01RMF:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 71: | Řádka 71: | ||
O funkci $f$ řekneme, že je prvkem {\bf Schwartzova prostoru $\SP(\R^n)$}, právě když jsou splněny tyto podmínky | O funkci $f$ řekneme, že je prvkem {\bf Schwartzova prostoru $\SP(\R^n)$}, právě když jsou splněny tyto podmínky | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item $f \in \Ci (\R^n); | + | \item $f \in \Ci (\R^n)$; |
+ | |||
\item $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_+^n \ \mathrm{sup}_{\R^n} \ |x^{\alpha}D^{\beta}f(x)| < +\infty$, tj. funkce a všechny její derivace jsou rychle klesající. | \item $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_+^n \ \mathrm{sup}_{\R^n} \ |x^{\alpha}D^{\beta}f(x)| < +\infty$, tj. funkce a všechny její derivace jsou rychle klesající. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} |
Verze z 10. 11. 2016, 00:24
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01RMF
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01RMF | Mazacja2 | 16. 12. 2016 | 19:29 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 28. 12. 2016 | 14:12 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 18. 12. 2016 | 22:10 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 9. 11. 2016 | 21:51 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:34 | motivace.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněné funkce | Lomicond | 7. 12. 2019 | 17:51 | zobecnene_funkce.tex | |
Kapitola3 | editovat | Integrální transformace | Lomicond | 25. 12. 2019 | 16:58 | integralni_transformace.tex | |
Kapitola4 | editovat | Řešení dif. rovnic | Johndavi | 9. 4. 2019 | 16:15 | reseni.tex | |
Kapitola5 | editovat | Integrální rovnice | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:25 | Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Sturm-Liouvilleova teorie | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:35 | Kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF} \chapter{Integrální transformace} Vybudovali jsme prostor zobecněných funkcí a pomalu směřujeme k řešení parciálních diferenciálních rovnic. Jak jsme viděli na konci minulé kapitoly, jsme na dobré cestě. V této kapitole se tedy budeme věnovat integrálním transformacím, konkrétně Laplaceově a Fourierově, které, jak uvidíme, jsou velmi mocným a užitečným nástrojem. Abychom s nimi mohli začít pracovat, je potřeba ještě vybudovat jistý speciální prostor a na něm zadefinovat speciální třídu zobecněných funkcí. \section{Motivace} Na následujících několika řádcích a příkladech se pokusíme objasnit, proč je třeba revidovat naši definici zobecněných funkcí a proč je třeba vytvoření nějakého nového prostoru. Naší snahou a naším cílem je vytvoření takové struktury, která by byla uzavřená právě vůči integrálním transformacím, jako je například Fourierova transformace $\F$. Proto ji nyní poněkud neformálně zavedeme. Tato definice není zatím definitivní a je pouze pro účely této motivační sekce. \begin{define} Pod pojmem {\it Fourierova transformace $\F$} rozumíme zobrazení z prostoru $L^1(\R^n)$ takové, že pro $f\in L^1$ definujeme $$\Ft{f(x)}{\xi}:= \displaystyle \int_{\R^n} e^{\i x\cdot \xi}f(x)\dd x.$$ \end{define} \begin{remark} V následujících poznámkách se budeme snažit ukázat některé vlastnosti $\F$, ze kterých vyplyne, že je skutečně nutné vytvářet nový prostor testovacích funkcí. \footnote{Ale není třeba se lekat. To, co jsme dosud vybudovali, nezahodíme, ale velmi účelně využijeme.} \begin{enumerate} \item {\it Je-li $f\in L^1$, pak $\Ft{f(x)}{\xi}$ je omezená funkce na $\R^n$} \begin{proof} Pro dokázání toto tvrzení stačí vyjít z definice: $$ \left\vert \Ft{f(x)}{\xi} \right\vert = \left\vert \displaystyle \int_{\R^n} e^{\i x\cdot \xi}f(x)\dd x \right \vert \leq \displaystyle \int_{\R^n} \underbrace{\left\vert e^{\i x\cdot \xi} \right\vert}_{=1}\left| f(x)\right| \dd x < + \infty$$ Poslední nerovnost plyne z faktu, že $f\in L^1$. \end{proof} \item {Je-li $f\in L^1$, pak odtud neplyne, že $\Ft{f(x)}{\xi} \in L^1(\R^n)$} \begin{proof} $$\left| \displaystyle \int_{\R^n} \Ft{f(x)}{\xi} \dd \xi \right| = \left | \displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \displaystyle \int_{\R^n} \dd x e^{\i x\cdot \xi}f(x) \right| \leq \displaystyle \int_{\R^n} \dd \xi \displaystyle \int_{\R^n} \dd x \underbrace{\left\vert e^{\i x\cdot \xi} \right\vert}_{=1} \underbrace{\left \vert f(x)\right\vert}_{<+\infty} = +\infty.