02TSFA:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m (Oprava interpunkce, překlepů a drobných chyb.) |
||
Řádka 11: | Řádka 11: | ||
\item $w_\gamma = 1 \quad \Rightarrow \quad I(w_\gamma)=0$ \dots Pokud je určitý jev | \item $w_\gamma = 1 \quad \Rightarrow \quad I(w_\gamma)=0$ \dots Pokud je určitý jev | ||
− | jistý, nepřinese nám pokusná realizace žádnou novou informaci | + | jistý, nepřinese nám pokusná realizace žádnou novou informaci -- vždyť přeci víme, |
že se realizuje jev $w_\gamma$. \uv{Vytěžená} informace z pokusu je tedy nulová. | že se realizuje jev $w_\gamma$. \uv{Vytěžená} informace z pokusu je tedy nulová. | ||
\item $w_\gamma \rightarrow 0 \quad \Rightarrow \quad I(w_\gamma) \rightarrow \infty$ \dots | \item $w_\gamma \rightarrow 0 \quad \Rightarrow \quad I(w_\gamma) \rightarrow \infty$ \dots | ||
− | Realizace jevu s malou pravděpodobností nám přinese naopak informace mnoho | + | Realizace jevu s malou pravděpodobností nám přinese naopak informace mnoho -- |
z pokusu vyšel velmi neočekávaný výsledek. Je to překvapení! | z pokusu vyšel velmi neočekávaný výsledek. Je to překvapení! | ||
Řádka 24: | Řádka 24: | ||
Funkci $I(w_\gamma)$ lze také brát jako míru neurčitosti. O rozdělení, které má jen jeden jistý jev, víme | Funkci $I(w_\gamma)$ lze také brát jako míru neurčitosti. O rozdělení, které má jen jeden jistý jev, víme | ||
− | vše a naše nejistota ohledně výsledku (neurčitost) je nulová. Naopak o rozdělení, sestávajícím se z velkého | + | vše a naše nejistota ohledně výsledku (neurčitost) je nulová. Naopak o rozdělení, sestávajícím se z~velkého |
− | počtu málo pravděpodobných jevů nevíme nic | + | počtu málo pravděpodobných jevů nevíme nic -- nedokážeme odhadnout, který z~nich se při konkrétním pokusu |
realizuje. Naše nevědomost (neurčitost) o systému je velmi vysoká. | realizuje. Naše nevědomost (neurčitost) o systému je velmi vysoká. | ||
Řádka 34: | Řádka 34: | ||
\end{center} | \end{center} | ||
− | $$I(w_\gamma) = -k_B\ln(w_\gamma)$$ | + | $$I(w_\gamma) = -k_B\ln(w_\gamma).$$ |
Běžně máme mnoho jevů či událostí. Pak je třeba brát střední hodnotu: | Běžně máme mnoho jevů či událostí. Pak je třeba brát střední hodnotu: | ||
− | $$S = \<I\>=- k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln(w_\gamma)$$ | + | $$S = \<I\>=- k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln(w_\gamma).$$ |
To je definice \index{entropie, statistická}\emph{statistické entropie}, která se interpretuje jako míra neurčitosti systému. | To je definice \index{entropie, statistická}\emph{statistické entropie}, která se interpretuje jako míra neurčitosti systému. | ||
Řádka 60: | Řádka 60: | ||
\begin{tabular}[t]{ll} | \begin{tabular}[t]{ll} | ||
− | $\suma{\gamma}{}w_\gamma = 1$ & \dots | + | $\suma{\gamma}{}w_\gamma = 1$ & \dots normovací podmínka rozdělení \tabularnewline[12pt] |
$\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{\ell \gamma} = \left< A_\ell \right> $ kde $\ell \in \hat{k}$ | $\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{\ell \gamma} = \left< A_\ell \right> $ kde $\ell \in \hat{k}$ | ||
− | & \dots | + | & \dots naměřené střední hodnoty $k$ veličin \tabularnewline |
− | & -- | + | & -- To dává $k$ podmínek. \tabularnewline[12pt] |
\end{tabular} | \end{tabular} | ||
Řádka 80: | Řádka 80: | ||
& $=$ & $-k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln(w_\gamma) - k_B \alpha \left(\suma{\gamma}{}w_\gamma - 1\right | & $=$ & $-k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln(w_\gamma) - k_B \alpha \left(\suma{\gamma}{}w_\gamma - 1\right | ||
) | ) | ||
− | - \suma{\ell=1}{k} k_B \lambda_\ell \left( \suma{\gamma}{}w_\gamma A_{\ell \gamma} - \left< A_\ell \right> \right)$ \tabularnewline[12pt] | + | - \suma{\ell=1}{k} k_B \lambda_\ell \left( \suma{\gamma}{}w_\gamma A_{\ell \gamma} - \left< A_\ell \right> \right),$ \tabularnewline[12pt] |
\end{tabular} | \end{tabular} | ||
Řádka 94: | Řádka 94: | ||
