01NUM1:Kapitola7: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Nelineární rovnice}“)
 
(Všechny věty)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01NUM1}
 
%\wikiskriptum{01NUM1}
 
\section{Nelineární rovnice}
 
\section{Nelineární rovnice}
 +
 +
\subsection{Separace kořenů}
 +
 +
\begin{theorem}[Bolzanova Věta]
 +
\label{Bolzano}
 +
Nechť je \( f \in \mathcal C ( \left< a, b \right> ) \). Nechť dále \( f ( a ) f ( b ) < 0 \). Potom funkce \( f \) má na \( \left( a, b \right) \) alespoň jeden kořen. Pokud \( f' \) na \( \left( a, b \right) \) nemění znaménko, pak je tento kořen jedinný.
 +
\begin{proof}
 +
BÚNO \( f ( a ) < 0 \)
 +
\begin{enumerate}[(1)]
 +
\item Důkaz sporem
 +
\\ Položíme \( c = \sup \left\{ x \in \left< a, b \right> | f ( x ) < 0 \right\} \). Předpokládáme \( f ( c ) \neq 0 \), tedy podle definice  \( f ( c ) < 0 \). Volíme \( d \in \left( c, 0 \right) \) a díky definici \( c \) neexistuje \( y \in \left< a, b \right> \) takové, aby \( f ( y ) = d \), což je spor se spojitostí funkce \( f \). \qedhere
 +
\end{enumerate}
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 +
\subsection{Iterativní metody pro hledání kořenů}
 +
 +
\setcounter{define}{3}
 +
\begin{theorem}
 +
\label{KIterativniMetodyKorenu}
 +
Nechť \( \varphi ( \alpha ) = \alpha \) pro nějaké \( \alpha \). Nechť je dále \( \varphi \) diferencovatelná na nějakém \( H_\alpha^r \) a \( \lvert \varphi' ( x ) \rvert \leq K \) pro nějaké \( K < 1 \). Nechť je posloupnost \( \left\{ x_k  \right\}_{k = 0}^\infty \) definována rekurentním vztahem
 +
\[ x_{k + 1} = \varphi ( x_k ) \]
 +
Potom
 +
\[ \lim_{k \rightarrow \infty} x_k = \alpha, \; \forall x_0 \in H_\alpha^r ) \]
 +
\begin{proof}
 +
\todo{Důkaz 7.4}
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 +
\subsection{Metoda regula falsi}
 +
 +
\setcounter{define}{9}
 +
\begin{theorem}
 +
\label{KRegulaFalsi}
 +
Nechť je \( \alpha \) kořenem funkce \( f \). Nechť dále existuje \( H_\alpha \) takové, že \( f \in \mathcal C^2 ( H_\alpha ) \). Nechť \( f' ( \alpha ) \neq 0 \). Nechť \( x_0 \in \left( \alpha - r, \alpha + r \right) \). Potom metoda regula falsi konverguje.
 +
\begin{proof}
 +
\todo{Důkaz 7.10}
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 +
\subsection{Newtonova metoda}
 +
 +
\setcounter{define}{12}
 +
\begin{theorem}
 +
\label{KNewton}
 +
Nechť je \( \alpha \) kořenem funkce \( f \). Nechť dále existuje \( H_\alpha \) takové, že \( f \in \mathcal C^2 ( H_\alpha ) \). Nechť \( f' ( \alpha ) \neq 0 \). Nechť \( x_0 \in \left( \alpha - r, \alpha + r \right) \). Potom Newtonova metoda konverguje.
 +
\begin{proof}
 +
\todo{Důkaz 7.13}
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 +
\setcounter{define}{14}
 +
\begin{theorem}
 +
\label{NewtonDruhyRad}
 +
Nechť je \( \alpha \) kořenem funkce \( f \). Nechť dále existuje \( H_\alpha \) takové, že \( f \in \mathcal C^2 ( H_\alpha ) \). Nechť \( f' ( \alpha ) \neq 0 \). Nechť \( x_0 \in \left( \alpha - r, \alpha + r \right) \). Potom Newtonova metoda je metodou druhého řádu přesnosti.
 +
\begin{proof}
 +
\todo{Důkaz 7.15}
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 +
\subsection{Metody pro řešení soustav nelineárních rovnic}
 +
 +
\setcounter{define}{23}
 +
\begin{theorem}[Věta o přírůstku funkce]
 +
\label{VoPF}
 +
Nechť \( G \) je konvexní oblast. Nechť funkce \( f \in \mathcal C^1 ( G ) \). Potom pro každé \( \vec u, \vec v \in G \) existuje \( \vec \xi \in \left( \vec u, \vec v \right) \) (úsečka mezi \( \vec u \) a \( \vec v) \) takový, že\todo{Odkud?} takový
 +
\[ f ( \vec u ) - f ( \vec v ) = \nabla f ( \vec \xi ) ( \vec u - \vec v ) \]
 +
\begin{proof}
 +
\todo{Důkaz 7.24}
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 +
\begin{theorem}
 +
\label{KNewtonLinearne}
 +
Nechť platí:
 +
\begin{itemize}
 +
\item Existuje konvexní oblast \( G \), obsahující řešení \( \vec a \) systému rovnic \( \vec f ( \vec x ) = \vec 0 \)
 +
\item \( \matice J_{\vec f} ( \vec a ) \) je regulární
 +
\item složky \( \vec f \) jsou funkce spojité na \( G \), jejich první parciální derivace také
 +
\end{itemize}
 +
Potom existuje \( H_{\vec a}^\delta \) takové, že pro každé \( \vec x^{( 0 )} \in H_{\vec a}^\delta \) posloupnost generovaná Newtonovou metodou konverguje k \( \vec a \).
 +
\begin{proof}
 +
\todo{Důkaz 7.25}
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 +
\begin{theorem}
 +
\label{KNewtonQuadraticky}
 +
Nechť platí:
 +
\begin{itemize}
 +
\item Existuje konvexní oblast \( G \), obsahující řešení \( \vec a \) systému rovnic \( \vec f ( \vec x ) = \vec 0 \)
 +
\item \( \matice J_{\vec f} ( \vec a ) \) je regulární
 +
\item složky \( \vec f \) jsou funkce spojité na \( G \), jejich první a druhé parciální derivace také
 +
\end{itemize}
 +
Potom existuje \( H_{\vec a}^\delta \) takové, že pro každé \( \vec x^{( 0 )} \in H_{\vec a}^\delta \) posloupnost generovaná Newtonovou metodou konverguje k \( \vec a \) kvadraticky, tj. s přesností druhého řádu.
 +
\begin{proof}
 +
\todo{Důkaz 7.26}
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}

