01NUM1:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Důkaz 28) |
(Důkazy - SOR) |
||
Řádka 139: | Řádka 139: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Podle \ref{Jordan} rozložíme \( \matice A = \matice T^{-1} \matice{J T} \). Nechť \( i \) takové, že \( \lambda = \matice J_{ii} \). Platí | Podle \ref{Jordan} rozložíme \( \matice A = \matice T^{-1} \matice{J T} \). Nechť \( i \) takové, že \( \lambda = \matice J_{ii} \). Platí | ||
− | \[ p ( \matice A ) = \matice X^{-1} p ( \matice J ) \matice X \todo{ | + | \[ p ( \matice A ) = \matice X^{-1} p ( \matice J ) \matice X \todo{Důkaz 5.10 - ukázat, že takové \( \matice X \) existuje} \] |
Díky lemmatu k \ref{GeomKSpektrum} a pravidlům sčítání matic je \( p ( \matice J ) \) dolní trojúhelníková a \( ( p ( \matice J ) )_{ii} = p ( \lambda ) \). Tvrzení věty pak plyne z \ref{PodobneEigenvalue}. | Díky lemmatu k \ref{GeomKSpektrum} a pravidlům sčítání matic je \( p ( \matice J ) \) dolní trojúhelníková a \( ( p ( \matice J ) )_{ii} = p ( \lambda ) \). Tvrzení věty pak plyne z \ref{PodobneEigenvalue}. | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
Řádka 178: | Řádka 178: | ||
Nechť matice \( \matice A \) je hermitovská a pozitivně definitní. Pak předpodmíněná metoda postupných aproximací pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) když platí postačující podmínka | Nechť matice \( \matice A \) je hermitovská a pozitivně definitní. Pak předpodmíněná metoda postupných aproximací pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) když platí postačující podmínka | ||
\[ \Theta < \matice A <\matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* \] | \[ \Theta < \matice A <\matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* \] | ||
− | Konvergence je navíc monotónní vzhledem k | + | Konvergence je navíc monotónní vzhledem k normě \( \lVert \, \cdot \, \rVert_{\matice A} \) |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Chceme dokázat \( \lVert \matice I - \matice{H A} \rVert_{\matice A} < 1 \) a tím splnit předpoklady \ref{KPredpodmineneAproximace} (Energetická norma existuje, protože je \( \matice A \) hermitovská a pozitivně definitní). | Chceme dokázat \( \lVert \matice I - \matice{H A} \rVert_{\matice A} < 1 \) a tím splnit předpoklady \ref{KPredpodmineneAproximace} (Energetická norma existuje, protože je \( \matice A \) hermitovská a pozitivně definitní). | ||
Řádka 206: | Řádka 206: | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
\label{KHermPDRichardson} | \label{KHermPDRichardson} | ||
− | Nechť matice \( \matice A \) je hermitovská a pozitivně definitní. Pak metoda Richardsonových iterací konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když | + | Nechť matice \( \matice A \) je hermitovská a pozitivně definitní. Nechť \( \theta \in \mathbbm R \). Pak metoda Richardsonových iterací konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když |
\[ \Theta < \matice A < \frac{2}{\theta} \matice I \] | \[ \Theta < \matice A < \frac{2}{\theta} \matice I \] | ||
− | Konvergence je navíc monotónní vzhledem k | + | Konvergence je navíc monotónní vzhledem k normě \( \lVert \, \cdot \, \rVert_{\matice A} \) |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Upravíme předpis pro Richardsonovy iterace do tvaru | Upravíme předpis pro Richardsonovy iterace do tvaru | ||
\[ \vec x^{( k + 1 )} = ( \matice I - \theta \matice I \matice A ) \vec x^{( k )} + \theta \matice I \vec b \] | \[ \vec x^{( k + 1 )} = ( \matice I - \theta \matice I \matice A ) \vec x^{( k )} + \theta \matice I \vec b \] | ||
což je předpis předpodmíněné metody postupných aproximací s předpodmíněním \( \matice H = \theta \matice I \). Potom můžeme využít \ref{KHermPDPredpodmineneAproximace} protože platí | což je předpis předpodmíněné metody postupných aproximací s předpodmíněním \( \matice H = \theta \matice I \). Potom můžeme využít \ref{KHermPDPredpodmineneAproximace} protože platí | ||
− | \[ \matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* = \frac{1}{\theta} \matice I + \left( \frac{1}{\theta} \matice I \right)^* | + | \[ \matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* = \frac{1}{\theta} \matice I + \left( \frac{1}{\theta} \matice I \right)^* = \frac{2}{\theta} \matice I \] |
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 262: | Řádka 262: | ||
Nechť je matice \( \matice A \) hermitovská a pozivně definitní. Pak Jacobiho metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když | Nechť je matice \( \matice A \) hermitovská a pozivně definitní. Pak Jacobiho metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když | ||
\[ \Theta < \matice A < 2 \matice D \] | \[ \Theta < \matice A < 2 \matice D \] | ||
− | Konvergence je navíc monotónní vzhledem k | + | Konvergence je navíc monotónní vzhledem k normě \( \lVert \, \cdot \, \rVert_{\matice A} \) |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
Řádka 270: | Řádka 270: | ||
