Verze z 3. 2. 2014, 17:54

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\section{Popis stavů \qv é \cc e}
\ll{Popisstavu}
 
\sv a \rc e  má v~\qv é mechanice stejnou roli jako Newtonova rovnice v~mechanice klasické, \textbf{popisuje časový vývoj fyzikálního 
systému}. Matematicky jsou však typy obou rovnic odlišné. Zatímco Newtonovy \rc e jsou soustavou obyčejných diferenciálních rovnic, 
\sv a \rc e je parciální diferenciální rovnicí. Z~tohoto rozdílu plyne i odlišný způsob popisu stavu v~daném okamžiku v~klasické a 
\qv é mechanice.
 
 
 
 
\subsection{Stavový prostor}
\ll{stavprost}
 
{\small Stav klasického systému v~daném okamžiku je určen hodnotou všech poloh a rychlostí či poloh a hybností jednotlivých hmotných 
bodů. Znalost okamžitých hodnot pak jednoznačně určuje řešení pohybových rovnic. Přirozená otázka je, jak popsat stav \qv é \cc e.}
 
\sv a \rc e je parciální lineární diferenciální rovnicí 1.~řádu v~čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno 
volbou počáteční podmínky $\psi (\vex,t=t_0)= g(\vex)$, tj.~funkcí $g$. Přijmeme-li předpoklad, že \sv a \rc e \rf{sr} popisuje 
časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k~závěru, že \textbf{okamžitý stav kvantové částice je určen komplexní funkcí tří 
proměnných} (Jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká \emph{stavová či vlnová funkce částice}.
 
Bornova interpretace řešení \sv y \rc e  klade na stavové funkce jistá omezení. Podmínka \rf{konecnanorma} platí pro libovolný čas 
$t$ a musíme proto požadovat, aby každá funkce $g(\vex)$ popisující stav kvantové částice splňovala podmínku ($\vex\equiv (x,y,z)^T$)
\be \int_{\R^3} |g(\vex)|^2 \d^3x <\infty. \ll{konecnanormag} \ee
Tyto funkce nazýváme \emph{kvadraticky integrovatelné} (na $\R^3$ s~mírou $\d\vex$, ve fyzice obvykle značíme $\d^3x$) a značíme $g\in\mathscr L^2(\R^3,\d^3x)$. Mimo to funkce $g$ a $\alpha g$, kde $\alpha\in\C$ je libovolné 
komplexní číslo dávají stejnou pravděpodobnostní interpretaci a popisují tedy tentýž stav kvantové \cc e.
 
\bc
  Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+\dr)$ od jádra, je-li popsán (v~čase $t_0$) funkcí
  \be g(x,y,z)=Ae^{-\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{a_0}}, \ll{zsv} \ee
  kde $a_0 = 0,53 \times 10^{-8}$ cm je tzv.~Bohrův poloměr vodíku? Viz \cite{kv:qm}.
  \ll{ex:pstvodat}
\ec
 
Díky Minkowského nerovnosti
\[
  \left( \int_{\R^3}|f+g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2} 
    \leq \left( \int_{\R^3}|f|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2} + \left( \int_{\R^3}|g|^2\d^3x \right)^\frac{1}{2},
\]
jež platí pro funkce splňující \rf{konecnanormag}, tvoří kvadraticky integrovatelné funkce lineární prostor. Odtud plyne tzv.~\textbf{
princip lineární superpozice stavů \qv é mechaniky jedné částice}: \emph{Může-li se \cc e nacházet ve stavech popsaných \fc emi $\psi_1$, 
$\psi_2$, pak existuje stav popsaný \fc í $a \psi_1 + b \psi_2$, kde $a,b$ jsou libovolná komplexní čísla.}
 
\bc
  Leží minimalizující vlnový balík ve výše uvedeném prostoru? Přesněji, je funkce $g$ ze cvičení \rf{ex:vlnbal} kvadraticky integrovatelná?
  \ll{ex:hilbspvb}
\ec
 
\bc
  Leží \db ova vlna \rf{dbvlna} ve výše uvedeném prostoru?
\ec
 
Na lineárním vektorovém prostoru stavových funkcí splňujících podmínku \rf{konecnanorma} je možno zavést ještě bohatší matematickou 
strukturu, která má pro konstrukci kvantové mechaniky zásadní význam. Ukážeme totiž, že tento prostor (po jisté faktorizaci) je Hilbertův, 
což pak použijeme k~předpovědi výsledku měření fyzikálních veličin provedených na \qv ém sytému v~daném stavu.
 
 
 
 
\subsubsection{Matematická vsuvka 1: Hilbertovy prostory}
Více či méně zevrubné poučení o~Hilbertových prostorech je možno najít v~mnoha učebnicích (viz např.~\cite{beh:lokf} a citace tam uvedené). 
Zde uvedeme jen základní definice a fakta, která budeme používat v~této přednášce.
{\small
\bd
  \textbf{Sesquilineární formou} na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ (ne nutně konečně rozměrném) nazveme zobrazení 
  $F:V\times V\rightarrow \C$ splňující
  \[
    F(f+g,h)=F(f,h)+F(g,h),\
    F(f,g+h)=F(f,g)+F(f,h),
  \]
  \[
    F(\alpha f,g)=\alpha^*F(f,g),\ F(f,\alpha g)=\alpha F(f,g),
  \]
  kde $\alpha\in\C$ $f,g,h\in V$ a hvězdička značí komplexní sdružení.
\ed
 
\bp
 Na lineárním prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí na $\R^N$ lze zavést sesquilineární formu předpisem
 \be F(g_1,g_2) \equiv (g_1,g_2) := \int_{\R^N} g_1^*(\vex)g_2(\vex)\d^Nx. \ll{ss} \ee
\ep
 
\bd
  Zobrazení $F:V \times V \rightarrow \C$ nazveme \textbf{symetrickou formou} pokud pro všechna $f,g\in V$ platí
  \be F(g,f)=[F(f,g)]^*\overset{ozn.}{=}F^*(f,g)  \ll{ss2} \ee
\ed
 
\bc
  Ukažte, že sesquilineární forma je symetrická tehdy a jen tehdy, když $F(f,f)\in\R$.
  \ll{symfor}
\ec
 
\bd
  Zobrazení $F:V\times V\rightarrow \C$ nazveme \textbf{pozitivní formou} pokud pro všechna $f\in V$ platí
  \be F(f,f) \geq 0. \ee
  Pokud navíc
  \be F(f,f)=0 \Leftrightarrow f=0, \ee
  pak tuto formu nazveme \textbf{pozitivně definitní}, resp. striktně pozitivní.
\ed
 
\bp Sesquilineární forma \rf{ss} je pozitivní (a tedy i symetrická). \ep
 
\bt
  Pozitivní sesquilineární forma splňuje pro každé $f,g\in V$ \emph{Schwarzovu nerovnost}
  \be |F(f,g)|^2 \leq F(f,f)F(g,g). \ll{schwarz} \ee
  Přitom rovnost nastává, právě když existuje $\alpha\in\C$ tak, že
  \be F(f+\alpha g,f+\alpha g)=0 \ \mathrm{ nebo } \ F(\alpha f+g,\alpha f+g)=0. \ll{schwrovn} \ee
 
  \begin{proof}
    Nechť $f,g\in V$. Pak z~pozitivity a sesquilinearity dostaneme pro každé $\beta\in\C$
    \be 0\leq F(f+\beta g,f+\beta g)=F(f,f)+\beta F(f,g)+\beta^* F(f,g)^*+|\beta|^2F(g,g) \ll{possesq} \ee
    Pokud $F(f,f)=F(g,g)=0$ pak volbou $\beta=-F^*(f,g)$ dostaneme \rf{schwarz}. Ze striktní pozitivity absolutní hodnoty komplexního 
    čísla plyne  $F(f,g)=0$ a snadno dokážeme i druhou část tvrzení ($\alpha=0$).
 
    Bez újmy na obecnosti můžeme nadále předpokládat, že např.~$F(g,g)\neq 0$. Volbou $\beta=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ v~\rf{possesq}, pak 
    dostaneme nerovnost \rf{schwarz}. Druhou část tvrzení dokážeme takto: Nechť platí první rovnost v~\rf{schwrovn}. Z~nerovnosti
    \[ 0\leq|\alpha^* F(g,g)+F(f,g)|^2 \]
    pak plyne $|F(f,g)|^2\geq F(f,f)F(g,g)$, což spolu s~\rf{schwarz} dává $|F(f,g)|^2 = F(f,f)F(g,g)$. Pokud naopak tato rovnost 
    platí, pak pro $\alpha=-\frac{F(g,f)}{F(g,g)}$ je splněna první rovnost v~\rf{schwrovn}.
  \end{proof}
\et
} %konec prostředí \small
 
\bd 
  Sesquilineární pozitivně definitní forma na komplexním lineárním vektorovém prostoru $V$ se nazývá \textbf{skalární součin}. Lineární 
  vektorový prostor vybavený skalárním součinem se nazývá \textbf{unitární} nebo též \textbf{pre-hilbertův}.
\ed
 
\bp 
  Na prostoru $\C^N$ lze zavést skalární součin způsobem
  \be F(x,y)\equiv(x,y):=\sum_{j=1}^N x_j^*y_j \ll{sscn} \ee
\ep
 
Ze cvičení \rf{symfor} plyne, že skalární součin je symetrický a použitím Schwarzovy nerovnosti je snadné ukázat, že indukuje na prostoru 
$V$ normu $\|f\|:=\sqrt{(f,f)}$ a metriku $\rho(f,g):=\|f-g\|$
 
\bd 
  Unitární prostor, který je (v indukované metrice $\rho$) úplný se nazývá \textbf{Hilbertův}.
\ed
 
\bp Prostor $\C^N$ se skalárním součinem \rf{sscn} je Hilbertův. \ep
 
{\small
Sesquilineární forma \rf{ss} na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí není striktně pozitivní. Považujeme-li však funkce lišící se na 
množině míry nula za \uv{stejné}, tzn.~provedeme-li jistou faktorizaci (viz \cite{beh:lokf}), dostaneme opět lineární prostor označovaný obvykle 
\qintrn, na kterém pak \rf{ss} definuje skalární součin. V~normě určené tímto skalárním součinem je navíc tento prostor úplný, a tedy Hilbertův. Je třeba rozlišovat $\mathscr L^2(\R^N,\d^Nx)$ (obsahuje funkce) a \qintrn{} (obsahuje třídy ekvivalence).
}%small
 
\bp
Prostor tříd kvadraticky integrovatelných funkcí na intervalu $(a,b)\subset\R$, kde $a$ i $b$ mohou být i $\pm\infty$, tj. $L^2((a,b),\dx)\overset{ozn.}{=}L^2(a,b)$ se skalárním součinem
\[ (f,g) := \int_a^b f^*(x)g(x)\dx \]
je Hilbertův.
\ep
 
V~dalším textu obvykle nebudeme rozlišovat mezi kvadraticky integrabilními funkcemi a jim odpovídajícími třídami funkcí lišícími se na množině míry 
nula. Můžeme tedy shrnout, že  \textbf{funkce \rf{konecnanormag} popisující stavy kvantové částice tvoří nekonečně rozměrný Hilbertův prostor}.
 
\bt [Rieszovo lemma]
  Nechť $\Phi$ je spojitý lineární funkcionál na $\Hil$. Pak existuje právě jeden vektor $g_\Phi\in\Hil$ takový, že pro všechna $f\in\Hil$ platí
  \[ \Phi(f)=(g_\Phi,f). \]
\et
Toto tvrzení znamená že prostor lineárních funkcionálů na $\Hil$ je izomorfní $\Hil$, přesněji, existuje kanonická antilineární bijekce %Jinými slovy, Hilbertovy prostory jsou samoduální:
$\Hil^*\leftrightarrow\Hil$, tj. $\Hil^*\cong\Hil$. Tento fakt je základem tzv.~\uv{bra-ketového formalismu}, který je v~\qv é \mi ce často používán.
 