Verze z 29. 12. 2015, 23:30

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01NUM1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01NUM1Dedicma2 3. 6. 202419:49
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůDedicma2 3. 6. 202419:48
Header editovatHlavičkový souborDedicma2 17. 1. 201616:20 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníDedicma2 23. 5. 201721:32 znaceni.tex
Kapitola2 editovatOpakování a doplnění znalostí z lineární algebryDedicma2 3. 6. 202415:41 prezentace2.tex
Kapitola3 editovatÚvod do numerické matematikyDedicma2 3. 6. 202415:51 prezentace3.tex
Kapitola4 editovatPřímé metody pro lineární soustavyDedicma2 3. 6. 202416:47 prezentace4.tex
Kapitola5 editovatIterativní metodyDedicma2 3. 6. 202416:59 prezentace5.tex
Kapitola6 editovatVlastní čísla a vektory maticDedicma2 3. 6. 202417:07 prezentace6.tex
Kapitola7 editovatNelineární rovniceKubuondr 31. 1. 201714:27 prezentace7.tex
Kapitola8 editovatInterpolaceKubuondr 31. 1. 201715:43 prezentace8.tex
Kapitola9 editovatDerivace a integraceKubuondr 31. 1. 201717:33 prezentace9.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01NUM1}
\section{Nelineární rovnice}
 
\subsection{Separace kořenů}
 
\begin{theorem}[Bolzanova Věta]
\label{Bolzano}
Nechť je \( f \in \mathcal C ( \left< a, b \right> ) \). Nechť dále \( f ( a ) f ( b ) < 0 \). Potom funkce \( f \) má na \( \left( a, b \right) \) alespoň jeden kořen. Pokud \( f' \) na \( \left( a, b \right) \) nemění znaménko, pak je tento kořen jedinný. 
\begin{proof}
BÚNO \( f ( a ) < 0 \)
\begin{enumerate}[(1)]
\item Důkaz sporem
\\ Položíme \( c = \sup \left\{ x \in \left< a, b \right> | f ( x ) < 0 \right\} \). Předpokládáme \( f ( c ) \neq 0 \), tedy podle definice  \( f ( c ) < 0 \). Volíme \( d \in \left( c, 0 \right) \) a díky definici \( c \) neexistuje \( y \in \left< a, b \right> \) takové, aby \( f ( y ) = d \), což je spor se spojitostí funkce \( f \). \qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Iterativní metody pro hledání kořenů}
 