\[ \matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* = \matice D + \matice D^* = 2 \matice D \] | \[ \matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* = \matice D + \matice D^* = 2 \matice D \] | ||
čímž jsou splněny předpoklady \ref{KHermPDPredpodmineneAproximace}. | čímž jsou splněny předpoklady \ref{KHermPDPredpodmineneAproximace}. | ||
− | \item[( \( \Rightarrow \) )] \todo{ | + | \item[( \( \Rightarrow \) )] \todo{Důkaz 5.21 - zpětná implikace} |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
Řádka 322: | Řádka 322: | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
\label{KHermPDGaussSeidel} | \label{KHermPDGaussSeidel} | ||
− | Nechť je matice \( \matice A \) hermitovská a pozivně definitní. Pak Gaussova-Seidelova metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \). Konvergence je navíc monotónní vzhledem k | + | Nechť je matice \( \matice A \) hermitovská a pozivně definitní. Pak Gaussova-Seidelova metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \). Konvergence je navíc monotónní vzhledem k normě \( \lVert \, \cdot \, \rVert_{\matice A} \) |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Upravíme předpis Gaussovy-Seidelovy metody do tvaru | Upravíme předpis Gaussovy-Seidelovy metody do tvaru | ||
Řádka 363: | Řádka 363: | ||
Nechť má matice \( \matice A \) převládající diagonálu a platí \( 0 < \omega \leq 1 \). Pak super-relaxační metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \). | Nechť má matice \( \matice A \) převládající diagonálu a platí \( 0 < \omega \leq 1 \). Pak super-relaxační metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \). | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | Oberhuber nezná. | + | Oberhuber nezná. |
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 371: | Řádka 371: | ||
Nechť je matice \( \matice A \) hermitovská a pozivně definitní. Pak super-relaxační metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když | Nechť je matice \( \matice A \) hermitovská a pozivně definitní. Pak super-relaxační metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když | ||
\[ 0 < \omega < 2 \] | \[ 0 < \omega < 2 \] | ||
− | Konvergence je navíc monotónní vzhledem k | + | Konvergence je navíc monotónní vzhledem k normě \( \lVert \, \cdot \, \rVert_{\matice A} \) |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | \ | + | Upravíme předpis super-relaxační metody do tvaru |
+ | \[ \vec x^{( k + 1 )} = ( \matice I - \omega \left( \matice D - \omega \matice L \right)^{-1} \matice A ) \vec x^{( k )} + \omega \left( \matice D - \omega \matice L \right)^{-1} \vec b \] | ||
+ | což je předpis předpodmíněné metody postupných aproximací s předpodmíněním \( \matice H = \omega \left( \matice D - \omega \matice L \right)^{-1} \). Díky podmínce věty platí | ||
+ | \[ \frac{2}{\omega} - 1 > 0 \] | ||
+ | Díky hermitovskosti matice \( \matice A \) platí \( \matice L^* = \matice R \) a \( \matice D^* = \matice D \). Potom můžeme využít \ref{KHermPDPredpodmineneAproximace} protože platí | ||
+ | \[ \matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* = \frac{1}{\omega} ( \matice D - \omega \matice L) + \frac{1}{\omega} ( \matice D - \omega \matice L )^* = \frac{1}{\omega} \matice D - \matice L + \frac{1}{\omega} \matice D - \matice R = \left( \frac{2}{\omega} - 1 \right) \matice D + \matice A > \matice A \] | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 379: | Řádka 384: | ||
\setcounter{define}{37} | \setcounter{define}{37} | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
− | \label{ | + | \label{SORJacobiEigenvalue} |
− | Nechť je matice \( \matice A \) dvoucyklická a shodně uspořádaná. Nechť dále \( \omega \neq 0 \) a \( \lambda \neq 0 \) a \( \matice B_\omega \in \mathbbm C^{n, n} \) je maticí a \( \matice B_J \in \mathbbm C^{n, n} \) je | + | Nechť je matice \( \matice A \) dvoucyklická a shodně uspořádaná. Nechť dále \( \omega \neq 0 \) a \( \lambda \neq 0 \) a \( \matice B_\omega \in \mathbbm C^{n, n} \) je maticí super-relaxační metody a \( \matice B_J \in \mathbbm C^{n, n} \) je maticí Jacobiho metody. Nechť čísla \( \lambda \) a \( \mu \) splňují |
\[ ( \lambda + \omega - 1 )^2 = \omega^2 \mu^2 \lambda \] | \[ ( \lambda + \omega - 1 )^2 = \omega^2 \mu^2 \lambda \] | ||
Pak \( \lambda \in \sigma ( \matice B_\omega ) \Leftrightarrow \mu \in \sigma ( \matice B_J ) \). Navíc platí, že pro | Pak \( \lambda \in \sigma ( \matice B_\omega ) \Leftrightarrow \mu \in \sigma ( \matice B_J ) \). Navíc platí, že pro |
Verze z 6. 1. 2016, 18:21
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01NUM1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01NUM1 | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 19:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 19:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Dedicma2 | 17. 1. 2016 | 16:20 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Dedicma2 | 23. 5. 2017 | 21:32 | znaceni.tex | |
