{L}_{(2)+}}^{\text{působením dává nulu kvůli } L_+} \Bigr) 
			\ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} = \nonumber \\ 
			&= \hbar^2 \Bigl(l_1 (l_1 + 1) + l_2 (l_2 + 1) + 2 l_1 l_2 \Bigr) \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} = \nonumber \\
			&= \hbar^2 (l_1 + l_2)(l_1 + l_2 + 1)\ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2},   \nonumber \\
			\hat{L}_3 \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} &= \hbar (l_1 + l_2) \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2}.	
	\end{align} 
 
Položme tedy
	\begin{equation}
		\ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2} := \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2}.
	\label{MomH:VztahKetu1}
	\end{equation}
 
Na tuto rovnost budeme aplikovat operátor $\hat{L}_- = \hat{L}_{(1)-} + \hat{L}_{(2)-}$. Ve výpočtu použijeme koeficient $\alpha^{(-)} (l,m)$ definovaný v \eqref{MomH:alpha}. Ze dvou ekvivalentních vyjádření odvodíme
	\begin{align*}
			&\hat{L}_- \ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2} = \alpha^{(-)} (l_1 + l_2, l_1 + l_2)
				\ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2 - 1},   \\
			&\hat{L}_- \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2} = \alpha^{(-)} (l_1,l_1) \ket{l_1, l_1 - 1} \ket{l_2, l_2} + 
				\alpha^{(-)} (l_2,l_2) \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2 - 1},
	\end{align*}
odkud dosazením za $\alpha^{(-)}(l,m)$ a porovnáním pravých stran získáváme
	\begin{equation}	\label{MomH:VztahKetu2}
		\ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2 - 1} = \sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1 - 1} \ket{l_2, l_2} + 
		 	\sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2 - 1}.	
	\end{equation}	
 
Snadno můžeme vytvořit vektor ortogonální k vektoru \eqref{MomH:VztahKetu2} v rámci lineárního obalu $\ket{l_1, l_1 - 1} \ket{l_2, l_2}$ a $\ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2 - 1}$: až na volbu fáze se nabízí jediné řešení,
  \[
		-\sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1 - 1} \ket{l_2, l_2} + 
		 	 \sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2 - 1},	
	\]
jemuž by měl odpovídat jiný vektor z druhé báze $\left\{ \ket{l_1, l_2; l, m} \right\}$, pro který musí platit $m=l_1+l_2-1$ a 
$m \in \{ -l, \ldots, l \}$. To však může splnit jediná hodnota $l = l_1 + l_2 - 1$, tedy
	\begin{equation} \label{MomH:VztahKetu3}
		\ket{l_1, l_2, l_1+l_2-1, l_1+l_2-1} := - \sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1 - 1} \ket{l_2, l_2} + 
		 	 \sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}} \ket{l_1, l_1} \ket{l_2, l_2 - 1}.
	\end{equation}
 
Zvolená hodnota fáze (a tedy i znaménka) vychází opět z Condon--Shortleyho 
znaménkové konvence, v níž platí
\begin{equation*}
\bigl(\bra{l_1,l_1}\bra{l_2,l_2-1}\bigr)\,\ket{l_1, l_2, l_1+l_2-1, l_1+l_2-1} 
> 0.
\end{equation*}
 