pro $\forall\gamma$, to znamená pro všechny mikrostavy (a těch bývá hodně). Pro spojité rozdělení se musí použít variačního počtu. Z toho plyne, že | pro $\forall\gamma$, to znamená pro všechny mikrostavy (a těch bývá hodně). Pro spojité rozdělení se musí použít variačního počtu. Z toho plyne, že | ||
− | $$k_B\ln(w_\gamma) = k_B\left( -1 - \alpha \stavsuma \right)$$ | + | $$k_B\ln(w_\gamma) = k_B\left( -1 - \alpha \stavsuma \right);$$ |
− | $$w_\gamma = \exp \left(-1 -\alpha \stavsuma \right) $$ | + | $$w_\gamma = \exp \left(-1 -\alpha \stavsuma \right). $$ |
Nyní vezměme normovací podmínku $\suma{\gamma}{}w_\gamma = 1$ a dosaďme do ní nalezený vztah pro $w_\gamma$: | Nyní vezměme normovací podmínku $\suma{\gamma}{}w_\gamma = 1$ a dosaďme do ní nalezený vztah pro $w_\gamma$: | ||
− | $$1 = \suma{\gamma}{}w_\gamma = \suma{\gamma}{} \exp ( -1 -\alpha ) \exp \left( \stavsuma \right)$$ | + | $$1 = \suma{\gamma}{}w_\gamma = \suma{\gamma}{} \exp ( -1 -\alpha ) \exp \left( \stavsuma \right),$$ |
− | $$\exp ( -1 -\alpha) = \frac{1}{\suma{\gamma}{} \exp \left( \stavsuma \right)}$$ | + | $$\exp ( -1 -\alpha) = \frac{1}{\suma{\gamma}{} \exp \left( \stavsuma \right)}.$$ |
− | + | Výraz pro $\exp(-1 -\alpha)$ zpětně dosadíme do vztahu pro $w_\gamma$: | |
$$w_\gamma = \frac{1}{\suma{\gamma}{}\exp\left( \stavsuma \right) } | $$w_\gamma = \frac{1}{\suma{\gamma}{}\exp\left( \stavsuma \right) } | ||
\exp\left( \stavsuma \right)$$ | \exp\left( \stavsuma \right)$$ | ||
− | Výraz ve jmenovateli nazýváme \index{funkce, partiční}\emph{partiční funkce} a značíme $Z$\footnote{Písmeno $Z$ pochází z německého slova Zustandsumme}. Vztahy pak můžeme přepsat takto: | + | Výraz ve jmenovateli nazýváme \index{funkce, partiční}\emph{partiční funkce} a značíme $Z$\footnote{Písmeno $Z$ pochází z německého slova Zustandsumme.}. Vztahy pak můžeme přepsat takto: |
\begin{center} | \begin{center} | ||
Řádka 115: | Řádka 115: | ||
− | $Z=\suma{\gamma}{} \exp \left( \stavsuma \right)$ & \dots | + | $Z=\suma{\gamma}{} \exp \left( \stavsuma \right)$ & \dots partiční funkce \tabularnewline[12pt] |
− | $w_{\gamma} = \frac{1}{Z} \exp \left( \stavsuma \right)$ & \dots | + | $w_{\gamma} = \frac{1}{Z} \exp \left( \stavsuma \right)$ & \dots nejpravděpodobnější rozdělení |
\tabularnewline[12pt] | \tabularnewline[12pt] | ||
Řádka 123: | Řádka 123: | ||
− | Otázkou zůstává, jaký fyzikální smysl dát Lagrangeovým multiplikátorům $\lambda_\ell$ | + | Otázkou zůstává, jaký fyzikální smysl dát Lagrangeovým multiplikátorům $\lambda_\ell$ -- to už záleží na konkrétních fyzikálních |
aplikacích. | aplikacích. | ||
Řádka 135: | Řádka 135: | ||
$$ = k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln Z \- k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln\left( \exp\left[\stavsuma\right]\right) = | $$ = k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln Z \- k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln\left( \exp\left[\stavsuma\right]\right) = | ||
k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln Z \- k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\left(\stavsuma\right) = $$ | k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln Z \- k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\left(\stavsuma\right) = $$ | ||
− | $$= k_B\ln Z\suma{\gamma}{}w_\gamma \+ k_B\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{\ell \gamma}$$ | + | $$= k_B\ln Z\suma{\gamma}{}w_\gamma \+ k_B\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{\ell \gamma}.$$ |
Ovšem první suma v tomto výrazu je jednička (normování rozdělení) a poslední je výraz pro výpočet střední hodnoty | Ovšem první suma v tomto výrazu je jednička (normování rozdělení) a poslední je výraz pro výpočet střední hodnoty | ||
veličiny. Proto | veličiny. Proto | ||
− | $$S = k_B\left( \ln Z + \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \left< A_\ell \right> \right)$$ | + | $$S = k_B\left( \ln Z + \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \left< A_\ell \right> \right).$$ |
