01NUM1:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Důkaz 11) |
(Polovina důkazu 5) |
||
Řádka 9: | Řádka 9: | ||
Základní Gaussovu eliminační metodu lze provést právě tehdy, když je matice soustavy silně regulární. | Základní Gaussovu eliminační metodu lze provést právě tehdy, když je matice soustavy silně regulární. | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | \todo{Důkaz 4.5} | + | \begin{enumerate} |
+ | \item[( \( \Rightarrow \) )] Protože lze provést Gaussovu eliminační metodu, má matice \( \matice A \) nenulové pivoty, tj. | ||
+ | \[ \matice A_{ii}^{( i + 1 )} \neq 0, \; \forall i \in \hat n \] | ||
+ | a existuje rozklad \( \matice A = \matice M^{-1} \matice U \). Označíme \( \matice L = \matice M^{-1} \) a víme, že | ||
+ | \[ \matice L_{ii} = \matice A_{ii}^{( i + 1 )}, \; \forall i \in \hat n \] | ||
+ | Dále víme, že na diagonále matice \( \matice U \) jsou jedničky, tedy \( \det U = 1 \). Blokově rozepíšeme (velikosti bloků jsou stejné): | ||
+ | \[ \matice A = \matice{L U} = | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | \matice A_1 & \matice A_2 \\ | ||
+ | \matice A_3 & \matice A_4 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} = | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | \matice L_1 & \Theta \\ | ||
+ | \matice L_2 & \matice L_3 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | \matice U_1 & \matice U_2 \\ | ||
+ | \Theta & \matice U_3 \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \] | ||
+ | a tedy | ||
+ | \[ \det \matice A_1 = \det \matice L_1 \det \matice U_1 = \prod_{i = 1}^n \matice A_{ii}^{( i + 1 )} \neq 0 \] | ||
+ | Protože velikost bloků můžeme volit libovolně, je matice \( \matice A \) silně regulární. | ||
+ | \item[( \( \Leftarrow \) )] \todo{Důkaz 4.5} | ||
+ | \end{enumerate} | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} |
Verze z 30. 12. 2015, 20:46
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01NUM1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01NUM1 | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 19:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 19:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Dedicma2 | 17. 1. 2016 | 16:20 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Dedicma2 | 23. 5. 2017 | 21:32 | znaceni.tex | |
Kapitola2 | editovat | Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 15:41 | prezentace2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Úvod do numerické matematiky | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 15:51 | prezentace3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Přímé metody pro lineární soustavy | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:47 | prezentace4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Iterativní metody | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:59 | prezentace5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Vlastní čísla a vektory matic | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 17:07 | prezentace6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Nelineární rovnice | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 14:27 | prezentace7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Interpolace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 15:43 | prezentace8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Derivace a integrace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 17:33 | prezentace9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Přímé metody pro lineární soustavy} \subsection{Gaussova eliminační metoda - numerická analýza} \setcounter{define}{4} \begin{theorem} \label{GEMRegularni} Základní Gaussovu eliminační metodu lze provést právě tehdy, když je matice soustavy silně regulární. \begin{proof} \begin{enumerate} \item[( \( \Rightarrow \) )] Protože lze provést Gaussovu eliminační metodu, má matice \( \matice A \) nenulové pivoty, tj. \[ \matice A_{ii}^{( i + 1 )} \neq 0, \; \forall i \in \hat n \] a existuje rozklad \( \matice A = \matice M^{-1} \matice U \). Označíme \( \matice L = \matice M^{-1} \) a víme, že \[ \matice L_{ii} = \matice A_{ii}^{( i + 1 )}, \; \forall i \in \hat n \] Dále víme, že na diagonále matice \( \matice U \) jsou jedničky, tedy \( \det U = 1 \). Blokově rozepíšeme (velikosti bloků jsou stejné): \[ \matice A = \matice{L U} = \begin{pmatrix} \matice A_1 & \matice A_2 \\ \matice A_3 & \matice A_4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \matice L_1 & \Theta \\ \matice L_2 & \matice L_3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \matice U_1 & \matice U_2 \\ \Theta & \matice U_3 \\ \end{pmatrix} \] a tedy \[ \det \matice A_1 = \det \matice L_1 \det \matice U_1 = \prod_{i = 1}^n \matice A_{ii}^{( i + 1 )} \neq 0 \] Protože velikost bloků můžeme volit libovolně, je matice \( \matice A \) silně regulární. \item[( \( \Leftarrow \) )] \todo{Důkaz 4.5} \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \subsection{LU rozklad pro symetrické matice - Choleského dekompozice} \setcounter{define}{10} \begin{theorem}[Choleského rozklad] \label{CholeskehoRozklad} Nechť je matice \( \matice A \) hermitovská a regulární. Pak existuje horní trojúhelníková matice \( \matice S \) taková, že platí \[ \matice A = \matice S^* \matice S \] Tomuto rozkladu se říká Choleského rozklad (dekompozice). \begin{proof} Díky \ref{LDR} platí \( \matice A = \matice{L D R} \) a \( \matice A^* = \matice R^* \matice D^* \matice L^* \). Protože je matice \( \matice A \) hermitovská, platí díky jednoznačnosti rozkladu \ref{LDR} \( \matice L = \matice R^* \) a \( \matice D = \matice D^* \). Označíme \( \matice S = \sqrt \matice D \matice R \) a pak platí \[ \matice S^* \matice S = \matice R^* \sqrt{\matice D^*} \sqrt \matice D \matice R = \matice{L D R} = \matice A \] \end{proof} \end{theorem}