Verze z 19. 2. 2016, 09:55

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Matice hustoty}
Ve fyzice se setkáváme se situacemi, kdy nelze experimentálně získat úplnou informaci o stavu systému v daný okamžik (např. z důvodu příliš velkého počtu částic, nedostatečné kvality aparatury, či z nemožnosti dostatečně rychle zpracovat získaná data). V takovém případě se uchylujeme ke statistickému popisu. Nejprve si připomeneme, jak ke statistickému popisu přistupuje klasická hamiltonovská fyzika.
 
Ve statistické fyzice je stav systému popsán funkcí $\rho: TM \mapsto \real_0^+$, nazývanou hustota pravděpodobnosti, která každému bodu fázového prostoru $TM$ přiřadí pravděpodobnost (resp. její hustotu), že se systém v daný časový okamžik v daném stavu nalézá. Tato funkce musí splňovat normalizační podmínku
\[
	\int\limits_{TM} \rho(x,p)dx\:dp = 1.
\]
 
Stření hodnota pozorovatelné $A$ popsané funkcí $a(x,p)$ ve stavu určeném hustotou pravděpodobnosti $\rho$ je dána
\[
	\stredni{A}_{\rho} = \int\limits_{TM} a(x,p) \rho(x,p) \: dx \: dp.
\]
 
Vývoj hustoty pravděpodobnosti v čase řídí rovnice kontinuity (viz \cite{posp:TSF})
\[
	\parcder{\rho}{t} = - \sum_{k=1}^{3N} \left[ 
	\parcder{}{x_k} \left( \rho \parcder{x_k}{t} \right) + \parcder{}{p_k} \left( \rho \parcder{x_k}{t} \right) \right].
\]
Za předpokladu, že pohyb každého bodu fázového prostoru je určen Hamiltonovými pohybovými rovnicemi
\[
	\deriv{x_k}{t} = \parcder{H}{p_k}, \quad \deriv{p_k}{t} = - \parcder{H}{x_k},
\]
je možno pro časový vývoj hustoty pravděpodobnosti odvodit 
\[
	\parcder{\rho}{t} = \sum_{k=1}^{3N} \left[ \parcder{H}{x_k} \parcder{\rho}{p_k} - 
	\parcder{H}{p_k} \parcder{\rho}{x_k} \right] = \{ H, \rho \}.
\]
 
\begin{remark}
Za povšimnutí stojí, že časový vývoj pozorovatelné $a(x,p)$ je určen rovněž Poissonovou závorkou
\begin{equation} \label{MatH:klasvyvpoz2}
	\parcder{a}{t} = \{ a,H \}.
\end{equation}
\end{remark}
 
V analogii očekáváme, že kvantové hustoty pravděpodobnosti budou operátory na $\hilbert$, které každému stavu přiřadí pravděpodobnost, že se v něm systém nachází. V dalším odvozování uvažujeme konečný počet normalizovaných stavů $(\ket{\psi_m})_{m=1}^n$, ve kterých se systém může nacházet. Zobecnění výsledků, jež obdržíme, na spočetný, nebo dokonce nespočetný počet stavů se nedá obecně provést a sama kvantová mechanika jej bere jako postulát. 
 
Stav systému v kvantové mechanice je popsán vektorem $\ket{\psi} \in \hilbert$. Tomuto stavu je možno přiřadit projektor $\hat{P}_{\ket{\psi}} = \ket{\psi} \bra{\psi}$. Snadno nahlédneme, že tento projektor nezávisí na výběru fáze, tedy $\hat{P}_{\ket{\psi}} = \hat{P}_{e^{i \varphi}\ket{\psi}}$, $\forall \varphi \in \real$.
 
Pokud je systém s pravděpodobností $P_m$ ve stavu popsaném vektorem $\ket{\psi_m}$, potom je přirozené uvažovat operátor 
\begin{equation} \label{MatH:defmathust}
	\hat{\rho} = \sum_{m=1}^n P_m \ket{\psi_m} \bra{\psi_m}.
\end{equation}
Podmínku normalizace
\[
	\sum_{m=1}^n P_m = 1
\]
je možno na úrovni $\hat{\rho}$ vyjádřit pomocí stopy operátoru $Tr\: \hat{\rho} = 1$.
 
