Verze z 6. 12. 2016, 13:53

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Užití derivace k vyšetřování funkce]{\fbox{Užití derivace k vyšetřování funkce}}
\subsection{Věty o přírůstku funkce}
	\begin{lemma}\label{lemma:fprime}
	Pokud $f^\prime(a)>0$ (nebo též $f^\prime(a)=+\infty$), pak existuje $\epsilon > 0$ tak, že pro všechna $h \in (0,\epsilon)$ platí
	$$
	f(a-h) < f(a) < f(a+h).
	$$
	Pokud $f^\prime(a)<0$ (nebo též $f^\prime(a)=-\infty$), pak existuje $\epsilon > 0$ tak, že pro všechna $h \in (0,\epsilon)$ platí
	$$
	f(a-h) > f(a) > f(a+h).
	$$
	\begin{proof}
	Dokážeme první tvrzení.  \\
	Z definice derivace v bodě $a$ víme $f^\prime(a) = \lim\limits_{k\to0}\frac{1}{k}(f(a+k)-f(a))>0$.\\
	V definici této limity pro námi zvolené $\varepsilon = f^\prime(a)>0$ existuje $\delta>0$ tak, že $\forall k\in(-\delta,\delta)$, $k\neq 0$,
	$$
		\left| \frac{f(a+k)-f(a)}{k} - f^\prime(a) \right|< \varepsilon = f^\prime(a),
	$$
	tj.
	$$
		-f^\prime(a) < \frac{f(a+k)-f(a)}{k} - f^\prime(a) < f^\prime(a),
	$$
	tj. 
	$$
		0 < \frac{f(a+k)-f(a)}{k} < 2f^\prime(a).
	$$
	Pro $k>0$ dostáváme $f(a+k) - f(a) > 0$ a volíme $h=k$; celkem: $f(a) < f(a+h)$. \\
	Pro $k<0$ dostáváme $f(a+k) - f(a) < 0$ a volíme $h=-k$; celkem: $f(a-h) < f(a)$.
	\end{proof}
 
	\end{lemma}
	\begin{theorem}[Rolle]\label{thm:rolle}
	Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$, má konečnou derivaci na $(a,b)$ a nechť navíc $f(a)=f(b)$. Potom $\exists c\in(a,b)$ tak, že $f^\prime(c)=0$.
	\end{theorem}
	\begin{proof}
	Podle Weierstrassovy Věty~\ref{thm:weierstrass} pro $f$ spojitou na $[a,b]$  existuje $f_{\min}$ a $f_{\max}$ a může nastat právě jeden z následujících dvou případů:\\
	1. $f$ je konstantní $\Rightarrow$ $f^\prime = 0$ pro $\forall x$.\\
	2. $f$ není konstantní a $f_{\min}$ nebo $f_{\max}$ se nabývá uvnitř $(a,b)$ v nějakém bodě $c$, kde nutně $f^\prime(c)=0$, jinak bychom byli ve sporu s Lemma~\ref{lemma:fprime}.
	\end{proof}
 
	\begin{theorem}[Lagrange]\label{thm:lagrange}
	Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$ a diferencovatelná na $(a,b)$. Potom $\exists c\in(a,b)$ tak, že
	$$
	f^\prime(c)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}.
	$$
	\end{theorem}
	\begin{proof}
	Definujme pomocnou funkci $g(x) = f(x) - Kx$, kde $K$ je nějaké číslo zvolené tak, abychom mohli na funkci $g$ použít Rolleho Větu~\ref{thm:rolle}, tj.
	chceme splnit předpoklad $g(a) = g(b)$:
	$$
		g(a) = f(a)-Ka \overset{?}{=} g(b) = f(b) - Kb,
	$$
	odkud
	$$
		K = \frac{f(a)-f(b)}{a-b}.
	$$
	Pak podle Rolleho Věty~\ref{thm:rolle} existuje $c\in(a,b)$ tak, že $g^\prime(c) = 0$ a tudíž 
	$$
		g^\prime(c) = f^\prime(c) - \frac{f(a)-f(b)}{a-b} = 0. 
	$$		
	\end{proof}
 