Dále platí: | Dále platí: | ||
$$ \pderivx{Z}{\lambda_a} = \pderivx{}{\lambda_a} \suma{\gamma}{}\exp\left(\stavsuma\right) = | $$ \pderivx{Z}{\lambda_a} = \pderivx{}{\lambda_a} \suma{\gamma}{}\exp\left(\stavsuma\right) = | ||
− | \suma{\gamma}{} -A_{ a \gamma }\exp\left(\stavsuma\right)$$ | + | \suma{\gamma}{} -A_{ a \gamma }\exp\left(\stavsuma\right);$$ |
$$\pderivx{( \ln Z )}{\lambda_a} = \pderivx{Z}{\lambda_a}\frac{1}{Z} = | $$\pderivx{( \ln Z )}{\lambda_a} = \pderivx{Z}{\lambda_a}\frac{1}{Z} = | ||
\suma{\gamma}{}\frac{1}{Z}\left(-A_{a\gamma}\exp\left(\stavsuma\right)\right) = $$ | \suma{\gamma}{}\frac{1}{Z}\left(-A_{a\gamma}\exp\left(\stavsuma\right)\right) = $$ | ||
$$ = - \suma{\gamma}{} \left(\frac{1}{Z}\exp\left(\stavsuma\right)\right)A_{a\gamma} = | $$ = - \suma{\gamma}{} \left(\frac{1}{Z}\exp\left(\stavsuma\right)\right)A_{a\gamma} = | ||
− | -\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{a \gamma} = -\left<A_a\right> $$ | + | -\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{a \gamma} = -\left<A_a\right>. $$ |
To znamená, že známe-li $Z$, potom střední hodnotu veličiny $A_\ell$ lze určit takto: | To znamená, že známe-li $Z$, potom střední hodnotu veličiny $A_\ell$ lze určit takto: | ||
− | $$\left< A_\ell \right> = -\pderivx{(\ln Z)}{\lambda_\ell}$$ | + | $$\left< A_\ell \right> = -\pderivx{(\ln Z)}{\lambda_\ell}.$$ |
\bigskip | \bigskip | ||
Řádka 159: | Řádka 159: | ||
$$\pderivxy{Z}{\lambda_a}{\lambda_b}= \pderivx{}{\lambda_a}\suma{\gamma}{} -A_{b \gamma} \exp\left(\stavsuma\right)$$ | $$\pderivxy{Z}{\lambda_a}{\lambda_b}= \pderivx{}{\lambda_a}\suma{\gamma}{} -A_{b \gamma} \exp\left(\stavsuma\right)$$ | ||
− | $$ = -\suma{\gamma}{}A_{b \gamma}\pderivx{}{\lambda_a}\exp\left(\stavsuma\right) = \suma{\gamma}{}A_{a\gamma}A_{b\gamma}\exp\left(\stavsuma\right)$$ | + | $$ = -\suma{\gamma}{}A_{b \gamma}\pderivx{}{\lambda_a}\exp\left(\stavsuma\right) = \suma{\gamma}{}A_{a\gamma}A_{b\gamma}\exp\left(\stavsuma\right);$$ |
$$\pderivxy{(\ln Z)}{\lambda_a}{\lambda_b} = \pderivx{}{\lambda_a}\left[\pderivx{Z}{\lambda_b}\frac{1}{Z} \right] = | $$\pderivxy{(\ln Z)}{\lambda_a}{\lambda_b} = \pderivx{}{\lambda_a}\left[\pderivx{Z}{\lambda_b}\frac{1}{Z} \right] = | ||
Řádka 166: | Řádka 166: | ||
\left(-\pderivx{Z}{\lambda _a}\frac{1}{Z}\right)\left(-\pderivx{Z}{\lambda _b}\frac{1}{Z}\right) = $$ | \left(-\pderivx{Z}{\lambda _a}\frac{1}{Z}\right)\left(-\pderivx{Z}{\lambda _b}\frac{1}{Z}\right) = $$ | ||
$$=\pderivxy{Z}{\lambda_a}{\lambda_b}\frac{1}{Z} - | $$=\pderivxy{Z}{\lambda_a}{\lambda_b}\frac{1}{Z} - | ||
− | \left(-\pderivx{(\ln Z)}{\lambda _a}\right)\left(-\pderivx{(\ln Z)}{\lambda _b}\right)$$ | + | \left(-\pderivx{(\ln Z)}{\lambda _a}\right)\left(-\pderivx{(\ln Z)}{\lambda _b}\right).$$ |
\bigskip | \bigskip | ||
Řádka 172: | Řádka 172: | ||
$$\pderivxy{(\ln Z)}{\lambda_a}{\lambda_b}=\suma{\gamma}{}A_{a \gamma} A_{b \gamma} \frac{1}{Z} \exp\left(\stavsuma\right) - | $$\pderivxy{(\ln Z)}{\lambda_a}{\lambda_b}=\suma{\gamma}{}A_{a \gamma} A_{b \gamma} \frac{1}{Z} \exp\left(\stavsuma\right) - | ||
− | \left(\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{a \gamma}\right) \left(\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{b \gamma}\right)$$ | + | \left(\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{a \gamma}\right) \left(\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{b \gamma}\right);$$ |
z toho plyne, že | z toho plyne, že | ||
$$\pderivxy{(\ln Z)}{\lambda_a}{\lambda_b} = \left<A_a . A_b \right> - \<A_a\> \left<A_b\right> = | $$\pderivxy{(\ln Z)}{\lambda_a}{\lambda_b} = \left<A_a . A_b \right> - \<A_a\> \left<A_b\right> = | ||
− | \<(A_a-\<A_a\>)(A_b-\<A_b\>)\> $$ | + | \<(A_a-\<A_a\>)(A_b-\<A_b\>)\>. $$ |