\begin{define}
Buď $\hat{B}$ operátor na $\hilbert$, $(\ket{i})$ ortonormální báze $\hilbert$. Potom $Tr \: \hat{B}$ definujeme jako \textbf{stopu operátoru} $\hat{B}$ dle předpisu
\[
	Tr \: \hat{B} = \sum_i \brapigket{i}{\hat{B}}{i}.
\]
\end{define}
 
\begin{remark}
Pokud $|Tr \: \hat{B}| < + \infty$, lze ukázat, že hodnota $Tr \: \hat{B}$ nezávisí na výběru báze $(\ket{i})$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Nechť $\ket{\psi} \in \hilbert$, $\braket{\psi}{\psi}=1$, $\hat{\rho}$ operátor definovaný dle \eqref{MatH:defmathust} splňující
\[
	\hat{\rho} \ket{\psi} = \rho \ket{\psi}.
\]
Potom $\rho \in \real_0^+$ ($\hat{\rho}$ je pozitivní operátor).
\end{theorem}
\begin{proof}
Dle definice $\hat{\rho}$ platí
\[
	\hat{\rho} \ket{\psi} = \sum_{m=1}^n P_m \ket{\psi_m} \braket{\psi_m}{\psi} = \rho \ket{\psi}.
\]
Vynásobením této rovnosti zleva bra $\bra{\psi}$ dostáváme
\[
	\sum_{m=1}^n P_m |\braket{\psi_m}{\psi}|^2 = \rho \braket{\psi}{\psi},
\]
odkud již plyne $\rho \in \real_0^+$.
\end{proof}
 
Operátor \eqref{MatH:defmathust} je tedy pozitivní, má jednotkovou stopu a navíc (jak snadno nahlédneme z jeho definice) je samosdružený. Zobecněním získáváme první hledaný postulát.
 
\begin{define}[Postulát 1]\label{MatH:defmathustdef}
Stavy v kvantové mechanice jsou popsány operátory $\hat{\rho}$ nazývanými \textbf{matice hustoty} (operátor hustoty, statistický operátor) s vlastnostmi
	\begin{enumerate}[$(i)$]
		\item $Tr \: \hat{\rho} = 1$,
		\item $\hat{\rho}$ pozitivní $\Bigl(\forall \ket{\psi} \in \hilbert: \brapigket{\psi}{\hat{\rho}}{\psi} \geq 0\Bigr)$,
		\item $\hat{\rho}$ samosdružený $\Bigl(\hat{\rho} = \hat{\rho}^+\Bigr)$.
	\end{enumerate}	
Matice hustoty mající hodnost rovnu jedné nazýváme \textbf{čisté stavy}. Všechny ostatní nazýváme \textbf{smíšené stavy}.
\end{define}
 
\begin{remark}
Podmínky $(i)+(ii)$ implikují omezenost $\hat{\rho}$.
\end{remark}
 
Přestupme nyní k určení střední hodnoty pozorovatelné $\hat{A}$ ve stavu popsaném maticí hustoty $\hat{\rho}$ (označmě $\stredni{\hat{A}}_{\hat{\rho}} $) definované ve smyslu \eqref{MatH:defmathust}. V analogii s klasickou fyzikou píšeme
\[
	\stredni{\hat{A}}_{\hat{\rho}} = \sum_{m=1}^n P_m \stredni{\hat{A}}_{\ket{\psi_m}},
\]
kde $\stredni{\hat{A}}_{\ket{\psi_m}}$ je střední hodnota pozorovatelné $\hat{A}$ ve stavu $\ket{\psi_m}$. Buď $(\ket{i})$ ortonormální báze $\hilbert$, potom
\begin{align*}
	\stredni{\hat{A}}_{\hat{\rho}} &= \sum_{m=1}^n P_m \sum_i \brapigket{\psi_m}{\hat{A}}{i} \braket{i}{\psi_m} =
		\sum_{m=1}^n \sum_i \braket{i}{\psi_m} P_m \brapigket{\psi_m}{\hat{A}}{i} = \\
		&= \sum_{m=1}^n Tr(P_m \ket{\psi_m}\bra{\psi_m} \hat{A}) = Tr(\hat{\rho}\hat{A}).
\end{align*}
 
\begin{remark}
	Pokud $|Tr \: \hat{A}| < + \infty$, platí $Tr(\hat{\rho}\hat{A}) = Tr(\hat{A}\hat{\rho})$.
\end{remark}
 
\begin{define}[Postulát 2]
Stření hodnota $\stredni{\hat{A}}_{\hat{\rho}}$ pozorovatelné $\hat{A}$ ve stavu popsaném maticí hustoty $\hat{\rho}$ je rovna
\begin{equation} \label{MatH:defstrhen}
	\stredni{\hat{A}}_{\hat{\rho}} = Tr(\hat{\rho}\hat{A}) = Tr(\hat{A}\hat{\rho}).
\end{equation}
\end{define}
 