Opětovnou aplikací operátoru $\hat{L}_-$ na obě strany rovností 
\eqref{MomH:VztahKetu2} a \eqref{MomH:VztahKetu3} dostáváme na levé straně vektory 
$\ket{l_1, l_2; l_1 + l_2, l_1 + l_2 - 2}$, $\ket{l_1, l_2; l_1 + l_2 - 1, l_1 + l_2 - 2}$ 
a na pravých stranách lineární kombinace vektorů
\[
	\ket{l_1,l_1-2}\ket{l_2,l_2}, \quad \ket{l_1,l_1-1}\ket{l_2,l_2-1}, \quad \ket{l_1,l_1}\ket{l_2,l_2-2}, 
\]
k nimž je možno opět vytvořit vektor třetí způsobem, 
že vzniklá trojice vektorů je vzájemně ortogonální. Tyto vektory budou v bázi
$\left\{ \ket{l_1, l_2; l, m} \right\}$ reprezentovat vektory
\[
	\ket{l_1, l_2; l_1+l_2, l_1+l_2-2}, \quad \ket{l_1, l_2; l_1+l_2-1, l_1+l_2-2}, \quad
	\ket{l_1, l_2; l_1+l_2-2, l_1+l_2-2},
\]
čímž získáme vyjádření pro $\ket{l_1, l_2; l_1+l_2-2, l_1+l_2-2}$. Fázi volíme 
opět v rámci Condon--Shortleyho znaménkové konvence tak, aby platilo
\begin{equation*}
\bra{l_1, l_1} \braket{l_2, l_2-n}{l_1, l_2; l_1+l_2-n, l_1+l_2-n} > 0.
\end{equation*}
 
Operátor $\hat{L}_-$ takto nadále aplikujeme na každý získaný vektor pro posouvání $m$ až 
do odpovídající meze $-l$ a dosud jsme v každém kroku také získali nový 
 vektor $\ket{l_1, l_2; l_1+l_2-n, l_1+l_2-n}$. Druhý fakt ale 
vycházel ze skutečnosti, že vektory $\ket{l_1, l_1-n}\ket{l_2, l_2}, \ldots, 
\allowbreak \ket{l_1, l_1}\ket{l_2, l_2-n}$ definují $(n+1)$-rozměrný 
podprostor. To je pravda pouze, dokud $l_1-n \ge -l_1$ a současně $l_2-n \ge 
l_2$, tedy $n \le N = 2\min\{l_1, l_2\}$. Jakmile použijeme tuto konstrukci 
$N$-krát, pokryjeme nově tvořenou bází celý prostor díky shodě dimenzí
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{N} (2(l_1 + l_2 - n)+1) = \sum_{k=|l_1-l_2|}^{l_1+l_2} (2k+1) 
= (2l_1+1)(2l_2+1).
\end{equation*}
Po $N$ iteracích tedy pokryjeme celý prostor $\hilbert_{l_1l_2}$ a žádné další 
ortogonální vektory nezbudou. Vektory $\ket{l_1,l_2;l,m}$ pro
\[
  l=l_1+l_2,l_1+l_2-1,\ldots,|l_1-l_2|, \quad m \in \{ -l, -l+1, \ldots, l-1, 
  l\}
\]
tedy tvoří ortogonální bázi prostoru $\hilbert_{l_1l_2}$, která souvisí 
s bází tvořenou vektory $\ket{l_1,m_1}\ket{l_2,m_2}$ unitární transformací 
\begin{equation}	\label{MomH:DefCG}
  \ket{l_1, l_2; l, m} = \sum_{m_1=-l_1}^{l_1} \sum_{m_2=-l_2}^{l_2} 
  \underbrace{(l_1,l_2,m_1,m_2|l,m)}_{\text{CG koeficienty}} \ket{l_1,m_1} 
  \ket{l_2,m_2}	\end{equation}	
 
Koeficienty lineární kombinace se nazývají \textbf{Clebsch--Gordanovy (CG) 
koeficienty} a budeme pro ně užívat výše zavedené značení. 
Z \eqref{MomH:VztahKetu1}, \eqref{MomH:VztahKetu2} a \eqref{MomH:VztahKetu3} 
můžeme hned psát hodnoty pěti CG koeficientů.
\begin{subequations}
  \begin{align} (l_1,l_2, l_1, l_2| l_1+l_2, l_1+l_2) &= 1  \label{MomH:CG1} 
  \\
      (l_1,l_2, l_1-1, l_2| l_1+l_2, l_1+l_2-1) &=  \sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}}  
      \label{MomH:CG2} \\
      (l_1,l_2, l_1, l_2-1| l_1+l_2, l_1+l_2-1)	&=  \sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} 
      \label{MomH:CG3} \\ (l_1,l_2, l_1-1, l_2| l_1+l_2-1, l_1+l_2-1) &= 
      - \sqrt{\frac{l_2}{l_1+l_2}} \label{MomH:CG4} \\
      (l_1,l_2, l_1, l_2-1| l_1+l_2-1, l_1+l_2-1)	&= 
      + \sqrt{\frac{l_1}{l_1+l_2}}. \label{MomH:CG5}
  \end{align}
\end{subequations}
 