Kapitola2 | editovat | Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 15:41 | prezentace2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Úvod do numerické matematiky | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 15:51 | prezentace3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Přímé metody pro lineární soustavy | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:47 | prezentace4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Iterativní metody | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:59 | prezentace5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Vlastní čísla a vektory matic | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 17:07 | prezentace6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Nelineární rovnice | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 14:27 | prezentace7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Interpolace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 15:43 | prezentace8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Derivace a integrace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 17:33 | prezentace9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Iterativní metody} \subsection{Iterativní metody obecně} \begin{theorem} \label{KIterativniMetody} Iterativní metoda tvaru \[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B^{( k )} \vec x^{( k )} + \vec c^{( k )} \] splňující \[ \vec x^* = \matice B^{( k )} \vec x^* + \vec c^{( k )} \] konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x^* \) právě tehdy, když \[ \lim_{k \rightarrow \infty} \prod_{i = 0}^k \matice B^{( i )} = \Theta \] \begin{proof} \[ \lim_{k \rightarrow \infty} \vec x^{( k )} - \vec x^* = \lim_{k \rightarrow \infty} \matice B^{( k - 1)} \vec x^{( k -1 )} + \vec c^{( k - 1 )} - \matice B^{( k - 1 )} \vec x^* + \vec c^{( k - 1 )} = \] \[ = \lim_{k \rightarrow \infty} \matice B^{( k - 1 )} ( \vec x^{( k -1 )} - \vec x^* ) = \dots = \lim_{k \rightarrow \infty} \prod_{i = 0}^{k - 1} \matice B^{( i )} ( \vec x^{( 0 )} - \vec x^* ) \] což je rovno nule pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) právě tehdy, je-li splněna podmínka z věty. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Stacionární iterativní metody} \begin{theorem} \label{KStacionarniIterativniMetody} Stacionární iterativní metoda, tj. metoda tvaru \[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \] splňující \[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \] konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x^* \) právě tehdy, když \[ \lim_{k \rightarrow \infty } \matice B^k = \Theta \] \begin{proof} \( \matice B^k = \prod_{i = 0}^k \matice B \) a tedy platnost této věty plyne přímo z \ref{KIterativniMetody}. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{KStacionarniIterativniMetodySpektrum} Stacionární iterativní metoda, tj. metoda tvaru \[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \] splňující \[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \] konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x^* \) právě tehdy, když \[ \rho ( \matice B ) < 1 \] \begin{proof} Plyne z \ref{GeomKSpektrum} a \ref{KStacionarniIterativniMetody}. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{KStacionarniIterativniMetodyNorma} Postačující podmínkou pro to, aby stacionární iterativní metoda, tj. metoda tvaru \[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \] splňující \[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \] konvergovala pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x^* \) je \[ \exists \; \text{maticová norma} \; \lVert \, \cdot \, \rVert, \lVert \matice B \rVert < 1 \] \begin{proof} Plyne z \ref{GeomKNorma} a \ref{KStacionarniIterativniMetody}. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Aposteriorní odhad chyby pro stacionární iterativní metody] \label{AposteriorniOdhad} Pro stacionární iterativní metodu, tj. metodu tvaru \[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \] splňující \[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \] kde \( \vec x^* \) je řešením soustavy lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \), platí tyto odhady chyby aproximace řešení: \begin{enumerate}[(1)] \item \( \displaystyle \left\lVert \vec x^{( k )} - \vec x^* \right\rVert \leq \left\lVert \matice A^{-1} \right\rVert \left\rVert \matice A \vec x^{( k )} - \vec b \right\rVert \) \\ \item \( \displaystyle \left\lVert \vec x^{( k )} - \vec x^* \right\rVert \leq \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \lVert \matice B \rVert \left\lVert \vec x^{( k - 1)} - \vec x^{( k )} \right\rVert \) \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[(1)] \item \[ \left\lVert \vec x^{( k )} - \vec x^* \right\rVert = \left\lVert \matice A^{-1} ( \matice A \vec x^{( k )} - \vec b ) \right\rVert \leq \left\lVert \matice A^{-1} \right\rVert \left\rVert \matice A \vec x^{( k )} - \vec b \right\rVert \] kde poslední nerovnost plyne z