Věnujme se nyní časovému vývoji $\hat{\rho}$. Předpokládejme, že se vývoj každého stavu $\ket{\psi_m(t)}$ řídí Schrödingerovou rovnicí
\begin{equation} \label{MatH:SRmathust}
	i \hbar \deriv{}{t} \ket{\psi_m(t)} = \hat{H} \ket{\psi_m(t)}, \quad resp. \quad
	- i \hbar \deriv{}{t} \bra{\psi_m(t)} =  \bra{\psi_m(t)} \hat{H} 
\end{equation}
a že k jiné změně směsi stavů nedochází. Matici hustoty $\hat{\rho}$ je tedy možno zapsat
\[
	\hat{\rho}(t)= \sum_{m=1}^n P_m \ket{\psi_m(t)} \bra{\psi_m(t)}
\]
Zderivováním poslední rovnosti podle času a dosazením časových derivací stavů z \eqref{MatH:SRmathust} dostáváme
\begin{align*}
	i \hbar \deriv{}{t} \hat{\rho}(t) &= i \hbar \sum_{m=1}^n P_m 
		\left[ \frac{-i}{\hbar} \hat{H} \ket{\psi_m(t)} \bra{\psi_m(t)} +  
				\frac{i}{\hbar} \ket{\psi_m(t)} \bra{\psi_m(t)} \hat{H}  \right] = \\
		&= \hat{H}\hat{\rho}(t) - \hat{\rho}(t)\hat{H} = 
				\komut{\hat{H}}{\hat{\rho}(t)}.
\end{align*}
 
\begin{define}[Postulát 3]
Časový vývoj matice hustoty $\hat{\rho}(t)$ se řídí von Neumanovou rovnicí
\begin{equation} \label{MatH:defvonNeum}
	i \hbar \deriv{}{t} \hat{\rho}(t) = \komut{\hat{H}}{\hat{\rho}(t)}.
\end{equation}
\end{define}
 
\begin{remark}
Srovnáním von Neumanovy rovnice \eqref{MatH:defvonNeum} s rovnicí popisující časový vývoj operátoru v Heisenbergově reprezentaci \eqref{ZQM:HeissOpEq} zjišťujeme, že komutátory vystupující na pravých stranách těchto rovnic jsou vzájemně opačné. Je to však ve shodě s vývojem pozorovatelných a hustoty pravděpodobnosti v klasické mechanice (ronvice \eqref{ZQM:klasvyvpoz1} a \eqref{MatH:klasvyvpoz2})
\end{remark}
 
Zbývá nám vyřešit, jak se změní matice hustoty $\hat{\rho}$, provedeme-li na systému měření pozorovatelné $\hat{A}$. Mějme čistý stav $\ket{\psi}$, na němž naměříme hodnotu $a$ pozorovatelné $\hat{A}$ (symbolicky $\hat{A}=a$). V důsledku měření přejde systém do stavu $\hat{P}_{\hat{A}=a}\ket{\psi}$, kde $\hat{P}_{\hat{A}=a}$ je projektor na vlastní podprostor příslušející vlastní hodnotě $a$ (projekční postulát).
 
Mějme ortonormální bázi vektorů $(\ket{a,k})_{k=1}^l$ tvořící vlastní podprostor operátoru $\hat{A}$ příslušející jeho vlastní hodnotě $a$, tedy
\[
	\hat{A} \ket{a,k} = a \ket{a,k} \quad k = 1, \ldots, l.
\] 
Ze zimy víme, že pravděpodobnost $W_{\hat{A}=a,\ket{\psi}}$, že při měření pozorovatelné $\hat{A}$ na systému ve stavu $\ket{\psi}$ naměříme hodnotu $a$, rovna
\begin{equation} \label{MatH:MereniPoz1}
	W_{\hat{A}=a,\ket{\psi}} = \sum_{k=1}^l |\braket{\psi}{a,k}|^2 = \sum_{k=1}^l \braket{\psi}{a,k}\braket{a,k}{\psi} =
		\brapigket{\psi}{\hat{P}_{\hat{A}=a}}{\psi},	
\end{equation}
kde $\hat{P}_{\hat{A}=a}$ je projekční operátor splňující 
\[
	\hat{P}_{\hat{A}=a} = \sum_{k=1}^l \ket{a,k}\bra{a,k}, \quad
	\hat{P}_{\hat{A}=a} = \hat{P}_{\hat{A}=a} \hat{P}_{\hat{A}=a}.
\]
Je přirozené očekávat, že pravděpodobnost $W_{\hat{A}=a,\hat{\rho}}$ naměření $\hat{A}=a$ na systému popsaného maticí hustoty $\hat{\rho}$ definované dle \eqref{MatH:defmathust} bude rovna
\begin{align*}
	W_{\hat{A}=a,\hat{\rho}} &= \sum_{m=1}^n P_m \brapigket{\psi_m}{\hat{P}_{\hat{A}=a}}{\psi_m} = \\
		&= \sum_{m=1}^n P_m \sum_i \braket{\psi_m}{i} \brapigket{i}{\hat{P}_{\hat{A}=a}}{\psi_m} =
		Tr(\hat{P}_{\hat{A}=a} \hat{\rho}),
\end{align*}
kde $(\ket{i})$ představuje ortonormální bázi $\hilbert$.
 