\setcounter{define}{3}
\begin{theorem}
\label{KIterativniMetodyKorenu}
Nechť \( \varphi ( \alpha ) = \alpha \) pro nějaké \( \alpha \). Nechť je dále \( \varphi \) diferencovatelná na nějakém \( H_\alpha^r \) a \( \lvert \varphi' ( x ) \rvert \leq K \) pro nějaké \( K < 1 \). Nechť je posloupnost \( \left\{ x_k  \right\}_{k = 0}^\infty \) definována rekurentním vztahem
\[ x_{k + 1} = \varphi ( x_k ) \]
Potom
\[ \lim_{k \rightarrow \infty} x_k = \alpha, \; \forall x_0 \in H_\alpha^r ) \]
\begin{proof}
\todo{Důkaz 7.4}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Metoda regula falsi}
 
\setcounter{define}{9}
\begin{theorem}
\label{KRegulaFalsi}
Nechť je \( \alpha \) kořenem funkce \( f \). Nechť dále existuje \( H_\alpha \) takové, že \( f \in \mathcal C^2 ( H_\alpha ) \). Nechť \( f' ( \alpha ) \neq 0 \). Nechť \( x_0 \in \left( \alpha - r, \alpha + r \right) \). Potom metoda regula falsi konverguje.
\begin{proof}
\todo{Důkaz 7.10}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Newtonova metoda}
 
\setcounter{define}{12}
\begin{theorem}
\label{KNewton}
Nechť je \( \alpha \) kořenem funkce \( f \). Nechť dále existuje \( H_\alpha \) takové, že \( f \in \mathcal C^2 ( H_\alpha ) \). Nechť \( f' ( \alpha ) \neq 0 \). Nechť \( x_0 \in \left( \alpha - r, \alpha + r \right) \). Potom Newtonova metoda konverguje.
\begin{proof}
\todo{Důkaz 7.13}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\setcounter{define}{14}
\begin{theorem}
\label{NewtonDruhyRad}
Nechť je \( \alpha \) kořenem funkce \( f \). Nechť dále existuje \( H_\alpha \) takové, že \( f \in \mathcal C^2 ( H_\alpha ) \). Nechť \( f' ( \alpha ) \neq 0 \). Nechť \( x_0 \in \left( \alpha - r, \alpha + r \right) \). Potom Newtonova metoda je metodou druhého řádu přesnosti.
\begin{proof}
\todo{Důkaz 7.15}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Metody pro řešení soustav nelineárních rovnic}
 
\setcounter{define}{23}
\begin{theorem}[Věta o přírůstku funkce]
\label{VoPF}
Nechť \( G \) je konvexní oblast. Nechť funkce \( f \in \mathcal C^1 ( G ) \). Potom pro každé \( \vec u, \vec v \in G \) existuje \( \vec \xi \in \left( \vec u, \vec v \right) \) (úsečka mezi \( \vec u \) a \( \vec v) \) takový, že\todo{Odkud?} takový
\[ f ( \vec u ) - f ( \vec v ) = \nabla f ( \vec \xi ) ( \vec u - \vec v ) \]
\begin{proof}
\todo{Důkaz 7.24}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{KNewtonLinearne}
Nechť platí:
\begin{itemize}
\item Existuje konvexní oblast \( G \), obsahující řešení \( \vec a \) systému rovnic \( \vec f ( \vec x ) = \vec 0 \)
\item \( \matice J_{\vec f} ( \vec a ) \) je regulární
\item složky \( \vec f \) jsou funkce spojité na \( G \), jejich první parciální derivace také
\end{itemize}
Potom existuje \( H_{\vec a}^\delta \) takové, že pro každé \( \vec x^{( 0 )} \in H_{\vec a}^\delta \) posloupnost generovaná Newtonovou metodou konverguje k \( \vec a \).
\begin{proof}
\todo{Důkaz 7.25}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{KNewtonQuadraticky}
Nechť platí:
\begin{itemize}
\item Existuje konvexní oblast \( G \), obsahující řešení \( \vec a \) systému rovnic \( \vec f ( \vec x ) = \vec 0 \)
\item \( \matice J_{\vec f} ( \vec a ) \) je regulární
\item složky \( \vec f \) jsou funkce spojité na \( G \), jejich první a druhé parciální derivace také
\end{itemize}
Potom existuje \( H_{\vec a}^\delta \) takové, že pro každé \( \vec x^{( 0 )} \in H_{\vec a}^\delta \) posloupnost generovaná Newtonovou metodou konverguje k \( \vec a \) kvadraticky, tj. s přesností druhého řádu.
\begin{proof}
\todo{Důkaz 7.26}
\end{proof}
\end{theorem}