\vskip 1cm 
 
Důležitým pojmem v~teorii Hilbertových prostorů, který mnohokrát využijeme, je tzv.~ortonormální báze (často ne zcela správně nazývaná 
ortogonální báze).
{\small
\bd
  Vektory $x,y$ v~Hilbertově prostoru $\Hil$ nazveme \textbf{ortogonální} pokud $(x,y)=0$. Množinu $M\subset\Hil$ nenulových vektorů nazveme
  \textbf{ortogonální množinou} pokud každé dva její různé prvky jsou ortogonální. Pokud navíc pro každý prvek z~množiny $M$ platí $\|x\|=1$ nazveme 
  ji \textbf{ortonormální}.
\ed
\bd
  Vektor $x\in \Hil$ nazveme \textbf{ortogonální k~množině} $M\subset \Hil$, pokud $(x,y)=0$ pro každé $y\in M$. Množinu všech takových vektorů
  nazýváme \textbf{ortogonálním doplňkem množiny $M$} a značíme ji $M^\perp$.
\ed
Je snadné ukázat, že ortogonální doplněk libovolné podmnožiny $\Hil$ je lineární podprostor $\Hil$, tj. $M^\perp\!\subset\subset\Hil$.
\bt
  Je-li $\mathcal{G}$ uzavřený podprostor $\Hil$, pak pro každé $x\in\Hil$ existuje právě jedno $y\in\mathcal{G}$ a $z\in \mathcal{G}^\perp$ tak, že 
  $x=y+z$, tzn.~$\Hil=\mathcal{G}\oplus\mathcal{G}^\perp$ (direktní součet).
\et
Důsledkem tohoto tvrzení je existence lineárního operátoru $E_\mathcal{G}: x \mapsto y$, který se nazývá \emph{ortogonální projektor} na $\mathcal{G}$.
}%small
\bd
  \textbf{Ortonormální bází} nazveme ortonormální množinu $B$, jejíž ortogonální doplněk je nulový prostor, tj.~$B^\perp=\{\vec 0\}\subset\Hil$.
\ed
Pozor! Poznamenejme, že ortonormální báze není bází v~obvyklém smyslu, totiž že libovolný prvek prostoru je možno zapsat jako \emph{konečnou}(!) lineární 
kombinaci prvků báze. Jak uvidíme, obecný prvek budeme většinou schopni zapsat pouze jako \uv{nekonečnou lineární kombinaci} prvků ortonormální 
báze, která je definována pomocí konvergence ve smyslu normy $ \|f\|:=(f,f)$.
\bp
  Nechť $(a,b)$ je omezený interval v~$\R$, $c:=b-a$, $m\in\Z$. Funkce $f_m(x):= {c}^{-1/2}e^{2\pi imx/ c}$ jsou ortonormální bází prostoru $L^2(a,b)$.
\ep
 
\bd
  Nechť $B$ je ortonormální báze v~Hilbertově prostoru $\Hil$. \textbf{Fourierovými koeficienty vektoru} $f\in\Hil$ \textbf{pro bázi $B$} nazveme 
  skalární součiny $(b,f)$, kde $b\in B$.
\ed
 
Hilbertovy prostory, se kterými v~\qv é \mi ce pracujeme (např.~\qintspace), mají nejvýše spočetnou ortonormální bázi $B=(e_j)_{j=1}^3$. V~takovýchto 
prostorech platí pro každé $f\in\Hil$
\be f=\sum_{j=1}^\infty(e_j,f)e_j, \ll{fourexp} \ee
\be \|f\|^2=\sum_{j=1}^\infty|(e_j,f)|^2. \ll{parseval} \ee
Tyto vztahy se nazývají \emph{Fourierův rozvoj} a \emph{Parsevalova rovnost.}
 
V~kvantové mechanice hrají důležitou roli ortonormální báze, jejichž elementy jsou vlastní funkce nějakých operátorů.
 
\bc
  Najděte ortonormální bázi  v~$\C^2$, jejíž prvky jsou vlastními vektory matice
  \[ \sigma_1:=\left( \begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right) \]
\ec
 
Příklady ortonormálních bází v~nekonečně rozměrných Hilbertových prostorech ukážeme v~dalších kapitolách.
 
 
 
 
\subsection{Pozorovatelné a jejich spektra}
\ll{pozorovatelne}
 
{\small V~klasické mechanice je možno ze znalosti stavu předpovědět výsledek měření okamžité hodnoty libovolné mechanické veličiny (energie, 
momentu hybnosti,...).
 
Stav systému (např.~jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru (polohou a rychlostí, nebo polohou a hybností, podle toho zda 
používáme Newtonovu (Lagrangeovu), či Hamiltonovu formulaci) a fyzikální veličiny --- \emph{pozorovatelné} --- jsou definovány jako reálné 
funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny pro systém v~daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v~odpovídajícím 
bodu fázového prostoru. Spektrum hodnot, které pro klasickou \cc i můžeme naměřit je dáno oborem hodnot této funkce. Např.~kinetická energie 
stavu $(\vec p,\vec q)$ je
\[ E_{\mathrm{kin}}(\vec p,\vec q)=\frac{1}{2M}\sum_{j=1}^3 p_j^2 \]
a její spektrum je $\Rp$.
 
Tento popis je nezávislý na dynamice, tj.~na časovém vývoji systému, a je tak názorný, že se mu v~klasické mechanice nevěnuje téměř žádná 
pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických 
pojmů v~kvantové mechanice.}%small
 
Otázka, na kterou chceme odpovědět v~tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v~\qv é \mi ce pozorovatelným? Jak bylo konstatováno 
v~minulém paragrafu, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Pokud bychom pozorovatelným 
přiřazovali funkce na tomto (nekonečně rozměrném) prostoru, dostali bychom klasickou teorii pole, která se pro náš cíl --- popis objektů 
mikrosvěta --- ukázala neadekvátní. Místo toho \textbf{kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory na prostoru 
stavových funkcí}. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným 
experimentálním ověřováním teorie.
 
Pro sledování analogií s~klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V~kvantové mechanice hmotné částice je 
\textbf{kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou}
\be \fbox{\Large $(\hat Q_j \psi)(\vex):=x_j\psi(\vex)$} \ll{xoper} \ee
a \textbf{kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální derivace}
\be \fbox{\Large $(\hat P_j \psi)(\vex):=-i\hbar\dfrac{\pd\psi}{\pd x_j}(\vex)$} \ll{poper} \ee
Definici operátoru hybnosti už jsme de facto použili při odvozování \sv y \rc e \rf{srvolna} z~\db ovy hypotézy.
 
Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper}. V~každém z~nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou více či méně 
ekvivalentní \rf{xoper}, \rf{poper}.
 
Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majících klasickou analogii jsou konstruovány podle \emph{principu korespondence}, 
tzn.~jsou formálně stejnými funkcemi operátorů $F(\hat Q_j,\hat P_j)$ jako odpovídající funkce $F(x_j,p_j)$ na fázovém prostoru v~klasickém
případě. Např.~operátor celkové energie částice v~silovém poli potenciálu $V$ je
\[ \hat E := E(\hat Q_j,\hat P_j) =  -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + V(\vex) = \hat H, \]
kde $\lapl=\sum_{j=1}^3 \frac{\pd^2}{\pd x_j^2}$.
 
\bc Napište operátory přiřazené složkám momentu hybnosti. \ec
 
Vzhledem k~tomu, že \qintspace{} je nekonečně rozměrný prostor, důležitou součástí definice operátorů je i stanovení jejich definičních oborů, 
což je obecně dosti delikátní problém. Je samozřejmě nutné, aby příslušné operace byly na funkcích z~definičního oboru definovány a jejich 
výsledek ležel v~\qintspace{} (takže například funkce z~definičního oboru operátorů $\hat P_j$ musí být (skoro všude) derivovatelné a 
derivace musí být kvadraticky integrovatelné). Mimo to je však třeba definiční obory operátorů zvolit tak, aby byl splněn ještě další
požadavek kvantové \mi ky, totiž, že \textbf{spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s~množinou hodnot, 
které lze pro danou veličinu naměřit}.
 
Problémů s~definičními obory operátorů se v~tomto textu dotkneme jen občas a nesystematicky. Nejnutnější základy jsou shrnuty v~následující vsuvce.
Matematicky založenější čtenáře opět odkazujeme např.~na \cite{beh:lokf}.
\bc
  \ll{nekpoja}
  Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní \uv{nekonečně hluboké potenciálové jámě}, 
  tj.~v~potenciálu $V(x)=0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=\infty$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou všude spojité a nulové pro $|x|\geq a$.
\ec
\bc
  Nalezněte vlastní hodnoty energie kvantové částice pohybující se v~jednorozměrné konstantní potenciálové jámě tj.~v~potenciálu 
  $V(x)=-V_0$ pro $|x|<a$ a $V(x)=0$ pro $|x|>a$.
\\Návod: Předpokládejte, že vlnové funkce jsou spojité a mají spojité derivace pro $x\in \R$.
\ec
 
 
 
\subsubsection{Matematická vsuvka 2: Operátory v~Hilbertově prostoru}
Teorie operátorů v~Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány. 
Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat.
 
Pod lineárním operátorem v~Hilbertově prostoru $\Hil$ budeme rozumět lineární zobrazení $\hat T:\df\hat T\to\Hil$, kde $\df\hat T\subset\subset\Hil$. Definiční obor zobrazení $\hat T$ budeme značit $\df\hat T$, obor hodnot $\ran\hat T$. Je-li Hilbertův prostor konečné dimenze, pak je teorie lineárních zobrazení relativně jednoduchá
a redukuje se na teorii matic. V~\qv é teorii se však vyskytují především nekonečně rozměrné prostory, což přináší mnoho technických 
problémů. Některé z~nich lze řešit, pokud budeme používat pouze \emph{hustě definované} operátory, tj.~takové pro které $\overline{\df\hat T}=\Hil$, 
kde pruh značí uzávěr množiny ve smyslu topologie indukované metrikou $\Hil$ plynoucí ze skalárního součinu.
 
Třídou operátorů, která má mnoho podobných vlastností jako operátory na konečně rozměrném prostoru, jsou omezené operátory.
 
\bd
  Lineární operátor $\hat B:\df\hat B\to\Hil$ je \textbf{omezený}, pokud existuje $c>0$ tak, že pro všechna $g\in\df\hat B$ platí
  \[ \|\hat B g\|\leq c\|g\| \]
\ed
 
Normou $\|g\|$ samozřejmě rozumíme normu indukovanou skalárním součinem $\|g\|:=\sqrt{(g,g)}$. Omezené hustě definované operátory lze 
spojitě rozšířit na celé $\Hil$.
 
\bp
  Fourierův-Plancherelův operátor\footnote{Tato definice vyhovuje pouze pro $g\in$\qintspace$\,\cap\,L^1(\R^3,\d^3x)$. Pro ostatní funkce 
  je třeba jej spojitě dodefinovat \cite{beh:lokf}.}
  \[ \tilde{g}(\vec{p}) \equiv (\hat{F} g)(\vec p) := \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\R^3} e^{-i\vec{p}\cdot\vex}g(\vex)\d^3x \]
  je omezený operátor na \qintspace. Navíc je bijekcí.
\ep
 
\bd
  Nechť $\hat{B}$ je omezený operátor na $\Hil$. Operátor $\hat{B}^\dagger$ nazveme \textbf{sdruženým k}~$\hat{B}$, pokud pro všechna 
  $f,g\in\Hil$
  \[ (f,\hat{B}g) = (\hat{B}^\dagger f,g) \]
\ed
 
Z~Rieszova lemmatu je snadné ukázat, že k~danému omezenému operátoru existuje právě jeden sdružený operátor a platí 
\be (\hat B^\dagger )^\dagger =\hat B \ll{invol} \ee
Omezené operátory na $\Hil$ tvoří komplexní algebru a platí
\be
  (a\hat{B} +\hat{C})^\dagger =a^*\hat{B}^\dagger +\hat{C}^\dagger ,\ \ (\hat{B}\hat{C})^\dagger = \hat{C}^\dagger \hat{B}^\dagger . 
  \ll{algop}
\ee
 
\bc
  Nechť $M_{jk}$ jsou prvky matice odpovídající lineárnímu operátoru $\hat{M}$ na konečně rozměrném prostoru. Jaká matice odpovídá 
  operátoru $\hat{M}^\dagger$?
\ec
 
\bd
  Operátor $\hat{B}$ na $\Hil$ nazýváme \textbf{hermitovský}, pokud je omezený a platí $\hat{B}^\dagger =\hat{B}$.
\ed
 
\bp
  Operátor $\hat{Q}$ na prostoru $L^2(a,b)$, kde $b-a<\infty$, definovaný
  \[ (\hat{Q} f)(x):=xf(x) \]
  je hermitovský. (Pro nekonečný interval $\hat{Q}$ není omezený.)
\ep
 
\bt
  Operátor $\hat{E}$ je ortogonální projektor (na $\ran\hat{E}$) právě tehdy, když je hermitovský a splňuje 
  $\hat{E}^2 = \hat{E}$.
\et
 
Rozšíření hermitovských operátorů na množinu neomezených, ale hustě definovaných operátorů představují samosdružené operátory. Jejich 
definice vychází z~následujícího faktu:
 
\bt
  Je-li $\hat{T}$ hustě definovaný operátor na $\Hil$, pak pro každé $f\in\Hil$ existuje \emph{nejvýše} jedno $h\in\Hil$ takové, že 
  pro všechna $g\in\df\hat T$ platí
  \be (f,\hat{T}g)=(h,g) \ll{sad1} \ee
\et
Odtud plyne, že má smysl zavést následující pojmy:
\bd
  Nechť $\hat{T}$ je hustě definovaný operátor. Definiční obor operátoru $\hat{T}^\dagger $ \textbf{sdruženého k}~$\hat{T}$ je množina 
  všech $f\in\Hil$,  pro které existuje $h$ splňující \rf{sad1}, přičemž $\hat{T}^\dagger f:=h$
\ed
\bd
  Operátor $\hat{T}$ je \textbf{samosdružený}, pokud je hustě definovaný a $\hat{T} = \hat{T}^\dagger $.
\ed
 
Je důležité odlišovat samosdružené operátory od symetrických.
 
\bd
  Operátor $\hat{S}$ je \textbf{symetrický}, pokud je hustě definovaný a pro všechna $f,g\in \df\hat S$ platí $(f,\hat{S}g)=(\hat{S}f,g) $, 
  tj.~$\df\hat S \subset \df\hat{S^\dagger}$.
\ed
 
Je zřejmé, že každý samosdružený operátor je symetrický; opak neplatí.
\bp
  Operátor $\hat{Q}$ definovaný bodově $(\hat{Q}\psi)(x):=x\psi(x)$ s~definičním oborem $\df\hat Q:=\{\psi\in L^2(\R,\dx):\int_\R x^2|\psi(x)|^2dx<\infty\}$ 
  je samosdružený.
\ep
 
Doplníme-li definici \rf{poper} operátoru $\hat{P}_j$ vhodným vymezením definičního oboru, pak i operátory složek hybnosti jsou samosdružené 
(viz \cite{beh:lokf}, 7.2.7).
 
