01RMF:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 331: | Řádka 331: | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
+ | \label{o_bijekci} | ||
$\F: \SP(\R^n) \to \SP(\R^n)$ je bijekce a navíc platí, že $\F^{-1} = \frac{1}{(2\pi)^n} \bar{\F}$, kde | $\F: \SP(\R^n) \to \SP(\R^n)$ je bijekce a navíc platí, že $\F^{-1} = \frac{1}{(2\pi)^n} \bar{\F}$, kde | ||
$$\bar{\F}[\phi(x)](\xi):= \displaystyle \int_{\R^n} e^{-\im x\xi}\phi(x) \dd x.$$ | $$\bar{\F}[\phi(x)](\xi):= \displaystyle \int_{\R^n} e^{-\im x\xi}\phi(x) \dd x.$$ | ||
Řádka 453: | Řádka 454: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | {\bf Částečnou Fourierovou transformaci} definujeme pro $\forall f\in \SP'(\R^{n+m})$ a $\forall \phi \in \SP(R^{n+m}$ takto: | + | {\bf Částečnou Fourierovou transformaci} definujeme pro $\forall f\in \SP'(\R^{n+m})$ a $\forall \phi \in \SP(R^{n+m})$ takto: |
$$(\F_x[f(x,y)](\xi,y)\phi(\xi,y) := (f(x,y), \F_x[\phi(\xi,y)](x,y)$$ | $$(\F_x[f(x,y)](\xi,y)\phi(\xi,y) := (f(x,y), \F_x[\phi(\xi,y)](x,y)$$ | ||
Řádka 473: | Řádka 474: | ||
Nyní spočítáme jeden na první pohled zvláštní příklad. Znalost jeho výsledku nám ale pomůže s důkazem další věty. | Nyní spočítáme jeden na první pohled zvláštní příklad. Znalost jeho výsledku nám ale pomůže s důkazem další věty. | ||
− | Určíme totiž $\Ft{1}{\xi}$. Uvědomme si | + | Určíme totiž $\Ft{1}{\xi}$. |
− | $$ 0 = \Ft{0}{\xi} = \Ft{\frac{\dd}{\dd x}1}{\xi} = (-\im \xi)\Ft{1}{\ | + | |
+ | \noindent Uvědomme si nejprve, že $\F$ je lineární jak v $\SP$, tak i v $\SP'$. Proto zcela jistě platí, že | ||
+ | $$ 0 = \Ft{0}{\xi} = \Ft{\frac{\dd}{\dd x}1}{\xi} = (-\im \xi)\Ft{1}{\xi}.$$ | ||
+ | Nyní se odvoláme na větu \ref{o_reseni_rce} z předešlé kapitoly, která tvrdí, že pokud $0= xf(x)$ v $\D'$, pak $f(x)= C \delta(x)$. | ||
+ | Maje tyto dvě znalosti, můžme psát, že $\im \F[1] = C\delta$, což ještě můžeme přeznačit na $\F[1]= c\delta \in \SP'$. Zbývá nám určit konstantu $c$. | ||
+ | Využijeme k tomu jednoho předešlého výsledku. | ||
+ | $$ (\F[1](\xi),e^{-\xi^2}) = (c\delta(\xi), e^{-\xi^2}) = c$$ | ||
+ | Zároveň víme, že | ||
+ | $$ (\F[1](\xi),e^{-\xi^2}) = (1, \underbrace{\Ft{e^{-\xi^2}}{x}}_{= \sqrt{\pi}e^{-\frac{\x^2}{4} } ) = \sqrt{\pi} \displaystyle \int_{\R} e^{-\frac{\x^2}{4} \dd x = 2\pi$$ | ||
+ | Odtud tedy máme výsledek | ||
+ | $$ \Ft{1}{\xi} = 2\pi \delta(\xi).$$ | ||
+ | |||
+ | Nyní dokážeme větu \ref{o_bijekci}, kterou jsme slíbili ukázat a společně s ní následujcí větu. | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | $\F: \SP' \to \SP'$ je bijekce a navíc platí, že $\F^{-1} =\frac{1}{(2\pi)^n} \overline{\F}$. | ||
+ | \begin{remark} | ||
+ | $$(\overline{\F}[f],\phi) = (f,\overline{\F}[\phi]$$ | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item[i) v $\SP$] | ||
+ | Předpokládejme pro jednoduchost opět, že se pohybujeme v dimensi 1. | ||
+ | Musíme ukázat, že $\F\overline{\F} = \overline{\F}\F = (2\pi)^n id_{\SP}$. Musíme ukázat obě rovnosti, neboť prostor funkcí, na kterém tento operátor působí, je prostorem nekonečné dimense. | ||
+ | Nejprve prozkoumáme výraz $\overline{\F}[\phi(\xi)](x)$: | ||
+ | $$\overline{\F}[\phi(\xi)](x) = \displaystyle \int_{\R} e^{-\im x\xi} \phi(\xi) \dd \xi = \displaystyle \int_{\R} e^{i x \eta} \phi(-\eta) \dd \eta = \Ft{\phi(-\eta)}{x}.$$ | ||
+ | Ve druhé rovnosti jsme jen provedli substituci $\xi = -\eta$, ze které vypadlo jedno mínus před integríáál, které se ihned použilo na obrácení mezí. | ||
+ | |||
+ | Nyní zkoumejme $\Ft{\overline{\F}[\phi(\xi)](x)}{y}$: | ||
+ | $$\Ft{\Ft{\phi(-\eta)}{x}}{y} = \displaystyle \int_{\R} = e^{\im xy} \Ft{\phi(-\eta)}{x} \dd x =$$ | ||
+ | Nyní přeznačíme $\phi(-\eta) = \psi(\eta)$ a upravíme integrand dle věty o posunu v argumentu. | ||
+ | $$ = \displaystyle \int_{\R} \Ft{\psi(\eta - y )}{x} \dd x = \displaystyle \int_{\R} \Ft{\phi(y-\eta)}{x} \dd x.$$ | ||
+ | V tuto chvíli je třeba provést drobný trik, kvůli kterému jsme počítali $\F[1]$. | ||
+ | $$ \displaystyle \int_{\R} \Ft{\phi(y-\eta)}{x} \dd x = (1, \Ft{\phi(y-\eta)}{x}) = (\Ft{1}{\eta},\phi(y-\eta)) = (2\pi \delta (\eta),\phi(y-\eta)) = 2\pi \phi(y).$$ | ||
+ | Tímto jsme tedy ukázali, že $(\F \circ \overline {\F})(\phi) = 2\pi \phi$, což jsme měli ukázat. | ||
+ | Druhá rovnost se ukáže zcela stejně. | ||
+ | |||
+ | \item[ii) v $\SP'$] | ||
+ | Zde musíme ukázat, že $\F\overline{\F} = \overline{\F}\F = (2\pi)^n id_{\SP'}$. Pro důkaz využijeme předešlého tvrzení. | ||
+ | $$ ((\F\overline{\F}[f])(y),\phi(y) ) = $$ |
Verze z 17. 11. 2016, 14:19
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01RMF
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01RMF | Mazacja2 | 16. 12. 2016 | 19:29 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 28. 12. 2016 | 14:12 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 18. 12. 2016 | 22:10 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 9. 11. 2016 | 21:51 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:34 | motivace.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněné funkce | Lomicond | 7. 12. 2019 | 17:51 | zobecnene_funkce.tex | |
