01NUM1:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Nelineární rovnice}“) |
(Všechny věty) |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01NUM1} | %\wikiskriptum{01NUM1} | ||
\section{Nelineární rovnice} | \section{Nelineární rovnice} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Separace kořenů} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Bolzanova Věta] | ||
+ | \label{Bolzano} | ||
+ | Nechť je \( f \in \mathcal C ( \left< a, b \right> ) \). Nechť dále \( f ( a ) f ( b ) < 0 \). Potom funkce \( f \) má na \( \left( a, b \right) \) alespoň jeden kořen. Pokud \( f' \) na \( \left( a, b \right) \) nemění znaménko, pak je tento kořen jedinný. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | BÚNO \( f ( a ) < 0 \) | ||
+ | \begin{enumerate}[(1)] | ||
+ | \item Důkaz sporem | ||
+ | \\ Položíme \( c = \sup \left\{ x \in \left< a, b \right> | f ( x ) < 0 \right\} \). Předpokládáme \( f ( c ) \neq 0 \), tedy podle definice \( f ( c ) < 0 \). Volíme \( d \in \left( c, 0 \right) \) a díky definici \( c \) neexistuje \( y \in \left< a, b \right> \) takové, aby \( f ( y ) = d \), což je spor se spojitostí funkce \( f \). \qedhere | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Iterativní metody pro hledání kořenů} | ||
+ | |||
+ | \setcounter{define}{3} | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{KIterativniMetodyKorenu} | ||
+ | Nechť \( \varphi ( \alpha ) = \alpha \) pro nějaké \( \alpha \). Nechť je dále \( \varphi \) diferencovatelná na nějakém \( H_\alpha^r \) a \( \lvert \varphi' ( x ) \rvert \leq K \) pro nějaké \( K < 1 \). Nechť je posloupnost \( \left\{ x_k \right\}_{k = 0}^\infty \) definována rekurentním vztahem | ||
+ | \[ x_{k + 1} = \varphi ( x_k ) \] | ||
+ | Potom | ||
+ | \[ \lim_{k \rightarrow \infty} x_k = \alpha, \; \forall x_0 \in H_\alpha^r ) \] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \todo{Důkaz 7.4} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Metoda regula falsi} | ||
+ | |||
+ | \setcounter{define}{9} | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{KRegulaFalsi} | ||
+ | Nechť je \( \alpha \) kořenem funkce \( f \). Nechť dále existuje \( H_\alpha \) takové, že \( f \in \mathcal C^2 ( H_\alpha ) \). Nechť \( f' ( \alpha ) \neq 0 \). Nechť \( x_0 \in \left( \alpha - r, \alpha + r \right) \). Potom metoda regula falsi konverguje. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \todo{Důkaz 7.10} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Newtonova metoda} | ||
+ | |||
+ | \setcounter{define}{12} | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{KNewton} | ||
+ | Nechť je \( \alpha \) kořenem funkce \( f \). Nechť dále existuje \( H_\alpha \) takové, že \( f \in \mathcal C^2 ( H_\alpha ) \). Nechť \( f' ( \alpha ) \neq 0 \). Nechť \( x_0 \in \left( \alpha - r, \alpha + r \right) \). Potom Newtonova metoda konverguje. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \todo{Důkaz 7.13} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \setcounter{define}{14} | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{NewtonDruhyRad} | ||
+ | Nechť je \( \alpha \) kořenem funkce \( f \). Nechť dále existuje \( H_\alpha \) takové, že \( f \in \mathcal C^2 ( H_\alpha ) \). Nechť \( f' ( \alpha ) \neq 0 \). Nechť \( x_0 \in \left( \alpha - r, \alpha + r \right) \). Potom Newtonova metoda je metodou druhého řádu přesnosti. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \todo{Důkaz 7.15} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Metody pro řešení soustav nelineárních rovnic} | ||
+ | |||
+ | \setcounter{define}{23} | ||
+ | \begin{theorem}[Věta o přírůstku funkce] | ||
+ | \label{VoPF} | ||
+ | Nechť \( G \) je konvexní oblast. Nechť funkce \( f \in \mathcal C^1 ( G ) \). Potom pro každé \( \vec u, \vec v \in G \) existuje \( \vec \xi \in \left( \vec u, \vec v \right) \) (úsečka mezi \( \vec u \) a \( \vec v) \) takový, že\todo{Odkud?} takový | ||