trojúhelníkové nerovnosti. \item \[ \left\lVert \vec x^{( k )} - \vec x^* \right\rVert = \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} ( ( \matice I - \matice B ) \vec x^{( k )} - \vec c ) \right\rVert \leq \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert ( \matice I - \matice B ) \vec x^{( k )} - \vec c \right\rVert \] kde poslední nerovnost je opět aplikací trojúhleníkové nerovnosti. \[ \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert ( \matice I - \matice B ) \vec x^{( k )} - \vec c \right\rVert = \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert \vec x^{(k)} - \matice B \vec x^{( k )} - \vec c \right\rVert = \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert \matice B \vec x^{(k - 1)} + \vec c - \matice B \vec x^{( k )} - \vec c \right\rVert = \] \[ = \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert \matice B ( \vec x^{(k - 1)} - \vec x^{( k )} ) \right\rVert \leq \left\lVert ( \matice I - \matice B )^{-1} \right\rVert \left\lVert \matice B \right\rVert \left\lVert \vec x^{(k - 1)} - \vec x^{( k )} \right\rVert \] kde poslední nerovnost je znovu pouze aplikací trojúhelníkové nerovnosti. \qedhere \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{define}[V prezentaci poznámka] Nechť \( \vec x^{( k )} \) je \( k \)-tá aproximace řešení soustavy lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \). Potom definujeme reziduum v \( k \)-té iteraci \[ \vec r^{( k )} = \matice A \vec x^{( k )} - \vec b \] \end{define} \setcounter{define}{7} \begin{theorem}[Apriorní odhad chyby pro stacionární iterativní metody] \label{ApriorniOdhad} Pro stacionární iterativní metodu, tj. metodu tvaru \[ \vec x^{( k + 1 )} = \matice B \vec x^{( k )} + \vec c \] splňující \[ \vec x^* = \matice B \vec x^* + \vec c \] a dále splňující pro nějakou maticovou normu \[ \lVert \matice B \rVert < 1 \] platí \[ \left\lVert \vec x^{(k)} - \vec x^* \right\rVert \leq \lVert \matice B \rVert^k \left( \left\lVert \vec x^{(0)} \right\rVert + \frac{\lVert \vec c \rVert}{1 - \lVert \matice B \rVert} \right) \] kde používaná vektorová norma je souhlasná s normou maticovou. \begin{proof} \[ \vec x^{(k)} = \matice B \vec x^{(k - 1)} + \vec c = \dots = \matice B^k \vec x^{(0)} + \sum_{i = 0}^{k - 1} \matice B^i \vec c \] Protože \( \lVert \matice B \rVert < 1 \), tak díky \ref{AbsEigenvalueVSNorma} \( \rho ( \matice B ) < 1 \), a tedy \( 0 \notin \sigma ( \matice I - \matice B ) \), tedy \( ( \matice I - \matice B ) \) je regulární a můžeme upravovat \[ \vec c = ( \matice I - \matice B) \vec x^* \Rightarrow \vec x^* = ( \matice I - \matice B )^{-1} \vec c = \sum_{i = 0}^\infty \matice B^i \vec c \] kde poslední rovnost platí, protože \( \lVert \matice B \rVert < 1 \), a tedy díky \ref{GeomKNorma} řada konverguje. S pomocí těchto dvou rozvojů můžeme za použití trojúhelníkové nerovnosti a vzorce pro součet geometrické řady odhadovat \[ \left\lVert \vec x^{(k)} - \vec x^* \right\rVert = \left\lVert \matice B^k \vec x^{(0)} + \sum_{i = 0}^{k - 1} \matice B^i \vec c - \sum_{i = 0}^\infty \matice B^i \vec c \right\rVert = \left\lVert \matice B^k \vec x^{(0)} - \sum_{i = k}^\infty \matice B^i \vec c \right\rVert = \left\lVert \matice B^k \left( \vec x^{(0)} - \sum_{i = 0}^\infty \matice B^i \vec c \right) \right\rVert \leq \] \[ \leq \lVert \matice B \rVert^k \left\lVert \vec x^{(0)} - \sum_{i = 0}^\infty \matice B^i \vec c \right\rVert \leq \lVert \matice B \rVert^k \left( \left\lVert \vec x^{(0)} \right\rVert + \sum_{i = 0}^\infty \lVert \matice B \rVert^i \lVert \vec c \rVert \right) = \lVert \matice B \rVert^k \left( \left\lVert \vec x^{(0)} \right\rVert + \frac{\lVert \vec c \rVert}{1 - \lVert \matice B \rVert} \right) \] \end{proof} \end{theorem} \subsection{Metoda postupných aproximací} \begin{theorem} \label{KPostupneAproximace} Metoda postupných aproximací pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \), kde matice \( \matice A \) je regulární, tj. metoda tvaru \[ \vec x^{(k + 1)} = ( \matice I - \matice A ) \vec x^{(k)} + \vec b \] konverguje pro libovolné \( \vec x^{(0)} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když \[ \rho ( \matice I - \matice A ) < 1 \] \begin{proof} \[ ( \matice I - \matice A ) \vec x + \vec b = \matice I \vec x - \matice A \vec x + \vec b = \vec x \] Tím jsou splněny předpoklady \ref{KStacionarniIterativniMetodySpektrum}. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark*} Díky \ref{AbsEigenvalueVSNorma} je postačující podmínkou konvergence metody postupných aproximací existence nějaké normy, pro kterou \[ \lVert \matice I - \matice A \rVert < 1 \] \end{remark*} \begin{theorem} \label{PolynomEigenvalues} Nechť \( p(t) \) je polynom, \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) a \( \lambda \in \sigma ( \matice A ) \). Potom \( p( \lambda ) \in \sigma ( p( \matice A ) ) \). \begin{proof} Podle \ref{Jordan} rozložíme \( \matice A = \matice T^{-1} \matice{J T} \). Nechť \( i \) takové, že \( \lambda = \matice J_{ii} \). Platí \[ p ( \matice A ) = \matice X^{-1} p ( \matice J ) \matice X \todo{Důkaz 5.10 - ukázat, že takové \( \matice X \) existuje} \] Díky lemmatu k \ref{GeomKSpektrum} a pravidlům sčítání matic je \( p ( \matice J ) \) dolní trojúhelníková a \( ( p ( \matice J ) )_{ii} = p ( \lambda ) \). Tvrzení věty pak plyne z \ref{PodobneEigenvalue}. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{KHermPDPostupneAproximace} Nechť matice \( \matice A \) je hermitovská a pozitivně definitní. Pak metoda postupných aproximací pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když \[ \Theta < \matice A < 2 \matice I \] \begin{proof} Díky hermitovskosti matice a \ref{KPostupneAproximace} metoda postupných aproximací konverguje právě tehdy, když \( \sigma ( \matice I - \matice A ) \subset \left( -1 , 1 \right) \), tedy právě tehdy, když \( \sigma ( \matice A ) \subset \left( 0 , 2 \right) \). Použitím \ref{PolynomEigenvalues} ( kde \( \matice A = \matice I \) a \( p(t) = 2t \) ) dostaneme díky faktu, že matice \( \matice I \) má jedinné vlastní číslo 1 tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Předpodmíněná metoda postupných aproximací} \setcounter{define}{12} \begin{theorem} \label{KPredpodmineneAproximace} Předpodmíněná metoda postupných aproximací s předpodmíněním \( \matice H \) pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \), kde matice \( \matice A \) je regulární, tj. metoda tvaru \[ \vec x^{( k + 1 )} = ( \matice I - \matice{H A} ) \vec x^{( k )} + \matice H \vec b \] konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když \[ \rho ( \matice I - \matice{H A} ) < 1 \] \begin{proof} \[ ( \matice I - \matice{H A} ) \vec x + \matice H \vec b = \matice I \vec x - \matice H \vec b + \matice H \vec b = \vec x \] Tím jsou splněny předpoklady \ref{KStacionarniIterativniMetodySpektrum}. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark*} Díky \ref{AbsEigenvalueVSNorma} je postačující podmínkou konvergence předpodmíněné metody postupných aproximací existence nějaké normy, pro kterou \[ \lVert \matice I - \matice{H A} \rVert < 1 \] \end{remark*} \begin{theorem} \label{KHermPDPredpodmineneAproximace} Nechť matice \( \matice A \) je hermitovská a pozitivně definitní. Pak předpodmíněná metoda postupných aproximací pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) když platí postačující podmínka \[ \Theta < \matice A <\matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* \] Konvergence je navíc monotónní vzhledem k normě \( \lVert \, \cdot \, \rVert_{\matice A} \) \begin{proof} Chceme dokázat \( \lVert \matice I - \matice{H A} \rVert_{\matice A} < 1 \) a tím splnit předpoklady \ref{KPredpodmineneAproximace} (Energetická norma existuje, protože je \( \matice A \) hermitovská a pozitivně definitní). \[ \lVert \matice I - \matice{H A} \rVert_{\matice A} = \left\lVert \matice A^{\frac{1}{2}} ( \matice I - \matice{H A} ) \matice A^{-\frac{1}{2}} \right\rVert_2 = \left\lVert \matice I - \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H \matice A^{\frac{1}{2}} \right\rVert_2 = \lVert \matice B \rVert_2 \] když označíme \( \matice B = \matice I - \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H \matice A^{\frac{1}{2}} \). Dále \[ \lVert \matice B \rVert_2 < 1 \Leftrightarrow \lVert \matice B \rVert_2^2 < 1 \] Využijeme \ref{NormaMatice} a \ref{AbsEigenvalueVSNorma} \[ \lVert \matice B \rVert_2^2 = \rho ( \matice B^* \matice B ) \leq \left\lVert \matice B^* \matice B \right\rVert \] pro nějakou normu. Budeme tedy odhadovat ze shora matici \( \matice B^* \matice B \). \[ \matice B^* \matice B = ( \matice I - \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H \matice A^{\frac{1}{2}} )^* ( \matice I - \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H \matice A^{\frac{1}{2}} ) = ( \matice I - \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H^* \matice A^{\frac{1}{2}} ) ( \matice I - \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H \matice A^{\frac{1}{2}} ) \] kde poslední rovnost plyne z hermitovskosti matice \( \matice A \). \[ ( \matice I - \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H^* \matice A^{\frac{1}{2}} ) ( \matice I - \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H \matice A^{\frac{1}{2}} ) = \matice I - \matice A^{\frac{1}{2}} ( \matice H^* + \matice H ) \matice A^{\frac{1}{2}} + \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H^* \matice A \matice H \matice A^{\frac{1}{2}} \] Využijeme snadno ověřitelné rovnosti \( \matice H^* ( \matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* ) \matice H = \matice H^* + \matice H \) a dostáváme \[ \matice I - \matice A^{\frac{1}{2}} ( \matice H^* + \matice H ) \matice A^{\frac{1}{2}} + \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H^* \matice A \matice H \matice A^{\frac{1}{2}} = \matice I - \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H^* ( \matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* ) \matice