\begin{define}[Postulát 4]
Pravděpodobnost $W_{\hat{A}=a,\hat{\rho}}$, že při měření pozorovatelné $\hat{A}$ na systému nacházejícím se ve stavu popsaném maticí hustoty $\hat{\rho}$ obdržíme hodnotu $a$, je rovna
\begin{equation} \label{MatH:defpravdnam}
	W_{\hat{A}=a,\hat{\rho}} = Tr(\hat{P}_{\hat{A}=a} \hat{\rho}).
\end{equation}
\end{define}
 
Pokud na čistém stavu $\ket{\psi}$ provádíme opakované měření pozorovatelné $\hat{A}$ a systém nejsme schopní roztřídit dle výsledku (např. z důvodu velkého počtu měření), získáváme smíšený stav. Držme se opět definice matice hustoty \eqref{MatH:defmathust}. Systém v počátečním čistém stavu $\ket{\psi}$ (předpokládejme $\braket{\psi}{\psi} = 1$) je popsán maticí hustoty $\hat{\rho}_{\ket{\psi}} = \ket{\psi}\bra{\psi}$. Po provedení měření $\hat{A}=a$ systém přechází do stavu $\hat{P}_{\hat{A}=a}\ket{\psi}$ (vzniklý vektor již nemusí být normalizovaný k jedničce) s maticí hustoty $\hat{\rho}_{\hat{A}=a,\ket{\psi}}$ definovanou obdobně
\begin{equation} \label{MatH:MereniPoz2}
	\hat{\rho}_{\hat{A}=a,\ket{\psi}} = \frac{\hat{P}_{\hat{A}=a} \ket{\psi} \bra{\psi} \hat{P}_{\hat{A}=a}}
		{\braket{\hat{P}_{\hat{A}=a} \psi}{\hat{P}_{\hat{A}=a} \psi}} =
			\frac{\hat{P}_{\hat{A}=a} \ket{\psi} \bra{\psi} \hat{P}_{\hat{A}=a}}
		{\brapigket{\psi}{\hat{P}_{\hat{A}=a}}{\psi}}.
\end{equation}
Dle předpokladu však na čistém stavu $\ket{\psi}$ neměříme pouze hodnotu $\hat{A}=a$, nýbrž hodnoty z celého spektra operátoru $A$. Zohledněním tohoto faktu můžeme výsledný smíšený stav charakterizovat maticí hustoty $\hat{\rho}_{\hat{A},\ket{\psi}}$ definovanou jako
\begin{align*}
	\hat{\rho}_{\hat{A},\ket{\psi}} &= \sum_{a \in \sigma(\hat{A})} W_{\hat{A}=a,\ket{\psi}} \hat{\rho}_{\hat{A}=a,\ket{\psi}} =
		\sum_{a \in \sigma(\hat{A})} \brapigket{\psi}{\hat{P}_{\hat{A}=a}}{\psi}
		\frac{\hat{P}_{\hat{A}=a} \ket{\psi} \bra{\psi} \hat{P}_{\hat{A}=a}}
		{\brapigket{\psi}{\hat{P}_{\hat{A}=a}}{\psi}} = \\
		&= \sum_{a \in \sigma(\hat{A})} \hat{P}_{\hat{A}=a} \hat{\rho}_{\ket{\psi}} \hat{P}_{\hat{A}=a},
\end{align*}	
kde bylo užito rovností \eqref{MatH:MereniPoz1} a \eqref{MatH:MereniPoz2}.
 
\begin{define}[Postulát 5]
Pokud byl systém na počátku ve stavu popsaném maticí $\hat{\rho}$, po měření pozorovatelné $\hat{A}$ se nachází ve stavu popsaném maticí $\hat{\rho}_{\hat{A}}$ definovanou
\begin{equation} \label{MatH:defpuchfilt}
	\hat{\rho}_{\hat{A}} = \sum_{a \in \sigma(\hat{A})} \hat{P}_{\hat{A}=a} \hat{\rho} \hat{P}_{\hat{A}=a}.
\end{equation}
\end{define}
 
\begin{example}
Matice hustoty na $\hilbert = \komplex^2$.
 
Matice hustoty $\hat{\rho} \in \komplex^{2,2}$ musí dle definice \ref{MatH:defmathustdef} splňovat 3 podmínky. Při jejím hledáním přejdeme do báze $(\hat{\sigma}_1, \hat{\sigma}_2, \hat{\sigma}_3, \opone)$, kde $\hat{\sigma}_i$ jsou Pauliho matice \eqref{ZQM:PaulihoMatice} a $\opone$ představuje jednotkový operátor.
 
