01FA1:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 227: | Řádka 227: | ||
$$\left(\forall x,y \in X,\ x \neq y \right) \left(\exists U \in \tau \ \land \ \y \notin U \right);$$ | $$\left(\forall x,y \in X,\ x \neq y \right) \left(\exists U \in \tau \ \land \ \y \notin U \right);$$ | ||
\item {\bf $T_2$ prostor (Hausdorffův)}, právě když | \item {\bf $T_2$ prostor (Hausdorffův)}, právě když | ||
− | $$\left(\forall x,y \in X,\ x \neq y \right) \left(\exists U \in \tau \right) \left(\exists V \in \tau \right) \left(x\in U \ \land \ y\in V \ \land \ U\cap V | + | $$\left(\forall x,y \in X,\ x \neq y \right) \left(\exists U \in \tau \right) \left(\exists V \in \tau \right) \left(x\in U \ \land \ y\in V \ \land \ U\cap V = \emptyset \right);$$ |
\item {\bf $T_3$ prostor (regulární)}, právě když je $T_1$ a když | \item {\bf $T_3$ prostor (regulární)}, právě když je $T_1$ a když | ||
− | $$\left(\forall x \in X \right) \left( \forall A \subset X,\ X\backslash A \in \tau, \ x\notin A \right) \left( \exists U, V \in \tau \right) \left(x \in U \ \land \ A\subset V \ \land \ U\cap V = \emptyset ;$$ | + | $$\left(\forall x \in X \right) \left( \forall A \subset X,\ X\backslash A \in \tau, \ x\notin A \right) \left( \exists U, V \in \tau \right) \left(x \in U \ \land \ A\subset V \ \land \ U\cap V = \emptyset \right) ;$$ |
− | \item {\bf $T_4$ prostor (normální)}, právě když | + | \item {\bf $T_4$ prostor (normální)}, právě když je $T_1$ a když |
+ | $$\left( \forall A,B\subset X,\ A\cap B = \emptyset, \ X\backslash A \in \tau, \ X\backslash B \in \tau \right) \left( \exists U, V \in \tau \right) \left( A \subset U \ \land \ B\subset U \ \land \ U\cap V = \emptyset \right).$$ | ||
\end{define} | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Axiomy výše se nazývají axiomy oddělitelnosti, neboť vyjadřují fakt, že je možné v prostoru | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item[$T_1$] oddělit jeden bod od druhého otevřenou množinou; | ||
+ | \item[$T_2$] oddělit dva body od sebe dvěma otevřenými množinami; | ||
+ | \item[$T_3$] oddělit bod od uzavřené množiny dvěma otevřenými množinami; | ||
+ | \item[$T_4$] oddělit dvě uzavřené množiny dvěma otevřenými množinami. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | $T_4 \Righrarrow T_3 \Righrarrow T_2 \Righrarrow T_1$ a tyhle implilkace nelze obecně obrátit. Větššinou budeme pracovat s minimálně Hausdorffovým prostorem. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Toplogický prostor $X$ je $T_1$ prostor, právě když každá jednoprvková množina je v $X$ uzavřená. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Cvičení | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \section{Kompaktnost} | ||
+ | \begin{define} | ||
+ | Topologický prostor $\left(X, \tau \right)$ je {\bf kompaktní}, právě když z každého otevřeného pokrytí prostoru $X$ lze vybrat konečné podpokrytí. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Matematicky korektně formulováno nám to říká, že prosotr je kompaktní pokud pro pokrytí $\G \subset \tau $, $\displaystyle \bigcup _{G\in \G}G = X$ existuje $\G' \subset \G$ konečná taková, že $\displaystyle \bigcup_{G\in \G'}G = X$. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Buď $\left(X, \tau \right)$ topologický prostor, $K\subset X$. Řekneme, že {\it $K$ je kompaktní v $X$ }, právě když je $K$ kompaktní v relativní topologii, | ||