To je tzv. \index{koeficient, korelace}\emph{koeficient korelace} veličin $A_a$ a $A_b$, tedy míra jejich nezávislosti. Dosadíme-li $a = b = \ell$, | To je tzv. \index{koeficient, korelace}\emph{koeficient korelace} veličin $A_a$ a $A_b$, tedy míra jejich nezávislosti. Dosadíme-li $a = b = \ell$, | ||
získáme rozptyl veličiny $A_\ell$: | získáme rozptyl veličiny $A_\ell$: | ||
− | $$\pderivxx{(\ln Z)}{\lambda_\ell} = \left<A_\ell^2\right> - \left< A_\ell \right> ^2$$ | + | $$\pderivxx{(\ln Z)}{\lambda_\ell} = \left<A_\ell^2\right> - \left< A_\ell \right> ^2.$$ |
Řádka 188: | Řádka 188: | ||
$$ S = k_B \left( \ln Z - \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \pderivx{ (\ln Z) }{\lambda_\ell} \right) = | $$ S = k_B \left( \ln Z - \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \pderivx{ (\ln Z) }{\lambda_\ell} \right) = | ||
− | k_B\ln Z + k_B\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \left< A_\ell \right> $$ | + | k_B\ln Z + k_B\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \left< A_\ell \right>. $$ |
Protože | Protože |
Verze z 29. 3. 2014, 03:04
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TSFA
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TSFA | Admin | 1. 8. 2010 | 11:52 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 27. 1. 2011 | 21:47 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Matematický aparát | Kunzmart | 25. 8. 2021 | 12:16 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Statistický popis složitých soustav | Krasejak | 27. 6. 2014 | 13:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Statistický soubor a rozdělovací funkce | Krasejak | 27. 6. 2014 | 14:15 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Nejpravděpodobnější rozdělení | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:23 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Partiční funkce systému a jeho podsystémů | Krasejak | 29. 3. 2014 | 04:02 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Mikrokanonický soubor | Kunzmart | 26. 8. 2021 | 10:10 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Kanonický soubor | Maresj23 | 5. 1. 2014 | 12:23 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Grandkanonický soubor | Godalale | 7. 6. 2023 | 22:04 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Ekvivalence statistických souborů | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 01:40 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Principy termodynamiky | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:29 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Termodynamické potenciály | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 04:41 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Závislost termodynamických potenciálů na látkovém množství | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:33 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Vztahy mezi derivacemi termodynamických veličin | Batysfra | 30. 8. 2011 | 15:22 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Další termodynamické veličiny | Tomas | 7. 9. 2010 | 15:53 | kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Kvantověmechanický harmonický oscilátor | Kubuondr | 29. 5. 2017 | 14:21 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Měření Poissonovy konstanty | Admin | 1. 8. 2010 | 11:47 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Termodynamika směsí různých látek | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:38 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vratné a nevratné procesy | Kubuondr | 26. 5. 2017 | 13:32 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Ustálení dynamické rovnováhy | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:40 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Důsledky podmínek rovnováhy | Kubuondr | 15. 4. 2017 | 09:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Rovnováha systému o více fázích | Tomas | 7. 9. 2010 | 15:23 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Klasifikace fázových přechodů | Chladjar | 14. 9. 