Jelikož $\hat{\sigma}_i = \hat{\sigma}_i^+$ a $\opone = \opone^+$, je i operátor $\hat{\rho}$ definovaný jako
\[
	\hat{\rho} = \sum_{i=1}^3 \alpha_i \hat{\sigma}_i + \alpha_4 \opone, \quad \text{kde} \quad \alpha_i \in \real
\]
samosdružený, tedy $\hat{\rho} = \hat{\rho}^+$ a podmínka $(iii)$ v definici \ref{MatH:defmathustdef} je tak triviálně splněna. Dále snadno nahlédneme, že $Tr \: \sigma_i = 0$ a $Tr \: \opone = 2$. Abychom zaručili jednotkovou stopu matice hustoty $\hat{\rho}$, budeme hledat její vyjádření ve tvaru
\begin{equation} \label{MatH:C2MatHust}
	\hat{\rho} = \frac{1}{2} \left( \opone + \sum_{i=1}^3 \alpha_i \hat{\sigma}_i \right) =
	\frac{1}{2}
	\left( \begin{array}{cc}
    			1+\alpha_3 				& \alpha_1 - i\alpha_2 \\
    			\alpha_1 + i\alpha_2 & 1-\alpha_3 \\	 		\end{array} \right),
\end{equation}
kde bylo užito explicitních tvarů Pauliho matic \eqref{ZQM:PaulihoMatice}. Zbývá nám zaručit pozitivnost $\hat{\rho}$. Snadno nahlédneme, že vlastní čísla matice \eqref{MatH:C2MatHust} jsou rovna
\[
	\lambda^{(\pm)} = \frac{1 \pm \sqrt{\alpha_1^2 +\alpha_2^2 +\alpha_3^2}}{2},
\]
a tudíž je podmínkou pozitivity $\hat{\rho}$ nerovnost
\[
	\alpha_1^2 +\alpha_2^2 +\alpha_3^2 \leq 1.
\]
Poslední nerovnost tvoří množinu, jež bývá nazývána Blochovou sférou. Ta je (i v obecnějších případech) vždy konvexní, přičemž na jejím povrchu leží čisté stavu, uvnitř potom stavy smíšené. Čistý stav $\ket{\psi}$ je vlastním vektorem $\hat{\rho}$ příslušející vlastnímu číslu $\lambda^{(+)}=1$. Jeden z jeho možných tvarů je
\[
	\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2(1-\alpha_3)}} \left( \begin{array}{c}
    			\alpha_1 - i\alpha_2 	 \\
    			1-\alpha_3 \\	 \end{array} \right), \quad \braket{\psi}{\psi} = 1. 
\] 
Snadno nahlédneme, že 
\[
	\ket{\psi} \bra{\psi} = \frac{1}{2(1-\alpha_3)} \left( \begin{array}{c}
   						\alpha_1 - i\alpha_2 	 \\
    						1-\alpha_3 \\						 \end{array} \right)
    																\left( \begin{array}{cc}
    						\alpha_1 + i\alpha_2, & 1-\alpha_3	 \\ 			\end{array} \right) = \hat{\rho}.
\]
Předpokládejme hamiltonián $\hat{H}$ ve tvaru $\hat{H} = \left( \begin{array}{cc}
    			E_1 & 0 \\
    			0 & E_2 \\	 \end{array} \right)$, $E_1 \leq E_2$. Položme $\alpha_i = \alpha_i(t)$. Víme, že časový vývoj matice hustoty $\hat{\rho}$ se řídí von Neumanovou rovnicí \eqref{MatH:defvonNeum}, která po dosazení $\hat{H}$, $\hat{\rho}$ a po úpravě získává tvar
\[
	i \hbar \left( \begin{array}{cc}
    					\dot{\alpha}_3 				& \dot{\alpha}_1 - i\dot{\alpha}_2 \\
    					\dot{\alpha}_1 + i\dot{\alpha}_2 & \dot{\alpha}_3 \\	 		\end{array} \right) = (E_1 - E_2)
    			\left( \begin{array}{cc}
    					0 				& \alpha_1 - i\alpha_2 \\
    					-\alpha_1 - i\alpha_2 & 0 \\	 		\end{array} \right).	
\]
Řešení pro $\alpha_3(t)$ je triviální. Řešení $\alpha_1(t)$, $\alpha_1(t)$ se naleze elegantně přechodem k nové funkci $z(t)=\alpha_1(t)-i\alpha_2(t)$. Časový vývoj matice hustoty $\hat{\rho}=\hat{\rho}(t)$ je pak možno zapsat
\[
	\hat{\rho}(t) = \left( \begin{array}{cc}
    		1 + \alpha_3(0) & \bigl[\alpha_1(0) - i\alpha_2(0)\bigr] \exp \left\{ \frac{i}{\hbar} (E_1 - E_2) t  \right\} \\
    		\bigl[\alpha_1(0) + i\alpha_2(0)\bigr] \exp \left\{ \frac{i}{\hbar} (E_1 - E_2) t  \right\} & 1 - \alpha_3(0) \\ 
    							\end{array} \right).
\]
Dále určíme střední hodnotu energie v čase $t=0$ ve stavu $\hat{\rho}$ ($\hat{\rho}$ a $\hat{H}$ zůstávají stále stejné). K tomuto účelu si zvolíme bázi v prostoru $\hilbert = \komplex^2: \Biggl(\ket{1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right), \ket{2} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)\Biggr)$. Ze \eqref{MatH:defstrhen} víme, že střední hodnota energie systému ve stavu $\hat{\rho}$ je určena
\[
	\stredni{\hat{H}}_{\hat{\rho}} = Tr(\hat{\rho}\hat{H}) = \sum_{i=1}^2 \brapigket{i}{\hat{\rho}\hat{H}}{i} =
		\frac{1}{2} \left[ E_1(1+\alpha_3) + E_2 (1-\alpha_3)  \right].
\] 
Snadno nahlédneme $\stredni{\hat{H}}_{\hat{\rho}} \in \left\langle E_1, E_2 \right\rangle$, neboť $\alpha_3 \in \left\langle -1, 1 \right\rangle$. Pravděpodobnost $W_{\hat{H}=E_1}$ naměření $\hat{H}=E_1$ je dle \eqref{MatH:defpravdnam} rovna 
\[
	W_{\hat{H}=E_1} = Tr(\hat{P}_{\hat{H}=E_1} \hat{\rho}) = \frac{1}{2} (1 + \alpha_3),
\]
kde $\hat{P}_{\hat{H}=E_1}$ představuje projekční operátor tvaru $\hat{P}_{\hat{H}=E_1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)$. Po průchodu filtrem přechází matice hustoty $\hat{\rho}$ na novou matici $\hat{\rho}_{\hat{H}}$ podle vztahu \eqref{MatH:defpuchfilt}. Přímo můžeme psát
\[
	\hat{\rho}_{\hat{H}} = \sum_{E=E_1,E_2} \hat{P}_{\hat{H}=E} \hat{\rho} \hat{P}_{\hat{H}=E} = \frac{1}{2}
	\left( \begin{array}{cc}
    					1+\alpha_3 & 0 \\
    					0 & 1-\alpha_3 \\	\end{array} \right).
\]
Měřením energie tedy byla vytvořena stacionární matice hustoty. 
\end{example}
 