Díky unitaritě navíc jednoduše najdeme i inverzní transformaci \eqref{MomH:DefCG} ve tvaru
\begin{equation}	\label{MomH:DefCGInverzni}
	\ket{l_1,m_1} \ket{l_2,m_2} = \sum_{l=|l_1-l_2|}^{l_1+l_2} \sum_{m=-l}^{l} 
	(l_1,l_2,m_1,m_2|l,m)^\ast \ket{l_1, l_2; l, m}.	
\end{equation}	
 
Je dobré si uvědomit obecné vlastnosti CG koeficientů plynoucí z konstrukce 
a z~rovnic \eqref{MomH:DefCG} a \eqref{MomH:DefCGInverzni}:
\begin{enumerate}
	\item
		CG koeficienty lze vybrat reálné, \\ 
	\item
		$ \D
			(l_1,l_2,m_1,m_2|l,m) = 0 \quad \text{pokud} \quad
			(m \neq m_1 + m_2) \vee (l \notin \left\{ |l_1 - l_2| , \ldots , l_1 + l_2 \right\})
		$,
	\item
		$ \D
			\sum_{m_1,m_2} (l_1,l_2,m_1,m_2|l,m) (l_1,l_2,m_1,m_2|\tilde{l},\tilde{m})	=
		$	\[
			\qquad \qquad \qquad =  
			\begin{cases}
				\delta_{l\tilde{l}} \delta_{m\tilde{m}} & \text{pro } 
				l,\tilde{l} \in \left\{ |l_1 - l_2| , \ldots , l_1 + l_2 \right\},  \\
				0  & \text{jinak,}	
			\end{cases}
		\]	
	\item 
		$ \D
			\sum_{l,m} (l_1,l_2,m_1,m_2|l,m) (l_1,l_2,\tilde{m}_1,\tilde{m}_2|l,m) = 
			\delta_{m_1\tilde{m}_1} \delta_{m_2\tilde{m}_2}
		$,
	\item
		$ \D
			\alpha^{(\mp)} (l,m) (l_1,l_2,m_1,m_2|l,m\mp1) = \alpha^{(\pm)} (l_1,m_1\pm1) (l_1,l_2,m_1\pm1,m_2|l,m) +  \\
				 \text{ } \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \alpha^{(\pm)} (l_2,m_2\pm1) (l_1,l_2,m_1,m_2\pm1|l,m).
		$
\end{enumerate}
 
V literatuře je možno kromě CG koeficientů najít v ekvivalentní roli i \textbf{Wignerovy \hbox{$3j$-symboly}}, jejich výhodou je větší symetrie při rozkladech. Mezi CG koeficienty a Wignerovými \hbox{$3j$-symboly} existuje převodní vzorec
	\begin{equation} \label{MomH:Wigner3j}
		\begin{pmatrix}
      j_1 & j_2 & j_3 \\
      m_1 & m_2 & m_3
    \end{pmatrix}
		= \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{(2j_3+1)^{1/2}} (j_1, j_2, m_1, m_2| j_3, -m_3).
	\end{equation}
V dalším výkladu však budeme pracovat výhradně s CG koeficienty.
 
\begin{example}
	Pro pevně dané $l_1 = l_2 = \pul$ napočítejte všechny nenulové CG koeficienty. 
\end{example}
 