Kapitola3 | editovat | Integrální transformace | Lomicond | 25. 12. 2019 | 16:58 | integralni_transformace.tex | |
Kapitola4 | editovat | Řešení dif. rovnic | Johndavi | 9. 4. 2019 | 16:15 | reseni.tex | |
Kapitola5 | editovat | Integrální rovnice | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:25 | Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Sturm-Liouvilleova teorie | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:35 | Kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF} \chapter{Integrální transformace} Vybudovali jsme prostor zobecněných funkcí a pomalu směřujeme k řešení parciálních diferenciálních rovnic. Jak jsme viděli na konci minulé kapitoly, jsme na dobré cestě. V této kapitole se tedy budeme věnovat integrálním transformacím, konkrétně Laplaceově a Fourierově, které, jak uvidíme, jsou velmi mocným a užitečným nástrojem. Abychom s nimi mohli začít pracovat, je potřeba ještě vybudovat jistý speciální prostor a na něm zadefinovat speciální třídu zobecněných funkcí. \section{Motivace} Na následujících několika řádcích a příkladech se pokusíme objasnit, proč je třeba revidovat naši definici zobecněných funkcí a proč je třeba vytvoření nějakého nového prostoru. Naší snahou a naším cílem je vytvoření takové struktury, která by byla uzavřená právě vůči integrálním transformacím, jako je například Fourierova transformace $\F$. Proto ji nyní poněkud neformálně zavedeme. Tato definice není zatím definitivní a je pouze pro účely této motivační sekce. \begin{define} Pod pojmem {\it Fourierova transformace $\F$} rozumíme zobrazení z prostoru $L^1(\R^n)$ takové, že pro $f\in L^1$ definujeme $$\Ft{f(x)}{\xi}:= \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x\cdot \xi}f(x)\dd x.$$ \end{define} \begin{remark} V následujících poznámkách se budeme snažit ukázat některé vlastnosti $\F$, ze kterých vyplyne, že je skutečně nutné vytvářet nový prostor testovacích funkcí. \footnote{Ale není třeba se lekat. To, co jsme dosud vybudovali, nezahodíme, ale velmi účelně využijeme.} \begin{enumerate} \item {\it Je-li $f\in L^1$, pak $\Ft{f(x)}{\xi}$ je omezená funkce na $\R^n$} \begin{proof} Pro dokázání toto tvrzení stačí vyjít z definice: $$ \left\vert \Ft{f(x)}{\xi} \right\vert = \left\vert \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x\cdot \xi}f(x)\dd x \right \vert \leq \displaystyle \int_{\R^n} \underbrace{\left\vert e^{\im x\cdot \xi} \right\vert}_{=1}\left| f(x)\right| \dd x < + \infty$$ Poslední nerovnost plyne z faktu, že $f\in L^1$. \end{proof} \item {Je-li $f\in L^1$, pak odtud neplyne, že $\Ft{f(x)}{\xi} \in L^1(\R^n)$} \begin{proof} $$\left| \displaystyle \int_{\R^n} \Ft{f(x)}{\xi} \dd \xi \right| = \left | \displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \displaystyle \int_{\R^n} \dd x e^{\im x\cdot \xi}f(x) \right| \leq \displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \displaystyle \int_{\R^n} \dd x \underbrace{\left\vert e^{\im x\cdot \xi} \right\vert}_{=1} \underbrace{\left \vert f(x)\right\vert}_{<+\infty} = +\infty.$$ \end{proof} Toto je možné samozřejmě ilustrovat konkrétním příkladem, ale nebudeme to dělat. Je to v podstatě zbytečné. Je důležité, že jsme objevili první nepříjemnou vlastnost námi definovaného zobrazení $\F$. Totiž nevíme, kam zobrazuje, resp. co je jeho oborem hodnot. Tento problém bude muset náš nový prostor nějak elegantně vyřešit. \item {\it Je-li $f\in L^1$ s kompaktním nosičem, pak odtud neplyne, že $\nf \Ft{f(x)}{\xi}$ je kompakt.} Tuto vlastnost ukážeme na konkrétním příkladě. Za funkci $f(x)$ volme charakteristickou funkci intervalu $[0,1]$, tzn. $\chi_{[0,1]}(x)$. Pak $$\Ft{\chi_{[0,1]}}{\xi} = \displaystyle \int_0^1 e^{\im x\cdot \xi} \dd x = \displaystyle \int_0^1 \cos{x\xi} \dd x + \im \displaystyle \int_0^1 \sin{x\xi} \dd x = $$ $$ = \left[ \frac{1}{\xi} \sin{x\xi}\right]_0^1 -\im \left[ \frac{1}{\xi} \cos{x\xi}\right]_0^1 = \frac{1}{\xi} \sin \xi - \frac{\im}{\xi} (\cos \xi -1)$$ Tato funkce zcela určitě nemá omezený nosič. \end{enumerate} Vidíme tedy, že máme sice nějakou transformaci, ale nemůžeme ji použít na prostoru $\D'$, což bychom chtěli. Můžete namítat, že by možná bylo snazší najít jinou transformaci, ale vězte, že tato nám dává mocný nástroj pro výpočet fundamentálních řešení parciálních diferenciálních rovnic a navíc velmi zjednodušuje jejich řešení a usnadňuje výpočty konvolucí, neboť $$ \Ft{\frac{\dd}{\dd x}f(x)}{\xi} = C \xi \Ft{f(x)}{\xi}$$ $$ \Ft{f\ast g}{\xi} = \Ft{f(x)}{\xi} \cdot \Ft{g(x)}{\xi}$$ Tedy zde vidíme síle Fourierovy transformace. Ta převádí diferenciální problém na problém algebraický, nesrovnatelně jednodušeji řešitelný a konvoluci převádí na prosté násobení. K těmto vlastnostem časem dojdeme a budou odvozeny. Nyní už jen pár vět k zamyšlení. Zkuste si zamyslet, proč obraz derivace při $\F$ vypadá tak, jak vypadá. Pokud budeme uvažovat nějaký lineární operátor $L =\frac{\dd}{\dd x}$ na nějakém vektorovém prostoru (třeba zde na prostoru funkcí), tak jeho vlastní funkce (vektory) splňují rovnici $$ L f = \lambda f$$ a tedy $f(x) = c e^{\lambda x}$ pro libovolné $\lambda \in \C$. Pak bychom mohli tyto funkce považovat za jistou \uv{bázi} tohoto prostoru a zkoumat Fourierovy koeficienty v této bázi. Dostali bychom $$ \left \langle f, e^{\lambda x } \right \rangle =\displaystyle \int_{\R} f(x) e^{\lambda x} \dd x$$ Zde už je vidět jistá silná podobnost s předpisem pro Fourierovu transformaci a proto o ní můžeme tvrdit, že Fourierova transformace nezkoumá přímo chování prvku, ale chování jeho souřadnic v nějaké bázi. \end{remark} \section{Schwartzův prostor a prostor temperovaných zobecněných funkcí} V minulé sekci jsme narazili na problém, že fourierovský obraz nějaké funkce nemusí být integrabilní. Proto zavedeme jeden pojem, který již, jak se později ukáže, tuto vlastnost zajistí. \begin{define} Buď $f:\R^n \to \R$ reálná funkce. Pak tuto funkci nazveme \begin{enumerate} \item {\bf rychle klesající}, právě když $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+^n$ platí, že $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} |x^{\alpha}f(x)| < + \infty $; \item {\bf pomalu rostoucí}, právě když $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+^n$ platí, že $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \left | \frac{f(x)}{x^{\alpha}} \right| < +\infty$. \end{enumerate} \end{define} \begin{define} O funkci $f$ řekneme, že je prvkem {\bf Schwartzova prostoru $\SP(\R^n)$}, právě když jsou splněny tyto podmínky \begin{enumerate} \item $f \in \Ci (\R^n)$; \item $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_+^n \ \mathrm{sup}_{\R^n} \ |x^{\alpha}D^{\beta}f(x)| < +\infty$, tj. funkce a všechny její derivace jsou rychle klesající. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} $\SP$ je někdy též nazýván prostorem testovacích funkcí s otevřeným nosičem. \end{remark} \begin{remark} Právě o Schwartzově prostoru ukážeme, že $\F: \SP \to \SP$. \end{remark} \begin{reamrk} V následují poznámce ukážeme dvě důležité inkluze týkající se Schwartzova prostoru. \begin{enumerate} \item $\SP \subset L^1$ Abychom toto ukázali, využijeme faktu, že $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} \dd x$ konverguje pro všechna $\alpha > 1$. Uvažujme nyní $\phi \in \SP(\R)$ \footnote{Obdobně opět pro libovolnou dimenzi. }. Pak z vlastností funkcí z $\SP$ plyne, že (volbou $\beta = 0$) $|x^{\alpha} \phi(x)| < K_{\alpha}$ pro všechna $x$ větší než nějaké hraniční $x_0(\alpha)$. Nyní speciálně volbou $\alpha =2$ máme odhad $|\phi(x)|\leq \frac{K}{x^2} \in L^1(x_0,+\infty)$. Využijeme při odhadování naší funkce: $$ \displaystyle \int_{\R} |\phi(x)|\dd x = \displaystyle \int_{-R}^{R} |\phi(x)| \ddx + \displaystyle \int_{-\infty}^{-R} |\phi(x)| \dd x + \displaystyle \int_{R}^{+\infty} |\phi(x)| \dd x$$ Nyní první člen můžeme snadno odhadnout, neboť $\phi \in \Ci$ a integrujeme na kompaktu, tedy na množině, kde spojitá funkce nabývá svého maxima, a pro zbylé dva použijeme odhad výše. Tímto jsme ukázali, že tento integrál je konečný a tedy každá funkce ze Schwartzova prostoru $\SP$ je integrabilní. \item $\SP \supset \D$ Toto tvrzení je zřejmé. \end{enumerate} \end{remark} Jak jsme již zjistili, nejsme schopni zavést zobecněnou $\F$ na $\D'$, protože nemáme $\F:\D \to \D$. Ovšem pokud bychom měli znalost, že $\F: \SP \to \SP$, pak bychom byli schopni zavést $\F$ na duálním prostoru $\SP^{\sharp}$, což jsou veškeré lineární funkcionály nad $\SP$. Platí, že $\SP^{\sharp}\subset \D^{\sharp}$, protože funkcionál definovaný nad $\D$ nemusíme být schopni vůbec rozšířit na $\SP$. Jinak řečeno, zvětšením prostoru $\SP$ \uv{zmenšíme} definiční obor $\SP^{\sharp}$. Toto je onen klíčový krok, který nám umožní zavést $\F$ pro zobecněné funkce. Ovšem ne pro všechny. Bohužel. Ale pro veškeré zobecněné funkce z $\SP'$ \begin{define} Prostor lineárních spojitých funkcionálů nad $\SP(\R^n)$ nazveme {\bf prostorem temperovaných zobecněných funkcí (distribucí) $\SP'(\R^n)$}. \end{define} Abychom mohli na tomto prostoru ověřovat spojitost daného funkcionálu, je potřeba mít zadefinovaný pojem konvergence v $\SP$. \begin{define} Řekneme, že posloupnost $\{\phi_n\}_{n \in \mathbb{N} } \subset \SP$ {\bf konverguje k $\phi \in \SP$ v $\SP$}, označujeme $\phi_n \kS \phi$, právě když $$ \forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n} \ x^{\alpha} D^{\beta} \phi_n \sk{\R^n} x^{\alpha} D^{\beta} \phi.$$ \end{define} \begin{lemma} Buďte $\{\phi_n\}_{n \in \mathbb{N} } \subset \D$, $\phi \in \D$ a nechť $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$. Pak $\phi_n \kS \phi$. \begin{proof} Jelikož platí, že $\SP \supset \D$, jsou $\phi_k, \phi \in \SP$. Připomeňme, co znamená konvergence v $\D$. $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$, právě když $\exist R>0$ takové, že $\forall k\in \mathbb{N}$ platí, že $\nf \phi_k \subset B_R(0)$ a zároveň $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_{+}^{n}$ platí, že $D^{\alpha} \phi_k \sk{\R^n} \phi$. Chceme ukázat, že $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n} \ x^{\alpha} D^{\beta} \phi_n \sk{\R^n} x^{\alpha} D^{\beta} \phi$. Odhadneme výraz nalevo, tj. $|x^{\alpha} D^{\beta} \phi_n |\leq |R^n D^{\beta} \phi_n |$, což je funkce, která stejnoměrně konverguje dle předpokladu. Tento odhad jsme mohli udělat, protože funkce $\phi_n$ mají support omezený koulí $B_R(0)$ a tedy je možné $x^{\alpha}$ omezit $R^{\alpha}$. To, že výsledná funkce je funkcí, kterou si přejeme získat, plyne z bodové konvergence. \end{proof} Pomocí toho lemmatu nyní dokážeme, že prostor $\SP'$ je obsažen v $\D'$. Zároveň při tom využijeme toho, že $\SP \supset \D$ a $\SP^{\sharp} \subset \D^{\sharp}$. \begin{lemma} $\SP' \subset \D'$. To znamená, že $f\in \SP' \Rightarrow f\in \D'$. \begin{proof} Buď $f \in \SP'$. Chceme ukázat, že $f\in \D'$, to ale znamená ověřit linearitu a spojitost. Linearita je zjevná. Pro ověření spojitosti volme posloupnost $\phi_k \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$. Platí pak, že $(f,\phi_k) \to (f,\phi)$ jako číselná posloupnost? Dle předešlého lemmatu platí, že $\phi_k \kS \phi$. Ze spojitosti funkcionálu $f \in \SP'$ pak ale plyne, že konverguje číselná posloupnost $(f,\phi_k) \to (f,\phi)$, což bylo dokázat. \end{proof} \end{lemma} Co nám tento důsledek říká? Už víme, že každá temperovaná zobecněná funkce je zobecněná funkce ve smyslu dříve definovaném. Neříká nám nic ale o tom, jestli jsou tyto zobecněné funkce regulární. Toto nemusí být pravda. Regulární zobecněná funkce nemusí být temperovanou zobecněnou funkcí. Abychom toto demonstrovali, uvažujme zobecněnou regulární funkci $\widetilde{e^{x^2}}$. Kdyby byla $\widetilde{e^{x^2}}\in \SP'$, dávala by pro libovolnou $\phi \in \SP$ konečné číslo. Nyní berme $ \phi(x)= e^{-x^2}\in \SP$. Pak $$\left(\widetilde{e^{x^2}},\phi(x) \right) = \left(\widetilde{e^{x^2}}, e^{-x^2} \right) = \displaystyle \int_{\R} e^{x^2}e^{-x^2} \dd x = +\infty .$$ \begin{remark } Díky inkluzi $\SP' \subset \D'$ máme k dispozici veškeré operace zavedené na $\D'$. Jedná se o derivaci, násobení hladkou funkcí, regulární transforamci, limitu, konvoluci a tensorový součin. Je ale potřeba ukázat, že $\SP'$ je vůči těmto operacím uzavřený. Tato vlastnost nám pak zaručí uzavřenost (později definové) $\F$ nad $\SP'$. \end{remark} \begin{theorem} Prostor $\SP'$ je uzavřen vůči výše jmenovaným operacím s výjimkou násobení hladkou funkcí. Vlastnosti těchto operací se zachovávají. \begin{proof} Vizte [Šťovíček]. Jako cvičení je možné si samostatně ukázat např. uzavřenost vůči derivaci. Dokazování uzavřenosti konvoluce a tensorového součinu je náročné. \end{proof} \end{theorem} \subsubsection{Násobení v $\SP'$} Operace násobení hladkou funkcí tak, jak je definována na $\D'$, není v $\SP'$ dobře použitelná. Připomeňme její definici. Uvažujme $a\in \Ci$, $f\in \D'$ pak $a\cdot f$ jsme definovali: $ (a(x)\cdot f(x),\phi(x)):= (f(x),a(x)\phi(x))$. Využívali jsme toho, že $a(x)\phi(x)\in \D$. Toto ale pro $\SP$ nefunguje. Uvažujme například (opět) $a(x) = e^{x^2} \in \Ci$ a $\phi(x) = e^{-x^2} \in \SP$. Pak $a(x)\phi(x) =1 \notin \SP$. Proto na funkci $a$ potřebujeme uvalit další podmínku. Jeví se jako nejpřirozenější požadovat, aby byla rychle klesající se všemi svými derivacemi. \begin{theorem} Buď $a \in \Ci$ a nechť je dále $a$ rychle klesající se všemi svými derivacemi. Pak $af \in \SP'$ pro libovolné $f\in \SP'$. \begin{proof} Je třeba opět ověřit linearitu a spojitost. Linearitu je očividná. Zbývá tedy ukázat, že pro $\phi_k \kS 0$ platí, že $(af,\phi_k)\to 0$. To, že posloupnost konverguje, říká jen to, že $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n} \ x^{\alpha} D^{\beta} \phi_k \sk{\R^n} 0$. My musíme vyzkoumat konvergenci výrazu $a\phi_k$. Pokud ukážeme, že $a\phi_k \kS 0$ dostaneme ze spojitosti $f$ informaci, že $(f, a\phi_k) \to 0$, což dokáže toto tvrzení. Musíme tedy ukázat, že $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_{+}^{n} \ x^{\alpha} D^{\beta} a\phi_k \sk{\R^n} 0$. Zde ale jen stačí vhodně použít Leibnizovo pravidlo a máme hotovo. Využíváme pak jenom toho, že díky hladkosti můžeme $a$ odhadnout na libovolném kompaktu konstantou a v $\pm \infty$ je $a$ díky tomu, že je rychle klesající, odhadnutelná polynomem. \end{proof} \end{theorem} \begin{define} O zobecněné funkci $f$ řekneme, že patří do {\bf prostoru $\SP'_{reg}$}, právě když je $f$ jako zobecněná funkce regulární, tj. $f\in \D'$ a pokud je její generátor, tj. klasická funkce $f$ pomalu rostoucí. \end{define} \begin{remark} Zřejmě $\SP'_{reg} \subset \SP' \cap \D'_{reg}$. \end{remark} Měli bychom ověřit, že naše definice dává dobrý smysl. Mějme tedy $f\in L^1_{loc}$ (a tedy $f$ jako zobecněná funkce náleží do $\D'_{reg}$). Buď navíc $f$ pomalu rostoucí, tj. $\exists \alpha^{\ast} \in \mathbb{Z}_+^n$ tak, že $\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} \left| \frac{f(x)}{x^{\alpha^{\ast}}} \right| < +\infty$. Nyní buď $\phi \in \SP$, pak máme $$(f,\phi):= \displaystyle \int_{\R} f(x)\phi(x) \dd x = \displaystyle \int_{-R}^{R} f(x)\phi(x) \ddx + \displaystyle \int_{-\infty}^{-R} f(x)\phi(x) \dd x + \displaystyle \int_{R}^{+\infty} f(x)\phi(x)\dd x$$ První člen je opět integrál přes kompaktní množinu, tzn. funkce $\phi$ na