Hustě definované operátory netvoří algebru, neboť $\df\hat T\neq\Hil$. Vztahy \rf{algop} musí být proto pro neomezené operátory náležitě 
modifikovány, stejně jako i \rf{invol}.
 
Důležitý pojem, který jsme již zmínili, je spektrum operátoru, což je rozšíření pojmu vlastních hodnot matice.
%Tento pojem má smysl %lze přirozeně
%definovat pouze pro tzv.~uzavřené operátory.
%\bd \emph{Grafem operátoru} $\hat T$ nazveme množinu dvojic
%\[ \Gamma(T):=\{[x,\hat Tx]\in\Hil\times\Hil; x\in D_T\} \]
%Operátor $\hat T$ je \emph{uzavřený},
%pokud jeho graf je uzavřená množina v~$\Hil\times\Hil$.
%\ed
%Lze ukázat, že spektrum operátorů, které nejsou uzavřené tvoří
%celá komplexní rovina.
\bd
  \textbf{Spektrum $\sigma(\hat{T})$ %uzavřeného
  operátoru} Buď $\unit$ identický operátor. $\hat{T}$ je množina komplexních čísel $\lambda$, pro které operátor $(\hat{T}-\lambda\hat{\unit})$ není bijekcí $\df\hat T\mapsto\Hil$.
\ed
 
Všimněme si především, že do spektra operátoru spadají všechna vlastní čísla, neboť existuje-li nenulový vektor $\psi$ takový, že 
$\hat{T}\psi = \lambda \psi$, pak operátor $\hat{T}-\lambda\unit$ není injektivní. Množinu $\sigma_p(\hat{T})$ vlastních čísel
operátoru $\hat{T}$ nazýváme \emph{bodovým spektrem}. Mimo těchto bodů však do spektra patří i komplexní čísla, pro která operátor 
$\hat{T} - \lambda\unit$ není surjektivní. Ty tvoří body tzv.~\emph{spojité či reziduální části spektra}.
 
\textbf{Důvod, proč v~kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v~tom, že platí
\bt
  Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou $\R$.
\et
To odpovídá tomu, že můžeme naměřit jen reálné hodnoty pozorovatelných.
}
 
Spektrum (čistě spojité) každého z~operátorů \rf{xoper}, \rf{poper} je $\R$ (viz \cite{beh:lokf}), což odpovídá experimentálnímu faktu, že 
ani pro \qv ou částici
%je možno v~principu naměřit libovolnou hodnotu souřadnic polohy a
%hybnosti částice.
nebyla zjištěna žádná omezení na množinu hodnot souřadnic a hybností.
 
Na druhé straně jsou pro hodnoty energie harmonického oscilátoru podle Planckovy hypotézy omezení podstatná, a je proto velmi důležité zjistit, 
jak vypadá spektrum energie kvantové částice v~silovém poli harmonického oscilátoru.
 
 
 
 
\subsubsection{Energie harmonického oscilátoru}
\ll{qho}
 
Ukážeme, že přiřazení \rf{xoper}, \rf{poper} a princip korespondence vysvětlují Planckův předpoklad o~diskrétnosti spektra energie harmonického 
oscilátoru, což byl vedle výpočtu spektra vodíku (viz~\ref{podkap:coulomb}) jeden z~hlavních argumentů pro správnost takto budované teorie. 
Operátor energie --- hamiltonián \qv é částice pohybující se v~silovém poli harmonického oscilátoru je podle principu korespondence
\begin{equation} \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\lapl + \frac{M}{2}\omega^2 \vex^2. \ll{lho3} \end{equation}
Ukážeme, že omezíme-li definiční obor tohoto operátoru na kvadraticky integrovatelné funkce, pak množina vlastních hodnot, tj.~čísel $\lambda$ 
pro která existuje funkce $\psi(\vex)$ splňující
\begin{equation} \hat H\psi = \lambda\psi, \ll{vlfce} \end{equation}
je diskrétní a odpovídá Planckově hypotéze.
 
Operátor \rf{lho3} je součtem tří operátorů
\[ \hat H=\hat H_1+\hat H_2+\hat H_3, \]
\[ H_j=-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx_j^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x_j}^2 \]
a můžeme se pokusit hledat vlastní funkce operátoru \rf{lho3} ve faktorizovaném tvaru
\begin{equation} \psi(\vex)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\psi_3(x_3). \ll{fpsi} \end{equation}
Rovnice \rf{vlfce} pak přejde na tvar
\begin{equation}
  (\hat{H}_1 \psi_1) \psi_2 \psi_3 + \psi_1(\hat{H}_2\psi_2)\psi_3 +\psi_1\psi_2(\hat{H}_3\psi_3) = \lambda\psi_1\psi_2\psi_3.
  \ll{rozkladH}
\end{equation}
Nalezneme-li vlastní čísla $\lambda_j$ funkce (formálně stejných) operátorů $\hat H_j$
\[ \hat{H}_j\psi_j=\lambda_j\psi_j, \]
pak získáme i vlastní čísla operátoru \rf{lho3}
\begin{equation} \lambda = \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3. \end{equation}
Později ukážeme, že tímto postupem jsme získali všechna vlastní čísla.
 
Zkoumejme tedy napřed jednorozměrný případ, tedy operátor
\begin{equation} \fbox{\Large$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 $}\ . \ll{lho1} \end{equation}
Tento operátor lze považovat za operátor energie \emph{jednorozměrného harmonického oscilátoru} tj.~kvantové \cc e pohybující se pouze v~jednom 
rozměru (na přímce).
 
\begin{tvr}
  \ll{slho}
  Množina vlastních čísel operátoru \rf{lho1} působícího v~prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí jedné proměnné je tvořena reálnými čísly 
  \fbox {$\hbar \omega(n+\half)$}, kde $n\in {\Z_+}$. Pro každé $n$ existuje až na multiplikativní konstantu právě jedna vlastní funkce 
  \begin{equation} \fbox{$\psi_n(x)=A_ne^{-\frac{\xi^2}{2}}H_n(\xi), \ll{vlfcelho} $} \end{equation}
  kde $\displaystyle\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x$ a $H_n$ jsou \emph{Hermitovy polynomy}
  \begin{equation} H_n(z) := \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-)^k(2z)^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!}, \ll{herpoldef} \end{equation}
  kde $\lfloor r\rfloor$ je dolní celá část reálného čísla $r$.
 
  \begin{proof}
    %Bodové spektrum operátoru \rf{lho1} je tvořeno
    Napřed je třeba nalézt čísla $\lambda$, pro která existují kvadraticky integrabilní řešení $\psi: \R\to\C$ diferenciální 
    rovnice
    \begin{equation}
      -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2\psi}{\dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2\psi = \lambda\psi.
      \ll{eqlho1}
    \end{equation}
    Tato rovnice je lineární ODR 2.~řádu a v~oboru spojitě diferencovatelných funkcí má řešení pro každé $\lambda$. Ukážeme, že podmínka kvadratické 
    integrability je splněna jen pro
    \begin{equation}
      \lambda = \hbar \omega \left( n+\half \right).
      \ll{hokvan}
    \end{equation}
    Přechodem k~nové (bezrozměrné) proměnné $\displaystyle\xi :=\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x$, $\phi(\xi) := \psi(x)$ dostaneme rovnici ve tvaru
    \begin{equation}
      \phi'' - \xi^2 \phi + \Lambda \phi = 0
      \ll{hobezr}
    \end{equation}
    kde $\displaystyle\Lambda := \frac{2\lambda}{\hbar\omega}$.
 
    Z~teorie řešení lineárních diferenciálních rovnic plyne, že jediný bod, ve kterém mohou mít řešení rovnice \rf{hobezr} singularitu,
    je nekonečno. Snadno se lze přesvědčit, že pro $\xi\to\pm\infty$ se řešení této rovnice chová jako
    \begin{equation}
      \phi(\xi)=e^{\pm \xi^2/2}.
      \ll{rozphi}
    \end{equation}
    Je zřejmé, že kvadraticky integrabilní řešení může odpovídat pouze rychle ubývající funkci, tedy zápornému znaménku v~exponentě \rf{rozphi}. 
    Zvolíme tedy ansatz
    \begin{equation}
      \phi(\xi)=e^{-\xi^2/2}u(\xi)
      \ll{hoansatz}
    \end{equation}
    a budeme se zajímat o~řešení rovnice
    \begin{equation}
      u'' = 2\xi u' + (1-\Lambda)u
      \ll{hermrce}
    \end{equation}
    která v~nekonečnu rostou pomaleji než $e^{+\xi^2/2}$.
 
    Rozšíříme-li rovnici \rf{hermrce} do komplexní roviny, pak její pravá strana je holomorfní funkcí $\xi$, $u$ a $u'$ a její řešení je holomorfní 
    funkcí $\xi$ v~celé komplexní rovině. Můžeme je tedy hledat ve tvaru řady
    \begin{equation}
      u(\xi)=\xi^s\sum_{m=0}^\infty a_m\xi^m, \ a_0\neq 0,\ s\in\Z_+
      \ll{radau}
    \end{equation}
    Jejím dosazením do \rf{hermrce} a porovnáním členů se stejnou mocninou $\xi$, dostaneme podmínky pro $s$ a $a_n$
    \[
      s(s-1)=0, \ s(s+1)a_1=0
    \]
    \begin{equation}
      a_{m+2}=\frac{2(m+s)+1-\Lambda}{(m+s+2)(m+s+1)}a_m
      \ll{rran}
    \end{equation}
 
    Pokud čitatel na pravé straně \rf{rran} je nenulový pro všechna $m$, pak se řada \rf{radau} pro $\xi\rightarrow\infty$ chová jako $\exp(\xi^2)$ a řešení 
    \rc e \rf{hobezr} není kvadraticky integrovatelné. To lze usoudit např.~z porovnání rekurentní formule \rf{rran} pro dosti velká $m$ se stejným vztahem 
    pro koeficienty řady $\exp(\xi^2)$. Kvadraticky integrabilní řešení mohou existovat pouze tehdy, pokud řada \rf{radau} je konečná, tj.~existuje $N$ 
    takové, že $a_m=0$ pro $m>N$. To nastane tehdy  a jen tehdy, když
    \be a_1=0, \quad 2(N+s)+1-\Lambda=0 , \quad N \text{ sudé nezáporné}. \ll{kvantlam} \ee
    V~tom případě se nekonečná řada stane polynomem stupně $n=N+s$ a funkce \rf{hoansatz} je kvadraticky integrabilní.
 
    Z~podmínky \rf{kvantlam} plyne, že \rc e \rf{hermrce} má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy, pokud $ \Lambda=1+2n$, takže rovnice \rf{eqlho1} 
    má kvadraticky integrovatelné řešení tehdy a jen tehdy pokud platí \rf{hokvan}.
 
    Koeficienty $h^{(n)}_m$ polynomů stupně $n$
    \be H_n(\xi) = \sum_{m=s}^n h^{(n)}_m \xi^m \ll{herpol} \ee
    jež řeší rovnici \rf{hermrce} jsou pak určeny rekurentním vztahem
    \be h^{(n)}_{m+2}=2\frac{m-n}{(m+2)(m+1)} h^{(n)}_m, \ll{rrherpol} \ee
    přičemž pro sudá či lichá  $n$ (tj.~$s=0$ či $s=1$) jsou nenulové pouze koeficienty se sudým respektive lichým $m$.
 
    Zvolíme-li normalizaci polynomu způsobem $h^{(n)}_n=2^n$, pak řešením relace \rf{rrherpol} je
    \be h^{(n)}_{n-2k}=(-1)^k2^{n-2k}\frac{n!}{k!(n-2k)!},\ k=0,1,\ldots,\lfloor n/2\rfloor, \ll{hercoef}\ee
  \end{proof}
\end{tvr}
 
\bc
  Napište explicitní tvar Hermitových polynomů pro $n=1,2,3,4$.
\ec
 
\bc
  Ukažte, že Hermitovy polynomy lze definovat též způsobem
  \be H_n(z):=(-1)^ne^{z^2}\frac{\d^n}{\dz^n}e^{-z^2}. \ll{herpol2}\ee
  Návod: Ukažte že pravá strana \rf{herpol2} splňuje rovnici \rf{hermrce}.
\ec
 
\bc
  \ll{cvvytvfce}
  Ukažte, že
  \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{H_n(x)}{n!}\xi^n = \exp\{ x^2-(x-\xi)^2 \} \]
\ec
 
Důsledkem tvrzení \ref{slho} je, že energie kvantového jednorozměrného harmonického oscilátoru s~potenciálem 
$V(x)=\frac{M}{2}\omega^2x^2$ může nabývat pouze hodnot z~diskrétní množiny $\{\hbar \omega(n+\half)~|~n\in \Z_+\}$.
 
Tento závěr je ve shodě s~Planckovou hypotézou použitou pro odvození spektrální závislosti intenzity záření absolutně černého tělesa až na člen 
$\half\hbar\omega$, představující tzv.~\uv{nulové kmity}. Jeho příspěvek k~energii je možno považovat za aditivní konstantu, kterou (ve shodě 
s~tzv.~renormalizační procedurou kvantové teorie pole) je možno odečíst, což odpovídá stanovení nulové úrovně energie.
 
\bc
  Odhadněte amplitudu nulových kmitů matematického kyvadla délky $1 \, \mathrm{m}$ a hmotnosti $1 \, \mathrm{kg}$.
\ec
 
Nyní se můžeme vrátit k~původnímu problému vlastních hodnot operátoru \rf{lho3}. Z~rozkladu \rf{rozkladH} je zřejmé, že funkce 
\begin{equation} \psi(x_1,x_2,x_3) \equiv \psi_{n_1}(x_1)\psi_{n_2}(x_2)\psi_{n_3}(x_3), \ll{rozkladvlfci} \end{equation}
kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{vlfcelho}, jsou vlastními \fc emi \oper u \rf{lho3} s~vlastními čísly 
$\lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=(n_1+n_2+n_3 +\frac{3}{2})\hbar \omega$.
 