	\begin{corollary}\label{cor:lagr}
	Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$ a nechť $f^\prime (x)=0 \quad \forall x \in (a,b)$. Potom $f$ je konstantní funkce.
	\begin{proof} Sporem. 
	Předpokládáme, že $f$ je spojitá na $[a,b]$, $\exists f^\prime$ na $(a,b)$ a $\exists c,d \in [a,b]$ tak, že $f(c)\neq f(d)$ (tj. $f$ není konstantní).
	Pak podle Lagrangeovy Věty~\ref{thm:lagrange} existuje $e\in(c,d)$ tak, že $f^\prime(e) = \frac{f(d)-f(c)}{d-c}$, což je rovno dle předpokladu $0$, tj.
	$f(d) = f(c)$ a to je spor.
	\end{proof}
	\end{corollary}
 
	\begin{theorem}
	Nechť funkce $f$ a $g$ jsou spojité na intervalu $[a,b]$ a nechť $f^\prime(x)=g^\prime(x)$ na intervalu $(a,b)$.
	Potom $\exists C\in \R$ tak, že $f(x) = g(x) + C \quad \forall x\in[a,b]$.
	\end{theorem}
	\begin{proof}
	Definujme pomocnou funkci $h = f-g$, která je spojitá na $[a,b]$ a pro $\forall x\in(a,b)$ $h^\prime(x)=0$. Podle Důsledku~\ref{cor:lagr} je tato funkce konstantní a proto
	$$
		h(x) = f(x) - g(x) = K.
	$$
	\end{proof}
 
 
\subsection{Monotonie}\label{section:monotonie}
	\begin{define}[Monotonie funkce]
	Řekneme, že funkce $f$ na intervalu $J$ 
 
	\begin{tabular}{lll}
		ostře roste  & $\ekv$ & $(\forall x_1, x_2 \in J)(x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ \\
		roste (neklesá) &  $\ekv$  & $(\forall x_1, x_2 \in J)(x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$\\
		ostře klesá  & $\ekv$  & $(\forall x_1, x_2 \in J)(x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$\\
		klesá (neroste) &  $\ekv$ &  $(\forall x_1, x_2 \in J)(x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$\\
	\end{tabular}
	\end{define}
 
 
	\begin{theorem}[Vztah derivace a monotonie]\label{thm:monotonie}
	Nechť funkce $f$ je diferencovatelná na intervalu $J$. Potom platí
 
	\begin{tabular}{lll}
	 $f^\prime(x)>0 \quad \forall x\in J$     & $\Rightarrow$ & $f$ je ostře rostoucí na $J$. \\
	 $f^\prime(x)\geq 0 \quad \forall x\in J$ & $\Rightarrow$ & $f$ je rostoucí (neklesající) na $J$.\\
	 $f^\prime(x)<0 \quad \forall x\in J$     & $\Rightarrow$ & $f$ je ostře klesající na $J$.\\
	 $f^\prime(x)\leq 0 \quad \forall x\in J$ & $\Rightarrow$ & $f$ je klesající (nerostoucí) na $J$.\\
	\end{tabular}
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{Lokální a globální extrémy}
	\begin{define}[Lokální extrém funkce]
	Řekneme, že $f$ má v bodě $a\in D_f$ 
 
	\begin{tabular}{lll}
	\textbf{ostré lokální minimum} & $\ekv$ & $(\exists\varepsilon>0)(\forall x\in D_f)(0<|x-a|<\varepsilon \Rightarrow f(x) > f(a))$ \\
	\textbf{lokální minimum} & $\ekv$ & $(\exists\varepsilon>0)(\forall x\in D_f)(0<|x-a|<\varepsilon \Rightarrow f(x) \geq f(a))$ \\
	\textbf{ostré lokální maximum} & $\ekv$ & $(\exists\varepsilon>0)(\forall x \in D_f)(0<|x-a|<\varepsilon \Rightarrow f(x) < f(a))$ \\
	\textbf{lokální maximum} & $\ekv$ & $(\exists\varepsilon>0)(\forall x\in D_f)(0<|x-a|<\varepsilon \Rightarrow f(x) \leq f(a))$ \\
	\end{tabular}
	\end{define}
 