2020 | 15:32 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Joule-Thompsonův pokus | Tomas | 7. 9. 2010 | 19:43 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Termodynamické nerovnosti | Karel.brinda | 6. 2. 2011 | 21:44 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Narušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip) | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:46 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Statistická rozdělení soustavy volných částic | Chladjar | 15. 9. 2020 | 11:40 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Odvození termodynamiky IP statistickými metodami | Admin | 25. 4. 2024 | 12:36 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa | Groveond | 1. 7. 2014 | 21:35 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Modely krystalů | Chladjar | 17. 9. 2020 | 18:19 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Jiný statistický přístup — kinetická teorie | Tomas | 15. 2. 2011 | 00:22 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Otázky ke zkoušce z TSF | Admin | 1. 8. 2010 | 11:51 | kapitola31.tex | |
Kapitola32 | editovat | Reference | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:54 | reference.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fcel1.pdf | fcel1.pdf |
Image:2krabab.pdf | 2krabab.pdf |
Image:Transw.pdf | transw.pdf |
Image:Syst.pdf | syst.pdf |
Image:3pt.pdf | 3pt.pdf |
Image:Cholesctv.pdf | Cholesctv.pdf |
Image:Oscpot.pdf | Oscpot.pdf |
Image:Spins.pdf | spins.pdf |
Image:Spins2.pdf | spins2.pdf |
Image:Spins3.pdf | spins3.pdf |
Image:Spins4.pdf | spins4.pdf |
Image:Ptdiag.pdf | ptdiag.pdf |
Image:Joulthom.pdf | joulthom.pdf |
Image:Trirozd.pdf | trirozd.pdf |
Image:FD_e_mu.jpg | FD_e_mu.jpg |
Image:Krystal.pdf | krystal.pdf |
Image:Krystal2.pdf | krystal2.pdf |
Image:Procesyr.pdf | procesyr.pdf |
Image:Hgraf.pdf | hgraf.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA} \section{Nejpravděpodobnější rozdělení} \index{rozdělení, nejpravděpodobnější} \subsection{Míra informace} Zaveďme funkci, která každému mikrostavu přiřazuje nějakou hodnotu, udávající množství informace, které o tomto mikrostavu máme. Tato funkce, nazývejme ji \index{míra, informace}\emph{míra informace} a označme $I(w_\gamma)$, musí mít následující vlastnosti: \begin{enumerate} \item $w_\gamma = 1 \quad \Rightarrow \quad I(w_\gamma)=0$ \dots Pokud je určitý jev jistý, nepřinese nám pokusná realizace žádnou novou informaci -- vždyť přeci víme, že se realizuje jev $w_\gamma$. \uv{Vytěžená} informace z pokusu je tedy nulová. \item $w_\gamma \rightarrow 0 \quad \Rightarrow \quad I(w_\gamma) \rightarrow \infty$ \dots Realizace jevu s malou pravděpodobností nám přinese naopak informace mnoho -- z pokusu vyšel velmi neočekávaný výsledek. Je to překvapení! \item Pro nezávislé jevy musí $I( w_\alpha . w_\beta ) = I(w_\alpha) + I(w_\beta)$ \dots Informační přínos od nezávislých jevů se sčítá. \end{enumerate} Funkci $I(w_\gamma)$ lze také brát jako míru neurčitosti. O rozdělení, které má jen jeden jistý jev, víme vše a naše nejistota ohledně výsledku (neurčitost) je nulová. Naopak o rozdělení, sestávajícím se z~velkého počtu málo pravděpodobných jevů nevíme nic -- nedokážeme odhadnout, který z~nich se při konkrétním pokusu realizuje. Naše nevědomost (neurčitost) o systému je velmi vysoká. Těmto třem podmínkám vyhovuje funkce \begin{center} \includegraphics{fcel1.pdf} \end{center} $$I(w_\gamma) = -k_B\ln(w_\gamma).$$ Běžně máme mnoho jevů či událostí. Pak je třeba brát střední hodnotu: $$S = \<I\>=- k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln(w_\gamma).