Je třeba ještě ukázat, že žádná další vlastní čísla neexistují. To plyne z~následujících dvou tvrzení (viz např.~\cite[4.3.4, 4.3.5]{beh:lokf}).
\bt
  \ll{tr38}
  Množina vlastních funkcí operátoru \rf{lho1}
  \begin{equation}
    \psi_n(x)=\frac{K}{\sqrt{n!2^n}}e^{-\frac{M\omega}{2\hbar}x^2}H_n\left( \sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}x\right) , \quad K=\left(\frac{M\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}
    \ll{nvlfcelho}
  \end{equation}
  je ortonormální bází v~Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí \qintline.
\et
 
\bt
  \ll{tr39}
  Množina funkcí \rf{rozkladvlfci}, kde $\psi_n(x)$ jsou dány vzorcem \rf{nvlfcelho} je ortonormální bází v~Hilbertově prostoru kvadraticky 
  integrovatelných funkcí \qintspace.
\et
Pro \fc e \rf{nvlfcelho} a \rf{rozkladvlfci} se často používá ketové značení $\psi_n\equiv \ket{n}$, 
$\psi_{n_1}\psi_{n_2}\psi_{n_3} \equiv \ket{n_1n_2n_3}$.
 
Z~tvrzení \ref{tr38} a \ref{tr39} rovněž plyne, že spektra hamiltoniánů \rf{lho1} a \rf{lho3} jsou čistě bodová (\cite[7.3.9]{beh:lokf}). 
Nejsou však stejná. Množina vlastních hodnot hamiltoniánu \rf{lho1} --- operátoru energie jednorozměrného harmonického oscilátoru --- se 
liší od spektra trojrozměrného oscilátoru. Obsahuje navíc hodnotu $ \half\omega\hbar$.
 
Není to však jediný rozdíl. Zatímco pro jednorozměrný oscilátor každé vlastní hodnotě odpovídá právě jedna vlastní funkce až na 
multiplikativní konstantu, pro třírozměrný oscilátor závisí dimenze podprostoru vlastních funkcí na hodnotě vlastního čísla. Například 
podprostor vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním číslem $\lambda=\frac{7}{2}\hbar\omega$ je tvořen lineárním obalem funkcí 
\rf{rozkladvlfci}, kde trojice $(n_1,n_2,n_3)$ nabývají hodnot $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,0)$, $(0,0,2)$, $(0,2,0)$, $(2,0,0)$. Rozměr tohoto 
podprostoru je šest. Jednoduchou kombinatorickou úvahou lze zjistit, že rozměr podprostoru vlastních funkcí operátoru \rf{lho3} s~vlastním 
číslem $\lambda=(n+\frac{3}{2})\hbar\omega$ je $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$.
 
Stav s~nejnižší energií se obvykle nazývá \emph{základním stavem}, zatímco ostatní stavy se nazývají \emph{excitované}.
\bc
  Jak vypadá základní stav klasického harmonického oscilátoru a jaký je rozdíl mezi množinou kvantových a klasických excitovaných stavů?
\ec
 
\bc
  Použitím vytvořující \fc e ze cvičení \ref{cvvytvfce} ukažte, že
  \[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}\dx=2^n n!\sqrt\pi\delta_{nm}. \]
  Ukažte, že odtud plyne ortonormalita \fc í \rf{nvlfcelho}.
\ec
 
 
 
 
\subsubsection{Složky momentu hybnosti kvantové částice}
\ll{Slmomhyb}
 
Další pozorovatelné jejichž spektrum lze snadno vyšetřit jsou složky momentu hybnosti. Podle principu korespondence jim odpovídají operátory 
\be \hat L_j = \epsilon_{jkl}\hat Q_k \hat P_l = -i\hbar\epsilon_{jkl}x_k \frac{\pd}{\pd x_l}. \ll{momhyb} \ee
Vyšetřování vlastních hodnot těchto operátorů se zjednoduší přechodem do sférických souřadnic $(r,\theta,\phi)$
\be x=r\sin \theta \cos\phi, \quad y=r\sin \theta \sin\phi, \quad z=r\cos \theta \ll{sfersource} \ee
\be \psi(x,y,z)=\Psi(r,\theta,\phi) \ll{fcevess} \ee
 
\bc Jak vypadají operátory $\hat Q_j,\ \hat P_j,\ j=1,2,3\equiv x,y,z$ ve sférických souřadnicích? \ec
 
Operátory $\hat L_j$ mají ve sférických souřadnicích tvar
\begin{eqnarray}
  \hat L_x &=& i\hbar \left( \cos\phi\cot\theta\frac{\pd}{\pd\phi}+\sin\phi\frac{\pd}{\pd\theta} \right), \ll{lx} \\
  \hat L_y &=& i\hbar \left( \sin\phi\cot\theta\frac{\pd}{\pd\phi}-\cos\phi\frac{\pd}{\pd\theta} \right), \ll{ly} \\
  \hat L_z &=& -i\hbar \frac{\pd}{\pd\phi}. \ll{lz}
\end{eqnarray}
Vzhledem k~tomu, že osy $x,y,z$ jsou zcela rovnocenné musí mít i všechny operátory $\hat L_j$ stejné vlastní hodnoty. Technicky nejjednodušší 
však je hledat spektrum operátoru $\hat L_z$, neboť to znamená řešit jednoduchou diferenciální rovnici
\be -ih \frac{\pd}{\pd\phi}\Psi(r,\theta,\phi) = \lambda\Psi(r,\theta,\phi). \ee
Její řešení je
\be
  \Psi(r,\theta,\phi)=\chi(r,\theta)e^{\frac{i}{\hbar}\lambda\phi},
\ee
kde $\chi$ je libovolná funkce a $\lambda$ je libovolné komplexní číslo. Definiční obor operátoru $\hat L_z$ je tvořen spojitými funkcemi 
v~$\R^3$ (jinak bychom je nemohli derivovat) a $\phi$ je azimutální souřadnice bodu třírozměrného prostoru. Musí tedy platit
\[ \Psi(r,\theta,\phi=0) = \Psi(r,\theta,\phi=2\pi). \]
Z~této podmínky plyne, \emph{že vlastní hodnoty složek momentu hybnosti mohou nabývat pouze hodnot}
\be \lambda =  m\hbar, \qquad \mathrm{kde} \ m\in\Z. \ee
 
\bc 
  \uv{Kvantové tuhé těleso} (např.~dvouatomová molekula) s~momemtem setrvačnosti $I_z$ volně rotuje v~rovině. Najděte její možné hodnoty energie.
\ec
 
 
 
 
\subsection{Stav kvantového systému}
V~analogii s~klasickou mechanikou by přirozeným postupem při kinematickém popisu \qv é částice, např.~elektronu, bylo zjistit, jakou 
komplexní funkcí popsat stav s~danou polohou a hybností. Ač se to na první pohled bude zdát podivné, nepochopitelné ba protiřečící zdravému 
rozumu (ve skutečnosti však pouze naší makroskopické zkušenosti), takový kvantově mechanický stav neexistuje. Důvod je zhruba řečeno ten, že 
měření hybnosti změní podstatně polohu \qv é částice a měření polohy její hybnost (což odpovídá např.~experimentálně potvrzené difrakci 
elektronů).
 
Problém kinematického popisu \qv ých systémů tedy spočívá mimo jiné v~odpovědi na otázku: {Jakými měřeními lze popsat stav \qv é \cc e?} 
Stavem fyzikálního systému pak obecně budeme nazývat soubor hodnot všech měření, která jsme na daném systému v~daném okamžiku schopni provést 
a otázka, kterou chceme zodpovědět v~této podkapitole zní: \textbf{Jakou vlnovou \fc i přiřadit fyzikálnímu systému} (např.~elektronu v~atomu 
vodíku), \textbf{který je v~daném okamžiku v~nějakém stavu?}
 
V~příkladu kvantového lineárního harmonického oscilátoru studovaného v~odstavci \ref{qho} se jeví celkem přirozené přiřadit kvantovému 
oscilátoru s~energií $(n+\half)\hbar\omega$ (vlastní) funkci $\psi_n(x)$. To je v~souladu s~následujícím postulátem \qv é \mi ky:
 
\textbf{Stav \qv é částice, pro kterou naměříme hodnotu $\alpha$ pozorovatelné $A$, je popsán funkcí $g_\alpha$, která je vlastní funkcí 
operátoru $\hat A$, přiřazeného pozorovatelné $A$}
\be \hat A g_\alpha = \alpha g_\alpha. \ll{vlfcea} \ee
 
\bc
  Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru s~energií $\hbar\omega(n+\half)$ v~bodě $x$? Spočítejte a 
  nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,\ldots$ a srovnejte je s~hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v~daném místě.
\ec
 
V~případě jednorozměrného harmonického oscilátoru jsou vlnové funkce určeny jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu, 
která nemá při jejich interpretaci žádný význam). To znamená, že stavy \qv ého lineárního harmonického oscilátoru jsou jednoznačně určeny svou 
energií.
 
\bc
  Je stav klasické částice na přímce určen energií jednoznačně?
\ec
 
Pro určení stavu \qv é \cc e ve více rozměrech však potřebujeme měřit více fyzikálních veličin. Při jejich výběru je však třeba být opatrnější 
než u~částice klasické. Je představitelné, že i minimální interakce mikroobjektu s~přístroji nutná pro měření, může změnit jeho stav, který byl 
vyhodnocen z~měření předchozích. Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v~jakém měření jednotlivých veličin provedeme, což je z~hlediska 
popisu stavu nepřípustné.
 
Pro \emph{experimentální popis} stavu \qv ého systému je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze provést, aniž by výsledek jednoho 
znehodnotil platnost měření ostatních. Fyzikální veličiny --- pozorovatelné, pro které je toto splněno, nazýváme \emph{kompatibilní}. Jejich 
výsledky provedené v~jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů) lze pak použít k~definici stavu.
 
{\small V~klasické mechanice pojem kompatibility měření prakticky neexistuje, předpokládáme, že je vždy možno provést měření veličin nutných 
k~určení stavu, aniž bychom jej narušili. Pro objekty na atomární úrovni a menší tomu tak být nemusí.}
 
Při důkladnějším rozboru pojmu kompatibility pomocí podmíněných \pst í (viz \cite{beh:lokf}) lze ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných 
je ekvivalentní tomu, že \textbf{operátory $\hat A_j$ přiřazené kompatibilním fyzikálním veličinám $(A_1\ldots,A_K)$ vzájemně komutují}
\be [\hat A_j,\hat A_k] = 0. \ll{komop} \ee
Pro operátory s~čistě bodovými spektry plyne z~této podmínky existence ortonormální báze, jejíž prvky jsou vlastní vektory operátorů 
$(\hat A_1\ldots,\hat  A_K)$.
 
Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých pozorovatelných. Například, pokud hybnostem a polohám částice přiřadíme \oper y 
\rf{xoper} a \rf{poper}, pak docházíme k~závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v~jednom směru jsou 
nekompatibilní, neboť
\be {\fbox{\Large $ [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}. $}} \ll{xpcom} \ee
To je mimo jiné důvod, proč v~\qv é mechanice neexistuje obdoba klasického stavu částice --- stav s~danou polohou a hybností. Z~relací neurčitosti 
se dozvíme, že každý \qv ý stav zaujímá \uv{fázový objem} alespoň $(2\pi\hbar)^3$.
 
\bc
  Jsou kompatibilní složky polohy v~různých směrech?
\ec
 
\bc
  Jsou kompatibilní složky momentu hybnosti v~různých směrech?
\ec
 
Pro výsledek měření pozorovatelné $A_1$, tedy jednu vlastní hodnotu operátoru, může existovat více lineárně nezávislých funkcí. Příkladem jsou 
třeba \fc e \rf{rozkladvlfci}, které jsou vlastními funkcemi hamiltoniánu \rf{lho3} pro tutéž hodnotu energie $(n+\frac{3}{2})\hbar\omega, \ 
n = n_1 + n_2 + n_3$, ale pro různé hodnoty energie jsou lineárně nezávislé. V~takových případech se dá očekávat, že existují jiné měřitelné 
veličiny $(A_2,\ldots,A_K)$, výsledky jejichž měření mohou rozlišit, kterou funkci (opět až na konstantu) máme přiřadit danému stavu. 
Pozorovatelné $(A_2,\ldots,A_K)$ musí být kompatibilní s~pozorovatelnou $A_1$, jejíž měření už jsme použili k~částečnému určení (k~zúžení 
prostoru kandidátů na) vlnové funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou.
 
Přiřazení vlnové funkce $g$ fyzikálnímu stavu, tj.~souboru výsledků měření kompatibilních fyzikálních veličin se řídí požadavkem:
\textbf{Vlnová funkce, která popisuje stav určený hodnotami $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ měření \emph{kompatibilních} fyzikálních veličin
$(A_1,\ldots,A_K)$, musí vyhovovat rovnicím 
\be \hat A_i g = \alpha_i  g, \quad i=1,\ldots,K. \ll{spvv} \ee
Znamená to tedy, že musí být \emph{společnou} vlastní funkcí \emph{komutujících} operátorů $\hat A_i$.}
 
Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme \emph{úplná množina pozorovatelných} 
a jim odpovídající množina operátorů se nazývá \emph{úplný soubor komutujících operátorů}.
 