H \matice A^{\frac{1}{2}} + \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H^* \matice A \matice H \matice A^{\frac{1}{2}} = \] \[ = \matice I - \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H^* ( \underbrace{\matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* - \matice A}_{> \Theta} ) \matice H \matice A^{\frac{1}{2}} \] kde jsme k odhadu využili předpokladů věty. Dále víme, že \( \matice H^* \matice H \) je pozitivně definitní (Ověření: \( \braket{\matice H^* \matice H \vec x | \vec x} = \braket{\matice H \vec x | \matice H \vec x} = \lVert \matice H \vec x \rVert > 0 \)). Protože i \( \matice A \) je pozitivně definitní, můžeme odhadnout \[ \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H^* ( \matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* - \matice A ) \matice H \matice A^{\frac{1}{2}} > \Theta \] A protože i \( \matice B^* \matice B \) je pozitivně definitní, konečně můžeme odhadnout \[ \matice I - \matice A^{\frac{1}{2}} \matice H^* ( \matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* - \matice A ) \matice H \matice A^{\frac{1}{2}} < \matice I \] Tím jsme naplnili předpoklady \ref{KPredpodmineneAproximace}, a tedy dokázali platnost věty. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Richardsonovy iterace} \setcounter{define}{15} \begin{theorem} \label{KHermPDRichardson} Nechť matice \( \matice A \) je hermitovská a pozitivně definitní. Nechť \( \theta \in \mathbbm R \). Pak metoda Richardsonových iterací konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když \[ \Theta < \matice A < \frac{2}{\theta} \matice I \] Konvergence je navíc monotónní vzhledem k normě \( \lVert \, \cdot \, \rVert_{\matice A} \) \begin{proof} Upravíme předpis pro Richardsonovy iterace do tvaru \[ \vec x^{( k + 1 )} = ( \matice I - \theta \matice I \matice A ) \vec x^{( k )} + \theta \matice I \vec b \] což je předpis předpodmíněné metody postupných aproximací s předpodmíněním \( \matice H = \theta \matice I \). Potom můžeme využít \ref{KHermPDPredpodmineneAproximace} protože platí \[ \matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* = \frac{1}{\theta} \matice I + \left( \frac{1}{\theta} \matice I \right)^* = \frac{2}{\theta} \matice I \] \end{proof} \end{theorem} \subsection{Jacobiho metoda - numerická analýza} \setcounter{define}{17} \begin{theorem} \label{KJacobi} Jacobiho metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když \[ \rho \left( \matice D^{-1} ( \matice L + \matice R ) \right) < 1 \] \begin{proof} Upravíme předpis Jacobiho metody do tvaru \[ \vec x^{( k + 1 )} = ( \matice I - \matice D^{-1} \matice A ) \vec x^{( k + 1 )} + \matice D^{-1} \vec b \] což je předpis předpodmíněné metody postupných aproximací s předpodmíněním \( \matice H = \matice D^{-1} \). Díky vztahu \( \matice A = \matice D - \matice L - \matice R \) můžeme upravit \[ \rho \left( \matice D^{-1} ( \matice L + \matice R ) \right) = \rho \left( \matice D^{-1} ( \matice D - \matice A ) \right) = \rho \left( \matice I - \matice D^{-1} \matice A \right) < 1 \] čímž jsou splněny předpoklady \ref{KPredpodmineneAproximace}. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark*} Díky \ref{AbsEigenvalueVSNorma} je postačující podmínkou konvergence Jacobiho metody existence nějaké normy, pro kterou \[ \left\lVert \matice D^{-1} ( \matice L + \matice R ) \right\rVert < 1 \] \end{remark*} \setcounter{define}{19} \begin{theorem} \label{KDiagJacobi} Nechť má matice \( \matice A \) převládající diagonálu. Pak Jacobiho metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \). \begin{proof} Chceme ukázat \( \lVert \matice D^{-1} ( \matice L + \matice R ) \rVert_\infty = \lVert \matice D^{-1} ( \matice D - \matice A ) \rVert_\infty = \lVert \matice I - \matice D^{-1} \matice A \rVert_\infty < 1 \) a využít \ref{KJacobi}. Matice \( \matice D \) je diagonální a na její diagonále jsou prvky diagonály matice \( \matice A \). Proto pro prvky matice \( \matice D^{-1} \matice A \) platí \[ \left( \matice D^{-1} \matice A \right)_{ij} = \frac{\matice A_{ij}}{\matice A_{ii}} \] A tedy na diagonále \( \matice D^{-1} \matice A \) jsou jedničky. Proto \[ \left( \matice I - \matice D^{-1} \matice A \right)_{ij} = \begin{cases} 0, & i =j \\ \frac{\matice A_{ij}}{\matice A_{ii}}, & i \neq j \end{cases} \] Díky \ref{NormaMatice} platí \[ \lVert \matice I - \matice D^{-1} \matice A \rVert_\infty = \max_{i \in \hat n} \sum_{j = 1}^n \left\lvert \left( \matice I - \matice D^{-1} \matice A \right)_{ij} \right\rvert = \max_{i \in \hat n} \frac{1}{\matice A_{ii}} \sum_{\substack{j = 1 \\ j \neq i}}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert < 1 \] kde poslední nerovnost je důsledkem toho, že matice \( \matice A \) má převládající diagonálu. