01FA1:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 115: | Řádka 115: | ||
{\it Postačující podmínky $(\Leftarrow)$}: Předpokládáme nyní platnost podmínek~1~a~2 a~topologii zavedeme tak, jak byla definovaná v~části o~jednoznačnosti. | {\it Postačující podmínky $(\Leftarrow)$}: Předpokládáme nyní platnost podmínek~1~a~2 a~topologii zavedeme tak, jak byla definovaná v~části o~jednoznačnosti. | ||
− | Pak nám stačí ověřit, jestli tyhle podmínky stačí k~tomu, aby byly splněny tři axiomy topologie. První z nich je jasný. | + | Pak nám stačí ověřit, jestli tyhle podmínky stačí k~tomu, aby byly splněny tři axiomy topologie. První z~nich je jasný. |
Nyní ukážeme, že libovolné sjednocení (přes libovolnou indexovou množinu $A$) lze zapsat jako jediné sjednocení, čímž ukážeme, | Nyní ukážeme, že libovolné sjednocení (přes libovolnou indexovou množinu $A$) lze zapsat jako jediné sjednocení, čímž ukážeme, | ||
že je sjednocení otevřené a~tedy leží v~topologii: | že je sjednocení otevřené a~tedy leží v~topologii: | ||
$$ \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G_{alpha}} G \right) = \dispalystyle \bigcup_{G \in \bigcup_{\alpha \in A} \G_{\alpha}} G. $$ | $$ \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G_{alpha}} G \right) = \dispalystyle \bigcup_{G \in \bigcup_{\alpha \in A} \G_{\alpha}} G. $$ | ||
Poslední axiom, tj. požadavek na otevřenost libovolného konečného průniku, stačí ukázat pro 2 prvky topologie (dle poznámky pod definicí topologie to stačí): | Poslední axiom, tj. požadavek na otevřenost libovolného konečného průniku, stačí ukázat pro 2 prvky topologie (dle poznámky pod definicí topologie to stačí): | ||
− | $$ | + | $$\left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G'} G \right) \cap \left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G'{}'}\right) = \displaystyle \bigcup_{G' \in \G', \ G'{}' \in \G'{}'} G' \cap G'{}'$$ |
+ | Tímto je tvrzení dokázáno, protože dle 2. předpokladu je $G' \cap G'{}' \in \tau (\G)$ a~dle předešlého je tedy průnik těchto množin prvkem $\tau (\G)$ a~tedy je dokázáno, že | ||
+ | $\tau (\G)$ je topologií na množině X. | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[o~bázi topologie] | ||
+ | Buďte $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $\G \subset \tau$. Pak $\G$ je bází topologie $\tau$, právě když | ||
+ | $$ \left( \forall U\in \tau \right) \left( \forall x \in U \right) \left( \exists G \in \G \right) \left( x \in G \subset U \right) . $$ | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Tahle věta a podmínka v ní vyjadřuje jen ten fakt, že libovolnou otevřenou množinu $U$ lze zapsat jako sjednocení podsystémů množin $G \in \G $. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Zřejmý, s využitím předešlé věty a poznámky výše. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Buď $x\in X$, \ |
Verze z 5. 10. 2016, 16:39
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01FA1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01FA1 | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 19:00 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 20:10 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 22:20 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 5. 10. 2016 | 18:40 | uvod.tex | |
Kapitola1 | editovat | Značení a úvod | Mazacja2 | 5. 10. 2016 | 19:33 | znaceni.tex | |
Kapitola2 | editovat | Topologie | Mazacja2 | 18. 1. 2017 | 20:27 | topologie.tex | |