+ | což znamená, že je-li $\G \subset \tau$, $K\subset \displaystyle \bigcup _{G\in \G}G $, pak existuje $\G'\subset \G$ konečná taková, že $K \subset \displaystyle \bigcup _{G\in \G'}G $ | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Toplogický prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin $\{A_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathscr{A}}$, | ||
+ | který splňuje $\forall \B \subset \mathscr{A}$ konečné $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \B} A_{\alpha} \neq \emptyset $, má neprázdný průnik. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | \end{theorem} |
Verze z 12. 10. 2016, 20:07
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01FA1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01FA1 | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 19:00 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 20:10 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 22:20 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 5. 10. 2016 | 18:40 | uvod.tex | |
Kapitola1 | editovat | Značení a úvod | Mazacja2 | 5. 10. 2016 | 19:33 | znaceni.tex | |
Kapitola2 | editovat | Topologie | Mazacja2 | 18. 1. 2017 | 20:27 | topologie.tex | |
Kapitola3 | editovat | Metrické prostory | Mazacja2 | 20. 1. 2017 | 00:20 | metrika.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA1} \chapter {Opakování pojmů z topologie} V téhle kapitole připomene pojmy z topologie, které by měly být známé z MAA3. Je možné, že některé pojmy budou nové, jiné jinak zavedeny, proto doporučuji tuhle kapitolu nevynechávat. \section{Základní pojmy} \begin{define} Buď $X$ množina. Množinu $\Pc(X) :=\{ A \vert A \subset X \}$ nazýváme {\bf potenční množinou množiny $X$}. \end{define} \begin{remark} Někdy se stkáme se značením $\Pc(X) = 2^X$. Toto značení vychází z algebry, kde je definován objekt $Y^X := \{ f: X \rightarrow Y \}$, tj. množina všech zobrazení z X do Y. Ztotožníme-li dvouprvkovou množinu $\{0,\ 1 \}$ s označením 2, pak máme $\{0,\ 1 \}^X = 2^X$. Pokud nyní máme $M\in \Pc (X)$, pak charakteristická funkce množiny $\chi_M \in 2^X$ je bijekcí. Odtud můžeme pochopit, odkud se vzala tahle na první pohled nezvyká notace. \end{remark} \begin{remark} $\Pc(\emptyset) = \{\emptyset \}$ \end{remark} \begin{define} Buď $X$ množina, $\tau \subset \Pc(X)$. Pak $\tau$ nazýváme {\bf topologií na $X$} $\Leftrightarrow$ \begin{enumerate} \item $\emptyset$, $X \in \tau$; \item $\forall \G \subset \tau$ systém podmonžin, $\displaystyle \bigcup _{G\in\G} G \in \tau$; \item $\forall \G \subset \tau$ konečný systém podmonžin, $\displaystyle \bigcap _{G\in\G} G \in \tau$. \end{enumerate} Prvky $\tau$ nazývme {\bf otevřené množiny} a jejich doplňky {\bf uzavřené množiny}, tj. $A \subset X$ je uzavřená $\Leftrightarrow X \backslash A \in \tau$ \end{define} \begin{remark} Je-li $A$ konečná, pak označme $\vert A \vert$ počet prvků množiny $A$. Vlastnost 3 stačí ověřit pro $\vert \G \vert = 2$ a dále matematickou indukcí. \end{remark} \begin{theorem}[o~uzavřených množinách] Buď $X$ množina. Pak platí: \begin{enumerate} \item $\emptyset, \ X$ jsou uzvařené; \item průnik libovolného systému uzavřených množin je uzavřená množina; \item konečné sjednocení uzavřených množin je uzavřená množina. \end{enumerate} \begin{proof} Trivální pomocí de-Morganových pravidel a z definice topologie a uzavřené množiny, vizte MAA3. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Pojmy \uv{nejmenší}, \uv{největší} pro množiny budeme uvažovat ve smyslu inkluze. \end{remark} \begin{define} Buď $M \subset X$. \begin{enumerate} \item Nejmenší uzavřenou množinu $A\subset X$ takovou, že $M\subset A$, nazýváme {\bf uzávěrem množiny $M$}. Označujeme $\overline{M} = A$ \item Největší otevřenou množinu $G\subset X$ takovou, že $G\subset M$, nazýváme {\bf vnitřkem množiny $M$}. Označujeme $M^o = G$ \end{enumerate} \end{define} S touto znalostí pak můžeme snadno přeformulovat definici uzavřenosti a otevřenosti množin. \begin{remark} Množina $M$ je uzavřená, právě když $M = \overline{M}$ a je otevřená, právě když $M = M^o$. \end{remark} \begin{theorem}[o~uzávěru a~vnitřku] Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $M\subset X$ libovolná. Pak v $X$ existuje uzávěr a vnitřek $M$. \befin{proof} \begin{enumerate} \item {\it Uzávěr}: Víme, že X je uzavřená množina. Pak uvažujme všechny uzavřené množiny, které obsahují $M$. Jejich průnikem je uzavřená množina, která obsahuje $M$ a~je s~touto vlastností nejmenší možná. \item {\it Vnitřek}: Víme, že $\emptyset$ je otevřená množina. Uvažujme tentokrát všechny otevřené podmnožiny $M$. Jejich sjednocením je otevřená množina, která je obsažena v $M$ a~je největší možná s~touto vlastností. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $x\in X$. Řekneme, že $U \subset X$ je {\bf okolím} bodu $x$, právě když $x \in U^o$. $U$ je {\bf otevřené okolí}, jestliže $x \in U \in \tau$. \end{define} Uveďme nyní některé příklady topologií na neprázdné množině $X$. Jako nejjednodušší se jeví zvolit do systému oněch množin jen prázdnou množinu a množinu $X$, tedy $\tau_1 = \{ \emptyset, \ X \}$. Tuhle topologii nazýváme {\it nejslabší (nejhrubší) topologií na X}. Další možností je zvolit za topologii potenční množinu, tj. $\tau_2 = \Pc(X)$. Tuhle topologii označujeme jako {\it diskrétní}. \begin{theorem}[o~doplňku uzávěru a~vnitřku] Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $M \subset X$. Pak platí: \begin{enumerate} \item $X \backslash M^o = \overline{X \backslash M}$; \item $X \backslash \overline{M} = \left(X \backslash M \right)^o$. \end{enumerate} \begin{proof} cvičení \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Mějme $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor. Řekneme, že systém množin $\G \subset \tau$ je {\bf bází topologie $\tau$}, jestliže $$ \left(\forall U\in\tau\right) \left(\exists\G' \subset\G \right) (U = \bigcup _{G\in\G'} G).$$ \end{define} Následující věta nám ukáže, co musí splňovat systém množin, aby jej bylo možné považovat za bázi topologie. \begin{theorem} Buďte $X$ množina, $\G \subset \Pc(X) \backslash \{\emptyset \}$. Pak $\G$ je bází topologie $\tau$, právě když \begin{enumerate} \item $\displaystyle \bigcup _{G\in\G} G = X$; \item $(\forall G_1,G_2 \in \G) (\forall x \in G_1 \cap G_2) (\exists G_3 \in \G) (x \in G_3 \subset G_1 \cap G_2)$. \end{enumerate} V kladném případě je topologie $\tau = \tau(\G)$ určena jednoznačně a nazývá se {\bf topologie generovaná systémem $\G$}. \begin{proof} {\it Jednoznačnost}: $U \in \tau(\G) \Letfrightarrow (\exists \G' \subset \G) (U = \displaystyle \bigcup_{G \in \G'}G)$ Tímto jsme ukázali, že každý prvek z~topologie generované