01NUM1:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Stylistika V22) |
m (Stránkování) |
||
Řádka 18: | Řádka 18: | ||
\label{InverzeTrojuhelniku} | \label{InverzeTrojuhelniku} | ||
Nechť je \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) regulární dolní (resp. horní) trojúhelníková matice. Pak matice \( \matice A^{-1} \) je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí: | Nechť je \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) regulární dolní (resp. horní) trojúhelníková matice. Pak matice \( \matice A^{-1} \) je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí: | ||
− | \[ \forall i \in \hat n, (\matice A^{-1})_{ii} = \frac{1}{\matice A_{ii} } \] | + | \[ \forall i \in \hat n, \; (\matice A^{-1})_{ii} = \frac{1}{\matice A_{ii} } \] |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
TODO | TODO | ||
Řádka 27: | Řádka 27: | ||
\label{LDR} | \label{LDR} | ||
Každou regulární matici \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru součinu: | Každou regulární matici \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru součinu: | ||
− | \[ \matice A = \matice | + | \[ \matice A = \matice {LDR} \] |
kde: | kde: | ||
\begin{itemize} | \begin{itemize} | ||
Řádka 42: | Řádka 42: | ||
\begin{itemize} | \begin{itemize} | ||
\item \( n=1 \) | \item \( n=1 \) | ||
− | \\ | + | \\ \( \matice A \in \mathbbm C^{1, 1} \Rightarrow \matice A = ( \matice A_{11} ) = \matice I (\matice A_{11} ) \matice I \) |
kde \( \matice L = \matice I \) a \( \matice R = \matice I \) | kde \( \matice L = \matice I \) a \( \matice R = \matice I \) | ||
\item \( n \rightarrow n + 1 \) | \item \( n \rightarrow n + 1 \) | ||
− | \\ | + | \\ \( \matice A \in \mathbbm C^{n+1, n+1} \matice A = |
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
\matice A' & \vec v \\ | \matice A' & \vec v \\ | ||
Řádka 51: | Řádka 51: | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
\Rightarrow \matice A' \in \mathbbm C^{n, n} \Rightarrow \matice A' = \matice {L' D' R'} | \Rightarrow \matice A' \in \mathbbm C^{n, n} \Rightarrow \matice A' = \matice {L' D' R'} | ||
− | \\ | + | \\ \matice A = \matice {LDR} \) a hledám \( \vec l \), \( \vec r \) a \( d_{n+1} \) tak, aby platil rozklad: |
\[ \begin{pmatrix} | \[ \begin{pmatrix} | ||
\matice L' & \vec 0 \\ | \matice L' & \vec 0 \\ | ||
Řádka 81: | Řádka 81: | ||
\vec u^T & \alpha \\ | \vec u^T & \alpha \\ | ||
\end{pmatrix}\]\( | \end{pmatrix}\]\( | ||
− | \\ | + | \\ \matice {L' D'} \vec r = \vec v \Rightarrow \vec r = (\matice {L' D'})^{-1} \vec v |
− | \\ | + | \\ \vec l^T \matice {D' R'} = \vec u^T \Rightarrow \vec u = (\matice {D' R'})^T = \vec l \Rightarrow \vec l = ((\matice {D' R'})^T)^{-1} \vec u |
− | \\ | + | \\ d_{n+1} = \alpha - \vec r \vec l^T \matice D' |
\) | \) | ||
\end{itemize} | \end{itemize} | ||
\item jednoznačnost | \item jednoznačnost | ||
− | \\ | + | \\ \( \matice A =\matice L_1 \matice D_1 \matice R_1 = \matice L_2 \matice D_2 \matice R_2 |
− | \\ | + | \\ \matice D_1 \matice R_1 = (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \matice R_2 |
− | \\ | + | \\ \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} = (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \) |
kde \( \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} \) je horní trojúhelníková matice a \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \) je dolní trojúhelníková matice | kde \( \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} \) je horní trojúhelníková matice a \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \) je dolní trojúhelníková matice | ||
− | \\ | + | \\ \( \Rightarrow (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \) je diagonální a má jedničky na diagonále, tzn. \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 = \matice I |
− | \\ | + | \\ \Rightarrow (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 = \matice I \Rightarrow \matice L_1 = \matice L_2 |
− | \\ | + | \\ \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} = \matice I \Rightarrow \matice R_1 = \matice R_2 |
− | \\ | + | \\ \matice D_1 = \matice D_2 \) |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{proof} | \end{proof} |
Verze z 13. 11. 2015, 13:57
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01NUM1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01NUM1 | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 20:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 20:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Dedicma2 | 17. 1. 2016 | 17:20 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Dedicma2 | 23. 5. 2017 | 22:32 | znaceni.tex | |