	\begin{theorem}[Nutná podmínka existence extrému]\label{thm:nutna}
	Má-li funkce $f$ v bodě $a \in D_f$ lokální extrém, pak $f^\prime(a)=0$ nebo $f^\prime(a)$ neexistuje.
	\end{theorem}
	\begin{proof}
	Sporem. Předpokládáme-li, že $\exists f^\prime(a)$ a zároveň $f^\prime(a) \neq 0$, pak:
 
	\begin{tabular}{lll}
	$f^\prime(a)>0$ & $\Rightarrow$ & $f$ je dle Věty~\ref{thm:monotonie} v bodě $a$ ostře rostoucí,\\
	$f^\prime(a)<0$ & $\Rightarrow$ & $f$ je dle Věty~\ref{thm:monotonie} v bodě $a$ ostře klesající,
	\end{tabular}\\
	což je spor s předpokladem existence lokálního extrému v bodě $a$.
	\end{proof}
 
 
	\begin{remark}
	\textbf{Globální extrémy} spojité a diferencovatelné funkce $f$ na intervalu $[a,b]$ vyšetříme tak, že nalezneme všechny lokální extrémy na $(a,b)$ a porovnáme s hraničními hodnotami $f(a)$ a $f(b)$.
	\end{remark}
 
	\begin{define}[Stacionární bod]
	Stacionární bod funkce $f$ je takový bod, ve kterém je derivace funkce rovna $0$ nebo neexistuje.
	\end{define} 
 
 
 
\subsection{Test extrému dle 1. derivace}
	\begin{theorem}[Test extrému funkce dle 1. derivace]\label{thm:test1}
	Nechť funkce $f$ je spojitá v bodě $a \in D_f$ a nechť bod $a$ je stacionárním bodem funkce~$f$.
	Pokud existuje $\delta>0$ tak, že 
		\begin{itemize}
		\item $f^\prime > 0 \hbox{~na~} (a-\delta,a)$ a  
			$f^\prime < 0 \hbox{~na~} (a,a+\delta)$, potom $f$ má v bodě $a$ lokální maximum.
		\item $f^\prime < 0 \hbox{~na~} (a-\delta,a)$ a  
			$f^\prime > 0 \hbox{~na~} (a,a+\delta)$, potom $f$ má v bodě $a$ lokální minimum.
		\item $f^\prime$ má stejné znamení v $(a-\delta,a) \cup (a,a+\delta)$, potom $f$ nemá v bodě $a$ lokální extrém.
		\end{itemize}
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Test extrému dle 2. derivace}
	\begin{theorem}[Test extrému funkce dle 2. derivace]\label{thm:test2}
	Nechť funkce $f$ je spojitá v bodě $a \in D_f$ a nechť $f^\prime(a)=0$.
	\begin{enumerate}
		\item Pokud  $f^{\prime\prime}(a) < 0$, potom $f$ má v bodě $a$ ostré lokální maximum,
		\item Pokud  $f^{\prime\prime}(a) > 0$, potom $f$ má v bodě $a$ ostré lokální minimum.
	\end{enumerate}
		\begin{proof}
		Dokážeme první tvrzení. Pokud $f^{\prime\prime}(a) < 0$, pak $f^\prime$ je ostře klesající v bodě $a$. Pak $\exists\delta>0$ tak, že pro každé $x_1,x_2$: $a-\delta<x_1<a<x_2<a+\delta$ platí
		$$
			f^\prime(x_1) > \underbrace{f^\prime(a)}_{0} > f^\prime(x_2)
		$$
		a tudíž podle Věty~\ref{thm:test1} je v bodě $a$ ostré lokální maximum. 
		\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{example}
	Trhovec potřebuje z kruhového papíru o poloměru $R$ udělat kornout o maximálním objemu. Jakou kruhovou výseč je potřeba vystřihnout? \\
	\textit{Řešení:} $\alpha$ \dots úhel v radiánech, $r$ \dots poloměr podstavy kuželu\\
	Obvod podstavy kužele je $2\pi r = 2\pi R - R\alpha,$ odkud $r = R\left(1-\frac{\alpha}{2\pi}\right)$.\\
	Výška kužele:
	$$v = \sqrt{R^2-r^2} = R\sqrt{1-\left( 1- \frac{\alpha}{2\pi}\right)^2} = R\sqrt{\frac\alpha\pi- \frac{\alpha^2}{4\pi^2}}.$$
	Hledáme maximum objemu kužele $V(\alpha) = \frac\pi3R^3\left(1-\frac\alpha{2\pi}\right)\sqrt{\frac\alpha\pi- \frac{\alpha^2}{4\pi^2}}$ pro $\alpha\in(0,2\pi)$:\\
	$$V^\prime(\alpha) = 
	\frac{R^3}{3}
	\left(\frac{\alpha}{\pi}-\frac{\alpha^2}{4\pi^2}\right)^{-\frac12}
	\left(1-\frac{\alpha}{2\pi}\right)
	\left(1-3\frac{\alpha}{\pi}+3\frac{\alpha^2}{4\pi^2}\right) 
	\overset{!}{=} 0.
	$$	
	Řešením této rovnice jsou pro $\alpha\in(-2\pi,2\pi)$ kořeny $\alpha_{1,2} = 2\pi\left( 1\pm \sqrt{\frac23} \right)$.
	Nyní stačí aplikovat buď Větu~\ref{thm:test1} nebo Větu~\ref{thm:test2} a ukázat, že pro tato $\alpha_{1,2}$ nabývá funkce $V(\alpha)$ maximum.
	\end{example}
 