\bt
  Operátory $(\hat A_1,\ldots,\hat A_K)$ s~čistě bodovými spektry (tj.~takovými, jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bázi) tvoří úplný 
  soubor komutujících operátorů tehdy a jen tehdy, pokud pro každou $K$-tici jejich vlastních čísel $(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ je rozměr 
  podprostoru společných vlastních stavů roven jedné.
 
  \begin{proof}
    Důkaz je proveden v~\cite{beh:lokf}, Věta 14.2.2.
  \end{proof}
\et
 
Poznamenejme, že úplná množina pozorovatelných pro daný fyzikální systém (například jednu \cc i) a jí odpovídající úplný soubor komutujících 
operátorů nejsou určeny jednoznačně a jejich výběr se řídí typem fyzikálního jevu, který chceme popsat. Důležitý je pak způsob přechodu od 
jedné množiny ke druhé a odpovídající reinterpretace výsledků.
 
Pro experimentální účely jsou velmi důležité úplné množiny pozorovatelných obsahujících energii, neboť pro většinu mikrosystémů je to 
relativně snadno měřitelná veličina.
 
Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných pro popis stavu kvantové \cc e v~poli centrálních sil je energie, kvadrát 
momentu hybnosti a jedna jeho složka.
 
 
 
 
\subsection{Kvantová částice v~centrálně symetrickém potenciálu}
\ll{ssec:csympot}
 
Mnohé důležité fyzikální systémy je možno popsat pomocí centrálních sil, přesněji potenciálu vykazujícím sférickou symetrii. Příkladem je 
částice v~Coulombově poli, či harmonický oscilátor ve třech rozměrech.
 
Operátor energie pro kvantovou částici v~centrálně symetrickém potenciálu má obecný tvar
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M} \lapl + \hat V(r), \ll{sspot} \ee
kde
\be [ \hat V(r) \psi ](x,y,z) := V(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\psi(x,y,z). \ll{roper} \ee
 
Ukážeme, že pokud hamiltonián \rf{sspot} má čistě bodové spektrum, pak stavy \cc e v~centrálním poli je možno jednoznačně určit hodnotami 
její energie, kvadrátu momentu hybnosti a jednou jeho složkou. Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných.
 
\bc
  Spočítejte komutátory
  \be [\hat L_j,\hat X_k],\ [\hat L_j,\hat P_k],\ [\hat L_j,\hat L_k],\ \ll{loper1} \ee
  kde
  \be \hat L_j := \epsilon_{jkl} \hat Q_k \hat P_l. \ll{loper} \ee
\ec
 
\bc
  Ukažte, že vzájemně komutují operátory \rf{sspot}, $\hat L_3\equiv \hat L_z$ a
  \be \hat L^2 := \hat L_x^2 + \hat L_y^2 + \hat L_z^2. \ll{lkvad} \ee
\ec
 
Pro kvantově mechanický popis je důležité zjistit, jakých hodnot mohou nabývat výše uvedené veličiny.
 
Pro výpočet vlastních hodnot je vhodné přejít do sférických souřadnic. Operátory $\hat L_z,\ \hat L^2$ a $\hat H$ pak mají tvar
\be \hat L_z = -i \hbar \frac{\pd}{\pd\phi} \ll{lzsfer} \ee
\be 
  \hat L^2 
    = - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\phi^2}
      + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right) \right]
  \ll{lkvadsfer}
\ee
\be
  \hat H 
    = - \frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2} + \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right)
      + \frac{1}{r^2} \left(\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2}{\pd\phi^2} 
      + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd}{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd}{\pd\theta} \right)\right)\right] 
      + \hat V(r)
  \ll{hsfer}
\ee
 
\bc
  S~použitím vzorců \rf{lx}-\rf{lz} ukažte, že operátor $\hat L^2$ má ve sférických souřadnicích tvar \rf{lkvadsfer}.
\ec
\bc Dokažte formuli \rf{hsfer}. \ec
 
 
 
 
\subsubsection{Moment hybnosti, kulové funkce}
\ll{ssmomhyb}
 
Ukážeme, že existují \fc e, které jsou řešením rovnice pro vlastní hodnoty 
\be \hat L^2\psi = \lambda\psi \ll{vlfcel2} \ee
a zároveň vlastními funkcemi operátoru $\hat L_z$. Z~vyjádření operátoru $\hat L^2$ ve tvaru \rf{lkvadsfer} plyne, že řešením \rc e 
\rf{vlfcel2} budou kvadraticky integrovatelné funkce $\Psi(r,\theta,\phi)$, které splňují parciální diferenciální rovnici 
\be 
  \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\pd^2\Psi}{\pd\phi^2}
    + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\pd }{\pd\theta} \left(\sin\theta\frac{\pd\Psi}{\pd\theta}\right)
    +  \frac{\lambda}{\hbar^2}\Psi
  = 0.
  \ll{pdrl2}
\ee 
Vzhledem k~tomu, že hledáme řešení \rf{vlfcel2}, která jsou zároveň vlastními funkcemi \oper u $\hat L_z $ a ty jsme v~podkapitole 
\ref{Slmomhyb} našli ve tvaru 
\be \Psi(r,\theta,\phi) = \chi(r,\theta)e^{  i m\phi}, \ m\in\Z, \ll{vlfcelz} \ee
budeme hledat řešení rovnice \rf{vlfcel2} rovněž v~tomto faktorizovaném tvaru.
 
Rovnice \rf{pdrl2} přejde faktorizací \rf{vlfcelz} na obyčejnou diferenciální rovnici 
\be \frac{\d}{\dt}\left[ (1-t^2)\frac{\d F}{\dt} \right] + \left( \frac{\lambda}{\hbar^2}-\frac{m^2}{1-t^2} \right) F = 0, \ll{odrl2} \ee 
kde $t=\cos\theta,\ F(r,t)=\chi(r,\theta)$ a proměnná $r$ v~této rovnici vystupuje pouze jako (např.~předem zvolený) parametr. To je 
důsledkem toho, že oprátor $\hat L^2$ ve sférických souřadnicích nezávisí na $r$. Podmínka integrability \rf{konecnanorma}  pro $F$ 
v~tomto případě zní
\[
  \int_{\R^3}|\psi(x,y,z)|^2\dx\dy\dz 
    = \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle \times \langle 0,2\pi \rangle}\abs{\Psi(r,\theta,\phi)}^2\dvol
\]
\be
  = 2 \pi \int_{\langle 0,\infty \rangle \times \langle 0,\pi \rangle } |\chi(r,\theta)|^2 \dvol
  = 2 \pi \int_0^\infty \int_{-1}^1 |F(r,t)|^2 r^2\dr\dt < \infty.
  \ll{kvadintss}
\ee
Definiční obor operátoru $\hat L^2$ však tvoří pouze funkce konečné na jednotkové kouli, takže $F$ pro dané $r$ musí být rovněž konečná 
na $\langle -1,1 \rangle$.
 
Řešení rovnice \rf{odrl2} je poměrně pracné (viz např.~\cite{for:ukt}, str.~70--72). Dá se vyjádřit způsobem
\be F(r,t)=(t^2-1)^{|m|/2}U(r,\frac{t+1}{2}), \ee
kde $U$ je \fc e na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ splňující Gaussovu diferenciální \rc i
\be x(x-1)\frac{\d^2U}{\dx^2}(r,x) + (a+bx)\frac{\d U}{\dx}(r,x) + cU(r,x) = 0, \ll{gauss} \ee
kde
\[ x = (t+1)/2, \ a = -1-|m|, \ b = 2(1+|m|), \ c = |m|+m^2-\frac{\lambda}{\hbar^2}. \]
Obecné řešení Gaussovy rovnice lze zapsat jako lineární kombinaci
\be U(r,x) = R_1(r)U_1(x) + R_2(r)U_2(x), \ee
kde $U_1, U_2$ jsou dvě lineárně nezávislá řešení, jež lze vyjádřit pomocí tzv.~hypergeometrických funkcí. Pro obecné $\lambda$ a $m$ však 
tato řešení nejsou konečná v~okolí koncových bodů intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Podmínku konečnosti funkce $F$ lze splnit pouze když $U$ 
je polynom v~$x$. Podobným postupem jako pro harmonický oscilátor pak dostaneme podmínky
\be \lambda = l(l+1)\hbar^2, \ l\in\Z_+, \qquad m\in\Z,\ |m| \leq l. \ee
Řešení rovnice \rf{odrl2} v~tomto případě má tvar
\be F(r,t) = R(r)P_l^m(t), \ll{fakf} \ee
kde $P_l^m$ jsou přidružené Legendrovy funkce definované způsobem
\be P_l^m(t) := \frac{(1-t^2)^{m/2}}{2^l l!}\frac{\d^{l+m}}{\dt^{l+m}}(t^2-1)^l. \ll{plmt} \ee
 
\bc
  Ukažte, že funkce $f_{lm}(\theta) := P_l^m(\cos\theta)$ jsou polynomy v~$\sin\theta$ a $\cos\theta$.
\ec
 
Funkce
\be \fbox{$Y_{lm}(\theta,\phi) := C_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi} $}\ , \ll{ylm} \ee
které jsou řešením \rf{pdrl2} a tedy společnými vlastními \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními čísly
$\lambda = l(l+1)\hbar^2,\ \mu = m\hbar$ se nazývají \emph{kulové funkce}. \textbf{Množina  všech kulových funkcí
\[ \{ Y_{lm}: l\in\Z_+, \ m\in\Z, \ |m| \leq l \},\]
kde
\be |C_{lm}|^2 = \frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}, \ll{normconsY} \ee
tvoří ortonormální bázi v~prostoru funkcí kvadraticky integrovatelných na jednotkové kouli}, přesněji v~$L_2( \langle 0,\pi \rangle \times 
\langle 0,2\pi \rangle, \sin\theta d\theta d\phi)$. Odtud plyne, že \emph{množina
\be \{l(l+1)\hbar^2: l\in\Z_+\} \ll{spektrl2} \ee
je spektrem operátoru} $\hat L^2$ a spektrum je čistě bodové.
 
Čísla $l$ a $m$ se obvykle nazývají \emph{orbitální} respektive \emph{magnetické kvantové číslo} stavu. Neboť hodnota energie stavu často 
závisí na hodnotě orbitálního kvantového čísla, mají stavy s~daným $l$ ustálené spektroskopické značení $s,p,d,f,g,h,$ $i,k,l,\ldots$ pro 
$l=0,1,2,\ldots$
 
Z~kulových funkcí je možno pro částici s~daným momentem hybnosti, charakterizovaným čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost 
nalezení částice v~daném prostorovém úhlu} $\Omega$
\be \d w = w(\theta,\phi) \d\Omega = |Y_{lm}(\theta,\phi)|^2 \d\Omega. \ee
 
\bc
  Odvoďte pravděpodobnosti nalezení částice v~daném prostorovém úhlu pro stavy $s, p, d$.
\ec
 
 
 
 
\subsubsection{Radiální část vlnové funkce}
Ze vzorců \rf{vlfcelz}, \rf{fakf}, \rf{ylm} plyne, že vlnová funkce, která je současně vlastní funkcí $\hat L_z$ a $\hat L^2$ má tvar
\be \Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi) \ll{fakpsi} \ee
Tato faktorizace vlnové funkce je užitečná zejména pro výpočet energetického spektra částice v~poli centrálních sil, neboť hamiltonián 
\rf{sspot} má ve sférických souřadnicích tvar \rf{hsfer} a díky \rf{lkvadsfer} jej lze vyjádřit způsobem
\be 
  \hat H 
    = -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ \left(\frac{\pd^2}{\pd r^2} 
      + \frac{2}{r}\frac{\pd}{\pd r} \right) 
      - \frac{1}{\hbar^2r^2}\hat L^2\right] 
      + \hat V(r).
  \ll{hsfer2}
\ee
Použijeme-li faktorizaci vlnové funkce \rf{fakpsi}, pak pro výpočet vlastních čísel $E$ a vlastních funkcí hamiltoniánu, které jsou zároveň 
vlastními funkcemi operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \left[ R''(r)+\frac{2}{r}R'(r) \right] + V_{\rm{eff}}(r)R(r)- E R(r)=0, \ll{hsfervfce} \ee
kde
\be V_{\rm{eff}}(r) = V(r)+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}. \ll{veff} \ee
Substitucí $R(r)=\chi(r)/r$  se tato rovnice zjednoduší na
\be -\frac{\hbar^2}{2M} \chi''(r) + V_{eff}(r)\chi(r)- E\chi(r)=0, \ll{rcekhi} \ee
což je rovnice formálně shodná s~rovnicí pro kvantovou \cc i na polopřímce v~poli potenciálu $V_{eff}$. Podmínka integrability funkce $\Psi$ 
přejde na podmínku
\be \int_{\R_+} |\chi(r)|^2 \dr < \infty. \ee
Vedle této podmínky však naložíme na funkce $\chi$ ještě dodatečnou okrajovou podmínku
\be \chi(0)=0, \ll{nulchi} \ee
která plyne např.~z~požadavku konečnosti a jednoznačnosti \fc e $\psi(\vex)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ v~bodě $0$. Tato podmínka rovněž
zaručuje samosdruženost operátoru \rf{hsfer} (viz \cite{beh:lokf}, Věta 8.6.7).
 
Uvědomme si, že v~kartézských souřadnicích by problém nalezení spektra operátorů $\hat H,\ \hat L^2,\ \hat L_z$ byl krajně obtížný. 
Vhodným výběrem souřadnic se nám podařilo převést řešení parciálních diferenciálních rovnic na řešení ODR. Tomuto postupu se říká separace 
proměnných a je možný, pokud původní problém má nějakou symetrii, v~tomto případě sférickou.
 