Kapitola3 | editovat | Metrické prostory | Mazacja2 | 20. 1. 2017 | 00:20 | metrika.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA1} \chapter {Opakování pojmů z topologie} V téhle kapitole připomene pojmy z topologie, které by měly být známé z MAA3. Je možné, že některé pojmy budou nové, jiné jinak zavedeny, proto doporučuji tuhle kapitolu nevynechávat. \begin{define} Buď $X$ množina. Množinu $\Pc(X) :=\{ A \vert A \subset X \}$ nazýváme {\bf potenční množinou množiny $X$}. \end{define} \begin{remark} Někdy se stkáme se značením $\Pc(X) = 2^X$. Toto značení vychází z algebry, kde je definován objekt $Y^X := \{ f: X \rightarrow Y \}$, tj. množina všech zobrazení z X do Y. Ztotožníme-li dvouprvkovou množinu $\{0,\ 1 \}$ s označením 2, pak máme $\{0,\ 1 \}^X = 2^X$. Pokud nyní máme $M\in \Pc (X)$, pak charakteristická funkce množiny $\chi_M \in 2^X$ je bijekcí. Odtud můžeme pochopit, odkud se vzala tahle na první pohled nezvyká notace. \end{remark} \begin{remark} $\Pc(\emptyset) = \{\emptyset \}$ \end{remark} \begin{define} Buď $X$ množina, $\tau \subset \Pc(X)$. Pak $\tau$ nazýváme {\bf topologií na $X$} $\Leftrightarrow$ \begin{enumerate} \item $\emptyset$, $X \in \tau$; \item $\forall \G \subset \tau$ systém podmonžin, $\displaystyle \bigcup _{G\in\G} G \in \tau$; \item $\forall \G \subset \tau$ konečný systém podmonžin, $\displaystyle \bigcap _{G\in\G} G \in \tau$. \end{enumerate} Prvky $\tau$ nazývme {\bf otevřené množiny} a jejich doplňky {\bf uzavřené množiny}, tj. $A \subset X$ je uzavřená $\Leftrightarrow X \backslash A \in \tau$ \end{define} \begin{remark} Je-li $A$ konečná, pak označme $\vert A \vert$ počet prvků množiny $A$. Vlastnost 3 stačí ověřit pro $\vert \G \vert = 2$ a dále matematickou indukcí. \end{remark} \begin{theorem}[o~uzavřených množinách] Buď $X$ množina. Pak platí: \begin{enumerate} \item $\emptyset, \ X$ jsou uzvařené; \item průnik libovolného systému uzavřených množin je uzavřená množina; \item konečné sjednocení uzavřených množin je uzavřená množina. \end{enumerate} \begin{proof} Trivální pomocí de-Morganových pravidel a z definice topologie a uzavřené množiny, vizte MAA3. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Pojmy \uv{nejmenší}, \uv{největší} pro množiny budeme uvažovat ve smyslu inkluze. \end{remark} \begin{define} Buď $M \subset X$. \begin{enumerate} \item Nejmenší uzavřenou množinu $A\subset X$ takovou, že $M\subset A$, nazýváme {\bf uzávěrem množiny $M$}. Označujeme $\overline{M} = A$ \item Největší otevřenou množinu $G\subset X$ takovou, že $G\subset M$, nazýváme {\bf vnitřkem množiny $M$}. Označujeme $M^o = G$ \end{enumerate} \end{define} S touto znalostí pak můžeme snadno přeformulovat definici uzavřenosti a otevřenosti množin. \begin{remark} Množina $M$ je uzavřená, právě když $M = \overline{M}$ a je otevřená, právě když $M = M^o$. \end{remark} \begin{theorem}[o~uzávěru a~vnitřku] Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $M\subset X$ libovolná. Pak v $X$ existuje uzávěr a vnitřek $M$. \befin{proof} \begin{enumerate} \item {\it Uzávěr}: Víme, že X je uzavřená množina. Pak uvažujme všechny uzavřené množiny, které obsahují $M$. Jejich průnikem je uzavřená množina, která obsahuje $M$ a~je s~touto vlastností nejmenší možná. \item {\it Vnitřek}: Víme, že $\emptyset$ je otevřená množina. Uvažujme tentokrát všechny otevřené podmnožiny $M$. Jejich sjednocením je otevřená množina, která je obsažena v $M$ a~je největší možná s~touto vlastností. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $x\in X$. Řekneme, že $U \subset X$ je {\bf okolím} bodu $x$, právě když $x \in U^o$. $U$ je {\bf otevřené okolí}, jestliže $x \in U \in \tau$. \end{define} Uveďme nyní některé příklady topologií na neprázdné množině $X$. Jako nejjednodušší se jeví zvolit do systému oněch množin jen prázdnou množinu a množinu $X$, tedy $\tau_1 = \{ \emptyset, \ X \}$. Tuhle topologii nazýváme {\it nejslabší (nejhrubší) topologií na X}. Další možností je zvolit za topologii potenční množinu, tj. $\tau_2 = \Pc(X)$. Tuhle topologii označujeme jako {\it