\begin{example}
Mějme kanonický soubor kvantových jednorozměrných harmonických oscilátorů s určeným multiplikátorem $\beta = \frac{1}{k_BT}$. Určete střední hodnotu energie a její rozptyl. Výsledky ověřte limitními přechody $\beta \rightarrow 0$, $\beta \rightarrow + \infty$.
 
Nejpravděpodobnější rozdělení $\rho(x,p)$ klasického kanonického souboru popsaného hamiltoniánem $H(x,p)$ má tvar (viz \cite{posp:TSF})
\[
	\rho(x,p) = A \: \exp\left\{-\beta H(x,p) \right\},
\]
kde A je normalizační konstanta. Očekáváme, že kvantově-mechanický soubor určený hamiltoniánem $\hat{H}$ bude popsán maticí hustoty $\hat{\rho}$ definovanou
\[
	\hat{\rho} = \frac{1}{Tr(e^{-\beta\hat{H}})} e^{-\beta\hat{H}},
\]
Dělením stopou $Tr(e^{-\beta\hat{H}})$ je zajištěna jednotková stopa $\hat{\rho}$, samosdružennost $\hat{\rho}$ plyne ze samosdružennosti $\hat{H}$ a pozitivnost $\hat{\rho}$ je snadným důsledkem teorie uvedené u Ritzovy variační metody v následující kapitole. $\hat{\rho}$ je tedy maticí hustoty v korektním smyslu. Ze zimy víme, že soubor vlastních funkcí jednorozměrného harmonického oscilátoru $(\ket{n})_{n=0}^{+\infty}$ tvoří úplnou ortonormální bázi $\hilbert$. Navíc
\[
	\hat{H}\ket{n} = \hbar \omega (n+\frac{1}{2})\ket{n}.
\]
Střední hodnotu energie určíme ze \eqref{MatH:defstrhen}
\[
	\stredni{\hat{H}}_{\hat{\rho}} = Tr (\hat{\rho} \hat{H}) = \frac{1}{Tr(e^{-\beta\hat{H}})}
		\sum_{n=0}^{+\infty} \brapigket{n}{e^{-\beta\hat{H}} \hat{H}}{n}.
\]
S operátorem v exponentu se vypořádáme provedením rozkladu dle jeho spektra, hamiltonián v sumě mimo exponent necháme působit na ket $\ket{n}$
\begin{equation} \label{MatH:HOstrhe}
	\stredni{\hat{H}}_{\hat{\rho}} = \frac{1}{\sum_{n=0}^{+\infty} e^{-\beta\hbar\omega(n+\frac{1}{2})}} 
		\sum_{n=0}^{+\infty} \hbar\omega(n+\frac{1}{2}) e^{-\beta\hbar\omega(n+\frac{1}{2})}.
\end{equation}
Označne
\[
	Z(\beta) = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-\beta\hbar\omega(n+\frac{1}{2})}.
\]
Jedná se o geometrickou řadu, jež můžeme sečíst s výsledkem
\[
	Z(\beta) = \frac{e^{-\frac{\beta\hbar\omega}{2}}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}} =
		 \frac{1}{sinh\left( \frac{ \beta \hbar \omega}{2} \right)}.
\]
Výraz \eqref{MatH:HOstrhe} je možno zapsat pomocí $Z(\beta)$
\[
	\stredni{\hat{H}}_{\hat{\rho}} = \frac{1}{Z(\beta)} \frac{- d Z(\beta)}{d \beta}
\]
a tím snadno najít hledanou střední hodnotu
\[
	\stredni{\hat{H}}_{\hat{\rho}} = \frac{\hbar \omega}{2} \coth \left( \frac{\beta\hbar\omega}{2} \right) \rightarrow
		\begin{cases}
			\xrightarrow[]{\beta \rightarrow 0 \: (T \rightarrow +\infty)} + \infty,  \\ 
			\xrightarrow[]{\beta \rightarrow +\infty \: (T \rightarrow 0)}  \frac{\hbar \omega}{2}.
		\end{cases}
\]
 