ní nabývá svého maxima, kterým ji můžeme odhadnout. Funkce $f$ je navíc lokálně integrabilní, takže první člen máme odhadnutý. Zbývá provést odhad na zbylé dva členy. Vzhledem k jejich symetrii odhadneme pouze jeden z nich. Využijeme přitom toho, že $f$ je pomalu rostoucí. Z té totiž plyne, že existuje takové $C$, že $\forall x>R \ |f(x)| \leq C x^{\alpha^{\ast}}$. Pak ale máme odhad $$\displaystyle \int_{R}^{+\infty} f(x)\phi(x)\dd x \leq \displaystyle \int_{R}^{+\infty} |f(x)\phi(x)|\dd x \leq \displaystyle \int_{R}^{+\infty} C |x^{\alpha^{\ast}}\phi(x)|\dd x <+\infty$$ Na závěr jsme využili faktu, že $x^{\alpha^{\ast}}\phi(x) \in \SP \subset L^1(\R)$. Tímto jsme ukázali, že naše definice dává dobrý smysl, neboť výsledek působení funkce $f\in \SP'_{reg}$ na libovolnou $\phi \in \SP$ je konečný. Linearita a spojitost jsou jasné. \section{Fourierova transformace na $\SP$} \begin{define} Buď $\phi \in \SP(\R^n)$. Pak Fourierovou transformací $\F$ rozumíme zobrazení $$ \F: \phi(x) \mapsto \Ft{\phi(x)}{\xi} := \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x\xi}\phi(x) \dd x.$$ \end{define} \begin{remark} Někdy budeme pro zjednodušení zápisu psát místo $\Ft{\phi(x)}{\xi}$ jen $\widehat{\phi}(\xi)$. \footnote{Na přednáškách se značilo oběma způsoby, já budu používat jediný} \end{remark} \begin{remark} Jelikož je $\SP \subset L^1$, víme již o $\F$ následující: \begin{enumerate} \item $\Ft{\phi}{\xi}$ je omezená, tzn. integrál konverguje absolutně; \item Můžeme snadno zaměňovat limitu a integrál, neboť ten je snadno majorizovatelný. Odtud ale plyne, že funkce $\Ft{\phi}{\xi}$ je spojitá. \end{enumerate} \end{remark} Nyní si dokážeme dvě elementární tvrzení, která jsou ale zcela klíčová pro použití Fourierovy transformace \begin{theorem}[Chování vůči derivaci] Buď $\phi \in \SP$. Pak platí \begin{enumerate} \item $$ \frac{\partial}{\partial \xi} \Ft{\phi(x)}{\xi} = \Ft{(\im x) \phi(x)}{\xi}; $$ \item $$ \Ft{\frac{\dd}{\dd x}\phi(x)}{\xi} =(-\im \xi) \Ft{\phi(x)}{\xi}.$$ \end{enumerate} \begin{proof} Dokážeme obě tvrzení pro jednoduchost pouze pro $\R$: $$ \frac{\partial}{\partial \xi} \Ft{\phi(x)}{\xi} = \frac{\partial}{\partial \xi} \displaystyle \int_{\R} e^{\im x \xi} \phi(x) \dd x = \displaystyle \int_{\R} (\im x)e^{\im x \xi}\phi(x) \dd x = \Ft{(\im x) \phi(x)}{\xi}$$ Přitom jsme využili faktu, že $\left| (\im x)e^{\im x \xi}\phi(x) \right| \leq |\im x \phi(x)| \in \SP \subset L^1(\R)$. Jelikož jsme dokázali odhadnout derivaci, mohli jsme použít větu o záměně derivace a integrálu. Druhé tvrzení se dokáže obdobně: $$ \Ft{\frac{\dd}{\dd x}\phi(x)}{\xi} = \displaystyle \int_{\R} e^{\im x \xi} \frac{\dd}{\dd x}\phi(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize per partes}}{=} \underbrace{\left[ e^{\im x \xi} \phi(x) \right]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0 \ (\phi\in \SP)} - (\im \xi) \displaystyle \int_{\R} e^{\im x \xi} \phi(x) \dd x = - (\im \xi) \Ft{\phi(x)}{\xi} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Je jasné, že obě tvrzené lze rozšířit pro libovolnou derivaci, tj. $$ D^{\alpha}_{\xi} \Ft{\phi(x)}{\xi} = \Ft{(\im x)^{\alpha}\phi(x)}{\xi};$$ $$ \Ft{D^{\alpha}_{x}\phi(x)}{\xi} =(-\im \xi)^{\alpha} \Ft{\phi(x)}{\xi}.$$ \end{remark} Za pomoci těchto dvou tvrzení dokážeme následující důležitou větu. K jejímu důkazu ještě navíc využijeme faktu, že pokud $\phi \in \SP$, pak také $x^{p}\phi(x) \in \SP$ pro $p \in \mathbb{N}$. \begin{theorem} Prostor $\SP$ je invariantní vůči $\F$, tj. $\F: \SP \to \SP$. \begin{proof} Chceme ukázat, že pokud $\phi \in \SP$, tak pak $\Ft{\phi(x)}{\xi} \in \SP$. Abychom tohle ukázali, musíme ukázat, že $\sup_{\R} \left| \xi^{\alpha} D^{\beta} \Ft{f(x)}{\xi}\right| <+ \infty$. Na výraz uvnitř závorek nejdříve použijeme první tvrzení, tj. $\left| \xi^{\alpha} D^{\beta} \Ft{f(x)}{\xi}\right| = \left|\xi^{\alpha} \Ft{(\im x)^{\beta}\phi(x)}{\xi}\right|$. Následně využijeme druhého tvrzení, tj. $\left|\xi^{\alpha} \Ft{(\im x)^{\beta}\phi(x)}{\xi}\right| = \Ft{D^{\alpha}_x (x^{\beta}\phi(x))}{\xi} \right| < +\infty.$ To, že je výraz menší než nekonečno plyne z toho, že $D^{\alpha}_x (x^{\beta}\phi(x)) \in \SP$ a již víme, že $\F$ je omezená na tomto prostoru. \end{proof} \end{theorem} V následující části budou postupně dokazovány různé užitečné vlastnosti Fourierovy transformace. \begin{theorem} Fourierova transformace jako zobrazení $\F:\SP \to \SP$ je spojité zobrazení. \begin{proof} Bereme posloupnost $\phi_n(x) \kS 0$. Zajímá nás, jestli odtud plyne, že konverguje rovněž $\Ft{\phi_n(x)}{\xi} \kS 0$. To, že posloupnost $\phi_n$ konverguje v $\SP$ k 0 znamená, že $\forall \alpha,\beta \ x^{\alpha}D^{\beta} \phi_n \sk{\R^n}0$. Označme $$\psi ^{\alpha,\beta}_n := D^{\alpha}_x ((\im x)^{\beta}\phi_n(x)).