Verze z 23. 6. 2016, 17:22

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MKP}
 
\chapter{Ekvivalence prvků}
 
Pro rozdělení oblasti na menší části chceme na všech z nich definovat konečný prvek. Pohodlný způsob, jak to udělat, je vytvořit nejprve jeden \emph{referenční prvek} a jeho strukturu potom nějak přenést i na ostatní oblasti. Oblasti ale nemusejí mít stejný tvar -- mohou vůči sobě být kromě posunutí i nějak lineárně zdeformovány. Proto se nám bude hodit následující definice.
 
\begin{de*}
Nechť $(K, \pe, \en)$ a $(\widehat{K}, \widehat{\pe}, \widehat{\en})$ jsou konečné prvky. Pak řekneme, že příslušné konečné prvky jsou afinně ekvivalentní (značíme $(K, \pe, \en) \afeq (\widehat{K}), \widehat{\pe}, \widehat{\en})$), jestliže existuje afinní zobrazení $F(x) = \mathbb{A}x+b$ s regulární maticí $\mathbb{A}$ tak, že
 \begin{enumerate}
  \item $F(K) = \widehat{K}$,
  \item $F^*(\widehat{\pe}) = \pe$,
  \item $F_*(\en) = \widehat{\en}$,
 \end{enumerate}
kde zobrazení $F^*$ definujeme vztahem $F^*(\widehat{v}) := \widehat{v} \circ F$ pro každé $\widehat{v} \in \widehat{\pe}$ a zobrazení $F_*$ vztahem $(F_*N)(\widehat{v}) := N(F^*\widehat{v}) = N(\widehat{v}\circ F)$.
\end{de*}
 
\begin{pozn*}
Z definice vyplývá, že pokud je $\widehat{v}$ polynom, pak je $F^*\widehat{v}$ polynom stejného stupně. Dále je zobrazení $F$ invertibilní; jestliže $y = F(x) \mathbb{A}x + b$, pak $x = F^{-1}(y) = \mathbb{A}^{-1}y - \mathbb{A}^{-1}b$. Z toho snadno odvodíme, že afinní ekvivalence je vskutku ekvivalencí.
\end{pozn*}
 
\begin{pr*}[Lineární Lagrangeův prvek v $\R^n$]
Mějme dva lineární Lagrangeovy prvky, z nichž jeden je definovaný na trojúhelníku $K$ s vrcholy $z_1$, $z_2$, $z_3$ a druhý na trojúhelníku $\widehat{K}$ s vrcholy $\widehat{z_1}$, $\widehat{z_2}$, $\widehat{z_3}$. Snadno zjistíme, že lze nalézt vektor posunutí $b$ a matici $\mathbb{A}$ tak, že pro každé $i\leq 3$ platí $F(z_i) = \widehat{z_i}$. 
 
Protože je trojúhelník $2$-simplexem, platí $\overline{K} = [z_1, z_2, z_3]_\kappa = \{\sum_{i=1}^3 \alpha_i z_i : \alpha_i \geq 0, \sum_{i=1}^3 \alpha_i=1\}$ a analogicky pro $\overline{\widehat{K}}$. Vezměme tedy libovolné $x \in K$ a zapišme ho ve tvaru $x = \sum_{i=1}^3 \alpha_i z_i$.\footnote{Příslušným číslům $\alpha_i$ se říká \emph{barycentrické souřadnice}.} Podívejme se, jak na něj bude působit zobrazení $F$:
$$
F(\sum_{i=1}^3 \alpha_i z_i) = \sum_{i=1}^3 \alpha_i z_i + b = \sum_{i=1}^3 \alpha_i z_i + \sum_{i=1}^3 \alpha_i b = \sum_{i=1}^3 \alpha_i F(z_i) = \sum_{i=1}^3 \alpha_i \widehat{z_i}.
$$
 
Tím jsme ověřili, že $F(\overline{K}) = \overline{\widehat{K}}$. Kdybychom chtěli být strašně formální, ještě bychom měli dodat, že z toho plyne i rovnost vnitřků obou množin, což jsme chtěli ukázat. Druhá podmínka z definice zjevně platí -- to vyplývá z první věty předchozí poznámky. Snadným výpočtem ověříme i třetí podmínku:
$$
F_*(N_j)\widehat{v} = N_j(\widehat{v} \circ F) = (\widehat{v} \circ F)(z_j) = \widehat{v}(\widehat{z_j) = \widehat{N_j}(\widehat{v}).
$$
\end{pr*}