Podobnými úpravami získáme vyjádření pro rozptyl energie
\[
	(\Delta \hat{H})_{\hat{\rho}}^2 = \stredni{\hat{H}^2}_{\hat{\rho}} - \stredni{\hat{H}}^2_{\hat{\rho}} =
		\left( \frac{\hbar \omega}{2} \right)^2 \frac{1}{\sinh^2\left( \frac{\beta \hbar \omega}{2} \right)} \rightarrow
		\begin{cases}
			\xrightarrow[]{\beta \rightarrow 0 \: (T \rightarrow +\infty)} + \infty,  \\ 
			\xrightarrow[]{\beta \rightarrow +\infty \: (T \rightarrow 0)} 0.
		\end{cases}
\]
Zamyšlení nad získanými limitními výsledky nechám na čtenáři.
\end{example}
 
 
\subsection{Provázané stavy}
Mohlo by se zdát, že smíšené stavy vůbec nemusíme uvažovat v situacích, kdy máme přesné informace o systému, není to ale tak.
 
Uvažujme Hilbertův prostor $\mathbb{C}^2$ daný složením dvou identických systémů, každý s Hilbertovým prostorem $\mathbb{C}$ ($\mathbb{C} \otimes \mathbb{C}$ je izomorfní $\mathbb{C}^2$), 4 vektory báze takového prostoru označíme
\begin{equation}
	\left\{ \ket{00}, \ket{01}, \ket{10}, \ket{11} \right\},
\end{equation}
což je zkrácený zápis tenzorového součinu, zavedený už v zimě. Zkoumejme stav
\begin{equation}
	\ket{\psi_1} = \frac{\ket{00} + \ket{11}}{\sqrt{2}},
\end{equation}
na tomto stavu je zajímavé, že pokud změříme jeden z podsystémů, víme hned v jakém stavu je druhý podsystém (to vede na EPR paradox, diskuzi mezi EPR trojicí a N. Bohrem doporučujeme jako zajímavou četbu). Můžete sami navíc ověřit, že neexistují stavy $\ket{a}$ a $\ket{b}$ takové, aby $\ket{\psi_1} = \ket{a}\ket{b}$ -- tomu se říká (ne)faktorizovatelnost stavu.
 
To není jediný takový stav, další jsou
\begin{eqnarray}
	\ket{\psi_2} &=& \frac{\ket{00} - \ket{11}}{\sqrt{2}}, \\
	\ket{\psi_3} &=& \frac{\ket{10} + \ket{01}}{\sqrt{2}}, \\
	\ket{\psi_4} &=& \frac{\ket{01} - \ket{10}}{\sqrt{2}},
\end{eqnarray}
dohromady se jim říká Bellovské stavy a tvoří tzv. Bellovu bázi našeho Hilbertova prostoru. Z toho jak jsme zavedli matici hustoty, je jasné, že matice hustoty korespondující s $\ket{\psi_1}$ je
\begin{equation}
	\hat{\rho}_1 = \left( \frac{\ket{00} + \ket{11}}{\sqrt{2}} \right)\left( \frac{\bra{00} + \bra{11}}{\sqrt{2}} \right)
\end{equation}
 
Připomeňme kritérium čistoty stavu pro kvadrát matice hustoty
\begin{equation}
	\Tr{\hat{\rho}^2} \leq 1,
\end{equation}
které pro $\hat{\rho}_1$ dá jedničku jak má.
 