Úplná specifikace rovnice \rf{rcekhi} je možná až tehdy, zadáme-li konkrétní tvar potenciálu $V(r)$.
 
 
 
\subsubsection{Matematická vsuvka 3: Degenerovaná hypergeometrická funkce}
 
Pro hledání vlastních hodnot operátoru energie budeme potřebovat řešení diferenciální rovnice
\be xy''(x)+(ax+b)y'(x)+cy(x)=0,\ a\neq 0. \ll{dghgr1} \ee
Transformací $y(x)=w(-ax)$ lze tuto rovnici převést na tvar
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghgr2}\ee
kde $\alpha=c/a, \ \gamma=b$.
 
Z~teorie diferenciálních rovnic v~komplexním oboru (shrnutí viz \cite{for:ukt}, dodatek D) plyne, že řešení \rf{dghgr2} lze v~okolí nuly 
zapsat jako řadu
\be w(z)=z^s\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\ a_0\neq 0. \ll{resrada} \ee
Dosazením \rf{resrada} do \rf{dghgr2} a porovnáním koeficientů u~mocnin $z$ dostaneme
\be s(s-1+\gamma)a_0=0 \ll{sgam} \ee
\be (n+s+1)(n+s+\gamma)a_{n+1}=(n+s+\alpha)a_n,\ n\geq 0. \ll{anp1} \ee
Dá se ukázat, že řady s~takto určenými koeficienty konvergují pro všechna $z$ a definují tzv.~\emph{degenerované hypergeometrické \fc e}.
 
Pro $s=0$ a $\gamma \neq -n \in \Z_-$ má řada \rf{resrada} tvar $a_0 F(\alpha,\gamma,z)$, kde
\be F(\alpha,\gamma,z) = 1 + \frac{\alpha}{1!\gamma}z + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!\gamma(\gamma+1)}z^2 + \ldots \ . \ll{dghyfce} \ee
Pro $s=1-\gamma,\ \gamma-2\neq n\in \Z_+$
\be w(z)=z^{1-\gamma}F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z). \ee
Pro necelá $\gamma$ je obecným řešením rovnice \rf{dghgr2}
\be w(z) = A_1 F(\alpha,\gamma,z) + A_2 z^{1-\gamma} F(\alpha+1-\gamma,2-\gamma,z), \ll{obres2} \ee
takže obecným řešením rovnice \rf{dghgr1} pro necelá $b$ je
\be y(x) = C_1 F\left( \frac{c}{a},b,-ax\right) + C_2 x^{1-b} F\left( \frac{c}{a}+1-b,2-b,-ax\right) . \ll{obres1} \ee
 
Vzhledem k~tomu, že $\frac{a_n}{a_{n-1}}\to \frac 1 n$, chovají se degenerované hypergeometrické \fc e pro $z\to \infty$ jako $e^z$, přesněji (viz 
\cite{baterd})
\be
  \ll{rtoplusinf}
  F(\alpha,\gamma,z \rightarrow +\infty) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)} \, e^z z^{\alpha-\gamma} [1+O(|z|^{-1})].
\ee
Pro $z\to -\infty\ $
\be
  \ll{rtominusinf}
  F(\alpha,\gamma, z \rightarrow -\infty) =  \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)} (-z)^{-\alpha} [1+O(|z|^{-1})].
\ee
 
 
 
 
\subsubsection{Isotropní harmonický oscilátor}
V~kapitole \ref{qho} jsme řešili problém spektra energie třírozměrného harmonického oscilátoru a zjistili jsme, že podprostory vlastních 
stavů  energie jsou vícerozměrné, což znamená, že (na rozdíl od jednorozměrného harmonického oscilátoru) jeho stavy nejsou určeny energií 
jednoznačně. Díky sférické symetrii potenciálu harmonického oscilátoru 
\be V(r)=\half M\omega^2 r^2 \ll{potho3} \ee 
lze jeho stavy jednoznačně popsat úplnou množinou pozorovatelných tvořenou energií, kvadrátem momentu hybnosti a jeho průmětem do libovolného 
směru (směr osy $z$ není ničím určen).
 
Zavedeme-li v~rovnici \rf{rcekhi} stejně jako u~lineárního harmonického oscilátoru bezrozměrnou proměnou $\xi=\frac r a$, kde 
$a=\sqrt{\frac{\hbar}{M\omega}}$, dostaneme pro $\Phi(\xi)=\chi(r)$ diferenciální rovnici
\be \Phi''(\xi) - \left( \xi^2 + \frac{l(l+1)}{\xi^2} \right) \Phi(\xi) + \frac{2E}{\hbar\omega} \Phi(\xi) = 0. \ll{rcepsi} \ee
Řešení této rovnice se v~nekonečnu chová stejně jako řešení pro lineární harmonický oscilátor $\Phi(\xi)=e^{\pm\xi^2/2} 
[\konst+O(\frac{1}{\xi})]$, zatímco v~nule je $\Phi(\xi)=\xi^{l+1}[\konst+O({\xi})]$ nebo $\Phi(\xi)=\xi^{-l}[\konst+O({\xi})]$.  Zvolíme 
ansatz
\be \Phi(\xi)=\xi^{l+1}e^{-\xi^2/2}w(\xi^2), \ll{ansatzphi} \ee
a dostaneme rovnici pro $w(z),\ z=\xi^2$ ve tvaru \rf{dghgr2}
\be zw''(z)+(\gamma-z)w'(z)-\alpha w(z)=0, \ll{dghyrce} \ee
kde $\alpha=l/2+3/4-\frac{E}{2\hbar\omega}$, $\gamma=l+3/2$. Zajímají nás kvadraticky integrabilní řešení této rovnice splňující podmínku 
\rf{nulchi}. Obecné řešení rovnice \rf{dghyrce} pro necelá $\gamma$ má tvar \rf{obres2}, takže řešení, které vyhovuje podmínce 
\rf{nulchi} je dáno degenerovanou hypergeometrickou \fc í $F(\alpha,\gamma,z)$. V~nekonečnu se tato funkce chová jako $e^z$ a $\Phi(\xi)$ není 
\qint{} s~výjimkou případů, kdy $\alpha=-n\in \Z_-$. V~těchto případech přejde degenerovaná hypergeometrická \fc e na tzv.~\emph{zobecněné 
Laguerrovy polynomy}
\be L_n^{\gamma -1}(z) = \left( \begin{array}{c}{n+\gamma-1}\\{n}\end{array} \right) F(-n,\gamma,z), \ee
definované též způsobem
\be L_n^{\beta}(z) := \frac{1}{n!}e^z z^{-\beta}\frac{\d^n}{\dz^n}(e^{-z} z^{n+\beta}). \ll{laguer} \ee
 
Zjistili jsme tedy, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie harmonického oscilátoru jsou $\left(2n+l+\frac 3 2\right)\hbar\omega$ a vlastní funkce, které 
jsou navíc vlastními \fc emi \oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2$ a $\ m\hbar$, kde $n,l\in \Z_+,\ 
m\in\{-l,\ldots,l\}$ mají tvar}
\be
  \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{nlm} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi}, 
  \ll{resiho}
\ee
kde $C_{nlm}$ je (normalizační) konstanta, $\xi=r\sqrt{\frac{M\omega}{\hbar}}$, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou 
přidružené Legendrovy \fc e. Obvykle se tyto funkce zapisují jako
\be
  \Psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = K_{nl} \xi^{l} e^{-\xi^2/2} L_n^{l+1/2}(\xi^2) Y_{lm}(\theta,\phi), 
  \ll{resiho2}
\ee
a zvolíme-li
\be 
  |K_{nl}| = \frac{2}{\pi^{1/4}} \left( {\frac{M\omega}{\hbar}} \right)^{3/4} \left( \frac{2^{n+l}n!}{(2n+2l+1)!!} \right)^{1/2}
\ee
a $Y_{lm}$ jsou normalizovány k~jedné (viz \rf{normconsY}), pak tyto funkce jsou rovněž normalizovány k~jedné.
 
\bc 
  Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $3/2\hbar\omega$, $5/2\hbar\omega$ a $7/2\hbar\omega$, které jsou zároveň vlastními 
  \fc emi operátorů $\hat L^2,\ \hat L_z$.
\ec
 
Kvantové číslo $n$ se obvykle nazývá \emph{radiální kvantové číslo} (udává příspěvek k~energii od radiálního pohybu částice) a číslo 
$N:=2n+l$ se nazývá \emph{hlavní kvantové číslo}.
 
Z~faktu, že k~danému $l$ existuje $(2l+1)$ různých stavů, jednouchou kombinatorickou úvahou odvodíme, že \emph{degenerace hladiny energie} 
harmonického oscilátoru $(N+3/2)\hbar\omega$, to jest počet stavů se stejnou energií, je $\half(N+1)(N+2)$. Tento výsledek jsme již dostali 
v~paragrafu \ref{qho}, kde $N=n_1+n_2+n_3$.
 
 
 
 
\subsubsection{Coulombův potenciál}
\ll{podkap:coulomb}
 
Další velmi důležitý problém je spektrum energie pro potenciál
\be V(r)=-\frac{Q}{r},\ \ \ Q>0, \ll{coul} \ee
neboť jej lze použít k~popisu hladin energií elektronu v~obalu atomu vodíku. Uvážíme-li totiž, že proton je víc než 1800-krát těžší než elektron, 
je přirozené očekávat, že vnitřní energie (to jest odhlédneme-li od pohybu atomu jako celku) celého systému se bude jen málo lišit od energie 
elektronu v~elektrostatickém poli \rf{coul}, kde $Q=q_e^2/(4\pi\epsilon)$, kde $q_e$ je náboj elektronu a $\epsilon$ je permitivita vakua. 
Dosadíme-li \rf{coul} do \rf{veff}, pak \rc e \rf{rcekhi} přejde na tvar
\be 
  -\frac{\hbar^2}{2M}\chi''(r) + \left[-\frac{Q}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{l(l+1)}{r^2}\right] \chi(r)= E\chi(r).
  \ll{rcekhicp}
\ee
Substitucí
\be \chi(r)=r^{l+1}w(r)e^{\kappa r}, \ll{chiw} \ee
kde
\be \kappa^2=-\frac{2ME}{\hbar^2} \ll{kap} \ee
převedeme tuto rovnici na tvar
\be rw''(r) + 2(l+1+\kappa r)w'(r)+ 2 \left[ (l+1)\kappa + \frac{MQ}{\hbar^2} \right] w(r) = 0, \ee
což je opět rovnice pro degenerované hypergeometrické funkce \rf{dghgr1}. Řešení splňující podmínku \rf{nulchi} je podle \rf{obres1}
\be w(r)=C_1\,F\left(l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa},2l+2,-2\kappa r\right). \ll{dghgcoul} \ee
Podmínka kvadratické integrability pak zní
\be \kappa<0,\ l+1+\frac{MQ}{\hbar^2\kappa} = -n\in \Z_- ,\ll{pintcoul} \ee
odkud díky \rf{kap} plyne, že \textbf{vlastní hodnoty operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli \rf{coul} jsou}
\be 
  \fbox{$E = E_{n,l} = -\frac{MQ^2}{2\hbar^2(n+l+1)^2} = -\frac{R}{N^2}, \ N,n,l \in \Z_+$}\ .
  \ll{ecoul}
\ee
Číslo $n$ se opět nazývá radiální kvantové číslo. Hlavní kvantové číslo určující hodnotu energie je $N:=n+l+1$. Konstanta 
$R=\frac{MQ^2}{2\hbar^2}$ se nazývá \emph{Rydbergova energie} a hraje velkou roli v~optické a rentgenovské spektroskopii. Její hodnota pro 
atom vodíku, kde $Q=\frac{e^2}{4\pi\epsilon}$ a $M$ je hmota elektronu, je $R=2,184 \times 10^{-18} \mathrm{J} = 13,6 \ \mathrm{eV}$. 
Degenerovaná hypergeometrická funkce \rf{dghgcoul} pro \rf{pintcoul} opět přejde na Laguerrův polynom, takže \textbf{vlastní \fc e 
operátoru energie kvantové částice v~coulombickém poli, odpovídající vlastní hodnotě $-\frac{R}{N^2}$, která je navíc vlastní \fc í 
\oper ů $\hat L^2,\ \hat L_z$ s~vlastními hodnotami $l(l+1)\hbar^2,\ m\hbar$
\be l\in \{0,\ldots, N-1\},\ m\in\{-l,\ldots,l\} \ll{setlm}\ee
 má tvar}
\be
  \Psi_{N,l,m}(r,\theta,\phi) = C_{Nlm} r^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1} \left(\frac{2r}{Na}\right) P_{l}^{m}(\cos\theta) e^{im\phi},
  \ll{nlmcoul}
\ee
kde $a=\frac{\hbar^2}{|Q|M}$, $C_{Nlm}$ je (normalizační) konstanta, $L_n^{\alpha}$ jsou zobecněné Laguerrovy polynomy a $P_{l}^{m}$ jsou 
přidružené Legendrovy \fc e. Normalizované funkce $\Psi_{N,l,m}$ se opět často značí jako kety
\be 
  \ket{Nlm} = K_{Nl} \, \left(\frac{2r}{Na}\right)^{l} e^{-r/Na} L_{N-l-1}^{2l+1}\left( \frac{2r}{Na}\right)  Y_{lm}(\theta,\phi),
  \ll{nlmcoul1}
\ee
kde
\[ |K_{Nl}| = \frac{2}{N^2}\left( \frac{(N-l-1)!}{a^3(N+l)!}\right)^{1/2} \]
a $Y_{lm}$ jsou normalizované kulové funkce. Konstanta $a$, mající rozměr délky, se nazývá \emph{Bohrův poloměr}. Pro vodík je 
$a=0,53\times10^{-8}$ cm.
 