$$ To je definice \index{entropie, statistická}\emph{statistické entropie}, která se interpretuje jako míra neurčitosti systému. $k_B$ je kladná konstanta, zatím blíže neurčená, $\gamma$ je index probíhající přes všechny možné jevy. \subsection{Výpočet nejpravděpodobnějšího rozdělení} \label{nejprozd} Nyní chceme, aby naše hledané rozdělení $w_\gamma$ dávalo námi pozorované střední veličiny, ale jinak bylo co nejneurčitější. To znamená, že vezmeme funkci $$S = - k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln(w_\gamma)$$ a budeme hledat její maximum za následujících podmínek: \begin{center} \begin{tabular}[t]{ll} $\suma{\gamma}{}w_\gamma = 1$ & \dots normovací podmínka rozdělení \tabularnewline[12pt] $\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{\ell \gamma} = \left< A_\ell \right> $ kde $\ell \in \hat{k}$ & \dots naměřené střední hodnoty $k$ veličin \tabularnewline & -- To dává $k$ podmínek. \tabularnewline[12pt] \end{tabular} \end{center} Tato úloha vede k hledání vázaných extrémů. V podstatě jediná pro nás použitelná metoda je řešení pomocí Lagrangeových multiplikátorů. Sestavme si tedy Lagrangeovu funkci: \begin{center} \begin{tabular}[t]{rcl} $\Lambda$ & $=$ & $S - k_B \alpha \left(\suma{\gamma}{}w_\gamma - 1\right) - \suma{\ell=1}{k} k_B \lambda_\ell \left( \suma{\gamma}{}w_\gamma A_{\ell \gamma} - \left< A_\ell \right> \right)$ =\\ & $=$ & $-k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln(w_\gamma) - k_B \alpha \left(\suma{\gamma}{}w_\gamma - 1\right ) - \suma{\ell=1}{k} k_B \lambda_\ell \left( \suma{\gamma}{}w_\gamma A_{\ell \gamma} - \left< A_\ell \right> \right),$ \tabularnewline[12pt] \end{tabular} \end{center} kde $k_B$ je již dříve zmíněná normovací konstanta, $\alpha$ a $\lambda_\ell$ tvoří $k+1$ Lagrangeových multiplikátorů pro $k+1$ vazebných podmínek a $\left< A_\ell \right> $ je $k$ naměřených veličin (středních hodnot). Zderivujme $\Lambda$ podle všech proměnných $w_\gamma$ a položme derivace rovny nule: $$0 = \pderivx{\Lambda}{w_\gamma} = -k_B\left( \ln(w_\gamma) + w_\gamma \frac{1}{w_\gamma}\right) - k_B \alpha - \suma{\ell=1}{k} k_B \lambda_\ell A_{\ell \gamma}$$ pro $\forall\gamma$, to znamená pro všechny mikrostavy (a těch bývá hodně). Pro spojité rozdělení se musí použít variačního počtu. Z toho plyne, že $$k_B\ln(w_\gamma) = k_B\left( -1 - \alpha \stavsuma \right);$$ $$w_\gamma = \exp \left(-1 -\alpha \stavsuma \right). $$ Nyní vezměme normovací podmínku $\suma{\gamma}{}w_\gamma = 1$ a dosaďme do ní nalezený vztah pro $w_\gamma$: $$1 = \suma{\gamma}{}w_\gamma = \suma{\gamma}{} \exp ( -1 -\alpha ) \exp \left( \stavsuma \right),$$ $$\exp ( -1 -\alpha) = \frac{1}{\suma{\gamma}{} \exp \left( \stavsuma \right)}.$$ Výraz pro $\exp(-1 -\alpha)$ zpětně dosadíme do vztahu pro $w_\gamma$: $$w_\gamma = \frac{1}{\suma{\gamma}{}\exp\left( \stavsuma \right) } \exp\left( \stavsuma \right)$$ Výraz ve jmenovateli nazýváme \index{funkce, partiční}\emph{partiční funkce} a značíme $Z$\footnote{Písmeno $Z$ pochází z německého slova Zustandsumme.}. Vztahy pak můžeme přepsat takto: \begin{center} \begin{tabular}[t]{rl} $Z=\suma{\gamma}{} \exp \left( \stavsuma \right)$ & \dots partiční funkce \tabularnewline[12pt] $w_{\gamma} = \frac{1}{Z} \exp \left( \stavsuma \right)$ & \dots nejpravděpodobnější rozdělení \tabularnewline[12pt] \end{tabular} \end{center} Otázkou zůstává, jaký fyzikální smysl dát Lagrangeovým multiplikátorům $\lambda_\ell$ -- to už záleží na konkrétních fyzikálních aplikacích. \subsection{Důsledky} Nyní si odvoďme několik dalších vztahů. Předně by nás mohlo zajímat, jakou hodnotu vlastně maximální entropie má. To zjistíme prostým dosazením $w_\gamma$ do vztahu pro $S$: $$ S = \- k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma \ln(w_\gamma) = \-k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma \ln\left(\frac{1}{Z}\exp\left[\stavsuma\right]\right) = $$ $$ = k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln Z \- k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln\left( \exp\left[\stavsuma\right]\right) = k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln Z \- k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\left(\stavsuma\right) = $$ $$= k_B\ln Z\suma{\gamma}{}w_\gamma \+ k_B\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{\ell \gamma}.