+ | \[ f ( \vec u ) - f ( \vec v ) = \nabla f ( \vec \xi ) ( \vec u - \vec v ) \] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \todo{Důkaz 7.24} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{KNewtonLinearne} | ||
+ | Nechť platí: | ||
+ | \begin{itemize} | ||
+ | \item Existuje konvexní oblast \( G \), obsahující řešení \( \vec a \) systému rovnic \( \vec f ( \vec x ) = \vec 0 \) | ||
+ | \item \( \matice J_{\vec f} ( \vec a ) \) je regulární | ||
+ | \item složky \( \vec f \) jsou funkce spojité na \( G \), jejich první parciální derivace také | ||
+ | \end{itemize} | ||
+ | Potom existuje \( H_{\vec a}^\delta \) takové, že pro každé \( \vec x^{( 0 )} \in H_{\vec a}^\delta \) posloupnost generovaná Newtonovou metodou konverguje k \( \vec a \). | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \todo{Důkaz 7.25} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{KNewtonQuadraticky} | ||
+ | Nechť platí: | ||
+ | \begin{itemize} | ||
+ | \item Existuje konvexní oblast \( G \), obsahující řešení \( \vec a \) systému rovnic \( \vec f ( \vec x ) = \vec 0 \) | ||
+ | \item \( \matice J_{\vec f} ( \vec a ) \) je regulární | ||
+ | \item složky \( \vec f \) jsou funkce spojité na \( G \), jejich první a druhé parciální derivace také | ||
+ | \end{itemize} | ||
+ | Potom existuje \( H_{\vec a}^\delta \) takové, že pro každé \( \vec x^{( 0 )} \in H_{\vec a}^\delta \) posloupnost generovaná Newtonovou metodou konverguje k \( \vec a \) kvadraticky, tj. s přesností druhého řádu. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \todo{Důkaz 7.26} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} |
Verze z 29. 12. 2015, 23:30
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01NUM1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01NUM1 | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 19:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 19:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Dedicma2 | 17. 1. 2016 | 16:20 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Dedicma2 | 23. 5. 2017 | 21:32 | znaceni.tex | |
Kapitola2 | editovat | Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 15:41 | prezentace2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Úvod do numerické matematiky | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 15:51 | prezentace3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Přímé metody pro lineární soustavy | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:47 | prezentace4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Iterativní metody | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:59 | prezentace5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Vlastní čísla a vektory matic | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 17:07 | prezentace6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Nelineární rovnice | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 14:27 | prezentace7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Interpolace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 15:43 | prezentace8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Derivace a integrace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 17:33 | prezentace9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Nelineární rovnice} \subsection{Separace kořenů} \begin{theorem}[Bolzanova Věta] \label{Bolzano} Nechť je \( f \in \mathcal C ( \left< a, b \right> ) \). Nechť dále \( f ( a ) f ( b ) < 0 \). Potom funkce \( f \) má na \( \left( a, b \right) \) alespoň jeden kořen. Pokud \( f' \) na \( \left( a, b \right) \) nemění znaménko, pak je tento kořen jedinný. \begin{proof} BÚNO \( f ( a ) < 0 \) \begin{enumerate}[(1)] \item Důkaz sporem \\ Položíme \( c = \sup \left\{ x \in \left< a, b \right> | f ( x ) < 0 \right\} \). Předpokládáme \( f ( c ) \neq 0 \), tedy podle definice \( f ( c ) < 0 \). Volíme \( d \in \left( c, 0 \right) \) a díky definici \( c \) neexistuje \( y \in \left< a, b \right> \) takové, aby \( f ( y ) = d \), což je spor se spojitostí funkce \( f \). \qedhere \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Iterativní metody pro hledání kořenů} \setcounter{define}{3} \begin{theorem} \label{KIterativniMetodyKorenu} Nechť \( \varphi ( \alpha ) = \alpha \) pro nějaké \( \alpha \). Nechť je dále \( \varphi \) diferencovatelná na nějakém \( H_\alpha^r \) a \( \lvert \varphi' ( x ) \rvert \leq K \) pro nějaké \( K < 1 \). Nechť je posloupnost \( \left\{ x_k \right\}_{k = 0}^\infty \) definována rekurentním vztahem \[ x_{k + 1} = \varphi ( x_k ) \] Potom \[ \lim_{k \rightarrow \infty} x_k = \alpha, \; \forall x_0 \in H_\alpha^r ) \] \begin{proof} \todo{Důkaz 7.4} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Metoda regula falsi} \setcounter{define}{9} \begin{theorem} \label{KRegulaFalsi} Nechť je \( \alpha \) kořenem funkce \( f \). Nechť dále existuje \( H_\alpha \) takové, že \( f \in \mathcal C^2 ( H_\alpha ) \). Nechť \( f' ( \alpha ) \neq 0 \). Nechť \( x_0 \in \left( \alpha - r, \alpha + r \right) \). Potom metoda regula falsi konverguje. \begin{proof} \todo{Důkaz 7.10} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Newtonova metoda} \setcounter{define}{12} \begin{theorem} \label{KNewton} Nechť je \( \alpha \) kořenem funkce \( f \). Nechť dále existuje \( H_\alpha \) takové, že \( f \in \mathcal C^2 ( H_\alpha ) \). Nechť \( f' ( \alpha ) \neq 0 \). Nechť \( x_0 \in \left( \alpha - r, \alpha + r \right) \). Potom Newtonova metoda konverguje. \begin{proof} \todo{Důkaz 7.13} \end{proof} \end{theorem} \setcounter{define}{14} \begin{theorem} \label{NewtonDruhyRad} Nechť je \( \alpha \) kořenem funkce \( f \). Nechť dále existuje \( H_\alpha \) takové, že \( f \in \mathcal C^2 ( H_\alpha ) \). Nechť \( f' ( \alpha ) \neq 0 \). Nechť \( x_0 \in \left( \alpha - r, \alpha + r \right) \). Potom Newtonova metoda je metodou druhého řádu přesnosti. \begin{proof} \todo{Důkaz 7.15} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Metody pro řešení soustav nelineárních rovnic} \setcounter{define}{23} \begin{theorem}[Věta o přírůstku funkce] \label{VoPF} Nechť \( G \) je konvexní oblast. Nechť funkce \( f \in \mathcal C^1 ( G ) \). Potom pro každé \( \vec u, \vec v \in G \) existuje \( \vec \xi \in \left( \vec u, \vec v \right) \) (úsečka mezi \( \vec u \) a \( \vec v) \) takový, že\todo{Odkud?} takový \[ f ( \vec u ) - f ( \vec v ) = \nabla f ( \vec \xi ) ( \vec u - \vec v ) \] \begin{proof} \todo{Důkaz 7.24} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{KNewtonLinearne} Nechť platí: \begin{itemize} \item Existuje konvexní oblast \( G \), obsahující řešení \( \vec a \) systému rovnic \( \vec f ( \vec x ) = \vec 0 \) \item \( \matice J_{\vec f} ( \vec a ) \) je regulární \item složky \( \vec f \) jsou funkce spojité na \( G \), jejich první parciální derivace také \end{itemize} Potom existuje \( H_{\vec a}^\delta \) takové, že pro každé \( \vec x^{( 0 )} \in H_{\vec a}^\delta \) posloupnost generovaná Newtonovou metodou konverguje k \( \vec a \). \begin{proof} \todo{Důkaz 7.25} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{KNewtonQuadraticky} Nechť platí: \begin{itemize} \item Existuje konvexní oblast \( G \), obsahující řešení \( \vec a \) systému rovnic \( \vec f ( \vec x ) = \vec 0 \) \item \( \matice J_{\vec f} ( \vec a ) \) je regulární \item složky \( \vec f \) jsou funkce spojité na \( G \), jejich první a druhé parciální derivace také \end{itemize} Potom existuje \( H_{\vec a}^\delta \) takové, že pro každé \( \vec x^{( 0 )} \in H_{\vec a}^\delta \) posloupnost generovaná Newtonovou metodou konverguje k \( \vec a \) kvadraticky, tj. s přesností druhého řádu. \begin{proof} \todo{Důkaz 7.26} \end{proof} \end{theorem}