\subsection{Konvexní a konkávní funkce}
	\begin{define}[Konvexní a konkávní funkce]\label{def:konvex}
	Nechť je funkce $f$ diferencovatelná na $(a,b)$. Říkáme, že funkce $f$ je 
 
	\begin{tabular}{lll}
	\textbf{ryze konvexní} & $\ekv$ & $f^\prime$ je ostře rostoucí na $(a,b)$ \\
	\textbf{konvexní} & $\ekv$ & $f^\prime$ je rostoucí  na $(a,b)$\\
	\textbf{ryze konkávní} & $\ekv$ & $f^\prime$ je ostře klesající na $(a,b)$\\
	\textbf{konkávní} & $\ekv$ & $f^\prime$ je klesající na $(a,b)$
	\end{tabular}
	\end{define}
 
	\begin{remark}
	Konvexní a konkávní funkce jsme zde definovali pomocí pojmu derivace, tedy pouze pro diferencovatelné funkce. 
	Pojem konvexnosti a konkávnosti funkce lze zavést i pro obecné funkce, viz např. Odstavec 4.7 v \cite{dontova}.
	\end{remark}
 
	\begin{define}[Inflexní bod]
	Řekneme, že bod $a$ je \textbf{inflexním bodem} diferencovatelné funkce $f$ právě tehdy, když se v bodě $a$ mění charakter funkce $f$ z konvexní na konkávní nebo opačně.
	\end{define}
 
	\begin{theorem}[Nutná podmínka existence inflexního bodu]
	Buď $c$ inflexní bod. Potom $f^{\prime\prime}(c)=0$ nebo $f^{\prime\prime}(c)$ neexistuje.
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{l'Hôpitalovo pravidlo}
	\begin{theorem}[l'Hôpitalovo pravidlo]
	Buď $a \in \R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$. Nechť $f$ má konečnou derivaci 
	a $g^\prime(x)\neq 0$ na $(a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)$.
	Dále nechť platí jedna ze dvou podmínek:
	\begin{enumerate}
		\item $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0 \wedge \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0$
		\item $\lim\limits_{x \to a} |g(x)| = +\infty $
	\end{enumerate}
	Potom jestliže existuje limita na levé straně následující rovnice, platí mezi limitami rovnost
	$$
	\lim\limits_{x \to a} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} = 
	\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}. 
	$$
	\end{theorem}