Pokud by obecná matice hustoty popisovala složený systém, je otázka jaký stav (matici hustoty) přiřadit příslušnému podsystému, uvažujme dva systémy $A$ a $B$ a jejich složenému stavu přiřaďme $\hat{\rho}^{AB}$. Podsystému $A$ se pak přirozeně přiřazuje matice $\hat{\rho}^A$, kterou získáme \textit{částečnou stopou} přes systém $B$, označenou a definovanou jako
\begin{eqnarray}
	\hat{\rho}^A &=& \mathrm{Tr}_B \left( \hat{\rho}^{AB} \right), \\
	\mathrm{Tr}_B \left( \ket{a_1} \bra{a_2} \otimes \ket{b_1} \bra{b_2} \right) &\equiv & \ket{a_1} \bra{a_2} \Tr{\ket{b_1} \bra{b_2}},
\end{eqnarray}
pro $\ket{a_1}, \ket{a_2} \in \mathscr{H}_A$, $\ket{b_1}, \ket{b_2} \in \mathscr{H}_B$. Tento postup je jediný kompatibilní s opačnou procedurou kdy známe stavy podsystémů a složenému stavu přiřazujeme tenzorový součin jejich matic hustoty ($\hat{\rho}^A \otimes \hat{\rho}^B$).
 
Pokud nyní zjistíme jaká matice hustoty odpovídá libovolnému podsystému v Bellovském stavu $\hat{\rho_1}$, zjistíme po krátkém výpočtu
\begin{eqnarray}
	\hat{\rho}^1_1 &=& \mathrm{Tr}_2 \left( \hat{\rho}_1 \right) = \mathrm{Tr}_2 \left( \frac{\ket{00}\bra{00} + \ket{11}\bra{00} + \ket{00}\bra{11} + \ket{11}\bra{11}}{2}\right) \notag \\
	&=& \frac{\ket{0}\bra{0} \braket{0}{0} + \ket{1}\bra{0} \braket{0}{1} + \ket{0}\bra{1} \braket{1}{0} + \ket{1}\bra{1} \braket{1}{1}}{2} \notag \\
	&=& \frac{I}{2}.
\end{eqnarray}
A každý ví, že stopa kvadrátu takové matice ($I$ je identita) je
\begin{equation}
	\Tr{\left(\hat{\rho}^1_1\right)^2} = \frac{1}{2} \leq 1,
\end{equation}
takže jsme přirozeně dostali smíšený stav z čistého. Je tedy vidět, že smíšené stavy se v kvantové mechanice vyskytnou ať chceme nebo ne.
 
Je možné si položit otázku zda stav provázaný je provázaný v jakékoli bázi, odpověď na ni necháváme čtenáři k dokázání, ano -- provázanost je vlastností zvolené báze.
 
Zajímavý náhled do problematiky faktorizace stavů vnáší teorém zvaný \textit{Schmidt decomposition}:\\
Nechť $\ket{\psi}$ je čistý stav složeného systému ze systémů $A$ a $B$, potom existují ortonormální báze $\left\{ \ket{i_A} \right\}$, $\left\{ \ket{i_B} \right\}$ prostorů $\mathscr{H}_A$ a $\mathscr{H}_B$ takové, že
\begin{equation}
	\ket{\psi} = \sum_i \lambda_i \ket{i_A} \ket{i_B},
\end{equation}
kde navíc $\lambda_i \geq 0$ pro $\forall i$, $\sum_i \lambda_i^2 = 1$. $\lambda_i$ se nazývají Schmidtovy koeficienty.\\
Někdy se mu říká částečná faktorizace.
 
Také se můžeme ptát jak moc je daný stav smíšený a ukazuje se, že jednou z dobrých měr je  \textit{Von Neumannova entropie}, která je přímým analogem Shannonovy entropie z teorie informace. Pokud smíšený stav popíšeme jako
\begin{equation}
	\hat{\rho} = \sum_i p_i \ket{i}\bra{i},
\end{equation}
von Neumannova entropie je definována
\begin{equation}
	S(\hat{\rho}) = - \sum_i p_i \ln p_i. \label{eq:rozkladP}
\end{equation}
Zobecnění takového vztahu tak, aby nebyl závislý na zvolené bázi je
\begin{equation}
	S(\hat{\rho}) = - \Tr{\hat{\rho} \ln \hat{\rho}}.
\end{equation}
 
Podíváme se proč je zrovna tahle entropie vhodnou mírou smíšenosti. Pro čistý stav platí
\begin{equation}
	\hat{\rho}^2 = \hat{\rho},
\end{equation}
takže jedno $p_i$ v \eqref{eq:rozkladP} je jednička a zbytek nuly, tudíž $S=0$ pro takový stav.
 
A pokud zkusíme spočíst takovou entropii pro redukovanou matici zmiňovaného Bellovského stavu, dostaneme
\begin{equation}
	S(\hat{\rho}_1^1) = S(\frac{I}{2}) = \ln 2,
\end{equation}
což se dá snadno ukázat, že je maximální entropie takového systému. Stav, který jsme dostali z Bellovského stavu, byl maximálně smíšený! Obecně se dá ukázat, že Von Neumannova entropie je svázána se vzdáleností stavu od povrchu Blochovské sféry, o které doporučujeme studentům vyhledat víc informací, pokud ji ještě neviděli.