diskrétní}. \begin{theorem}[o~doplňku uzávěru a~vnitřku] Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $M \subset X$. Pak platí: \begin{enumerate} \item $X \backslash M^o = \overline{X \backslash M}$; \item $X \backslash \overline{M} = \left(X \backslash M \right)^o$. \end{enumerate} \begin{proof} cvičení \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Mějme $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor. Řekneme, že systém množin $\G \subset \tau$ je {\bf bází topologie $\tau$}, jestliže $$ \left(\forall U\in\tau\right) \left(\exists\G' \subset\G \right) (U = \bigcup _{G\in\G'} G).$$ \end{define} Následující věta nám ukáže, co musí splňovat systém množin, aby jej bylo možné považovat za bázi topologie. \begin{theorem} Buďte $X$ množina, $\G \subset \Pc(X) \backslash \{\emptyset \}$. Pak $\G$ je bází topologie $\tau$, právě když \begin{enumerate} \item $\displaystyle \bigcup _{G\in\G} G = X$; \item $(\forall G_1,G_2 \in \G) (\forall x \in G_1 \cap G_2) (\exists G_3 \in \G) (x \in G_3 \subset G_1 \cap G_2)$. \end{enumerate} V kladném případě je topologie $\tau = \tau(\G)$ určena jednoznačně a nazývá se {\bf topologie generovaná systémem $\G$}. \begin{proof} {\it Jednoznačnost}: $U \in \tau(\G) \Letfrightarrow (\exists \G' \subset \G) (U = \displaystyle \bigcup_{G \in \G'}G)$ Tímto jsme ukázali, že každý prvek z~topologie generované systémem je jednoznačně vyjádřitelný pomocí báze. {\it Nutná podmínka $(\Rightarrow)$ }: Nyní předpokládáme, že $\G$ je bází nějaké topologie. Pak z toho plyne, že sjednocením všech těchto prvků musí být největší otevřená množina v $X$, což je $X$ samotná. Víme dále, že průnikem otevřených množin je otevřená množina, tj. pokud vezmu libovolný bod z~průniku, leží v~průniku i~nějaké jeho otevřené okolí, což je otevřená množina a~pro tu musí existovat nějaké sjednocení množin z~$\G$ pokrývající tento průnik. Tím je dokázána druhá část tvrzení. {\it Postačující podmínky $(\Leftarrow)$}: Předpokládáme nyní platnost podmínek~1~a~2 a~topologii zavedeme tak, jak byla definovaná v~části o~jednoznačnosti. Pak nám stačí ověřit, jestli tyhle podmínky stačí k~tomu, aby byly splněny tři axiomy topologie. První z~nich je jasný. Nyní ukážeme, že libovolné sjednocení (přes libovolnou indexovou množinu $A$) lze zapsat jako jediné sjednocení, čímž ukážeme, že je sjednocení otevřené a~tedy leží v~topologii: $$ \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G_{alpha}} G \right) = \dispalystyle \bigcup_{G \in \bigcup_{\alpha \in A} \G_{\alpha}} G. $$ Poslední axiom, tj. požadavek na otevřenost libovolného konečného průniku, stačí ukázat pro 2 prvky topologie (dle poznámky pod definicí topologie to stačí): $$\left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G'} G \right) \cap \left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G'{}'}\right) = \displaystyle \bigcup_{G' \in \G', \ G'{}' \in \G'{}'} G' \cap G'{}'$$ Tímto je tvrzení dokázáno, protože dle 2. předpokladu je $G' \cap G'{}' \in \tau (\G)$ a~dle předešlého je tedy průnik těchto množin prvkem $\tau (\G)$ a~tedy je dokázáno, že $\tau (\G)$ je topologií na množině X. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[o~bázi topologie] Buďte $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $\G \subset \tau$. Pak $\G$ je bází topologie $\tau$, právě když $$ \left( \forall U\in \tau \right) \left( \forall x \in U \right) \left( \exists G \in \G \right) \left( x \in G \subset U \right) . $$ \begin{remark} Tahle věta a podmínka v ní vyjadřuje jen ten fakt, že libovolnou otevřenou množinu $U$ lze zapsat jako sjednocení podsystémů množin $G \in \G $. \end{remark} \begin{proof} Zřejmý, s využitím předešlé věty a poznámky výše. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Buď $x\in X$, \