Verze z 22. 6. 2016, 22:55

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MKP}
 
\chapter{Seznam tvrzení}
 
\begin{tvrz}
$Q^m u(x)$ je polynom stupně ostře menšího než $m$.
\end{tvrz}
 
 
\begin{tvrz}
Pro každé $u \in L_1(B(x_0,\rho))$ platí
$$
Q^m u(x) = \sum\limits_{\abs{\lambda}<m} x^\lambda \int\limits_{B(x_0,\rho)} \psi_\lambda(y)u(y) \dif{y},
$$
kde $\psi_\lambda \in C_0^{(\infty)}(\R^n)$ a $\supp \psi_\lambda \subset \overline{B(x_0,\rho)}$.
\end{tvrz}
 
 
\begin{tvrz}
Pokud $\Omega \subset \R^n$ je omezená oblast, pak $\forall k \in \N_0$ a $\forall u \in L^1(B(x_0,\rho))$ platí
$$
\norm{Q^m u}_{W_\infty^k(\Omega)} \leq C_{m,n,\rho}(\Omega) \norm{u}_{L_1(B(x_0,\rho))}.
$$
\end{tvrz}
 
 
\begin{tvrz}
Nechť $m \in \N$, $\alpha \in (\N_0)^n$, $\abs{\alpha} \leq m-1$ a $u \in W_1^{\abs{\alpha}}$. Pak
$$
D^\alpha(Q^m u)(x) = Q^{m-\abs{\alpha}}(D^\alpha u)(x).
$$
\end{tvrz}
 
 
\begin{dusl}
$$
R^m u(x) = \int\limits_{B(x_0,\rho)} \Phi(y)m\left[\int\limits_0^1s^{m-1}\sum\limits_{\abs{\alpha}=m} \frac{1}{\alpha!}D^\alpha u(x+s(y-x))(x-y)^\alpha \dif{s}\right] \dif{y}.
$$
\end{dusl}
 
 
\begin{veta}
Zbytek $R^m u(x)$ splňuje
$$
R^m u(x) = m \sum\limits_{\abs{\alpha}=m}\,\int\limits_{C_x} k_\alpha(x,z)D^\alpha u(z) \dif{z}, 
$$
kde $z = x + s(y-x)$, $k_\alpha(x,z) = \frac{1}{\alpha !}(x-z)^\alpha k(x,z)$ a funkce $k(x,z)$, tzv. Rieszovo jádro (potenciál), splňuje odhad
$$
\abs{k(x,z)} \leq C \left(1+\frac{\abs{x-x_0}}{\rho}\right) ^n \abs{z-x}^{-n}.
$$
\end{veta}
 
 
\begin{tvrz}
Koule $B(x_0, \rho)$ může být vybrána tak, aby funkce $k$ splňovala $\forall x \in \Omega$ vztah
$$
\abs{k(x,z)} \leq \widetilde{C}(1+\gamma)^n\abs{z-x}^{-n}.
$$
\end{tvrz}
 
 
\begin{lemma}
Nechť $f \in L_p(\Omega)$ a buď $p > 1$, $m > \frac{n}{p}$, nebo $p=1$ a $m\geq n$. Pak $\forall x \in \Omega$ platí
$$
\int\limits_\Omega \abs{x-z}^{m-n} \abs{f(z)} \dif{z} \leq C_{p,n,m}d^{m-\frac{n}{p}} \norm{f}_{L_p(\Omega)},
$$
kde $d = \diam \Omega$.
\end{lemma}
 
 
\begin{tvrz}
Pro $u \in W_p^m(\Omega)$ platí 
$$
\norm{R^m u}_{L_\infty(\Omega)} \leq C_{m,n,\gamma} d^{m - \frac{n}{p}} \abs{u}_{W_p^m(\Omega)},
$$
pokud $p>1$, $m > \frac{n}{p}$, nebo $p=1$, $m \geq n$. 
\end{tvrz}
 
 
\begin{veta}[Sobolevova nerovnost]
Nechť $\Omega \subset \R^n$ omezená, $d = \diam \Omega$ a je $\star B$. Nechť platí buď $p>1$, $m > \frac{n}{p}$, nebo $p=1 \wedge$, $m \geq n$. Nechť $u \in W_p^m(\Omega)$. 
Pak $u$ je na $\overline{\Omega}$ spojité a platí
$$
\norm{u}_{L_\infty(\Omega)} \leq C_{m,n,\gamma,d,p} \norm{u}_{W_p^m(\Omega)}.
$$
\end{veta}
 