Hodnoty $m_1, m_2, m, l$ musí splňovat podmínky	
	\begin{align*}
			l \in \left\{ |l_1 - l_2| , \ldots , l_1 + l_2 \right\} = \left\{ 0; 1 \right\}, \quad
			m \in \left\{ -l , \ldots , l \right\} = \left\{ -1; 0; 1 \right\}  \\
			m_1 \in \left\{ -l_1 , \ldots , l_1 \right\} = \left\{ -\pul; \pul \right\}, \quad
			m_2 \in \left\{ -\pul; \pul \right\}, \quad
			m = m_1 + m_2.
	\end{align*}	 
 
Tyto podmínky určují, jaké CG koeficienty má smysl počítat. Následující CG koeficienty $(l_1,l_2,m_1,m_2|l,m)$ můžeme určit přímo užitím \eqref{MomH:CG1}--\eqref{MomH:CG3}
\begin{subequations}		
	\begin{align}
			&(\pul,\pul,\pul,\pul|1,1) = 1  \label{MomH:PrikladCG1} \\
			&(\pul,\pul,-\pul,\pul|1,0) = \sqrt{\frac{\pul}{\pul+\pul}} = \frac{1}{\sqrt{2}}  \label{MomH:PrikladCG2} \\
			&(\pul,\pul,\pul,-\pul|1,0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \label{MomH:PrikladCG3} 
	\end{align}
\end{subequations}
 
Stejným způsobem užitím \eqref{MomH:CG4},\eqref{MomH:CG5}
	\begin{align*}
			&(\pul,\pul,-\pul,\pul|0,0) = -\frac{1}{\sqrt{2}}  \\
			&(\pul,\pul,\pul,-\pul|0,0) = +\frac{1}{\sqrt{2}}
	\end{align*}
 
Zbývá určit koeficient $(\pul,\pul,-\pul,-\pul|1,-1)$. Z již určených CG koeficientů \eqref{MomH:PrikladCG2}, \eqref{MomH:PrikladCG3} plyne rozklad
	\[
		\ket{\pul,\pul;1,0} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, -\pul} \ket{\pul, \pul} + 
		\frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, \pul} \ket{\pul, -\pul},
	\]
 
\noindent na jehož obě strany aplikujeme operátor $\hat{L}_-$
	\begin{align*}
			&\hat{L}_- \ket{\pul,\pul;1,0} = \alpha^{(-)} (1,0) \ket{\pul,\pul;1,-1}   \\
			&\hat{L}_- (\frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, -\pul} \ket{\pul, \pul} + 
				\frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, \pul} \ket{\pul, -\pul}) =          \\ 
			&\quad = \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\pul, -\pul} \alpha^{(-)}(\pul,\pul) 
				\ket{\pul, -\pul} + \frac{1}{\sqrt{2}} \alpha^{(-)}(\pul,\pul)
				\ket{\pul, -\pul} \ket{\pul, -\pul}        \\
	\end{align*}	
\noindent odkud dosazením $\alpha^{(-)} (1,0) = \sqrt{2}\hbar$; $\alpha^{(-)}(\pul,\pul) = \hbar$ a porovnáním pravých stran dostáváme
	\[
		\ket{\pul,\pul;1,-1} = \ket{\pul, -\pul} \ket{\pul, -\pul}.
	\]
 
Z posledního řádku plyne (přímo z definice CG koeficientů \eqref{MomH:DefCG}) hodnota posledního neurčeného CG
	\[
		(\pul,\pul,-\pul,-\pul|1,-1) = 1
	\]
Uvedený postup sloužil pouze pro ilustraci metodiky, jež je třeba nasadit na výpočet CG koeficientů pro vyšší hodnoty $l_1, l_2$ -- to si na cvičení bohatě užijete. Tabulku a vlastnosti CG koeficientů lze najít ve Formánkovi \cite{for:ukt}, kam se doporučujeme podívat.
 
%------------------------------------------------------------------