$$ Pak tato posloupnost rovněž stejnoměrně konverguje k 0 na $\R^n$. Tento fakt vychází z předpokladu konvergence posloupnosti $\phi_n$ a vlastností derivace a násobení. Nyní nám stačí prozkoumat, jestli v $\SP$ konverguje k 0 posloupnost $\F[\psi ^{\alpha,\beta}_n]$. Toto pak totiž bude znamenat, že $\forall \alpha, \beta x^{\alpha}D^{\beta} \F[\phi_n(x)] \sk{\R^n}0$. Zkoumejme tedy $$\left | \Ft{\psi ^{\alpha,\beta}_n}{\xi} \right| = \left| \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x \xi} \psi ^{\alpha,\beta}_n(x) \dd x \right| \leq \displaystyle \int_{\R^n} \left| \psi ^{\alpha,\beta}_n (x)\right| \dd x $$ Získali jsme tedy odhad nezávislý na $\xi$. Díky tomuto můžeme volně zaměňovat limitu a integrál. Nyní proto prozkoumáme limitu $\forall \xi \in \R^n$: $$ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \displaystyle \int_{\R^n} \left| \psi ^{\alpha,\beta}_n (x)\right| \dd x = \displaystyle \int_{\R^n} \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left| \psi ^{\alpha,\beta}_n (x)\right| \dd x = 0$$ Poslední rovnost plyne ze stejnoměrné konvergence posloupnosti $\psi ^{\alpha,\beta}_n$. Tímto jsme dokázali stejnoměrnou konvergenci Fourierových obrazů a tedy jsme ukázali, že Fourierova transformace převádí konvergentní posloupnost na konvergentní posloupnost, a tedy se jedná o spojité zobrazení. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Posuny v argumentech] Buď $\phi \in \SP(\R^n)$ a nechť $b\in \R^n$ a $c \in \mathbb{C}$. Pak \begin{enumerate} \item $$\Ft{\phi(x)}{\xi +b} = \Ft{e^{\im bx} \phi(x)}{\xi};$$ \item $$ e^{\im b\xi}\Ft{\phi(x)}{\xi} = \Ft{\phi(x-b)}{\xi};$$ \item $$\Ft{\phi(cx)}{\xi} = \frac{1}{|c|^n} \Ft{\phi(x)}{\frac{\xi}{c}}. \end{enumerate} \begin{proof} Důkaz je zřejmý. Ve všech případech se využívá jen definice a substituce v integrálu. Ukažme pro ilustraci třeba třetí tvrzení: $$\Ft{\phi(cx)}{\xi} = \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x \xi} \phi(cx) \dd x = \frac{1}{|c|^n} \displaystyle \int e^{\im y \frac{\xi}{c}}\phi(y) \dd y = \frac{1}{|c|^n} \Ft{\phi(x)}{\frac{\xi}{c}}.$$ \end{proof} \end{theorem} \begin{define} {\bf Částečnou Fourierovou transformaci} definujeme pro $\phi\in \SP(\R^{n+m})$ takto: $$\F_x[\phi(x,y)](\xi,y) := \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x\xi}\phi(x,y) \dd x;$$ $$ \F_y[\phi(x,y)](x,\xi) := \displaystyle \int_{\R^m} e^{\im y\xi}\phi(x,y) \dd y.$$ \end{define} \begin{theorem}[o částečné Fourierově transformaci] Platí: \begin{enumerate} \item $$\F_x \circ \F_y = \F_y \circ \F_x = \F;$$ \item $$D^{\alpha}_{\xi} \F_x \left[\phi(x,y)\right](\xi,y) = \F_x \left[(\im x)^{\alpha} \phi(x,y)\right](\xi,y);$$ \item $$\F_x\left[D^{\alpha}_{x} \phi(x,y)\right] (\xi,y) = (\im \xi)^{\alpha} \F_x[ \phi(x,y)](\xi,y).$$ \end{enumerate} \begin{proof} První tvrzení plyne okamžitě z Fubiniovy věty. Druhé a třetí se dokazují stejně, jako bylo výše uvedeno. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[o konvoluci] Buďte $\phi,\psi \in \SP$. Pak $$\Ft{\phi \ast \psi}{\xi} = \Ft{\phi(x)}{\xi} \!\cdot \! \Ft{\psi(x)}{\xi}.$$ \begin{proof} $$\Ft{\phi \ast \psi}{\xi} = \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x \xi} (\phi \ast \psi)(x) \dd x = \displaystyle \int_{\R^n}\dd x \ e^{\im x \xi} \displaystyle \int_{\R^n} \dd y \ \phi(y) \psi (x-y) = $$ Zde jsme použili definici konvoluce. Nyní můžeme použít Fubiniovu větu ($\phi, \psi \in \SP \subset L^1$) a pomocí substituce výraz dále upravit $$ = \displaystyle \int_{\R^{2n}} \dd x \dd y \ e^{\im x \xi} \phi(y) \psi (x-y) = \displaystyle \int_{\R^{2n}} \dd y \dd z \ e^{\im (y+z) \xi} \phi(y) \psi (z) = $$ $$= \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im y \xi}\phi(y) \dd y \cdot \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im z \xi}\psi(z) \dd z = \Ft{\phi(x)}{\xi} \! \cdot \! \Ft{\psi(x)}{\xi}$$ \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buďte $\phi,\psi \in \SP$. Pak $$ \displaystyle \int_{\R} \phi(x) \Ft{\psi(y)}{x} \dd x = \displaystyle \int_{\R} \Ft{\phi(y)}{x} g(x) \dd x.$$ \begin{proof} $$ \displaystyle \int_{\R} \phi(x) \Ft{\psi(y)}{x} \dd x = \displaystyle \int_{\R} \dd x \ \phi(x) \int_{\R} \dd y \ e^{\im yx}\psi(y) \stackrel{\mbox{\scriptsize Fubini}}{=} \displaystyle \int_{\R} \dd x \ \psi(x) \int_{\R} \dd y \ e^{\im yx}\phi(y) = \displaystyle \int_{\R} \Ft{\phi(y)}{x} g(x) \dd x$$ \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Zkuste se zamyslet, jak je v tomto případě možné zeslabit předpoklady na funkce $\phi, \psi$. Předpoklad, aby byly z prosotru $\SP$ je totiž docela silný. To, jaké jsou tedy podmínky na tyto funkce, vyplývá přímo z předpokladů Fubiniovy věty, která je v důkazu použita. \end{remark} \begin{theorem} \label{o_bijekci} $\F: \SP(\R^n) \to \SP(\R^n)$ je bijekce a navíc platí, že $\F^{-1} = \frac{1}{(2\pi)^n} \bar{\F}$, kde $$\bar{\F}[\phi(x)](\xi):= \displaystyle \int_{\R^n} e^{-\im x\xi}\phi(x) \dd x.$$ \begin{proof} Důkaz tohoto tvrzení provedeme ve chvíli, kdy budeme znát $\F: \SP' \to \SP'$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Fourierovu transformaci lze zavést mnoha způsoby, resp. princip je zcela totožný, jen se mění \uv{rozdistribuování} konstanty $\frac{1}{(2\pi)^n}$. \end{remark} \begin{theorem}[Riemann-Lebesgueovo lemma] Buď $\phi \in \SP$. Pak $\displaystyle \lim_{\xi \to + \infty} \Ft{\phi(x)}{\xi} = 0$. \begin{proof} Tvrzení věty je okamžitým důsledkem Riemann-Lebesgueova lemmatu z klasické analýzy. \end{proof} \end{theorem} \noindent {\bf Příklad} \noindent Tento příklad se korektně (pomocí integrace v komplexní rovině) vyřeší na cvičeních, ale je vhodné si jej zde uvést. $$\Ft{e^{-x^2}}{\xi} = \displaystyle \int_{\R} e^{\im x \xi} e^{-x^2} \dd x = \sqrt{\pi} e^{- \frac{\xi ^2}{4}}.