\bc Napište všechny vlnové \fc e pro stavy s~energiemi $-R, \ -R/4, -R/9$. \ec
 
\bc Porovnejte základní stav klasické a kvantové \cc e v~Coulombově poli. \ec
 
Z~výrazu \rf{ecoul} je zřejmé, že všechny stavy \rf{nlmcoul}, pro které $(l,m)$ leží v~množině \rf{setlm} mají tutéž energii. 
Degenerace hladiny energie s~daným $N$, neboli počet stavů s~energií $-R/N^2$, je
\be D_N=\sum_{l=0}^{N-1} (2l+1)=N^2. \ll{degn} \ee
 
Hodnoty energie \rf{ecoul} částice v~coulombickém poli předpovězené kvantovou mechanikou lze snadno ověřit experimentálně, neboť jak už 
bylo řečeno v~úvodu této kapitoly, je možno tímto systémem popsat vodíkový atom. Jeho záření má (v~rozporu s~klasickou teorií) čárové spektrum 
a empiricky bylo zjištěno, že frekvence záření splňují tzv.~Rydberg-Ritzův kombinační princip 
\be \nu = \konst \left( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \right) \ll{rrprinc} \ee 
objevený ještě před vznikem kvantové mechaniky. V~rámci kvantové mechaniky je snadné tuto formuli vysvětlit předpokladem, že frekvence fotonů 
emitovaných elektrony v~obalu atomů je dána rozdílem hladin energií elektronu. Pro vodík pak dostáváme 
\be \nu=\frac{(E_{N_2}-E_{N_1})}{2\pi \hbar} = \frac{MQ^2}{4\pi\hbar^3} \left( \frac{1}{N_1^2}-\frac{1}{N_2^2} \right), \ll{spekh} \ee 
kde $Q=q_e^2/4\pi\epsilon$. Numerická hodnota \emph{Rydbergovy frekvence} $\nu_R=MQ^2/ (4\pi\hbar^3)$ je v~tomto případě 
$3.3 \times 10^{15} \ \mathrm{s}^{-1}$ a pro $N_1=1,2,\ldots$, pak dostáváme frekvence, jež jsou v~dobré shodě s~naměřenými hodnotami Lymanovy 
($N_1=1$), Balmerovy ($N_1=2$), $\ldots$ serie.
 
\textbf{Množina vlastních \fc í \rf{nlmcoul} je ortogonální, ale netvoří bázi Hilbertova prostoru} $L_2(\R_+\times(0,\pi)\times(0,2\pi),
r^2\sin\theta dr d\theta d\phi).$ Důvod je v~tom, že operátor energie pro částici v~Coulombově poli má vedle bodové i spojitou část spektra
$\sigma_c(\hat H) = \langle 0,\infty )$. Přiřazení vlnových \fc í této části spektra se věnuje podkapitola \ref{zobvlf}.
 
 
 
 
 
\subsection{Posunovací operátory a bra-ketový formalismus}
\ll{posunovacioperatory}
 
Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a vlastních funkcí. Operátor $\hat A$ nazveme \emph{posunovacím operátorem 
k~operátoru $\hat B$ s~posunutím} $\triangle\in\C$ pokud
\be [\hat B,\hat A] = \triangle \hat A. \ll{posop} \ee
Důvod pro tento název spočívá v~tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\psi_\lambda$ příslušná vlastní funkce, pak 
ze \rf{posop} ihned plyne
\be \hat B \hat A \psi_\lambda = (\lambda+\triangle) \hat A \psi_\lambda, \ll{posunl} \ee
což znamená, že $\hat A \psi_\lambda$ je buď nula nebo vlastní \fc e operátoru $\hat B$ s~vlastní hodnotou $\lambda+\triangle$.
 
Ze vztahu \rf{posop} rovněž ihned plyne, že pokud operátor $\hat A$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B$ s~posunutím $\triangle$, 
pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B^\dagger$ s~posunutím $-\triangle^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený 
(tzn.~má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje alespoň jedna vlastní funkce $\psi_\lambda$ operátoru $\hat B$ taková, že 
$\hat A \psi_\lambda \neq 0$ pak $\Delta\in\R$.
 
Je zřejmé, že posunovací operátory budou mít význam, zejména pro operátory které mají ekvidistantní spektrum. Uvedeme dva typické příklady.
 
 
 
\subsubsection{Jednorozměrný harmonický oscilátor.}
Budeme se zajímat o~posunovací operátory pro operátor energie 
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\d^2}{\dx^2} + \frac{M}{2}\omega^2 {x}^2 \ee
Z~komutačních relací mezi $\hat H$ a operátorem souřadnice a hybnosti lze odvodit, že posunovací operátory pro $\hat H$ jsou 
\be \hat a_\pm := \sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q \mp \frac{i}{M\omega} \hat P), \ll{kreanop} \ee
neboť
\be [\hat H,\hat a_\pm] = \pm\hbar \omega \hat a_\pm. \ll{hcoma} \ee
Navíc platí
\be \hat a _-^\dagger = \hat a_+, \ [\hat a _-,\hat a_+] = \unit. \ll{acoma} \ee
 
Ze \rf{posunl} a vlastností spektra energie harmonického oscilátoru plyne pro jeho vlastní \fc e $\psi_n$ \rf{vlfcelho}
\be \hat a_\pm\psi_n=\alpha^\pm_n\psi_{n\pm 1} \ll{akopnavlfci} \ee
Operátor $\hat a_+$ tedy \uv{zvyšuje energii stavu} o~$\hbar\omega$ a nazývá se obvykle \emph{kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se 
z~podobného důvodu nazývá \emph{anihilační}.
 
Operátory $\hat a_\pm$ jsou normalizovány tak, že vedle relací \rf{hcoma}, \rf{acoma} platí
\be
  \hat H = \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-) = {\hbar\omega}(\hat a_+\hat a_- +\half).
\ee
Důsledkem tohoto vztahu je, že operátor $\hat a_+\hat a_-$ se někdy nazývá \uv{operátorem počtu energetických kvant}.
 
Snadno lze ukázat, že spektrum energie harmonického oscilátoru je zdola omezené a využitím kreačních a anihilačních operátorů můžeme spočítat jeho 
vlastní čísla i vlastní \fc e. Pro stav s~nejnižší energií $\psi_0$ totiž musí platit
\be \hat a_-\psi_0 = 0 \ll{anih0} \ee
a dosadíme-li do \rf{kreanop} vyjádření operátorů $\hat Q$, $\hat P$ \rf{xoper}, \rf{poper}, rovnice \rf{anih0} přejde na tvar
\be \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi+\frac{\d}{\d\xi}\right)\psi_0 = 0, \ee
kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální rovnici 1.~řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme
\be \psi_0(\xi) = C e^{-\xi^2/2}. \ee
Porovnáním této \fc e s~\rf{vlfcelho} zjistíme, že se skutečně jedná o~vlastní \fc i energie jednorozměrného harmonického oscilátoru s~vlastním 
číslem $\half \hbar\omega$. Stavy s~energiemi $\hbar\omega(n+\half)$ dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s~nejnižší energií 
\be
  \psi_n(\xi)
    = K_n \hat a_+^n\psi_0(\xi)
    = \frac{K_n}{\sqrt{2^n}}\left(\xi-\frac{d}{d\xi}\right)^ne^{-\xi^2/2},\ \ \
  K_n^{-1}
    =\left(\frac{\hbar\pi}{M\omega}\right)^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.
  \ll{ntylho}
\ee
Volba fáze normalizačních konstant \rf{nvlfcelho} vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru určuje i fázi koeficientů 
$\alpha^{\pm}_n$. Volba fáze $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s~přijatou fázovou konvencí \rf{nvlfcelho}, kde všechny normalizační koeficienty jsou 
kladné.
 
\bc Ukažte, že platí \[ \hat a_+\hat a_-\psi_n=n\ \psi_n. \] \ec
 
\bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$ v~\rf{akopnavlfci}. \ec
 
Poznamenejme ještě nakonec, že  stav s~nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. \emph{Koherentní stavy} $\rho_\lambda$ jsou 
definovány jako vlastní stavy anihilačního operátoru
\be \hat a_- \rho_\lambda = \lambda\rho_\lambda. \ee
Řešením této jednoduché diferenciální rovnice dostaneme
\be \rho_\lambda(\xi) = C_\lambda e^{-\frac{(\sqrt{2}\lambda-\xi)^2}{2}}. \ll{kohstav} \ee
Tyto stavy hrají významnou roli zejména v~kvantové optice.
 
 
 
\subsubsection{Moment hybnosti}
Nejjednodušší posunovací operátor pro $\hat L_3$ je $A=e^{i\phi}$. Jeho nevýhodou je, že při působení na kulové funkce posunuje nejen $m$, 
ale i $l$. Alternativou jsou posunovací operátory
\be \hat L_\pm := \hat L_1 \pm i \hat L_2 \ll{pm}. \ee
Pro ně lze snadno dokázat komutační relace
\be [\hat L_3,\hat L_\pm] = \pm \hbar \hat L_\pm, \quad [\hat L^2,\hat L_\pm] = 0 \ee
a přechodem do sférických souřadnic
\be \hat L_\pm Y_{l,m} = \alpha^\pm_{lm} Y_{l,m\pm 1}, \ll{posalpha} \ee
\be \hat L_+ Y_{l,l} = 0,\quad  \hat L_- Y_{l,-l}=0, \ll{yll0} \ee
kde $\alpha^\pm_{lm}\in \C$ a $Y_{l,m}$ jsou kulové \fc e definované v~podkapitole \ref{ssmomhyb}. Na druhé straně je možno rovnice \rf{posalpha} 
a \rf{yll0} použít pro výpočet kulových funkcí.
 
\bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-] = 2 \hbar \hat L_3. \ee \ec
 
\bc Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů  $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. \ec
 
Koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací \rf{posalpha} až na fázi. Přijmeme-li tzv.~Condon-Shortleyovu konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ 
jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant 
$C_{lm}$ \rf{normconsY} pro $Y_{l,m}$ jako $(-1)^m$.
 
\bc \ll{alplm} Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec
 
\bc Spočítejte \uv{maticové elementy} $(Y_{l,m},\hat L_k Y_{l',m'})$. \ec
 
 
 
\subsubsection{Bra-ketový formalismus}
Na tomto místě je vhodné předvést příklady tzv.~\uv{ketů} $\ket{\cdot}$ a \uv{bra} $\bra{\cdot}$, což obecně není nic jiného než označení prvků 
Hilbertova prostoru a funkcionálů na něm. Označíme-li normovaný vlastní stav energie jednorozměrného harmonického oscilátoru $\psi_n=\ket{n}$, 
pak ketové vyjádření vztahu \rf{ntylho} je
\[ \ket{n} = K_n \hat a_+^n \ket{0}. \]
Zavedeme-li nyní alternativní označení skalárního součinu pro libovolné $f\in $\qintline
\[ (\psi_n,f) \equiv (\ket{n},\ket{f}) = \braket{n}{f} \]
(skalární součin = závorka = bracket = $\braket{\mathrm{bra}}{\mathrm{ket}}$), pak relace úplnosti neboli Parsevalova rovnost pro bázi 
vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru, má v~bra-ketovém formalismu velice jednoduchý tvar
\be f \equiv \ket{f} = \sum_{n=0}^{\infty} \ket{n}\braket{n}{f}, \ll{relupl} \ee
což se často zapisuje jako $\sum_{n=0}^{\infty}\ket{n}\bra{n} = \unit$.
 
Z~komutačních vlastností kreačních a anihilačních operátorů dostaneme vztahy
\be
  \hat a_-^m\hat a_+^n \ket{0} = 0 \ \for \ n<m
  \qquad \mathrm{a} \qquad
  \hat a_-^m\hat a_+^n \ket{0} = n!\,\hat a_+^{n-m} \ket{0} \ \for \ n\geq m,
\ee
ze kterých lze snadno odvodit ortonormalitu stavů
\[ \ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \hat a_+^n \ket{0}, \]
která má v~bra-ketovém vyjádření jednoduchý tvar
\be \braket{m}{n} = \delta_{mn}. \ee
 
Operátory $\hat O$ v~\qintline \, lze zapsat v~tzv.~energetické reprezentaci pomocí maticových elementů $\braketA{n}{\hat O}{m}$ způsobem
\be
  \hat O f \equiv \hat O |f\rangle 
    = \sum_{n=0}^\infty \ket{n} \braketA{n}{\hat O}{f} 
    = \sum_{n,m=0}^\infty \ket{n} \braketA{n}{\hat O}{m} \braket{m}{f},
\ee
kde
\be \braketA{n}{\hat O}{m} := (\psi_n,\hat{O}\psi_m). \ee
 
\bc Napište energetickou reprezentaci operátorů hybnosti a polohy v~jednorozměrném případě. \ec
 
Podobným způsobem je možno zapsat kulové funkce a vztahy mezi nimi pomocí ketů  $\ket{lm}$ nebo vlastní funkce isotropního harmonického 
oscilátoru pomocí ketů $\ket{Nlm}$.
 