systémem je jednoznačně vyjádřitelný pomocí báze. {\it Nutná podmínka $(\Rightarrow)$ }: Nyní předpokládáme, že $\G$ je bází nějaké topologie. Pak z toho plyne, že sjednocením všech těchto prvků musí být největší otevřená množina v $X$, což je $X$ samotná. Víme dále, že průnikem otevřených množin je otevřená množina, tj. pokud vezmu libovolný bod z~průniku, leží v~průniku i~nějaké jeho otevřené okolí, což je otevřená množina a~pro tu musí existovat nějaké sjednocení množin z~$\G$ pokrývající tento průnik. Tím je dokázána druhá část tvrzení. {\it Postačující podmínky $(\Leftarrow)$}: Předpokládáme nyní platnost podmínek~1~a~2 a~topologii zavedeme tak, jak byla definovaná v~části o~jednoznačnosti. Pak nám stačí ověřit, jestli tyhle podmínky stačí k~tomu, aby byly splněny tři axiomy topologie. První z~nich je jasný. Nyní ukážeme, že libovolné sjednocení (přes libovolnou indexovou množinu $A$) lze zapsat jako jediné sjednocení, čímž ukážeme, že je sjednocení otevřené a~tedy leží v~topologii: $$ \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G_{\alpha}} G \right) = \dispalystyle \bigcup_{G \in \bigcup_{\alpha \in A} \G_{\alpha}} G. $$ Poslední axiom, tj. požadavek na otevřenost libovolného konečného průniku, stačí ukázat pro 2~prvky topologie (dle poznámky pod definicí topologie to stačí): $$\left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G'} G \right) \cap \left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G'{}'}\right) = \displaystyle \bigcup_{G' \in \G', \ G'{}' \in \G'{}'} G' \cap G'{}'$$ Tímto je tvrzení dokázáno, protože dle 2. předpokladu je $G' \cap G'{}' \in \tau (\G)$ a~dle předešlého je tedy průnik těchto množin prvkem $\tau (\G)$ a~tedy je dokázáno, že $\tau (\G)$ je topologií na množině X. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[o~bázi topologie] Buďte $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $\G \subset \tau$. Pak $\G$ je bází topologie~$\tau$, právě když $$ \left( \forall U\in \tau \right) \left( \forall x \in U \right) \left( \exists G \in \G \right) \left( x \in G \subset U \right) . $$ \begin{remark} Tahle věta a podmínka v~ní vyjadřuje jen ten fakt, že libovolnou otevřenou množinu~$U$~lze zapsat jako sjednocení podsystémů množin $G \in \G $. \end{remark} \begin{proof} Zřejmý, s využitím předešlé věty a poznámky výše. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Buď $x\in X$, $\B \subset \tau$, pak $\B$ je {\it bází okolí} (též {\it lokální báze}) v~bodě $x$, právě když $\left( \forall U_x \right) \left( \exists B \in \B \right) \left( x \in B \subset U \right)$. \end{remark} \begin{define} Topologický prostor $\left(X,\ \tau \right)$ splňuje {\bf II. axiom spočetnosti}, jestliže má topologie~$\tau$ spočetnou bázi. Řekneme, že je {\bf separabilní}, jestliže $\exists S \subset X$, taková, že $S$ je spočetná a $\overline{S} = X$, tj. $S$ je hustá v $X$. \end{define} \noindent Pro účely následující věty bude vhodné připomenout jednu alternativní definici husté množiny. O~tom, že je tato definice korektní, se přesvědčíme v následujícím lemmatu: \begin{lemma} $$ \overline{S} = X \Leftrightarrow \left( \forall G \in \tau \backslash \{ \emptyset \} \right) \left( S \cap G \neq \emptyset \right) $$ \begin{proof} \begin{enumerate} \item[$\Leftarrow )$] Nechť platí pravá strana. Kdyby pak $X \backslash \overline{S} \neq \emptyset$, tak