$$ Zkoumejme nyní výraz $\Ft{e^{-(cx)^2}}{\xi} = \frac{1}{c} \Ft{e^{-x^2}}{\frac{\xi}{c}} = \frac{\sqrt{\pi}}{c} e^{- \frac{\xi ^2}{4c^2}} $. Zvolíme-li za $c = \frac{1}{\sqrt{2}}$, máme $\Ft{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\xi} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{-\frac{x^2}{2}}$. Toto ale neznamená nic jiného, než že jsme našli vlastní funkci operátoru $\F$ a jemu příslušné vlastní číslo. \section{Fourierova transformace na $\SP'$} \subsection{Motivace} Uvažujme funkci $f \in L^1(\R)$. Pak už víme, že existuje $\Ft{f(x)}{\xi}$, která je omezená a spojitá. Díky omezenosti je ale funkce $\frac{1}{1+\xi^2}\Ft{f(x)}{\xi} \in L^1(\R)$. Pak ale můžeme tvrdit (dokonce jsme to tímto krokem ukázali), že funkce $\Ft{f(x)}{\xi}$ je pomalu rostoucí. Tudíž funkce $\widetilde{\Ft{f(x)}{\xi}} \in \SP'_{reg}$. Tohoto využijeme. Buď tedy $\phi \in \SP$ a nechť $\widetilde{\Ft{f(x)}{\xi}} \in \SP'_{reg}$. Pak $$ (\widetilde{\Ft{f(x)}{\xi}},\phi(\xi)) = \displaystyle \int_{\R^n} \widetilde{\Ft{f(x)}{\xi}} \phi(\xi) \dd \xi = \displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \ \displaystyle \int_{\R^n } \dd x \ e^{\im x\xi} f(x) \phi(\xi) \stackrel{\mbox{\scriptsize Fubini}}{=} $$ $$ =\displaystyle \int_{\R^n} \dd x \ f(x) \left( \displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \ e^{\im x\xi}\phi(\xi) \right) = \displaystyle \int_{\R^n} f(x) \Ft{\phi(\xi)}{x} \dd x = (f(x),\Ft{\phi(\xi)}{x}).$$ Ona poslední rovnost vychází právě z výše ukázaného. \begin{remark} Z Fourierovy transformace klasických funkcí plyne, že $\phi\in \SP \Rightarrow \Ft{\phi(x)}{\xi} \in \SP$. Dále pak z její spojitosti plyne fakt, že $\F$ (ve smyslu transformace zobecněných funkcí) mohu rozšířit na celý prostor $\SP'$ a není nutné se omezovat prostorem $L^1$. \end{remark} \begin{define} Buď $f\in \SP'$. Pak {\bf Fourierovou transformací zobecněné funkce $f$} rozumíme: $$ (\F[f],\phi) := (f,\F[\phi]). $$ \end{define} \begin{remark} Z předešlé poznámky plyne dobrý smysl definice, protože $\F[\phi] \in \SP$. Rovněž, z textu nahoře, vyplývá, že pokud $f\in \SP'$, tak pak i $\F[f] \in \SP'$. \end{remark} \begin{remark} Uvažujme $f\in \SP'$ a $\phi \in \SP$. Pak podle definice je $(\F[f],\phi) := (f,\F[\phi])$. Jelikož ale víme, že $\F$ je na $\SP$ spojité zobrazení, znamená to, že převede libovolnou konvergentní posloupnost $\phi_n$ na konvergentní posloupnost $\F[\phi_n]$. Díky spojitosti $f$ víme, že $(f,\F[\phi_n])$ bude konvergentní číselná posloupnost. Tímto jsme ale dokázali, že $\F[f]$ je spojitý funkcionál na $\SP$. Je zjevně rovněž lineární, tedy jsme ukázali, že $\F[f] \in \SP'$. Tedy $\F: \SP' \to \SP'$. \end{remark} Fourierovu transformaci jsme již zavedli na $L^1$, $\SP$ a $\SP'$. Tyto znalosti nám pomohou řešit příklady, které bychom jinak nedokázali spočítat. Například mějme $\Theta(x)$. Fourierův obraz této funkce bychom nedokázali spočítat, ale jelikož $\Theta(x) \in \SP'$ ve smyslu zobecněné funkce, je možné zjistit takto její Fourierův obraz. Následující příklad ukáže, že nemůžeme obecně nic tvrdit o nosiči Fourierova obrazu. Chceme spočítat $\Ft{\delta_{x_0}}{\xi}$. Je zřejmé, že $\delta_{x_0} \in \SP'$. $$ (\F[\delta_{x_0}], \phi) = (\delta_{x_0}, \F[\phi]) = \left \Ft{\phi}{\xi}\right|_{x=x_0} = \left \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x\xi} \phi(\xi) \dd \xi \right|_{x=x_0} = $$ $$ = \displaystyle \int_{\R^n} e^{\im x_0 \xi} \phi(\xi) \dd \xi = (\widetilde{e^{\im x_0 \xi}} ,\phi )$$ V poslední úpravě jsme si všimli toho, že to není nic jiného, než definice akce zobecněné regulární funkce (v našem případě temperované) na funkci $\phi$. Tedy jsme nalezli Fourierův obraz Diracovy delta funkce: $$ \Ft{\delta_{x_0}}{\xi} = e^{\im x_0 \xi} $$ Je odtud taky vidět, že Fourierova transformace převedla jednobodový nosič na celé $\R^n$. \subsection{Vlastnosti $\F$ na $\SP'$} Následující část bude věnována vlastnostem Fourierovy transformace na $\SP'$. Tvrzení jsou vesměs zcela identická jako v předešlé podkapitole, důkazy jsou opět jednoduché. Jejich základním principem je využití příslušné dané vlastnosti u funkcí z $\SP$. \begin{theorem}[o derivaci] Buď $f \in \SP'$. Pak \begin{enumerate} \item $$ D^{\alpha}_{\xi} \Ft{f(x)}{\xi} = \Ft{(\im x)^{\alpha}f(x)}{\xi};$$ \item $$ \Ft{D^{\alpha}_{x}f(x)}{\xi} =(-\im \xi)^{\alpha} \Ft{f(x)}{\xi}.$$ \end{enumerate} \begin{proof} Buď $\phi \in \SP$ libovolné. Pak $$ ( D^{\alpha}_{\xi} \Ft{f(x)}{\xi}, \phi(\xi) ) = (-1) ^{|\alpha|} (\Ft{f(x)}{\xi}, D^{\alpha}_{\xi} \phi(\xi)) = (-1) ^{|\alpha|} (f(x), \Ft{D^{\alpha}_{\xi} \phi(\xi)}{x}) =$$ $$ = (-1) ^{|\alpha|} (f(x), (-\im x)^{\alpha} \Ft{\phi(\xi)}{x}) = (f(x) (\im x)^{\alpha} , \Ft{\phi(\xi)}{x} ) = (\Ft{(\im x)^{\alpha}f(x)}{\xi}, \phi(\xi))$$ Druhé tvrzení se dokáže zcela analogicky. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} $\F: \SP' \to \SP'$ je spojité zobrazení. \begin{proof} O tom, že $\F: \SP' \to \SP'$ jsme se již přesvědčili. Nyní zbývá ukázat spojitost. Mějme tedy posloupnost $\{f_k\} \subset \SP'$, $f \in \SP'$ a nechť $f_k \to f$ v $\SP'$. Toto znamená, že $\forall \phi \in \SP$ je $\displaystyle \lim_{k\to + \infty} (f_k,\phi) = (f,\phi)$. Chceme ukázat, že dotud plyne $\F[f_k] \to \F[f]$. Zkoumejme tedy $$ \displaystyle \lim_{k\to + \infty} (\Ft{f_k}{\xi},\phi(\xi))= \displaystyle \lim_{k\to + \infty} (f_k(x),\Ft{\phi(\xi)}{x}) =(f(x),\Ft{\phi(\xi)}{x}) = (\F[f],\phi)$$ V důkazu jsme využili toho, že $\Ft{\phi(\xi)}{x}\in \SP$ a spojitosti $f$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buď $f \in \SP'(\R^n)$ a nechť $b\in \R^n$ a $c \in \mathbb{C}$. Pak \begin{enumerate} \item $$\Ft{f(x)}{\xi +b} = \Ft{e^{\im bx} f(x)}{\xi};$$ \item $$ e^{\im b\xi}\Ft{f(x)}{\xi} = \Ft{f(x-b)}{\xi};$$ \item $$\Ft{f(cx)}{\xi} = \frac{1}{|c|^n} \Ft{f(x)}{\frac{\xi}{c}}. \end{enumerate} \begin{proof} Ukážeme pouze první tvrzení, zbylá dvě se dokazují zcela analogicky. Zajímá nás opět působení na libovolnou funkci $\phi \in \SP$. $$(\Ft{f(x)}{\xi +b},\phi(\xi)) = (\Ft{f(x)}{\xi},\phi(\xi -b)) = (f(x),\Ft{\phi(\xi -b)}{x} = $$ $$= (f(x), e^{\im bx } \Ft{\phi(\xi)}{x}) = (\Ft{e^{\im bx} f(x)}{\xi},\phi(\xi))$$ Opět jsme jen ve třetí rovnosti využili analogie tohoto tvrzení v $\SP$. \end{proof} \end{theorem} \begin{define} {\bf Částečnou Fourierovou transformaci} definujeme pro $\forall f\in \SP'(\R^{n+m})$ a $\forall \phi \in \SP(R^{n+m})$ takto: $$(\F_x[f(x,y)](\xi,y)\phi(\xi,y) := (f(x,y), \F_x[\phi(\xi,y)](x,y)$$ Obdobně pro $\F_y$ \end{define} \begin{theorem}[o částečné Fourierově transformaci] Platí: \begin{enumerate} \item $$\F_x \circ \F_y = \F_y \circ \F_x = \F;$$ \item $$\F_x [f(x) \ts g(y)](\xi,y) = \F_x[f(x)](\xi) \ts g(y);$$ \item $$\F_y [f(x)\ts g(y)](x,\eta) = f(x) \ts \F_y[g(y)](\eta);$$ \item $$ \Ft{f(x)\ts g(y)}{\xi,\eta} = \F_x[f(x)](\xi) \ts \F_y[g(y)](\eta).$$ \end{enumerate} \begin{proof} Důkazy jsou zřejmé, využívá se opět jen vlastností z předešlé sekce a definice tensorového součinu. \end{proof} \end{theorem} Nyní spočítáme jeden na první pohled zvláštní příklad. Znalost jeho výsledku nám ale pomůže s důkazem další věty. Určíme totiž $\Ft{1}{\xi}$. \noindent Uvědomme si nejprve, že $\F$ je lineární jak v $\SP$, tak i v $\SP'$. Proto zcela jistě platí, že $$ 0 = \Ft{0}{\xi} = \Ft{\frac{\dd}{\dd x}1}{\xi} = (-\im \xi)\Ft{1}{\xi}.$$ Nyní se odvoláme na větu \ref{o_reseni_rce} z předešlé kapitoly, která tvrdí, že pokud $0= xf(x)$ v $\D'$, pak $f(x)= C \delta(x)$. Maje tyto dvě znalosti, můžme psát, že $\im \F[1] = C\delta$, což ještě můžeme přeznačit na $\F[1]= c\delta \in \SP'$. Zbývá nám určit konstantu $c$. Využijeme k tomu jednoho předešlého výsledku. $$ (\F[1](\xi),e^{-\xi^2}) = (c\delta(\xi), e^{-\xi^2}) = c$$ Zároveň víme, že $$ (\F[1](\xi),e^{-\xi^2}) = (1, \underbrace{\Ft{e^{-\xi^2}}{x}}_{= \sqrt{\pi}e^{-\frac{\x^2}{4} } ) = \sqrt{\pi} \displaystyle \int_{\R} e^{-\frac{\x^2}{4} \dd x = 2\pi$$ Odtud tedy máme výsledek $$ \Ft{1}{\xi} = 2\pi \delta(\xi).$$ Nyní dokážeme větu \ref{o_bijekci}, kterou jsme slíbili ukázat a společně s ní následujcí větu. \begin{theorem} $\F: \SP' \to \SP'$ je bijekce a navíc platí, že $\F^{-1} =\frac{1}{(2\pi)^n} \overline{\F}$. \begin{remark} $$(\overline{\F}[f],\phi) = (f,\overline{\F}[\phi]$$ \begin{proof} \begin{enumerate} \item[i) v $\SP$] Předpokládejme pro jednoduchost opět, že se pohybujeme v dimensi 1. Musíme ukázat, že $\F\overline{\F} = \overline{\F}\F = (2\pi)^n id_{\SP}$. Musíme ukázat obě rovnosti, neboť prostor funkcí, na kterém tento operátor působí, je prostorem nekonečné dimense. Nejprve prozkoumáme výraz $\overline{\F}[\phi(\xi)](x)$: $$\overline{\F}[\phi(\xi)](x) = \displaystyle \int_{\R} e^{-\im x\xi} \phi(\xi) \dd \xi = \displaystyle \int_{\R} e^{i x \eta} \phi(-\eta) \dd \eta = \Ft{\phi(-\eta)}{x}.$$ Ve druhé rovnosti jsme jen provedli substituci $\xi = -\eta$, ze které vypadlo jedno mínus před integríáál, které se ihned použilo na obrácení mezí. Nyní zkoumejme $\Ft{\overline{\F}[\phi(\xi)](x)}{y}$: $$\Ft{\Ft{\phi(-\eta)}{x}}{y} = \displaystyle \int_{\R} = e^{\im xy} \Ft{\phi(-\eta)}{x} \dd x =$$ Nyní přeznačíme $\phi(-\eta) = \psi(\eta)$ a upravíme integrand dle věty o posunu v argumentu. $$ = \displaystyle \int_{\R} \Ft{\psi(\eta - y )}{x} \dd x = \displaystyle \int_{\R} \Ft{\phi(y-\eta)}{x} \dd x.$$ V tuto chvíli je třeba provést drobný trik, kvůli kterému jsme počítali $\F[1]$. $$ \displaystyle \int_{\R} \Ft{\phi(y-\eta)}{x} \dd x = (1, \Ft{\phi(y-\eta)}{x}) = (\Ft{1}{\eta},\phi(y-\eta)) = (2\pi \delta (\eta),\phi(y-\eta)) = 2\pi \phi(y).$$ Tímto jsme tedy ukázali, že $(\F \circ \overline {\F})(\phi) = 2\pi \phi$, což jsme měli ukázat. Druhá rovnost se ukáže zcela stejně. \item[ii) v $\SP'$] Zde musíme ukázat, že $\F\overline{\F} = \overline{\F}\F = (2\pi)^n id_{\SP'}$. Pro důkaz využijeme předešlého tvrzení. $$ ((\F\overline{\F}[f])(y),\phi(y) ) = $$