 
\subsection{Zobecněné vlastní funkce}
\ll{zobvlf}
 
Příkladem zobecněných vlastních \fc í jsou vlastní funkce souřadnice a hybnosti. Problém vlastních funkcí hybnosti se zdá na první pohled 
jednoduchý. Podmínka
\be \hat P_j\phi=p_j\phi \ \ j=1,2,3 \ee
dává diferenciální rovnice
\be -i\hbar\frac{\pd\phi}{\pd x_j}=p_j\phi  \ \ j=1,2,3, \ee
které mají řešení
\be \phi_{\vec{p}}(\vex)=Ae^{\frac{i\vec{p}\cdot\vex}{\hbar}}, \ll{zvfoh} \ee
jež se někdy nazývají vlastní funkcí operátoru hybnosti. Problém je v~tom, že tyto \fc e nejsou kvadraticky integrabilní pro žádné 
$\vec{p}\in\C^3$. To znamená, že složky operátoru hybnosti v~Hilbertově prostoru stavových funkcí \qintspace{} žádné vlastní funkce nemají. 
Neznamená to však, že jejich spektrum je prázdné. Naopak, při náležitém určení definičního oboru je tvoří všechna reálná čísla. Patří
však do spojité, nikoliv bodové, části spektra.
 
Přiřazení vlnových funkcí hodnotám fyzikálních veličin způsobem \rf{spvv} je možno provést pouze pro hodnoty z~bodové části spektra 
odpovídajícího operátoru. Hodnotám $\alpha$ ze spojité části spektra lze přiřadit pouze tzv.~\emph{zobecněné vlastní \fc e} $\phi_\alpha$, 
které nejsou kvadraticky integrovatelné, avšak lze pro ně definovat skalární součiny $(\phi_\alpha,\psi)$ a $(\psi,\phi_\alpha)$ s~\fc emi 
ležícími v~husté podmnožině kvadraticky integrovatelných funkcí.
 
Příkladem takové husté podmnožiny je \textbf{Schwartzův prostor}  $\mathscr S(\R^3)$ obsahující tzv. \emph{rychle ubývající funkce} $f$, pro něž platí: $f\in$ \qintspace{} 
a
\be
  \norm{f}_{\vec j,\vec k}=\sup \left|x_1^{j_1}x_2^{j_2}x_3^{j_3} \frac{\pd^{k_1}}{\pd x_1^{k_1}} \frac{\pd^{k_2}}{\pd x_2^{k_2}} \frac{\pd^{k_3}}{\pd x_3^{k_3}} f \right| < \infty
  \ll{prryubfci}
\ee
pro všechna $(\vec{j},\vec{k})\in\Z_+^6$. Důležitá vlastnost \fc í z~$\mathcal{S}(\R^3)$  je, že Fourierova transformace
\be \tilde f(\vec{k}) \equiv (\mathcal{F}f)(\vec{k}):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\R^3} e^{-i\vec{k} \vex} f(\vex)\d^3x \ll{Fourier}\ee 
je bijekcí $\mathscr S(\R^3)$ na $\mathscr S(\R^3)$ (viz~\cite{beh:lokf}). Příslušné inverzní zobrazení má tvar
\be (\mathcal{F}^{-1}\tilde{f})(\vex):=({2\pi})^{-3/2}\int_{\R^3} e^{i\vec{k} \vex} \tilde f(\vec k)\d^3k=({\cal F}\tilde f)(-\vex), \ll{invFourier}\ee
odkud snadno dostaneme, že
\begin{equation}
  \label{FfFg}
  (\mathcal{F}f,\mathcal{F}g)=(f,g)
\end{equation}
 
Pro $f\in\mathscr S(\R^3)$ můžeme definovat \uv{skalární součiny} $(\phi_{\vec{p}},f)$ a $(f,\phi_{\vec{p}})$ (přesněji lineární funkcionály na 
$\mathscr S(\R^3)$) stejně jako kdyby $\phi_{\vec{p}}$ ležely v~\qintspace{}.
\be
  \ll{psip}
  \Phi_{\vec{p}}(f)\equiv(\phi_{\vec{p}},f) :=\int_{\R^3} A^*e^{-i\vec{p} \vex/\hbar}f(\vex)\d^3x=A^*({2\pi})^{3/2}(\mathcal{F}f)(\frac{\vec{p}}{\hbar}),
\ee
\be
  \ll{invft}
  (f,\phi_{\vec{p}}):=(\phi_{\vec{p}},f)^*=A({2\pi})^{3/2}(\mathcal{F}f^*)\left(-\frac{\vec{p}}{\hbar}\right),
\ee
neboť tyto integrály jsou (inverzní) Fourierovou transformací \fc e $f,\ f^*$, která je definována pro všechny \fc e z~$\mathscr S(\R^3)$. Rovnice pro 
funkcionály $\Phi_{\vec{p}}$ má tvar
\be
  (\hat{P}_j\Phi_{\vec{p}})(f)=(\hat{P}_j \phi_{\vec{p}},f)=(\phi_{\vec{p}},\hat{P}_j f)=p_j(\phi_{\vec{p}},f)=p_j\Phi_{\vec{p}}(f),\quad \forall f\in\mathscr S(\R^3)
  \ll{rceprophip}
\ee
a funkce \rf{zvfoh} nazýváme \textbf{zobecněné vlastní \fc e hybnosti.} Tyto funkce lze na druhé straně libovolně přesně aproximovat \fc emi z~\qintspace. 
To je také důvod proč je s~úspěchem můžeme použít k~popisu tzv.~rozptylových stavů (viz kap.~\ref{potrozptyl}), jež jsou určeny počáteční a konečnou 
hybností.
 
\bc
  Nechť
  \[
    \phi_{p,\epsilon}(x):=\frac{A}{2\epsilon}\int_{p-\epsilon}^{p+\epsilon} dp'e^{i p' x/\hbar}=Ae^{i px/\hbar}\frac{\hbar}{\epsilon x}\sin\frac{\epsilon x}{\hbar}. 
  \]
  Ukažte, že $(\phi_{p,\epsilon},\phi_{p,\epsilon})=\frac{\pi\hbar}{\epsilon}|A|^2.$
\ec
 
 
Ještě výraznější je \uv{zobecněnost} vlastních funkcí operátoru polohy \cc e. Rovnice
\[
  \hat{Q}_j\psi=\lambda_j\psi,\ j=1,2,3
\]
má za řešení \fc e, které jsou nenulové pouze pro $x_j=\lambda_j$. Takové \fc e jsou však v~\qintspace{} ekvivalentní nulové \fc i takže pro řešení 
problému konstrukce zobecněných vlastních \fc í operátoru polohy je třeba použít jiné matematické objekty než \fc e na $\R^3$. K~jejich konstrukci lze 
použít tzv.~centrovaná $\delta$--funkce $\delta_{\lambda}$ mající formálně následující vlastnosti:
\be \delta_\lambda(x)\equiv\delta(\lambda-x)=\delta(x-\lambda)=0,\for x\neq\lambda \ll{dcond1}\ee
\be \int_\R \delta_\lambda(x)f(x)dx=f(\lambda). \ll{dcond2}\ee
 
Je zřejmé, že žádná funkce nemůže současně splnit obě podmínky \rf{dcond1}, \rf{dcond2}, nicméně lze definovat jiné matematické objekty, pro které lze 
obě podmínky splnit.
\bp
  Nejjednodušší způsob je pohlížet na $\delta$--funkce jako na limity posloupnosti řádných funkcí. Nechť
  \[
    f_{a,\lambda}(x) := \begin{cases} 0 & \text{ pro $|x-\lambda|>a$} \\ \dfrac{1}{2a} & \text{ pro $|x-\lambda|\leq a$} \end{cases}
  \]
Pak podmínky \rf{dcond1}, \rf{dcond2} jsou splněny pro $a\rightarrow 0$.\\
Z~tohoto příkladu je snadno vidět, že i zobecněné vlastní funkce operátoru polohy \rf{zvfop} lze aproximovat funkcemi z~prostoru \qintspace{} podobně 
jako zobecněné vlastní funkce operátoru hybnosti \rf{zvfoh}.
\ep
 
Přesnější definici pojmu $\delta$--\fc e je možno podat v~rámci teorie temperovaných distribucí, což jsou spojité lineární funkcionály na $\mathscr S(\R^N)$. 
Uvedeme pouze, že v~této teorii je jednorozměrná $\delta$--\fc e prvkem prostoru $\mathscr S'(\R)$, jedná se tedy o \fc ionál $(\delta_\lambda,\cdot)$ na $\mathscr S(\R)$ definovaný ve
shodě s~\rf{dcond2} způsobem 
\be
  \int_\R\delta_\lambda(x)f(x) dx \equiv (\delta_\lambda,f):=f(\lambda).
\ee
Rovnost
\[
  x\delta_\lambda(x)=\lambda\delta_\lambda(x)
\]
pak znamená
\be
  (\hat{Q} \delta_\lambda,f)=(\delta_\lambda,\hat{Q} f)=\lambda(\delta_\lambda,f),\ \forall f\in\mathscr S(\R^3),
\ee
(což je vztah analogický k~\rf{rceprophip}) a v~tomto smyslu je
\be
  \delta_{\vec{a}}(\vex)\equiv\delta(\vec{a}-\vex):=\delta_{a_1}(x_1) \delta_{a_2}(x_2)\delta_{a_3}(x_3)
  \ll{zvfop}
\ee
zobecněnou vlastní funkcí polohy s~vlastní hodnotou $\vec{a}$.
 
Z~definice Fourierovy transformace \rf{Fourier} a její inverze lze jednoduchým výpočtem  ukázat, že
\be
  \int_{\R^3}e^{i{\vec{z}}\cdot(\vex-\vec{y})} \d^3z=(2\pi)^3\delta(\vex-\vec{y}),
\ee
tj.
\be
  \mathcal{F}[\phi_{\vec{p}}]={A}{(2\pi)^{3/2}}\delta _{\vec{p}/\hbar}
  \ll{fourfip}
\ee
Odtud plyne důležitá vlastnost \fc í \rf{zvfoh}, totiž že je lze \emph{\uv{normalizovat k~$\delta$--\fc i}}, neboť pro $A=(2\pi\hbar)^{-3/2}$
\be
  (\phi_{\vec{p}\,'},\phi_{\vec{p}}) \equiv \int_{\R^3}\phi_{\vec{p}}(\vex)\phi_{\vec{p}\,'}^*(\vex) \d^3x=\delta(\vec{p}-\vec{p}\,').
  \ll{dnormp}
\ee
Podobně i pro \rf{zvfop} platí
\be
  (\delta_{\vec{a}'},\delta_{\vec{a}}) \equiv \int_{\R^3}\delta_{\vec{a}}(\vex)\delta_{\vec{a}'}(\vex) \d^3x=\delta(\vec{a}-\vec{a}').
  \ll{dnormx}
\ee
Tyto identity je třeba chápat jako rovnosti na prostoru lineárních funkcionálů na $\mathscr S(\R^N)$ a zápis pomocí integrálů je poněkud formální.
 
Někdy se i zobecněným normalizovaným \fc ím přiřazují kety $\delta_{\vec{a}} \equiv \ket{\vec{a}},\ \phi_{\vec{p}} \equiv \ket{\vec{p}}$. Vztahy \rf{zvfoh}, 
\rf{dnormx}, \rf{dnormp}, \rf{dcond2} a \rf{invft} pak lze zapsat jako
\[
  \braket{\vex}{\vec{p}} = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{i\vec{p} \cdot \vex/\hbar}, \quad
  \braket{\vex}{\vex'} = \delta (\vex-\vex'), \quad
  \braket{\vec{p}}{\vec{p}\,'} = \delta(\vec{p}-\vec{p}\,'),
\]
\[
  \braket{\vex}{\psi} = \psi(\vex),\quad
  \braket{\vec{p}}{\psi} =\hbar^{-3/2} \tilde{\psi}\left(\frac{\vec{p}}{\hbar}\right)
\]
a je možno psát analog relace úplnosti \rf{relupl}
\[
  \ket{\psi} = \int_{\R^3}\d^3x\,\ket{\vex}\braket{\vex}{\psi} = \int_{\R^3}\d^3p\,\ket{\vec{p}}\braket{\vec{p}}{\psi}.
\]
 
Zobecněné vlastní \fc e lze přiřadit i hodnotám ze spojité části spektra jiných operátorů. Například vedle vlastních hodnot energie částice 
v~coulombickém poli spočítaných v~předchozím paragrafu leží ve spojité části spektra operátoru energie všechna kladná čísla. Stavům částice 
v~Coulombově potenciálu s~kladnou energií (tzv.~rozptylové stavy) lze přiřadit zobecněné vlastní \fc e
\be
  \psi_{klm}=R_{kl}Y_{lm},
\ee
kde $k=\pm\frac{\sqrt{2ME}}{\hbar}$, $Y_{lm}$ jsou kulové funkce \rf{ylm} a
\be
  R_{kl}(r,\theta,\phi)=C_{kl}r^le^{ikr} F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right)
  \ll{zovlfcecoul}.
\ee
Lze ukázat, že tyto \fc e jsou při vhodném výběru konstant $C_{kl}$ normalizovány k~$\delta$--\fc i, neboť platí
\[
  \int_0^\infty r^{2l}e^{i(k'-k)r} F^*\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k},2l+2,-2ikr\right) \ F\left(l+1-i\frac{MQ}{\hbar^2k'},2l+2,-2ik'r\right)r^2dr
\]
\be=K_{kl}\delta(k-k'),\ee
kde $K_{kl}$ je konstanta.
 
Z~výše uvedených faktů je zřejmé, že matematický popis rozptylových stavů je mnohem složitější, než popis stavů odpovídající vlastním hodnotám. 
Na druhé straně se mu však nemůžeme vyhnout, neboť rozptylové experimenty představují důležitý zdroj informací o~chování objektů mikrosvěta.
 
Rigoróznější avšak matematicky náročnější popis stavů ze spojité části spektra pozorovatelných je možno provést pomocí projektorů \cite{beh:lokf}.