by odtud plynulo, že $G = X \backslash \overline{S} $ je otevřená množina a zároveň $S \cap G = \emptyset$, což je spor. \item[$\Rightarrow )$] Nechť $X = \overline{S}$, $\emptyset \neq G \in \tau$. Pak $X \backslash G \neq X$ je uzavřená množina, která nemůže obsahovat S. Kdyby jej obsahovala, tak $S \subset G \Rightarrow \overline{S} \subset X \backslash G \neq X$, což je spor s předpokladem. Proto tedy $S \cap G \neq \emptyset$. \end{enumerate} \end{proof} \end{lemma} \noindent Cítíme, že vlastnost II. axiomu spočetnosti je silnější než vlastnost separability. Následující věta tento vztah dokazuje. \begin{theorem}[o~separabiltě] Jestliže topologický prostor $\left(X,\ \tau \right)$ splňuje II. axiom spočetnosti, pak je separabilní. \begin{proof} Ze druhého axiomu spočetnosti plyne existence spočetné báze $\G = \{ G_k \vert k\in \mathbb{N}\}$, přičemž pro všechna $k \in \mathbb{N}$ platí $G_k \neq \emptyset$. Zvolme $s_k \in G_k$ pro všechna $k\in \mathbb{N}$. Položme $S = \{ s_k \vert k \in \mathbb{N}$. Nyní už víme, že S je díky konstrukci hustá~v~X, protože má neprázdný průnik s~každou neprázdnou otevřenou množinou, tj. $\forall B \in \tau \backslash \{ \emptyset \}$ a~$B \cap S \neq \emptyset$. \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Buďte $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $S\subset X$, $x\in X$. Řekneme, že $x$ je {\bf hromadným bodem S}, právě když pro každé okolí~$U$ bodu~$x$ průnik $S \cap U$ obsahuje bod různý od~$x$. \end{define} \begin{define} Nechť $\left(X,\ \tau \right)$ je topologický prostor, $M\subset X$. Pak $\tau_M :=\{ G \cap M \vert G\in \tau$ je topologie na M. Říkáme, že $\left(M,\ \tau_m \right)$ je {\bf toplogický podprostor} a $\left(X,\ \tau \right)$. \end{define} \begin{remark} To, že $\tau_M$ je skutečně topologií, je jasné, ale je nutné to ověřit. \end{remark} \begin{remark} Uvažujme nyní $A \subset M \subset X$. Pak je důležité rozlišovat, vzhledem ke které z topologií provádíme topologické operace a zkoumáme topologické vlastnosti, neboť ty nejsou vždy shodné. \end{remark} Abychom tuhle vlastnost ilustrovali, uvažujme $X=\left[0,1\right]$ s~běžnou topologií, $M=\left(0,1\right)$. Zkoumejme nyní uzávěr množiny $A=M$ vzhledem k různým topologiím. $\overline{A} = \left[0,1\right] $ v $X$, ale $\overline{A} = \left(0,1\right)$ v $M$. \section{Spojitost} \begin{define} Buďte $\left(X_1,\ \tau_1 \right)$, $\left(X_2,\ \tau_2 \right)$ topologické prostory a~$f:X_1\longrightarrow X_2$. Řekneme, že $f$ je {\bf spojité zobrazení $X_1$ do $X_2$}, právě když $\left( \forall G \in \tau_2 \right) \left( f^{-1}(G) \in \tau_1 \right). \\ Je-li $x\in X_1$, řekneme, že zobrazení $f$ je {\bf spojité v bodě $x$}, právě když pro $y= f(x)$ platí: $$ \left( \forall V \in \tau_2 ,\ y \in V \right) \left( \exists U \in \tau_1 , \ x\in U \right) \left( f(U) \subset V \right). $$ \end{define} \begin{remark} Definice je ekvivalentní s~touto: $ \left( \forall V \in \tau_2 ,\ y \in V \right) \left( \exists U \in \tau_1 , \ x\in U \right) \left( U \subset f^{-1}(V) \right) $ \end{remark} \begin{theorem} Buďte $\left(X_1,\ \tau_1 \right)$, $\left(X_2,\ \tau_2 \right)$ topologické prostory. Pak $f:X_1\longrightarrow X_2$ je spojité, právě když $f$ je spojité v každém bodě $x\in X_1$. \begin{proof} cvičení \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Buď $f:X\longrightarrow Y$ bijekce, $f,\ f^{-1}$ spojitá. Pak $f$ nazýváme {\it homeomerfismem}. \item Buďte $f:X\longrightarrow Y$, $g:Y\longrightarrow Z$ spojitá zobrazení. Pak $h = g \circ f : X\longrightarrow Z$ je spojité zobrazení. \end{enumerate} \end{remark} \section{Axiomy oddělování} \begin{define} Buď $\left(X,\tau \right)$ topologický prostor. Řekneme, že $\left(X,\tau \right)$ je \begin{enumerate} \item {\bf $T_1$ prostor}, právě když $$\left(\forall x,y \in X,\ x \neq y \right) \left(\exists U \in \tau \ \land \ \y \notin U \right);$$ \item {\bf $T_2$ prostor (Hausdorffův)}, právě když $$\left(\forall x,y \in X,\ x \neq y \right) \left(\exists U \in \tau \right) \left(\exists V \in \tau \right) \left(x\in U \ \land \ y\in V \ \land \ U\cap V = \emptyset \right);$$ \item {\bf $T_3$ prostor (regulární)}, právě když je $T_1$ a když $$\left(\forall x \in X \right) \left( \forall A \subset X,\ X\backslash A \in \tau, \ x\notin A \right) \left( \exists U, V \in \tau \right) \left(x \in U \ \land \ A\subset V \ \land \ U\cap V = \emptyset \right) ;$$ \item {\bf $T_4$ prostor (normální)}, právě když je $T_1$ a když $$\left( \forall A,B\subset X,\ A\cap B = \emptyset, \ X\backslash A \in \tau, \ X\backslash B \in \tau \right) \left( \exists U, V \in \tau \right) \left( A \subset U \ \land \ B\subset U \ \land \ U\cap V = \emptyset \right).$$ \end{define} \begin{remark} Axiomy výše se nazývají axiomy oddělitelnosti, neboť vyjadřují fakt, že je možné v prostoru \begin{enumerate} \item[$T_1$] oddělit jeden bod od druhého otevřenou množinou; \item[$T_2$] oddělit dva body od sebe dvěma otevřenými množinami; \item[$T_3$] oddělit bod od uzavřené množiny dvěma otevřenými množinami; \item[$T_4$] oddělit dvě uzavřené množiny dvěma otevřenými množinami. \end{enumerate} \end{remark} \begin{remark} $T_4 \Righrarrow T_3 \Righrarrow T_2 \Righrarrow T_1$ a tyhle implilkace nelze obecně obrátit. Větššinou budeme pracovat s minimálně Hausdorffovým prostorem. \end{remark} \begin{theorem} Toplogický prostor $X$ je $T_1$ prostor, právě když každá jednoprvková množina je v $X$ uzavřená. \begin{proof} Cvičení \end{proof} \end{theorem} \section{Kompaktnost} \begin{define} Topologický prostor $\left(X, \tau \right)$ je {\bf kompaktní}, právě když z každého otevřeného pokrytí prostoru $X$ lze vybrat konečné podpokrytí. \end{define} \begin{remark} Matematicky korektně formulováno nám to říká, že prosotr je kompaktní pokud pro pokrytí $\G \subset \tau $, $\displaystyle \bigcup _{G\in \G}G = X$ existuje $\G' \subset \G$ konečná taková, že $\displaystyle \bigcup_{G\in \G'}G = X$. \end{remark} \begin{remark} Buď $\left(X, \tau \right)$ topologický prostor, $K\subset X$. Řekneme, že {\it $K$ je kompaktní v $X$ }, právě když je $K$ kompaktní v relativní topologii, což znamená, že je-li $\G \subset \tau$, $K\subset \displaystyle \bigcup _{G\in \G}G $, pak existuje $\G'\subset \G$ konečná taková, že $K \subset \displaystyle \bigcup _{G\in \G'}G $ \end{remark} \begin{theorem} Toplogický prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin $\{A_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathscr{A}}$, který splňuje $\forall \B \subset \mathscr{A}$ konečné $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \B} A_{\alpha} \neq \emptyset $, má neprázdný průnik. \begin{proof} \end{proof} \end{theorem} \end{theorem}