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{KHermPDJacobi} Nechť je matice \( \matice A \) hermitovská a pozivně definitní. Pak Jacobiho metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když \[ \Theta < \matice A < 2 \matice D \] Konvergence je navíc monotónní vzhledem k normě \( \lVert \, \cdot \, \rVert_{\matice A} \) \begin{proof} \begin{enumerate} \item[( \( \Leftarrow \) )] Upravíme předpis Jacobiho metody do tvaru \[ \vec x^{( k + 1 )} = ( \matice I - \matice D^{-1} \matice A ) \vec x^{( k + 1 )} + \matice D^{-1} \vec b \] což je předpis předpodmíněné metody postupných aproximací s předpodmíněním \( \matice H = \matice D^{-1} \). Protože je matice \( \matice A \) pozitivně definitní, platí pro libovolný vektor \( \vec x^* \matice A \vec x \in \mathbbm R \). Tedy \( \vec e_i^* \matice A \vec e_i = \matice A_{ii} \in \mathbbm R \) a díky tomu \( \matice D = \matice D^* \). Dále tedy platí \[ \matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* = \matice D + \matice D^* = 2 \matice D \] čímž jsou splněny předpoklady \ref{KHermPDPredpodmineneAproximace}. \item[( \( \Rightarrow \) )] \todo{Důkaz 5.21 - zpětná implikace} \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Gaussova-Seidelova metoda - numerická analýza} \setcounter{define}{22} \begin{theorem} \label{KGaussSeidel} Gaussova-Seidelova metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když \[ \rho \left( ( \matice D - \matice L )^{-1} \matice R \right) < 1 \] \begin{proof} Upravíme předpis Gaussovy-Seidelovy metody do tvaru \[ \vec x^{( k + 1 )} = ( \matice I - \left( \matice D - \matice L \right)^{-1} \matice A ) \vec x^{( k )} + \left( \matice D - \matice L \right)^{-1} \vec b \] což je předpis předpodmíněné metody postupných aproximací s předpodmíněním \( \matice H = \left( \matice D - \matice L \right)^{-1} \). Díky vztahu \( \matice A = \matice D - \matice L - \matice R \) můžeme upravit \[ \rho \left( \left( \matice D - \matice L \right)^{-1} \matice R \right) = \rho \left( \left( \matice D - \matice L \right)^{-1} ( \matice D - \matice L - \matice A ) \right) = \rho \left( \matice I - \left( \matice D - \matice L \right)^{-1} \matice A \right) < 1 \] čímž jsou splněny předpoklady \ref{KPredpodmineneAproximace}. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark*} Díky \ref{AbsEigenvalueVSNorma} je postačující podmínkou konvergence Gaussovy-Seidelovy metody existence nějaké normy, pro kterou \[ \left\lVert ( \matice D - \matice L )^{-1} \matice R \right\rVert < 1 \] \end{remark*} \begin{theorem} \label{KDiagGaussSeidel} Nechť má matice \( \matice A \) převládající diagonálu. Pak Gaussova-Seidelova metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \). \begin{proof} Označíme \( \matice B = \left( \matice D - \matice L \right)^{-1} \matice R \). Chceme ukázat \( \lVert \matice B \rVert_\infty < 1 \) a využít \ref{KGaussSeidel}. Díky \ref{NormaMatice} platí \[ \lVert \matice B \rVert_\infty = \max_{\lVert \vec x \rVert_\infty = 1} \lVert \matice B \vec x \rVert_\infty \] Označíme tento maximální vektor \( \vec u \) ( \( \lVert \vec u \rVert_\infty = 1 \) ) a dále označíme \( \vec v = \matice B \vec u \). Potom platí \[ \lVert \matice B \rVert_\infty = \lVert \matice B \vec u \rVert_\infty = \lVert \vec v \rVert_\infty = \max_{k \in \hat n} \lvert \vec v_k \rvert \] Označíme takovouto maximální složku indexem \( i \). Upravíme rovnici \( \matice B \vec u = \vec v \) do tvaru \[ \left( \matice D - \matice L \right)^{-1} \matice R \vec u = \vec v \] \[ \matice R \vec u = ( \matice D - \matice L ) \vec v \] a budeme upravovat její \( i \)-tou (maximální) složku: \[ \sum_{j = i + 1}^n \matice A_{ij} \vec u_j = \sum_{j = 1}^i \matice A_{ij} \vec v_j \] Upravíme a díky trojúhelníkové nerovnosti odhadujeme \[ \lvert \vec v_i \rvert = \left\lvert \frac{1}{\matice A_{ii}} \left( \sum_{j = i + 1}^n \matice A_{ij} \vec u_j - \sum_{j = 1}^{i - 1} \matice A_{ij} \vec v_j \right) \right\rvert \leq \frac{1}{\lvert \matice A_{ii} \rvert} \left( \sum_{j = i + 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \lvert \vec u_j \rvert + \sum_{j = 1}^{i - 1} \lvert \matice A_{ij} \rvert \lvert \vec v_j \rvert \right) \] Využijeme vlastností \( \lvert \vec u_j \rvert \leq 1 \) a \( \lvert \vec v_j \rvert \leq \lvert \vec v_i \rvert \): \[ \frac{1}{\lvert \matice A_{ii} \rvert} \left( \sum_{j = i + 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert \lvert \vec u_j \rvert + \sum_{j = 1}^{i - 1} \lvert \matice A_{ij} \rvert \lvert \vec v_j \rvert \right) \leq \frac{1}{\lvert \matice A_{ii} \rvert} \left( \sum_{j = i + 1}^n \lvert \matice A_{ij} \rvert + \lvert \vec v_i \rvert \sum_{j = 1}^{i - 1} \lvert \matice A_{ij} \rvert \right) = \sum_{j = i + 1}^n \frac{\lvert \matice A_{ij} \rvert}{\lvert \matice A_{ii} \rvert} + \lvert \vec v_i \rvert \sum_{j = 1}^{i - 1} \frac{\lvert \matice A_{ij} \rvert}{\lvert \matice A_{ii} \rvert} \] Označíme \( a = \sum_{j = i + 1}^n \frac{\lvert \matice A_{ij} \rvert}{\lvert \matice A_{ii} \rvert} \) a \( b = \sum_{j = 1}^{i - 1} \frac{\lvert \matice A_{ij} \rvert}{\lvert \matice A_{ii} \rvert} \) a máme nerovnost \[ \lvert \vec v_i \rvert \leq a + b \lvert \vec v_i \rvert \] Zároveň ale díky tomu, že matice \( \matice A \) má převládající diagonálu, platí \( a + b < 1 \) a konečně můžeme odhadovat \[ \lvert \vec v_i \rvert \leq \frac{a}{1 - b} < \frac{a}{a + b - b} = 1 \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{KHermPDGaussSeidel} Nechť je matice \( \matice A \) hermitovská a pozivně definitní. Pak Gaussova-Seidelova metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \). Konvergence je navíc monotónní vzhledem k normě \( \lVert \, \cdot \, \rVert_{\matice A} \) \begin{proof} Upravíme předpis Gaussovy-Seidelovy metody do tvaru \[ \vec x^{( k + 1 )} = ( \matice I - \left( \matice D - \matice L \right)^{-1} \matice A ) \vec x^{( k )} + \left( \matice D - \matice L \right)^{-1} \vec b \] což je předpis předpodmíněné metody postupných aproximací s předpodmíněním \( \matice H = \left( \matice D - \matice L \right)^{-1} \). Díky hermitovskosti matice \( \matice A \) platí \( \matice L^* = \matice R \) a \( \matice D^* = \matice D \). Potom můžeme využít \ref{KHermPDPredpodmineneAproximace} protože platí \[ \matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* = \matice D - \matice L + ( \matice D - \matice L )^* = \matice D - \matice L + \matice D - \matice R = \matice D + \matice A > \matice A \] \end{proof} \end{theorem} \subsection{Super-relaxační metoda - numerická analýza} \setcounter{define}{27} \begin{theorem} \label{KSOR} Super-relaxační metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když \[ \rho \left( \matice B_\omega \right) < 1 \] \begin{proof} \[ \left( \matice I - \omega ( \matice D - \omega \matice L )^{-1} \matice A \right) \vec x + \omega ( \matice D - \omega \matice L )^{-1} \vec b = \vec x - \omega ( \matice D - \omega \matice L )^{-1} \vec b + \omega ( \matice D - \omega \matice L )^{-1} \vec b = \vec x \] Tím jsou splněny předpoklady \ref{KStacionarniIterativniMetodySpektrum}. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark*} Díky \ref{AbsEigenvalueVSNorma} je postačující podmínkou konvergence super-relaxační metody existence nějaké normy, pro kterou \[ \left\lVert \matice B_\omega \right\rVert < 1 \] \end{remark*} \begin{theorem} \label{NKSOR} Pro každé \( \omega \in \mathbbm R \) platí \[ \lvert \omega - 1 \rvert \leq \rho \left( \matice B_\omega \right) \] a tedy super-relaxační metoda nemůže konvergovat pro \( \omega \in \mathbbm R \setminus \left( 0 , 2 \right) \) \begin{proof} \todo{Důkaz 5.29} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{KDiagSOR} Nechť má matice \( \matice A \) převládající diagonálu a platí \( 0 < \omega \leq 1 \). Pak super-relaxační metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \). \begin{proof} Oberhuber nezná. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Ostrowski] \label{Ostrowski} Nechť je matice \( \matice A \) hermitovská a pozivně definitní. Pak super-relaxační metoda pro soustavu lineárních rovnic \( \matice A \vec x = \vec b \) konverguje pro libovolné \( \vec x^{( 0 )} \) k \( \vec x \) právě tehdy, když \[ 0 < \omega < 2 \] Konvergence je navíc monotónní vzhledem k normě \( \lVert \, \cdot \, \rVert_{\matice A} \) \begin{proof} Upravíme předpis super-relaxační metody do tvaru \[ \vec x^{( k + 1 )} = ( \matice I - \omega \left( \matice D - \omega \matice L \right)^{-1} \matice A ) \vec x^{( k )} + \omega \left( \matice D - \omega \matice L \right)^{-1} \vec b \] což je předpis předpodmíněné metody postupných aproximací s předpodmíněním \( \matice H = \omega \left( \matice D - \omega \matice L \right)^{-1} \). Díky podmínce věty platí \[ \frac{2}{\omega} - 1 > 0 \] Díky hermitovskosti matice \( \matice A \) platí \( \matice L^* = \matice R \) a \( \matice D^* = \matice D \). Potom můžeme využít \ref{KHermPDPredpodmineneAproximace} protože platí \[ \matice H^{-1} + \left( \matice H^{-1} \right)^* = \frac{1}{\omega} ( \matice D - \omega \matice L) + \frac{1}{\omega} ( \matice D - \omega \matice L )^* = \frac{1}{\omega} \matice D - \matice L + \frac{1}{\omega} \matice D - \matice R = \left( \frac{2}{\omega} - 1 \right) \matice D + \matice A > \matice A \] \end{proof} \end{theorem} \setcounter{define}{37} \begin{theorem} \label{SORJacobiEigenvalue} Nechť je matice \( \matice A \) dvoucyklická a shodně uspořádaná. Nechť dále \( \omega \neq 0 \) a \( \lambda \neq 0 \) a \( \matice B_\omega \in \mathbbm C^{n, n} \) je maticí super-relaxační metody a \( \matice B_J \in \mathbbm C^{n, n} \) je maticí Jacobiho metody. Nechť čísla \( \lambda \) a \( \mu \) splňují \[ ( \lambda + \omega - 1 )^2 = \omega^2 \mu^2 \lambda \] Pak \( \lambda \in \sigma ( \matice B_\omega ) \Leftrightarrow \mu \in \sigma ( \matice B_J ) \). Navíc platí, že pro \[ \omega_{opt} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - \rho^2 ( \matice B_J ) }} \] nabývá \( \rho( \matice B_\omega ) \) svého minima a super-relaxační metoda tedy konverguje nejrychleji. \begin{proof} \todo{Důkaz 5.38} \end{proof} \end{theorem}