01RMF:Kapitola1: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 28: | Řádka 28: | ||
Sami cítíte, že tohle by nebyla nejlepší metoda, tzv. {\it vyčíslování funkce v~daném bodě}. To znamená, že konkrétně | Sami cítíte, že tohle by nebyla nejlepší metoda, tzv. {\it vyčíslování funkce v~daném bodě}. To znamená, že konkrétně | ||
počítám hodnotu $f(T)$ v konkrétních hodnotách $T$. V~praxi ale nemáme přesně regulovatelnou teplotu, takže se pohybujeme na nějakém teplotním intervalu $\left[a,b\right]$. | počítám hodnotu $f(T)$ v konkrétních hodnotách $T$. V~praxi ale nemáme přesně regulovatelnou teplotu, takže se pohybujeme na nějakém teplotním intervalu $\left[a,b\right]$. | ||
− | Mohli bychom tedy měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a} | + | Mohli bychom tedy měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a}\int_{\left[a,b\right]} f(T)\dd T$. |
Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\left[a,b\right]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat | Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\left[a,b\right]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat | ||
− | + | {\it průměrováním funkce přes interval}. Vidíme, že již poskytuje zajímavější pohled na hledanou funkci, ale cítíme, že je příliš \uv{hrubý}. | |
− | + | V~podstatě nezahrnuje informaci o~tom, jak často (s~jakou pravděpodobností) se teplota nachází v daných bodech intervalu. | |
− | + | Pokud bychom tohle teplotní rozdělení znali, nazvěme jej třeba $\phi (T)$, můžeme náš předešlý postup opakovat jen s~tím rozdílem, | |
− | + | že vážíme každý bod intervalu touto četností. Matematicky řečeno počítáme $\int_{\left[a,b\right]} f(T)\phi(T)\dd T$. | |
− | + | Budeme-li mít tuto znalost pro značné množství funkcí $\phi(T)$, můžeme pak zjistit chování $f(T)$. Toto je ve zkratce nastíněný třetí | |
− | + | a~nejsilnější koncept testování funkcí, tzv. {\it testování pomocí testovacích funkcí}. |
Verze z 3. 10. 2016, 22:41
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01RMF
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01RMF | Mazacja2 | 16. 12. 2016 | 19:29 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 28. 12. 2016 | 14:12 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 18. 12. 2016 | 22:10 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 9. 11. 2016 | 21:51 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:34 | motivace.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněné funkce | Lomicond | 7. 12. 2019 | 17:51 | zobecnene_funkce.tex | |
Kapitola3 | editovat | Integrální transformace | Lomicond | 25. 12. 2019 | 16:58 | integralni_transformace.tex | |
Kapitola4 | editovat | Řešení dif. rovnic | Johndavi | 9. 4. 2019 | 16:15 | reseni.tex | |
Kapitola5 | editovat | Integrální rovnice | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:25 | Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Sturm-Liouvilleova teorie | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:35 | Kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF} \chapter{Motivace} \section{Problém s Diracovou $\delta$-funkcí} V~průběhu předešlého studia například teoretické fyziky (TEF2) vyvstal mj. problém s~popisem bodových zdrojů záření. Bylo potřeba definovat nějakou \uv{funkci}, která by dokázala popsat chování nějakého bodového zdroje a zároveň by nějakým způsobem popisovala \uv{mohutnost} tohoto zdroje. Proto se definovala tzv. {\it Diracova $\delta$-funkce}. Připomeňme její definici: $$\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{pro } x\neq 0, \\[.2em] +\infty, &\mbox{pro } x=0. \end{array}\right.$$ a zároveň požadujeme $$\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 1.$$ Vidíme, že minimálně druhý požadavek na naši funkci je v~rozporu s~našimi dosavadními znalostmi z~matematické analýzy. Tam totiž při použití Lebesgueovy integrace dostáváme $$ \mathcal{L}\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$ protože naše funkce je nulová až na množině nulové míry. Tento rozkol se tedy budeme snažit v průběhu tohoto skripta odstranit. Zároveň bychom rádi na námi nově zavedené tzv. \uv{zobecněné funkce} pohlíželi alespoň částečně optikou již známé analýzy. Dostaneme pak totiž zajímavé vlastnosti těchto funkcí, jako například tu, že každá zobecněná funkce má všechny derivace. Abychom se ale k~těmto vlastnostem a~k~celé teorii zobecněných funkcí propracovali, je nutné se nejprve oprostit od zažitého pohledu na funkce. To znamená, že na funkci nebudeme pohlížet \uv{bodově}. \section{Koncept testování funkcí} Testovat funkce můžeme různými způsoby. Pokud bychom chtěli zjišťovat nějakou danou vlastnost jisté látky na teplotě $T$, hledáme funkci popisující tuhle závislost. To znamená, že hledáme nějakou $f(T)$. Mohli bychom náš vzorek rozdělat na malé kousky a~ty zahřívat na různé teploty a~následně měřit danou vlastnost. Sami cítíte, že tohle by nebyla nejlepší metoda, tzv. {\it vyčíslování funkce v~daném bodě}. To znamená, že konkrétně počítám hodnotu $f(T)$ v konkrétních hodnotách $T$. V~praxi ale nemáme přesně regulovatelnou teplotu, takže se pohybujeme na nějakém teplotním intervalu $\left[a,b\right]$. Mohli bychom tedy měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a}\int_{\left[a,b\right]} f(T)\dd T$. Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\left[a,b\right]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat {\it průměrováním funkce přes interval}. Vidíme, že již poskytuje zajímavější pohled na hledanou funkci, ale cítíme, že je příliš \uv{hrubý}. V~podstatě nezahrnuje informaci o~tom, jak často (s~jakou pravděpodobností) se teplota nachází v daných bodech intervalu. Pokud bychom tohle teplotní rozdělení znali, nazvěme jej třeba $\phi (T)$, můžeme náš předešlý postup opakovat jen s~tím rozdílem, že vážíme každý bod intervalu touto četností. Matematicky řečeno počítáme $\int_{\left[a,b\right]} f(T)\phi(T)\dd T$. Budeme-li mít tuto znalost pro značné množství funkcí $\phi(T)$, můžeme pak zjistit chování $f(T)$. Toto je ve zkratce nastíněný třetí a~nejsilnější koncept testování funkcí, tzv. {\it testování pomocí testovacích funkcí}.