$$ \end{proof} Toto je možné samozřejmě ilustrovat konkrétním příkladem, ale nebudeme to dělat. Je to v podstatě zbytečné. Je důležité, že jsme objevili první nepříjemnou vlastnost námi definovaného zobrazení $\F$. Totiž nevíme, kam zobrazuje, resp. co je jeho oborem hodnot. Tento problém bude muset náš nový prostor nějak elegantně vyřešit. \item {\it Je-li $f\in L^1$ s kompaktním nosičem, pak odtud neplyne, že $\nf \Ft{f(x)}{\xi}$ je kompakt.} Tuto vlastnost ukážeme na konkrétním příkladě. Za funkci $f(x)$ volme charakteristickou funkci intervalu $[0,1]$, tzn. $\chi_{[0,1]}(x)$. Pak $$\Ft{\chi_{[0,1]}}{\xi} = \displaystyle \int_0^1 e^{\i x\cdot \xi} \dd x = \displaystyle \int_0^1 \cos{x\xi} \dd x + \i \displaystyle \int_0^1 \sin{x\xi} \dd x = $$ $$ = \left[ \frac{1}{\xi} \sin{x\xi}\right]_0^1 -\i \left[ \frac{1}{\xi} \cos{x\xi}\right]_0^1 = \frac{1}{\xi} \sin \xi - \frac{\i}{\xi} (\cos \xi -1)$$ Tato funkce zcela určitě nemá omezený nosič. \end{enumerate} Vidíme tedy, že máme sice nějakou transformaci, ale nemůžeme ji použít na prostoru $\D'$, což bychom chtěli. Můžete namítat, že by možná bylo snazší najít jinou transformaci, ale vězte, že tato nám dává mocný nástroj pro výpočet fundamentálních řešení parciálních diferenciálních rovnic a navíc velmi zjednodušuje jejich řešení a usnadňuje výpočty konvolucí, neboť $$ \Ft{\frac{\dd}{\dd x}f(x)}{\xi} = C \xi \Ft{f(x)}{\xi}$$ $$ \Ft{f\ast g}{\xi} = \Ft{f(x)}{\xi} \cdot \Ft{g(x)}{\xi}$$ Tedy zde vidíme síle Fourierovy transformace. Ta převádí diferenciální problém na problém algebraický, nesrovnatelně jednodušeji řešitelný a konvoluci převádí na prosté násobení. K těmto vlastnostem časem dojdeme a budou odvozeny. Nyní už jen pár vět k zamyšlení. Zkuste si zamyslet, proč obraz derivace při $\F$ vypadá tak, jak vypadá. Pokud budeme uvažovat nějaký lineární operátor $L =\frac{\dd}{\dd x}$ na nějakém vektorovém prostoru (třeba zde na prostoru funkcí), tak jeho vlastní funkce (vektory) splňují rovnici $$ L f = \lambda f$$ a tedy $f(x) = c e^{\lambda x}$ pro libovolné $\lambda \in \C$. Pak bychom mohli tyto funkce považovat za jistou \uv{bázi} tohoto prostoru a zkoumat Fourierovy koeficienty v této bázi. Dostali bychom $$ \left \langle f, e^{\lambda x } \right \rangle =\displaystyle \int_{\R} f(x) e^{\lambda x} \dd x$$ Zde už je vidět jistá silná podobnost s předpisem pro Fourierovu transformaci a proto o ní můžeme tvrdit, že Fourierova transformace nezkoumá přímo chování prvku, ale chování jeho souřadnic v nějaké bázi. \end{remark} \section{Schwartzův prostor a prostor temperovaných zobecněných funkcí} V minulé sekci jsme narazili na problém, že fourierovský obraz nějaké funkce nemusí být integrabilní. Proto zavedeme jeden pojem, který již, jak se později ukáže, tuto vlastnost zajistí. \begin{define} Buď $f:\R^n \to \R$ reálná funkce. Pak tuto funkci nazveme \begin{enumerate} \item {\bf rychle klesající}, právě když $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+^n$ platí, že $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} |x^{\aplha}f(x)| < + \infty $; \item {\bf pomalu rostoucí}, právě když $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+^n$ platí, že $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \left | \frac{f(x)}{x^{\alpha}} \right| < +\infty$. \end{enumerate} \end{define} \begin{define} O funkci $f$ řekneme, že je prvkem {\bf Schwartzova prostoru $\SP(\R^n)$}, právě když jsou splněny tyto podmínky \begin{enumerate} \item $f \in \Ci (\R^n)$; \item $\forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}_+^n \ \mathrm{sup}_{\R^n} \ |x^{\alpha}D^{\beta}f(x)| < +\infty$, tj. funkce a všechny její derivace jsou rychle klesající. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} $\SP$ je někdy též nazýván prostorem testovacích funkcí s otevřeným nosičem. \end{remark}