$$ Ovšem první suma v tomto výrazu je jednička (normování rozdělení) a poslední je výraz pro výpočet střední hodnoty veličiny. Proto $$S = k_B\left( \ln Z + \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \left< A_\ell \right> \right).$$ Dále platí: $$ \pderivx{Z}{\lambda_a} = \pderivx{}{\lambda_a} \suma{\gamma}{}\exp\left(\stavsuma\right) = \suma{\gamma}{} -A_{ a \gamma }\exp\left(\stavsuma\right);$$ $$\pderivx{( \ln Z )}{\lambda_a} = \pderivx{Z}{\lambda_a}\frac{1}{Z} = \suma{\gamma}{}\frac{1}{Z}\left(-A_{a\gamma}\exp\left(\stavsuma\right)\right) = $$ $$ = - \suma{\gamma}{} \left(\frac{1}{Z}\exp\left(\stavsuma\right)\right)A_{a\gamma} = -\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{a \gamma} = -\left<A_a\right>. $$ To znamená, že známe-li $Z$, potom střední hodnotu veličiny $A_\ell$ lze určit takto: $$\left< A_\ell \right> = -\pderivx{(\ln Z)}{\lambda_\ell}.$$ \bigskip Prověřme druhé derivace partiční funkce dle Lagrangeových multiplikátorů: $$\pderivxy{Z}{\lambda_a}{\lambda_b}= \pderivx{}{\lambda_a}\suma{\gamma}{} -A_{b \gamma} \exp\left(\stavsuma\right)$$ $$ = -\suma{\gamma}{}A_{b \gamma}\pderivx{}{\lambda_a}\exp\left(\stavsuma\right) = \suma{\gamma}{}A_{a\gamma}A_{b\gamma}\exp\left(\stavsuma\right);$$ $$\pderivxy{(\ln Z)}{\lambda_a}{\lambda_b} = \pderivx{}{\lambda_a}\left[\pderivx{Z}{\lambda_b}\frac{1}{Z} \right] = \pderivxy{Z}{\lambda_a}{\lambda_b}\frac{1}{Z} + \pderivx{Z}{\lambda_a}\pderivx{Z}{\lambda_b}\left(-\frac{1}{Z^2}\right) =$$ $$= \pderivxy{Z}{\lambda_a}{\lambda_b}\frac{1}{Z} - \left(-\pderivx{Z}{\lambda _a}\frac{1}{Z}\right)\left(-\pderivx{Z}{\lambda _b}\frac{1}{Z}\right) = $$ $$=\pderivxy{Z}{\lambda_a}{\lambda_b}\frac{1}{Z} - \left(-\pderivx{(\ln Z)}{\lambda _a}\right)\left(-\pderivx{(\ln Z)}{\lambda _b}\right).$$ \bigskip Dosadíme z dříve vypočtených vztahů pro $\pderivx{(\ln Z)}{\lambda_\ell}$: $$\pderivxy{(\ln Z)}{\lambda_a}{\lambda_b}=\suma{\gamma}{}A_{a \gamma} A_{b \gamma} \frac{1}{Z} \exp\left(\stavsuma\right) - \left(\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{a \gamma}\right) \left(\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{b \gamma}\right);$$ z toho plyne, že $$\pderivxy{(\ln Z)}{\lambda_a}{\lambda_b} = \left<A_a . A_b \right> - \<A_a\> \left<A_b\right> = \<(A_a-\<A_a\>)(A_b-\<A_b\>)\>. $$ To je tzv. \index{koeficient, korelace}\emph{koeficient korelace} veličin $A_a$ a $A_b$, tedy míra jejich nezávislosti. Dosadíme-li $a = b = \ell$, získáme rozptyl veličiny $A_\ell$: $$\pderivxx{(\ln Z)}{\lambda_\ell} = \left<A_\ell^2\right> - \left< A_\ell \right> ^2.$$ Prozkoumejme, jaký tvar má totální diferenciál entropie $dS$ v Lagrangeových koeficientech: $$ S = k_B \left( \ln Z - \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \pderivx{ (\ln Z) }{\lambda_\ell} \right) = k_B\ln Z + k_B\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \left< A_\ell \right>. $$ Protože $$d \ln Z = \suma{\ell=1}{k}\pderivx{ (\ln Z) }{\lambda_\ell} d\lambda_\ell = -\suma{\ell=1}{k}\left< A_\ell \right> d\lambda_\ell$$ je $$dS = k_B d\ln Z + d\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \left< A_\ell \right> =$$ $$= k_B d \ln Z + k_B \suma{\ell=1}{k}\left( \lambda_\ell d\left< A_\ell \right> + \left< A_\ell \right> d\lambda_\ell\right) = $$ $$= k_B ( d \ln Z - d \ln Z ) + k_B \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell d\left< A_\ell \right> $$ Tedy při nejpravděpodobnějším rozdělení má entropie (rovnovážná) diferenciál $$ dS = k_B \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell d\left< A_\ell \right> $$ To umožňuje konstruovat vztahy mezi termodynamickými veličinami, neboť platí, že $$\pderivx{S}{\left< A_\ell \right> } = k_B \lambda_\ell$$ \begin{center} \begin{tabular}[t]{|ll|} \hline Shrnutí & \tabularnewline \hline $Z=\suma{\gamma}{} \exp \left( \stavsuma \right)$ & Partiční funkce \tabularnewline[12pt] $w_{\gamma} = \frac{1}{Z} \exp \left( \stavsuma \right)$ & Nejpravděpodobnější rozdělení \tabularnewline[12pt] $S = k_B\left( \ln Z + \suma{\ell=1}{k} \lambda_\ell \left< A_\ell \right> \right)$ & Maximální statistická entropie \tabularnewline[12pt] $dS = k_B \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell d\left< A_\ell \right> $ & Diferenciál entropie \tabularnewline[12pt] $\left<A_{\ell}\right> = - \pderivx{}{\lambda_\ell} (\ln Z)$ & \label{str_hod}Střední hodnota veličiny z partiční funkce \tabularnewline[12pt] $\left<A_i A_j\right> - \left<A_i\right> \left<A_j\right> = \pderivxy{}{\lambda_i}{\lambda_j} (\ln Z)$ & Koeficient korelace veličin z partiční funkce \tabularnewline[12pt] $\left<A_{\ell}^2\right> - \left<A_{\ell}\right> ^2 = \pderivxx{}{\lambda_\ell} (\ln Z)$ & Rozptyl veličiny z partiční funkce \tabularnewline[12pt] \hline \end{tabular} \end{center} \begin{remark} Entropie a $\ln Z$ jsou k sobě legendreovsky transformované. Je-li $S$ v~úloze $f$ a $\ln Z$ v úloze $g$, veličiny $\left< A_\ell \right> $ a $\lambda_\ell$ pak v úlohách $x_i$ a $y_i$ (viz matematický aparát), potom: $$ f \equiv \frac{S( \left< A_\ell \right> )}{k_B} \qquad g \equiv \ln Z(\lambda_\ell) $$ Dle definice entropie je $$S = k_B \left( \ln Z + \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \left< A_\ell \right> \right) \quad \Leftrightarrow \quad \ln Z = \frac{S}{k_B} - \suma{\ell=1}{k} \lambda_\ell\left< A_\ell \right> $$ Což je ale tvar Legendreovy transformace $g = f - \suma{i}{}x_i y_i$. Potom musí platit vztahy $x_i = - \pderivx{g}{y_i}$ a $y_i = \pderivx{f}{x_i}$, což znamená, že $$ \lambda_\ell = \pderivx{ (\frac{S}{k_B})}{\left< A_\ell \right> } = \frac{1}{k_B}\pderivx{S}{\left< A_\ell \right> } \qquad \left< A_\ell \right> = -\pderivx{(\ln Z)}{\lambda_\ell} $$ a také $$\pderivx{\lambda_\ell}{\left<A_k\right> } = \frac{1}{k_B}\pderivxy{S}{A_k}{A_\ell} = \frac{1}{k_B}\pderivxy{S}{A_\ell}{A_k} = \pderivx{\lambda_k}{\left< A_\ell \right> }$$ \end{remark} \bigskip \subsection{Normální rozdělení jako nepravděpodobnější rozdělení} Podobně jako v předchozím příkladě se můžeme pokusit nalézt nejpravděpodobnější spojité rozdělení. Z definice entropie platí $$ S(\rho) = -k \int\rho(x) \ln \rho(x) dx $$ a maximum entropie budeme hledat za následujících podmínek: \begin{center} \begin{tabular}[t]{ll} $\langle 1 \rangle = 1$ & \dots Normovací podmínka rozdělení \tabularnewline[12pt] $\langle x \rangle = \mu$ & \dots Střední hodnota rozdělení \tabularnewline[12pt] $\langle(x-\mu)^2\rangle = \sigma^2$ & \dots Střední kvadratická odchylka \tabularnewline[12pt] \end{tabular} \end{center} V tomto případě je extrém hledán na nekonečně rozměrné varietě s kodimenzí 3. Zapíšeme si Lagrangovu funkci $$ \Lambda = S(\rho) -\alpha \left( \int\rho(x)dx -1\right) -\beta \left(\int x\rho(x) dx-\mu\right) - \gamma \left(\int (x-\mu)^2\rho(x) dx-\sigma^2\right) $$ a vyřešíme ji pomocí variačního počtu. Požadujeme, aby variace $\delta \Lambda$ byla nulová $$ \delta\Lambda = \int\left[-k \left(\rho + \delta\rho\right)\ln \left(\rho + \delta\rho\right) -\alpha \left( \rho + \delta\rho\right) -\beta x\left(\rho + \delta\rho\right) - \gamma (x-\mu)^2\left(\rho + \delta\rho\right) \right]dx+$$ $$ +\alpha+\beta\mu+\gamma \sigma^2 - \Lambda = 0 $$ Když dosadíme za $\Lambda$ a rozvineme funkce do 1. řádu, vyjde $$ \delta\Lambda = \int \left[ -k\left(\ln\rho+\rho\frac1\rho \right)-\alpha-\beta x-\gamma(x-\mu)^2 \right]\delta\rho dx = 0$$ a protože to platí pro libovolnou $\delta\rho$, tak ze základního lemmatu variačního počtu plyne $$ k\ln\rho(x)+k+\alpha+\beta x+\gamma(x-\mu)^2 = 0$$ odsud už můžeme vyjádřit $\rho$ $$ \rho(x) = \exp\left[-\frac{1}{k}\left(\alpha+\beta x +\gamma (x-\mu)^2\right) \right]$$ A jak si čtenář může sám odvodit, po dosazením do vazebních podmínek a po výpočtu Lagrangeových multiplikátorů vyjde $$\varrho(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma ^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma ^2}\right)$$