 
\begin{lemma}
Nechť $f \in L^p(\Omega)$, $p\geq 1$, $m\geq 1$ a $g(x) = \int_\Omega \abs{x-z}^{m-n}\abs{f(z)}dz$.
Pak $\exists C_{m,n} >0$ tak, že
$$
\norm{g}_{L^p(\Omega)} \leq C_{m,n} d^m \norm{f}_{L^p(\Omega)}.
$$
\end{lemma}
 
 
\begin{veta}[Bramble--Hilbert]
Nechť $\Omega \subset \R^n$ je omezená oblast, $d = \diam \Omega$, $B(x_0,\rho) \subset \Omega$, $\Omega$ je $\star B(x_0,\rho)$, $\rho > \frac{1}{2}\rho_{\mathrm{max}}$, $p \geq 1$, $m\geq 1$. Pak existuje $C_{m,n,\gamma}>0$ tak, že pro $u \in W_p^m (\Omega)$ platí
$$
\abs{u-Q^m u}_{W_p^k (\Omega)} \leq C_{m,n,\gamma} d^{m-k} \abs{u}_{W_p^m (\Omega)}, \quad k=0,1,\dots,m.
$$
\end{veta}
 
 
\begin{lemma}
Pokud $\mathcal{N} \subset \left[ C^{(l)} (\overline{K}) \right]^\star$ pak $I_K: C^{(l)} (\overline{K}) \rightarrow W_p^m(K)$ pro $p\geq 1$ je omezený lineární operátor. 
\end{lemma}
 
 
\begin{veta}
Nechť pro $(K,\mathcal P,\mathcal{N})$ platí:
 \begin{enumerate}
  \item K je $\star B(x_0,\rho)$,
  \item $\mathcal P$ obsahuje polynomy stupně $< m$,
  \item $\mathcal{N} \subset \left[ C^{(l)} (\overline{K}) \right]^\star$.
 \end{enumerate}
Nechť $p \geq 1$ a $p>1 \wedge m-l- \frac{n}{p} >0$ nebo $p=1 \wedge m-l- n \geq 0$. Pak existuje $C_{m,n,\gamma,\sigma} >0$ tak, že pro $v \in  C^{(l)} (\overline{K})$ a $i=0,\dots,m$ platí 
$$
\abs{v - I_K v}_{W_p^i(K)} \leq C_{m,n,\gamma,\sigma} \left(\diam K\right)^{m-i} \abs{v}_{W_p^m(K)}
$$
\end{veta}
 
 
\begin{veta}
Nechť $\left\{ \mathcal{T}^h \right\}_{h \in (0,1)}$ je nedegenerovaný systém rozdělení polyhedrální oblasti $\Omega \subset \R^n$, $(K,\mathcal P,\mathcal{N})$ referenční prvek splňující:
\begin{itemize}
\item $K$ je $\star B(x_0,\rho)$,
\item $\mathcal P$ obsahuje polynomy stupně $< m$,
\item $\mathcal{N} \subset \left[ C^{(l)} (\overline{K}) \right]^\star$,
\item $p>1 \wedge m-l- \frac{n}{p} >0$ nebo $p=1 \wedge m-l- n \geq 0$.
\end{itemize}
Nechť $(\forall h \in (0,1])(\forall T \in \mathcal{T}^h)( (T,\mathcal P_T,\mathcal{N}_T)$ je afinně ekvivalentní s $(K,\mathcal P,\mathcal{N})$. Pak existuje $C = C(K,n,m,p,\rho)$, kde $B_T \geq \rho \diam T$ tak,  že $\forall s = 0,1,\dots,m$ a $\forall v \in W_p^m (\Omega)$ platí
$$
\left[ \sum\limits_{T \in \mathcal{T}^h} \norm{v - I_T v}_{W_p^s(T)}^p
\right]^{1/p} \leq C h^{m-s} \abs{v}_{W_p^m(\Omega)}.
$$
\end{veta}