Kapitola2 | editovat | Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:41 | prezentace2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Úvod do numerické matematiky | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:51 | prezentace3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Přímé metody pro lineární soustavy | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 17:47 | prezentace4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Iterativní metody | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 17:59 | prezentace5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Vlastní čísla a vektory matic | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 18:07 | prezentace6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Nelineární rovnice | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 15:27 | prezentace7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Interpolace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 16:43 | prezentace8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Derivace a integrace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 18:33 | prezentace9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry} \setcounter{define}{21} \begin{theorem} \label{SoucinTrojuhelniku} Nechť jsou \( \matice A \) a \( \matice B \in \mathbbm C^{n, n} \) dolní (resp. horní) trojúhelníkové matice. Pak matice \( \matice C = \matice {AB} \) je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí: \[ \forall i \in \hat n, \matice C_{ii} = \matice A_{ii} \matice B_{ii} \] \begin{proof} Protože jsou matice \( \matice A \) a \( \matice B \) dolní trojúhelníkové, platí \( \matice A_{ik} = 0,\; \forall i < k$ a $\matice B_{kj} = 0, \; \forall k < j \). Tudíž: \[ \matice C_{ij} = \sum_{k = 1}^n \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = 1}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = j}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} \] což je rovno 0 pro \( i < j \) a \( \matice A_{ii} \matice B_{ii}$ pro $i = j \). Důkaz pro horní trojúhelníkové matice je obdobný. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{InverzeTrojuhelniku} Nechť je \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) regulární dolní (resp. horní) trojúhelníková matice. Pak matice \( \matice A^{-1} \) je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí: \[ \forall i \in \hat n, \; (\matice A^{-1})_{ii} = \frac{1}{\matice A_{ii} } \] \begin{proof} TODO \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{LDR} Každou regulární matici \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru součinu: \[ \matice A = \matice {LDR} \] kde: \begin{itemize} \item \( \matice L \) je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále \item \( \matice D \) je diagonální matice \item \( \matice R \) je horní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále \end{itemize} \begin{proof} ~ \\ \begin{enumerate}[(1)] \item existence indukcí podle \( n \) \begin{itemize} \item \( n=1 \) \\ \( \matice A \in \mathbbm C^{1, 1} \Rightarrow \matice A = ( \matice A_{11} ) = \matice I (\matice A_{11} ) \matice I \) kde \( \matice L = \matice I \) a \( \matice R = \matice I \) \item \( n \rightarrow n + 1 \) \\ \( \matice A \in \mathbbm C^{n+1, n+1} \matice A = \begin{pmatrix} \matice A' & \vec v \\ \vec u^T & \alpha \\ \end{pmatrix} \Rightarrow \matice A' \in \mathbbm C^{n, n} \Rightarrow \matice A' = \matice {L' D' R'} \\ \matice A = \matice {LDR} \) a hledám \( \vec l \), \( \vec r \) a \( d_{n+1} \) tak, aby platil rozklad: \[ \begin{pmatrix} \matice L' & \vec 0 \\ \vec l^T & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \matice D' & \vec 0 \\ \vec 0^T & d_{n+1} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \matice R' & \vec r \\ \vec 0^T & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \matice {L' D'} & \vec 0 \\ \vec l^T \matice D' & d_{n+1} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \matice R' & \vec r \\ \vec 0^T & 1 \\ \end{pmatrix} =\] \[= \begin{pmatrix} \matice {L' D' R'} & \matice {L' D'} \vec r \\ \vec l^T \matice {D' R'} & \vec r \vec l^T \matice D' + d_{n+1} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \matice A' & \vec v \\ \vec u^T & \alpha \\ \end{pmatrix}\]\( \\ \matice {L' D'} \vec r = \vec v \Rightarrow \vec r = (\matice {L' D'})^{-1} \vec v \\ \vec l^T \matice {D' R'} = \vec u^T \Rightarrow \vec u = (\matice {D' R'})^T = \vec l \Rightarrow \vec l = ((\matice {D' R'})^T)^{-1} \vec u \\ d_{n+1} = \alpha - \vec r \vec l^T \matice D' \) \end{itemize} \item jednoznačnost \\ \( \matice A =\matice L_1 \matice D_1 \matice R_1 = \matice L_2 \matice D_2 \matice R_2 \\ \matice D_1 \matice R_1 = (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \matice R_2 \\ \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} = (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \) kde \( \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} \) je horní trojúhelníková matice a \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \) je dolní trojúhelníková matice \\ \( \Rightarrow (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \) je diagonální a má jedničky na diagonále, tzn. \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 = \matice I \\ \Rightarrow (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 = \matice I \Rightarrow \matice L_1 = \matice L_2 \\ \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} = \matice I \Rightarrow \matice R_1 = \matice R_2 \\ \matice D_1 = \matice D_2 \) \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Čísla na diagonále matice \( \matice D \) z \ref{LDR} \textbf{nejsou} vlastními čísly matice \( \matice A \) \end{remark}